# Energía potencial

La energía potencial es la energía mecánica asociada a la localización de un cuerpo dentro de un campo de fuerzas (e.g. gravitatorio, electrostático, etc.) o a la existencia de un campo de fuerza en el interior de un cuerpo (energía elástica). La energía potencial de un cuerpo es una consecuencia de que el sistema de fuerzas que actúa sobre el mismo sea conservativo.
Independientemente de la fuerza que la origine, la energía potencial que posee el sistema físico representa la energía "almacenada" en virtud de su posición y/o configuración, por contraposición con la energía cinética que tiene y que representa su energía debido al movimiento. Para un sistema conservativo, la suma de energía cinética y potencial es constante, eso justifica el nombre de fuerzas conservativas, es decir, aquellas que hacen que la energía "se conserve". El concepto de energía potencial también puede usarse para sistemas físicos en los que intervienen fuerzas disipativas, y que por tanto no conservan la energía, solo que en ese caso la energía mecánica total no será constante, y para aplicar el principio de conservación de la energía es necesario contabilizar la disipación de energía.
El valor de la energía potencial depende siempre del punto o configuración de referencia escogido para medirla, por esa razón se dice a veces que físicamente solo importa la variación de energía potencial entre dos configuraciones.
La energía potencial interviene como se ha mencionado en el principio de conservación de la energía y su campo de aplicación es muy general. Está presente no solo en la física clásica, sino también de la física relativista y física cuántica. El concepto se ha generalizado también a la física de partículas, donde se han llegado a utilizar potenciales complejos con el objeto de incluir también la energía disipada por el sistema.

## Introducción

Si bien la energía cinética ($E_{c}$) de un cuerpo es una propiedad física que depende de su movimiento, la energía potencial ($E_{p}$), en cambio, es un concepto de energía que va a depender del tipo de interacción que se ejerce sobre el cuerpo, de su posición y de la configuración en el espacio del citado cuerpo o cuerpos sobre los que se aplica. Así en una situación ideal en la que los objetos que constituyen el sistema físico en estudio estén ausentes de fricción, entonces la suma de ambas energías, cinética y potencial, va a representar la energía total del sistema, $E$, y se va a conservar, independientemente de la posición o posiciones que vaya ocupando el sistema en el tiempo.
La noción de energía potencial se relaciona con el trabajo realizado por las fuerzas sobre el sistema físico para trasladarlo de una posición a otra del espacio. La función energía potencial dependerá de forma importante del tipo de campo de fuerzas o interacción que actúe sobre el sistema. Por ejemplo, la fuerza de gravitación, la electromagnética, responsable de las interacciones eléctrica y magnética, o la elástica (derivada de la electromagnética). Si el trabajo no depende del camino seguido, entonces a la fuerza ${\overrightarrow {F}}$ se le llama conservativa y el trabajo $W$ expresa la diferencia de energía potencial $E_{p_{A}}-E_{p_{B}}$ del sistema entre la posición de partida (A) y la posición de llegada (B).
$W_{AB}=\int _{A}^{B}{\overrightarrow {F}}\cdot \,{\overrightarrow {dl}}=E_{p_{B}}-E_{p_{A}}\qquad \qquad$
También se utiliza la función potencial $V$ en lugar de la energía potencial $E_{p}$ para representar el trabajo realizado por la unidad básica de la interacción. Si, por ejemplo, la interacción es la gravitatoria, sería la unidad de masa y en el caso de la interacción eléctrica, la unidad de carga.
La función energía potencial y, en especial, la función potencial, tienen gran interés en la física no solo cuando se aplican a las interacciones que son importantes a nuestra escala, como son la gravitatoria, la electromagnética y la elástica (derivada de la electromagnética), sino también cuando se estudia cualquier tipo de fuerza o interacción, incluso en la física cuántica al tratar de resolver la dinámica de un sistema físico mediante la ecuación de Schrödinger. Se aplica, por ejemplo, a la física atómica en la obtención de los estados electrónicos del átomo o en la física molecular, para la obtención de los estados electrónicos, de vibración, de vibración-rotación y de rotación de la molécula, así como en la física del estado sólido. También se aplica en la física nuclear.
En otras formulaciones más generales de la física, la función potencial juega, así mismo, un papel importante. Entre ellas, las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana de la mecánica.

