# Función inversa

En matemáticas, especialmente en análisis matemático, si f es una función que asigna elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la función f $^{-1}$ que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f $^{-1}$ es la función completamente opuesta a la original inversa de f.

## Definiciones formales

Sea $f$ una función real biyectiva cuyo responsable o dominio sea el conjunto $I$ y cuya imagen sea el conjunto $J$. Entonces, la función inversa de $f$, denotada $f^{-1}$, es la función de dominio $J$ y codominio $I$ definida por la siguiente regla:
    $f(x)=y\Leftrightarrowf^{-1}(y)=x{\text{.}}\,\!$
Destaquemos que $f^{-1}$, al igual que $f$, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por $f$ y que cumple:
* $f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{i}$ y
* $f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{j}$.
De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

### Definiciones alternativas

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:
* $g\circ f=\operatorname {id} _{I}$ y
* $f\circ g=\operatorname {id} _{J}$,
entonces:
* Si se cumple 1) entonces $f$ es inyectiva y $g$ sobreyectiva, y diremos que $g$ es inversa por la izquierda de $f$.
* Si se cumple 2) entonces $g$ es inyectiva y $f$ sobreyectiva, y diremos que $g$ es inversa por la derecha de $f$.
* Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces $f$ y $g$ son biyectivas y $g$ es la inversa de $f$.
Este último punto se usa como definición de función inversa.

### Notación alternativa

La notación tradicional $f^{-1}$ puede ser confusa, ya que puede dar a entender ${\frac {1}{f}}$ . Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:
* $f^{\star }:B\rightarrow A$
Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número $-1$:
* $f^{-}:B\rightarrow A\,$.

## Propiedades algebraicas

* La función inversa de la composición de dos funciones, siempre que tengan su función inversa, viene dada por la fórmula
    $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$
    Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g$^{–1}$ y terminar con f$^{–1}$,
* La involución: la función inversa de la función inversa de la función f , si existe, es la misma función f.
    $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$
    Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas: $f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}$ y $f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}$.

## Propiedades analíticas de funciones reales de una variable
### Continuidad

* $f$ y $f^{-1}$ son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir $f$ así: si $x$ es racional, $f(x)=x$, y si es irracional, $f(x)=-x$. En este caso muy particular $f=f^{-1}$.
   * Además, en tal caso $f$ y $f^{-1}$ son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).

### Gráfica de la función inversa

* Las gráficas que representan $f$ y $g=f^{-1}$ son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir, la recta $y=x$. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera $M(x,y)$ sobre el punto $M'(y,x)$. $M$ pertenece a la curva de $f$ si y sólo si $M'$ pertenece a la de $g$, porque la primera condición se escribe $y=f(x)$ y la segunda $x=g(y)$ y son por definición equivalentes.
* Las tangentes en $M$ y $M'$ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista $g'(y)f'(x)=1$.

### Derivación

* f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.
   * Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces por regla de la cadena tenemos que g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).

## Ejemplos

* Por construcción misma, la función raíz cuadrada es función inversa de función cuadrática , con dominio restringido a los números reales no negativos, $x\rightarrow x^{2}$ Es decir, cada una de las dos funciones siguientes son una función inversa de la otra:
   ${\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}\\x\mapsto x^{2}\end{cases}}\qquad {\begin{cases}g:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}\\x\mapsto {\sqrt {x}}\end{cases}}\qquad f\circ g(x)=g\circ f(x)=x$
* Más generalmente, la función raíz positiva de orden n de un número positivo es la función inversa de la función potencia definida por $x\rightarrow x^{n}$.
* También por construcción, la función exponencial es la función inversa de la función logaritmo natural.
* Por definiciones muy adecuadas, arccos, arcsen y arctan son las funciones inversas de las funciones trigonométricas coseno, seno y tangente, lo que facilita hallar sus derivadas:
    Para $f(x)=\cos(x)=y$, $g(y)=f^{-1}(y)=\arccos(y)$, y utilizando $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$ se obtiene: $g'(y)={\frac {1}{f'(x)}}={\frac {1}{-\sin(x)}}={\frac {1}{-{\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}}}={\frac {-1}{\sqrt {1-y^{2}}}}$
    Para $f(x)=\tan(x)=y$, $g(y)=f^{-1}(y)=\arctan(y)$, y utilizando $\tan '(x)=1+\tan ^{2}(x)$ se obtiene: $g'(y)={\frac {1}{f'(x)}}={\frac {1}{1+\tan ^{2}(x)}}={\frac {1}{1+y^{2}}}$
Se generaliza el concepto de función a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones inversas.
* En otras ocasiones una función inversa puede existir y estar bien definida pero no puede escribirse en términos de funciones elementales, como sucede con la función f:
   ${\begin{cases}f:\mathbb {R} \to [-1,1]\\x\mapsto {\cfrac {1}{2\pi }}\left[\ln \left({\cfrac {x^{2}+x{\sqrt {2}}+1}{x^{2}-x{\sqrt {2}}+1}}\right)+2\arctan(x{\sqrt {2}}+1)+2\arctan(x{\sqrt {2}}-1)\right]=\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{k}x^{k}}{4k+1}}\end{cases}}$
Aunque la función inversa se puede aproximar mediante desarrollo en serie de Taylor:
   $f^{-1}(x)\approx x+{\frac {x^{5}}{5}}+\dots$