# Factorización aurifeuilliana

En teoría de números, una factorización aurifeuilleana, llamada así por Léon-François-Antoine Aurifeuille, es un tipo especial de factorización algebraica que proviene de factorizaciones no triviales de polinomios ciclotómicos sobre los números enteros. Aunque los polinomios ciclotómicos en sí mismos son irreducibles sobre los números enteros, cuando se restringen a valores enteros particulares, pueden tener una factorización algebraica, como en los ejemplos que figuran a continuación.

## Ejemplos

* Los números de la forma $a^{4}+4b^{4}$ tienen la siguiente factorización aurifeuilleana (véase también la identidad de Sophie Germain):
       $a^{4}+4b^{4}=(a^{2}-2ab+2b^{2})\cdot (a^{2}+2ab+2b^{2})$
* Configurando $a=1$ y $b=2^{k}$, se obtiene la siguiente factorización aurifeuilleana de $2^{4k+2}+1$:
       $2^{4k+2}+1=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1)$
* Los números de la forma $b^{n}-1$ o $\Phi _{n}(b)$, donde $b=s^{2}\cdot t$, con $t$ un entero libre de cuadrados, tienen factorización aurifeuilleana si y solo si se cumple una de las siguientes condiciones:
** $t\equiv 1{\pmod {4}}$ y $n\equiv t{\pmod {2t}}$
** $t\equiv 2,3{\pmod {4}}$ y $n\equiv 2t{\pmod {4t}}$
    Por lo tanto, cuando $b=s^{2}\cdot t$ con $t$ libre de cuadrados, y $n$ congruente con $t$ módulo $2t$, entonces si $t$ es congruente en 1 mod 4, $b^{n}-1$ tiene factorización aurifeuilleana, de lo contrario, $b^{n}+1$ tiene factorización aurifeuilleana.
* Cuando el número es de una forma particular (la expresión exacta varía con la base), se puede utilizar la factorización aurifeuliana, que da un producto de dos o tres números. Las siguientes ecuaciones dan factores de Aurifeuillian para las bases del Proyecto de Cunningham como producto de F, L y M:
    Si se hace que L = C − D, M = C + D, las factorizaciones aurifeulianas para b$^n$ ± 1 de la forma F * (C − D) * (C + D) = F * L * M con las bases 2 ≤ b ≤ 24 (potencias perfectas excluidas, ya que una potencia de b$^n$ es también una potencia de b), son:
(para los coeficientes de los polinomios para todas las bases libres de cuadrados hasta 199 y hasta 998, véase)