## Energía potencial gravitatoria

La energía potencial gravitatoria se define como la energía que poseen los cuerpos por el hecho de poseer masa y estar situados a una determinada distancia mutua. Entre las masas de grandes magnitudes se ejercen fuerzas de atracción, de mayor intensidad cuanto mayores son estas. Aplicado, por ejemplo, al movimiento planetario, la masa mayor es la del sol que crea un campo de fuerzas gravitatorio que actúa sobre las masas menores de los planetas. A su vez, cada planeta crea un campo de fuerzas gravitatorio que actúa sobre las masas menores que estén próximas al planeta, los satélites.
El trabajo realizado para llevar una masa de prueba m en presencia de otra masa M, fuente del campo gravitatorio, desde un punto A a otro B, es la diferencia de la energía potencial de la masa m en el punto de partida A menos la energía potencial en el punto de llegada B. El citado trabajo no depende del camino seguido sino tan solo de los puntos inicial y final. Al gozar de esta propiedad la fuerza gravitatoria y el campo gravitatorio (la fuerza gravitatoria sobre la unidad de masa), al campo se le llama campo conservativo y tiene pleno sentido obtener el potencial gravitatorio, derivado del campo creado por la masa M, así como la energía potencial gravitatoria derivada de la fuerza gravitatoria entre las masas m y M.
Si se considera una masa M en el origen del sistema de coordenadas como fuente del campo gravitatorio y se elige como referencia el infinito, punto en el que cualquier masa m tiene una energía potencial nula, la energía potencial es el trabajo necesario para llevar la masa m desde el infinito hasta un determinado punto A definido por la coordenada $r$ (la distancia del punto A al origen de coordenadas).
$W=E_{p_{A}}-E_{p_{\infty }}=$ $\Delta E_{p}=-\int _{\infty }^{A}F_{g}\cdot \,dr=-\int _{\infty }^{A}{\frac {G\cdot M\cdot m}{r^{2}}}\cdot \,dr=G\cdot M\cdot m\cdot \left\lbrack {\frac {1}{r}}\right\rbrack _{\infty }^{A}={\frac {G\cdot M\cdot m}{r_{A}}}=E_{p_{A}}\qquad \qquad [1]$
Donde: $E_{p}$ es la energía potencial gravitatoria de la masa $m$, cuyo valor depende de la distancia $r$ entre la masa de prueba $m$ y la masa $M$ que genera el campo gravitatorio, y se mide en julios ($J$). Por otro lado, $F_{g}={\frac {G\cdot M\cdot m}{r^{2}}}$ es la fuerza gravitatoria sobre la masa de prueba $m$ situada a una distancia $r$ de la masa $M$ que crea el campo gravitatorio y se mide en newtons ($N$). Además, $G$ es la constante de gravitación universal, cuyo valor es $G=6.673\times 10^{-11}\;\left({\cfrac {{\text{N}}\cdot {\text{m}}^{2}}{{\text{kg}}^{2}}}\right)$. Finalmente, $M$ y $m$ se miden en kilogramos ($kg$) $R$ es la distancia que separa las dos masas, medida en metros ($m$)
La ecuación [1] que representa la energía potencial $E_{p_{A}}$ de las masas m y M cuando están separadas una distancia $r_{A}$, es aplicable tanto a masas puntuales como a masas con simetría esférica, siendo la distancia entre ellas, la que hay entre los centros de dichas esferas.

