# Punto extremo

En matemáticas, un punto extremo de un conjunto convexo $S$ en un espacio vectorial sobre los números reales o los números complejos, es un punto en $S$ que no se encuentra en ningún segmento abierto uniendo dos puntos de $S.$ En problemas de programación lineal, a un punto extremo también se le llama vértice o punto de esquina de $S.$

## Definición

En todo momento se asume que $X$ es un espacio vectorial real o complejo.
Para cualquier $p,x,y\in X,$ supóngase que $p$ se encuentra entre $x$ e $y$ si $x\neq y$, y además existe un $0<t<1$ tal que $p=tx+(1-t)y.$
Si $K$ es un subconjunto de $X$ y $p\in K,$ entonces $p$ se denomina punto extremo de $K$ si no se halla entre dos puntos distintos de $K.$ Es decir, si no existen $x,y\in K$ y $0<t<1$ tales que $x\neq y$ y $p=tx+(1-t)y.$ El conjunto de todos los puntos extremos de $K$ se denota por $\operatorname {extremo} (K).$
Generalizaciones
Si $S$ es un subconjunto de un espacio vectorial, entonces una subvariedad lineal (es decir, un espacio afín) $A$ del espacio vectorial se llama variedad de soporte si $A$ cumple con $S$ (es decir, $A\cap S$ no está vacío) y cada segmento abierto $I\subseteq S$ cuyo interior cumple con $A$ es necesariamente un subconjunto de $A.$ Una variedad de soporte de dimensión 0 se llama punto extremo de $S.$

### Caracterizaciones

El punto medio de dos elementos $x$ e $y$ en un espacio vectorial es el vector ${\tfrac {1}{2}}(x+y).$
Para cualquier elemento $x$ e $y$ en un espacio vectorial, el conjunto $[x,y]=\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\}$ se llama segmento rectilíneo cerrado o intervalo cerrado entre $x$ e $y.$ El segmento rectilíneo abierto o el intervalo abierto entre $x$ e $y$ es $(x,x)=\varnothing$ cuando $x=y$ mientras que es $(x,y)=\{tx+(1-t)y:0<t<1\}$ cuando $x\neq y.$ Los puntos $x$ e $y$ se denominan puntos finales de estos intervalos. Se dice que un intervalo es no degenerado o intervalo propio si sus puntos finales son distintos. El punto medio de un intervalo es el punto medio de sus puntos extremos.
El intervalo cerrado $[x,y]$ es igual a la envolvente convexa de $(x,y)$ si (y solo si) $x\neq y.$ Entonces, si $K$ es convexo y $x,y\in K,$ entonces $[x,y]\subseteq K.$
Si $K$ es un subconjunto no vacío de $X$ y $F$ es un subconjunto no vacío de $K,$ entonces $F$ se llama cara de $K$ si siempre que un punto $p\in F$ se encuentre entre dos puntos de $K,$ esos dos puntos necesariamente pertenecen a $F.$
* Teorema
* Sea $K$ un subconjunto convexo no vacío de un espacio vectorial $X$ y sea $p\in K.$
* Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
* $p$ es un punto extremo de $K.$
* $K\setminus \{p\}$ es convexo.
* $p$ no es el punto medio de un segmento de recta no degenerado contenido en $K.$
* Para cualquier $x,y\in K,$ si $p\in [x,y]$ entonces $x=p{\text{or }}y=p.$
* Si $x\in X$ es tal que tanto $p+x$ como $p-x$ pertenecen a $K,$ entonces $x=0.$
* $\{p\}$ es una cara de $K.$