    b Número (C − D) * (C + D) = L * M F C D 2 2$^{4k+2}$ + 1 $\Phi _{4}(2^{2k+1})$ 1 2$^{2k+1}$ + 1 2$^{k+1}$ 3 3$^{6k+3}$ + 1 $\Phi _{6}(3^{2k+1})$ 3$^{2k+1}$ + 1 3$^{2k+1}$ + 1 3$^{k+1}$ 5 5$^{10k+5}$ - 1 $\Phi _{5}(5^{2k+1})$ 5$^{2k+1}$ - 1 5$^{4k+2}$ + 3(5$^{2k+1}$) + 1 5$^{3k+2}$ + 5$^{k+1}$ 6 6$^{12k+6}$ + 1 $\Phi _{12}(6^{2k+1})$ 6$^{4k+2}$ + 1 6$^{4k+2}$ + 3(6$^{2k+1}$) + 1 6$^{3k+2}$ + 6$^{k+1}$ 7 7$^{14k+7}$ + 1 $\Phi _{14}(7^{2k+1})$ 7$^{2k+1}$ + 1 7$^{6k+3}$ + 3(7$^{4k+2}$) + 3(7$^{2k+1}$) + 1 7$^{5k+3}$ + 7$^{3k+2}$ + 7$^{k+1}$ 10 10$^{20k+10}$ + 1 $\Phi _{20}(10^{2k+1})$ 10$^{4k+2}$ + 1 10$^{8k+4}$ + 5(10$^{6k+3}$) + 7(10$^{4k+2}$) + 5(10$^{2k+1}$) + 1 10$^{7k+4}$ + 2(10$^{5k+3}$) + 2(10$^{3k+2}$) + 10$^{k+1}$ 11 11$^{22k+11}$ + 1 $\Phi _{22}(11^{2k+1})$ 11$^{2k+1}$ + 1 11$^{10k+5}$ + 5(11$^{8k+4}$) - 11$^{6k+3}$ - 11$^{4k+2}$ + 5(11$^{2k+1}$) + 1 11$^{9k+5}$ + 11$^{7k+4}$ - 11$^{5k+3}$ + 11$^{3k+2}$ + 11$^{k+1}$ 12 12$^{6k+3}$ + 1 $\Phi _{6}(12^{2k+1})$ 12$^{2k+1}$ + 1 12$^{2k+1}$ + 1 6(12$^k$) 13 13$^{26k+13}$ - 1 $\Phi _{13}(13^{2k+1})$ 13$^{2k+1}$ - 1 13$^{12k+6}$ + 7(13$^{10k+5}$) + 15(13$^{8k+4}$) + 19(13$^{6k+3}$) + 15(13$^{4k+2}$) + 7(13$^{2k+1}$) + 1 13$^{11k+6}$ + 3(13$^{9k+5}$) + 5(13$^{7k+4}$) + 5(13$^{5k+3}$) + 3(13$^{3k+2}$) + 13$^{k+1}$ 14 14$^{28k+14}$ + 1 $\Phi _{28}(14^{2k+1})$ 14$^{4k+2}$ + 1 14$^{12k+6}$ + 7(14$^{10k+5}$) + 3(14$^{8k+4}$) - 7(14$^{6k+3}$) + 3(14$^{4k+2}$) + 7(14$^{2k+1}$) + 1 14$^{11k+6}$ + 2(14$^{9k+5}$) - 14$^{7k+4}$ - 14$^{5k+3}$ + 2(14$^{3k+2}$) + 14$^{k+1}$ 15 15$^{30k+15}$ + 1 $\Phi _{30}(15^{2k+1})$ 15$^{14k+7}$ - 15$^{12k+6}$ + 15$^{10k+5}$ + 15$^{4k+2}$ - 15$^{2k+1}$ + 1 15$^{8k+4}$ + 8(15$^{6k+3}$) + 13(15$^{4k+2}$) + 8(15$^{2k+1}$) + 1 15$^{7k+4}$ + 3(15$^{5k+3}$) + 3(15$^{3k+2}$) + 15$^{k+1}$ 17 17$^{34k+17}$ - 1 $\Phi _{17}(17^{2k+1})$ 17$^{2k+1}$ - 1 17$^{16k+8}$ + 9(17$^{14k+7}$) + 11(17$^{12k+6}$) - 5(17$^{10k+5}$) - 15(17$^{8k+4}$) - 5(17$^{6k+3}$) + 11(17$^{4k+2}$) + 9(17$^{2k+1}$) + 1 17$^{15k+8}$ + 3(17$^{13k+7}$) + 17$^{11k+6}$ - 3(17$^{9k+5}$) - 3(17$^{7k+4}$) + 17$^{5k+3}$ + 3(17$^{3k+2}$) + 17$^{k+1}$ 18 18$^{4k+2}$ + 1 $\Phi _{4}(18^{2k+1})$ 1 18$^{2k+1}$ + 1 6(18$^k$) 19 19$^{38k+19}$ + 1 $\Phi _{38}(19^{2k+1})$ 19$^{2k+1}$ + 1 19$^{18k+9}$ + 9(19$^{16k+8}$) + 17(19$^{14k+7}$) + 27(19$^{12k+6}$) + 31(19$^{10k+5}$) + 31(19$^{8k+4}$) + 27(19$^{6k+3}$) + 17(19$^{4k+2}$) + 9(19$^{2k+1}$) + 1 19$^{17k+9}$ + 3(19$^{15k+8}$) + 5(19$^{13k+7}$) + 7(19$^{11k+6}$) + 7(19$^{9k+5}$) + 7(19$^{7k+4}$) + 5(19$^{5k+3}$) + 3(19$^{3k+2}$) + 19$^{k+1}$ 20 20$^{10k+5}$ - 1 $\Phi _{5}(20^{2k+1})$ 20$^{2k+1}$ - 1 