### La energía potencial cerca de la superficie de la Tierra

La energía potencial que posee una masa $m$ situada a una altura $h$ sobre la superficie terrestre vale:
$\Delta E_{p}=m\cdot g\cdot h\qquad \qquad [2]$
Esta expresión es un caso particular de la ecuación anterior [1]. Dicho caso se presenta cuando la masa se encuentra a una altura pequeña sobre la superficie de la tierra. Para demostrarlo, basta con aplicar la expresión [1] y considerar la variación de energía potencial entre las alturas sobre la superficie de la tierra, $h_{1}$ y $h_{2},(h_{1}\ll R_{t},h_{2}\ll R_{t}$ y $h_{2}>h_{1})$ siendo $R_{t}$ el radio de la tierra.
$\Delta E_{p}=E_{p2}-E_{p1}=G\cdot M\cdot m\cdot \left({\frac {1}{R_{t}+h_{1}}}-{\frac {1}{R_{t}+h_{2}}}\right)=$
$=E_{p2}-E_{p1}=G\cdot M\cdot m\cdot {\frac {(h_{2}-h_{1})}{R_{t}^{2}+R_{t}\cdot (h_{2}+h_{1})+h_{1}\cdot h_{2}}}\approx G\cdot M\cdot m\cdot {\frac {h_{2}-h_{1}}{R_{t}^{2}}}\qquad \qquad [3]$
En este caso, los productos $R_{t}\cdot h_{2},R_{t}\cdot h_{1}$ y $h_{1}\cdot h_{2}$ son muy pequeños comparados con $R_{t}^{2}$ y, por lo tanto, se pueden despreciar en la ecuación [3].
Llamando $g=G\cdot M\cdot {\frac {1}{R_{t}^{2}}}$
$E_{p2}-E_{p1}=m\cdot g\cdot (h_{2}-h_{1})$
Si se toma $h_{1}$ como el origen de energías potenciales, por ejemplo, al nivel del mar y llamando $h_{2}=h$:
$\Delta E_{p}=m\cdot g\cdot h$
Del desarrollo anterior se deduce que para $h\ll R_{t}$ la aproximación última es adecuada.

### Velocidad de escape

La velocidad de escape es la velocidad mínima necesaria para que un cuerpo de masa $m$ salga fuera de la atracción gravitatoria.
La fuerza de gravitación es conservativa. La energía potencial $E_{p}(r)$ de una masa $m$ es:
$E_{p}(r)=-G\cdot {\frac {m\cdot M}{r}}$
Para que el cuerpo escape a la acción del campo gravitatorio la energía total $E_{t}$ del mismo debe ser positiva o nula, es decir, debe suceder que la energía cinética supere o, al menos iguale, la energía potencial. En el caso umbral estaremos calculando la velocidad de escape. Se puede calcular en el caso de la Tierra.
$E_{T}=0$
$E_{t}=E_{c}+E_{p}=0\Rightarrow {\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v_{e}^{2}=G\cdot {\frac {m\cdot M}{r}}$
$v_{e}={\sqrt {\frac {2\cdot G\cdot M}{r}}}={\sqrt {2gr}}$
$(m/s)$
donde $r$ es la distancia radial o posición del cuerpo de masa $m$ con respecto a la masa $M$ que genera el campo gravitatorio

#### Velocidad de escape de la superficie de la Tierra

$G=6.674\cdot 10^{-11}\;{\cfrac {{\text{N}}\cdot {\text{m}}^{2}}{{\text{kg}}^{2}}}$
$M_{T}=5,97\cdot 10^{24}$ $kg$
$R=6,37\cdot 10^{6}$ $m$
Sustituyendo los datos se obtiene:
$v_{e}={\sqrt {\frac {2\cdot G\cdot M_{T}}{R}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 6,67\cdot 10^{-11}\cdot 5,97\cdot 10^{24}}{6,37\cdot 10^{6}}}}\approx 11,17\cdot 10^{3}$
$m\cdot s^{-1}$
Si el móvil supera la velocidad de escape abandonaría todavía con más facilidad la acción del campo gravitatorio terrestre.