## Ejemplos

Si $a<b$ son dos números reales, entonces $a$ y $b$ son puntos extremos del intervalo $[a,b].$ Sin embargo, el intervalo abierto $(a,b)$ no tiene puntos extremos. Cualquier intervalo en $\mathbb {R}$ no tiene puntos extremos, mientras que cualquier intervalo no degenerado que no sea igual a $\mathbb {R}$ sí tiene puntos extremos (es decir, los puntos finales del intervalo cerrado). De manera más general, cualquier subconjunto abierto de un espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n}$ de dimensión finita no tiene puntos extremos.
Los puntos extremos del disco unidad en $\mathbb {R} ^{2}$ forman la circunferencia goniométrica.
El perímetro de cualquier polígono convexo en el plano es una cara de ese polígono. Los vértices de cualquier polígono convexo en el plano $\mathbb {R} ^{2}$ son los puntos extremos de ese polígono.
Una aplicación lineal inyectiva $F:X\to Y$ hace corresponder los puntos extremos de un conjunto convexo $C\subseteq X$ con los puntos extremos del conjunto convexo $F(X).$. Esto también es cierto para aplicaciones afines inyectivas.

## Propiedades

Los puntos extremos de un conjunto convexo compacto forman un espacio de Baire (con la topología subespacial), pero este conjunto puede que no se pueda cerrar en $X.$.

## Teoremas
### Teorema de Krein-Milman

El teorema de Krein-Milman es posiblemente uno de los teoremas más conocidos sobre puntos extremos.
* Teorema de Krein-Milman
* Si $S$ es convexo y compacto en un espacio localmente convexo, entonces $S$ es la envolvente convexa cerrada de sus puntos extremos, y en particular, tal conjunto tiene puntos extremos.

### Para espacios de Banach

Estos teoremas son para espacios de Banach de aucerdo con la propiedad de Radon-Nikodym.
Un teorema de Joram Lindenstrauss establece que, en un espacio de Banach con la propiedad Radon-Nikodym, un conjunto cerrado y acotado no vacío tiene un punto extremo (en espacios de dimensión infinita, la propiedad de compacidad es más fuerte que las propiedades conjuntas de ser cerrado y acotado).
* Teorema
* Sea $E$ un espacio de Banach con la propiedad de Radon-Nikodym, sea $C$ un subconjunto convexo, acotado, cerrado y separable de $E,$ y sea $a$ un punto en $C.$ Entonces, existe una medida de probabilidad $p$ en los conjuntos universalmente medibles en $C$ tal que $a$ es el baricentro de $p,$ y el conjunto de puntos extremos de $C$ tiene $p$-medida 1.
El teorema de Edgar implica el teorema de Lindenstrauss.

## Nociones relacionadas

Un subconjunto convexo cerrado de un espacio vectorial topológico se llama estrictamente convexo si cada uno de sus puntos límite (topológicos) es un punto extremo. La 1-esfera de cualquier espacio de Hilbert es un conjunto estrictamente convexo.

### k-puntos extremos

De manera más general, un punto en un conjunto convexo $S$ es $k$-extremo si se encuentra en el interior de un conjunto convexo de dimensión $k$ dentro de $S,$ pero no en un conjunto convexo de dimensión $k+1$ dentro de $S.$ Por lo tanto, un punto extremo también es un punto extremo $0$. Si $S$ es un politopo, entonces los puntos extremos de $k$ son exactamente los puntos interiores de las caras $k$-dimensionales de $S.$ Más generalmente, para cualquier conjunto convexo $S,$ los puntos extremos $k$ se dividen en caras abiertas $k$-dimensionales.
El teorema de Krein-Milman de dimensión finita, debido a Minkowski, se puede demostrar rápidamente utilizando el concepto de puntos extremos $k$. Si $S$ es cerrado, acotado y $n$-dimensional, y si $p$ es un punto en $S,$ entonces $p$ es $k$-extremo para algún $k\leq n.$ El teorema afirma que $p$ es una combinación convexa de puntos extremos. Si $k=0$, entonces es inmediato. De lo contrario, $p$ se encuentra en un segmento rectilíneo en $S$ que puede extenderse al máximo (porque $S$ está cerrado y acotado). Si los puntos finales del segmento son $q$ y $r,$ entonces su rango extremo debe ser menor que el de $p,$ y el teorema se deduce por inducción.