20$^{4k+2}$ + 3(20$^{2k+1}$) + 1 10(20$^{3k+1}$) + 10(20$^k$) 21 21$^{42k+21}$ - 1 $\Phi _{21}(21^{2k+1})$ 21$^{18k+9}$ + 21$^{16k+8}$ + 21$^{14k+7}$ - 21$^{4k+2}$ - 21$^{2k+1}$ - 1 21$^{12k+6}$ + 10(21$^{10k+5}$) + 13(21$^{8k+4}$) + 7(21$^{6k+3}$) + 13(21$^{4k+2}$) + 10(21$^{2k+1}$) + 1 21$^{11k+6}$ + 3(21$^{9k+5}$) + 2(21$^{7k+4}$) + 2(21$^{5k+3}$) + 3(21$^{3k+2}$) + 21$^{k+1}$ 22 22$^{44k+22}$ + 1 $\Phi _{44}(22^{2k+1})$ 22$^{4k+2}$ + 1 22$^{20k+10}$ + 11(22$^{18k+9}$) + 27(22$^{16k+8}$) + 33(22$^{14k+7}$) + 21(22$^{12k+6}$) + 11(22$^{10k+5}$) + 21(22$^{8k+4}$) + 33(22$^{6k+3}$) + 27(22$^{4k+2}$) + 11(22$^{2k+1}$) + 1 22$^{19k+10}$ + 4(22$^{17k+9}$) + 7(22$^{15k+8}$) + 6(22$^{13k+7}$) + 3(22$^{11k+6}$) + 3(22$^{9k+5}$) + 6(22$^{7k+4}$) + 7(22$^{5k+3}$) + 4(22$^{3k+2}$) + 22$^{k+1}$ 23 23$^{46k+23}$ + 1 $\Phi _{46}(23^{2k+1})$ 23$^{2k+1}$ + 1 23$^{22k+11}$ + 11(23$^{20k+10}$) + 9(23$^{18k+9}$) - 19(23$^{16k+8}$) - 15(23$^{14k+7}$) + 25(23$^{12k+6}$) + 25(23$^{10k+5}$) - 15(23$^{8k+4}$) - 19(23$^{6k+3}$) + 9(23$^{4k+2}$) + 11(23$^{2k+1}$) + 1 23$^{21k+11}$ + 3(23$^{19k+10}$) - 23$^{17k+9}$ - 5(23$^{15k+8}$) + 23$^{13k+7}$ + 7(23$^{11k+6}$) + 23$^{9k+5}$ - 5(23$^{7k+4}$) - 23$^{5k+3}$ + 3(23$^{3k+2}$) + 23$^{k+1}$ 24 24$^{12k+6}$ + 1 $\Phi _{12}(24^{2k+1})$ 24$^{4k+2}$ + 1 24$^{4k+2}$ + 3(24$^{2k+1}$) + 1 12(24$^{3k+1}$) + 12(24$^k$)
* Los números de Lucas $L_{10k+5}$ tienen la siguiente factorización aurifeuilleana:
       $L_{10k+5}=L_{2k+1}\cdot (5{F_{2k+1}}^{2}-5F_{2k+1}+1)\cdot (5{F_{2k+1}}^{2}+5F_{2k+1}+1)$
    donde $L_{n}$ es el $n$-ésimo número de Lucas y $F_{n}$ es el $n$-ésimo término de la sucesión de Fibonacci.

## Historia

En 1869, antes del descubrimiento de las factorizaciones aurifeuilleanas, Fortuné Landry, mediante un tremendo esfuerzo manual, obtuvo la siguiente factorización en números primos:
    $2^{58}+1=5\cdot 107367629\cdot 536903681.$
Tres años más tarde, en 1871, Aurifeuille descubrió la naturaleza de esta factorización; el número $2^{4k+2}+1$ para $k=14$, con la fórmula de la sección anterior, se factoriza como:
    $2^{58}+1=(2^{29}-2^{15}+1)(2^{29}+2^{15}+1)=536838145\cdot 536903681.$
Por supuesto, la factorización completa de Landry se deriva de la anterior (quitando el factor obvio 5). La forma general de la factorización fue descubierta más tarde por Édouard Lucas.
536903681 es un ejemplo de una norma gaussiana de Mersenne.