### Superficies equipotenciales

El potencial gravitatorio se define como la energía potencial por unidad de masa:
$V={\frac {E_{p}}{m}}$
Y por tanto se obtiene:
$V(r)={\frac {G\cdot M}{r}}$
Donde $V$ es la energía potencial de la unidad de masa, o potencial, a una distancia $r$ de la masa $M$. Las unidades de $V$ en el S.I. son ${\frac {J}{kg}}$.
G es la constante de gravitación universal.
M es la masa del objeto que crea el campo y, por tanto, estará medida en $kg$.
Si M es puntual o de geometría esférica, las superficies equipotenciales (superficies de potencial constante) son la familia de esferas definidas por la familia de superficies:
$V_{i}={\frac {G\cdot M}{r_{i}}}=C_{i}\ ,\qquad i=1,2,3...$
siendo $C_{i}$ constantes arbitrarias cuyo valor numérico representa el potencial gravitatorio asociado a cada valor de la posición $r_{i}$.
Las superficies equipotenciales gravitatorias terrestres son todas las esferas con centro en el de la Tierra.

### Ejemplos de la energía potencial gravitatoria
#### Montaña Rusa

El dibujo de una montaña rusa en un plano se puede interpretar como la representación de la función energía potencial $E_{p}$ de un cuerpo en el campo gravitatorio. Cuanto más sube un móvil la montaña rusa, mayor es su energía potencial y menor su energía cinética $E_{c}$, y por tanto se desplaza más lento. En los máximos relativos de dicha función (los picos de la montaña rusa) su energía potencial será más elevada que en los puntos de su entorno. Estos puntos se llamarán puntos de equilibrio mecánico inestable, ya que si se deposita en ellos un objeto con $v=0$ por poco que se desplace de ese punto, el objeto siempre tenderá a alejarse. Por otro lado, si lo situamos en los mínimos de la función (los valles de la montaña rusa), el móvil que los abandonase en uno u otro sentido siempre tenderá a volver hacia ellos, son los puntos llamados puntos de equilibrio estable. Como la energía mecánica $E$ del cuerpo se conserva $E=E_{c}+E_{p}=E_{cmax}=E_{pmax}$ , en la figura.

#### Péndulo

En el caso de un péndulo, cuyo movimiento puede alcanzar una altura $h$ medida a partir de su posición más baja, también se puede comprobar la ley de conservación de la energía. En los puntos más altos (altura h), donde la energía potencial es máxima, la velocidad del péndulo es nula y el movimiento cambia de sentido. Por otro lado, la posición más baja, que se puede llamar $P$, será aquella con una mayor energía cinética y velocidad máxima pero con una energía potencial mínima. La posición $P$ se podrá tomar como origen de la energía potencial (se le puede asociar una energía potencial nula).

### Aplicación al movimiento planetario

La energía potencial gravitatoria influye en la forma de las órbitas de los planetas y otros cuerpos celestes del Sistema Solar. El tipo de órbita es una sección cónica y su forma dependerá de la energía mecánica total $E$ del cuerpo. La energía potencial es negativa o positiva, mientras que la energía cinética es siempre positiva.
La energía total del cuerpo, al ser la suma de ambas, puede ser negativa, positiva o nula. Es fácil reconocer la forma de las órbitas con ayuda del diagrama de energía potencial $E_{p}(r)$ o el de potencial $V(r)$. La línea verde sirve para indicar en cada caso cuál es el valor de la energía total del planeta o el cuerpo celeste en la animación que sigue. El Sol se encuentra siempre en la posición $r=0$, y representa el origen de la fuerza gravitatoria.
* Si la energía total es negativa y de valor absoluto igual a la mitad de la energía potencial (mínimo de la curva), la trayectoria es una circunferencia con centro en el origen de las fuerzas.
${\color {Black}E}={\color {Black}-{\frac {1}{2}}G{\frac {Mm}{r}}}$
* Si la energía total es mayor que la que se necesita para que la órbita sea circular, pero aun así permanece negativa, la órbita pasa a ser una elipse exterior a la órbita circular. En este caso, el centro de fuerzas será uno de los focos de dicha elipse.
${\color {Black}-{\frac {1}{2}}G{\frac {Mm}{r}}}<{\color {Black}E}<{\color {Black}0}$
* Si la energía total es menor que la necesaria para describir una órbita circular, no existirá el movimiento al resultar una energía cinética negativa.
${\color {Black}E}<{\color {Black}-{\frac {1}{2}}G{\frac {Mm}{r}}}\qquad no\ es\ posible$
* Si la energía total llega a ser cero o positiva, la trayectoria deja de ser cerrada y el cuerpo escapará de la atracción gravitatoria ejercida por M. Si $E=0$, la energía cinética es, en valor absoluto, igual a la energía potencial. Representa la mínima energía necesaria para que el cuerpo escape de dicha atracción alcanzando, entonces, la velocidad de escape y su trayectoria será una parábola con su foco en el centro de fuerzas. La trayectoria será, pues, abierta.
${\color {Black}E}=0\Rightarrow E_{c}=-E_{p}$
* Si la energía total es positiva es porque en valores absolutos su energía cinética es mayor que su energía potencial. Por lo tanto, su velocidad excede la velocidad de escape y su trayectoria será una hipérbola, una cónica también abierta.
${\color {Black}E}>0\Rightarrow E_{c}>-E_{p}$

## Energía potencial elástica

La elasticidad es una propiedad de ciertos materiales por la que, una vez deformados, estirados o separados de su posición inicial, pueden recuperar su estado original, o de equilibrio. Las fuerzas restauradoras responsables de la recuperación son las fuerzas elásticas como en el caso de los muelles, las tiras de goma o las cuerdas de instrumentos musicales. Muchas máquinas de guerra de la antigüedad utilizaban este tipo de energía para lanzar objetos a distancia como, por ejemplo, el arco que dispara una flecha, la ballesta o la catapulta. Las vibraciones u oscilaciones de los objetos materiales, ocasionadas por las fuerzas elásticas, son la fuente de las ondas sonoras. Las fuerzas recuperadoras, cuando el objeto recupera su forma original sin apenas amortiguamiento o deformación, son conservativas y se puede derivar una energía potencial elástica, que sumada a la energía cinética, permite obtener la energía mecánica del objeto.
Un muelle elástico es un ejemplo de cuerpo que recupera su forma original de forma exacta: cuando se estira ejerce una fuerza elástica que tiende a devolverle a su longitud original. Se comprueba experimentalmente que esta fuerza restauradora es proporcional a la longitud estirada del muelle. La forma de expresar esta proporcionalidad entre la fuerza y la cantidad estirada es por medio de la ley de Hooke. El coeficiente de proporcionalidad en esta deformación depende del tipo de material y de la forma geométrica que se considere. Para sólidos, la fuerza elástica se describe generalmente, en términos de la cantidad de deformación, ocasionada por la fuerza de tensión resultante de un estiramiento determinado, llamado módulo de elasticidad o de Young. Para líquidos y gases se expresa por la variación de presión capaz de producir una variación del volumen y se denomina módulo de compresibilidad. Para muelles y cables se emplea una constante elástica k.
La ley de Hooke describe aproximadamente las propiedades elásticas de los cuerpos y en la que se basan las condiciones elásticas de respuesta, cerca de las condiciones de equilibrio, del material deformable sujeto a un estiramiento o compresión. Tiene numerosas aplicaciones y en todas ellas la fuerza responsable se obtiene con la citada ley de manera aproximada, y el movimiento de respuesta resultante es el del oscilador armónico.

### Ley de Hooke

Una de las propiedades de la elasticidad lineal de un sólido o de un fluido, al estirarse o deformarse, es que dicho estiramiento o deformación es proporcional a la fuerza aplicada. Es decir, se necesitaría una fuerza doble para producir un estiramiento doble. Esa dependencia lineal del desplazamiento con la fuerza aplicada es conocida como la Ley de Hooke.. Además de sólidos elásticos lineales, existen sólidos elásticos no lineales con un comportamiento más complejo bajo deformación.
Robert Hooke fue un científico inglés tanto teórico como experimental, polemista incansable, con un genio creativo de primer orden, que formó parte del núcleo creador de la Royal Society. En 1660, mientras trabajaba como ayudante de Robert Boyle, formuló lo que hoy se denomina Ley de Elasticidad de Hooke. Si se aplica esta ley a una masa que está sujeta a un muelle, estirándolo una longitud x de su posición de equilibrio, la ley de Hooke establece que el bloque estará entonces sujeto a una fuerza elástica de recuperación de la forma:
   ${\vec {F}}_{el}=-(kx){\vec {u}}_{x}$,
siendo k la constante elástica del muelle y x el desplazamiento sufrido respecto de su posición de equilibrio x=0. El signo menos de la ecuación refleja que la fuerza elástica es una fuerza restauradora que tiende siempre a llevar al sólido a su posición de equilibrio, en este caso x=0.

### Deducción de la energía potencial elástica

Si se coloca una masa m sujeta a un extremo del muelle y se separa una distancia x de su posición de equilibrio, x=0, este comenzará a oscilar con un movimiento armónico simple. En este movimiento el bloque posee una energía cinética y una energía potencial. Al ser la fuerza elástica que satisface la ley de Hooke una fuerza conservativa, se puede derivar la función energía potencial, bajo la acción de la fuerza elástica del muelle. Así, el trabajo realizado para estirar el muelle una distancia x desde su posición de equilibrio, oponiéndose a la fuerza del muelle es:
   $W=E_{p}(x)=\int _{0}^{x}-F_{x}{\text{d}}x=\int _{0}^{x}-(-kx){\text{d}}x={\frac {1}{2}}kx^{2}\qquad \qquad$
Este trabajo representa la energía potencial E$_p$ que tiene el bloque en la posición x. Para ello se ha convenido en asociar la E$_p$=0 a la posición x=0 (origen de la función potencial). Si ahora se calcula el trabajo para desplazar el bloque de una posición $x_{1}$ a otra $x_{2}$, se comprueba que este solo depende de las posiciones inicial y final:
   $W=E_{p}(x_{2})-E_{p}(x_{1})=\int _{x_{1}}^{x_{2}}-kx{\text{d}}x={\frac {1}{2}}k(x_{2}^{2}-x_{1}^{2})$
En la figura se puede observar la función energía potencial E$_p$(x) como una parábola centrada en x=0, función de la posición x. La recta de pendiente -k, es la fuerza elástica correspondiente ${\vec {F}}_{el}=-kx{\vec {u}}_{x}$. A la vez se representa la cantidad estirada del muelle en función de su posición x. Si con una fuerza F se produce un desplazamiento x, con la fuerza 2F el desplazamiento es también el doble, 2x. La parte negativa del eje x representa el desplazamiento de la masa cuando el muelle está comprimido.
* Curva de energía potencial elástica y fuerza correspondiente aplicado a la respuesta de una bola sujeta a un muelle

#### Propiedades de la curva de energía potencial

* Pendiente de la curva $E_{p}(x)$ :
$Fuerza:{\vec {F}}=-{\frac {dE_{p}}{dx}}\ {\vec {u_{x}}}=-kx{\vec {u_{x}}}$
Si $x>0$
    ${\frac {dE_{p}}{dx}}=kx>0\quad 'pendiente\quad positiva'$
Si $x<0$
    ${\frac {dE_{p}}{dx}}=kx<0\quad 'pendiente\quad negativa'$
* Punto de equilibrio:
    ${\frac {dE_{p}}{dx}}=kx=0\Rightarrow x=0$
    ${\frac {d^{2}E_{p}}{dx^{2}}}=k>0$ es un mínimo

## Energía potencial electrostática y potencial eléctrico

La variación de la energía potencial representa un trabajo realizado por una fuerza conservativa. Del mismo modo que la fuerza de atracción entre dos masas es conservativa, también la fuerza eléctrica o fuerza de Coulomb $F_{el}$ entre dos cargas en reposo es conservativa, siendo de repulsión si tienen el mismo signo y de atracción si son de signo opuesto. Los objetos que se repelen tienen mayor energía potencial cuanto menor es la distancia entre ellos, y si se atraen es mayor su energía potencial cuanto mayor es la distancia entre ellos, como veremos a continuación. Si las cargas tienen velocidades relativas importantes comparadas con velocidad de la luz, una situación descrita por la electrodinámica clásica, las fuerzas electromagnéticas no son conservativas y no existe un potencial electrostático bien definido y deben emplearse los potenciales de Liénard-Wiechert.
El trabajo de una fuerza conservativa es igual a la diferencia entre el valor inicial y el valor final de una función, la energía potencial, dado que solamente dependerá de las posiciones inicial y final y no de la trayectoria seguida. Las fuerzas electrostáticas originadas por cargas eléctricas son conservativas y el trabajo realizado por estas fuerzas no dependerá de la trayectoria seguida:
   $W=\int _{A}^{B}{\vec {F}}_{el}\cdot d{\vec {l}}=E_{pA}-E_{pB}\,\!$
siendo $E_{p}$ la función energía potencial y $E_{pA}$ y $E_{pB}$ los valores de la energía potencial en las posiciones A y B.
Para calcular el trabajo $W$ debido a la fuerza eléctrica o electrostática, $F_{el}$:
   ${\overrightarrow {F}}_{el}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r^{2}}}{\overrightarrow {u}}=q{\overrightarrow {E}}$
Para trasladar la carga $q$ de la posición A a la B se necesita primero expresar el trabajo infinitesimal $dW$ como el producto escalar del vector fuerza ${\vec {F}}_{el}$ por el vector desplazamiento ${\vec {dl}}$ tangente a la trayectoria. Además, la fuerza eléctrica sobre la carga q es ${\vec {F}}_{el}=q{\vec {E}}$, siendo ${\vec {E}}$ el campo eléctrico debido a la carga Q. De este modo, el trabajo elemental $dW$ se puede escribir:
$dW={\vec {F}}_{el}\cdot {\vec {dl}}=F_{e}dlcos\theta =F_{e}dr=qEdr$
siendo dr es el desplazamiento infinitesimal de la carga q en la dirección radial desde Q y la constante $\varepsilon _{0}$ representa la permitividad eléctrica del vacío.
Así, el trabajo $W$ debido a la fuerza eléctrica entre las cargas Q y q se puede considerar como el realizado por el campo eléctrico E creado por la carga Q para trasladar la carga q, desde una posición A a otra B, una vez que se ha expresado la fuerza eléctrica en función del campo eléctrico creado por una de ellas, en este caso Q. Y será, entonces:
$W=\int _{A}^{B}{\vec {F}}_{el}\cdot d{\vec {l}}=\int _{A}^{B}q{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=\int _{A}^{B}{\frac {Qq}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}dr=-\left\lbrack {\frac {Qq}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\right\rbrack _{A}^{B}={\frac {Qq}{4\pi \varepsilon _{0}r_{A}}}-{\frac {Qq}{4\pi \varepsilon _{0}r_{B}}}$
El trabajo W debido a la fuerza electrostática no depende del camino seguido por la carga q para ir desde la posición A a la posición B, ya que solo depende de las posiciones inicial ra y final rb. Esto se debe a que la fuerza de repulsión Fel, que ejerce la carga fuente Q situada en el origen de coordenadas sobre la carga q, es conservativa. Es más, este trabajo realizado por la fuerza electrostática es la diferencia de los valores que adquiere una función entre las posiciones de partida y llegada. Esta función es, precisamente la energía potencial para la fuerza y el campo eléctrico y se escribe como:
$E_{p}(r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r}}$
La fuerza electrostática que da origen a la energía potencial entre las dos cargas es de carácter repulsivo si las cargas Q y q son del mismo signo (como en el caso indicado). La energía potencial será, por tanto, una función decreciente con r siguiendo la función .$+1/r$ Si las cargas fueran de signo opuesto la energía potencial sería negativa, siguiendo la función $+1/r$ y la fuerza electrostática de carácter atractivo. Esta dualidad, en el carácter repulsivo o atractivo de la fuerza electrostática y del diferente signo de la energía potencial y del potencial (por extensión), es una propiedad intrínseca a la interacción eléctrica, que no posee otro tipo de campos o de fuerzas como, por ejemplo, la fuerza de gravitación.
Si se utilizan las funciones energía potencial y potencial es necesario establecer un origen de potenciales como referencia de nivel cero para dichas funciones. Considerando cargas puntuales, el valor cero de energía potencial se establece en el infinito (donde la energía potencial y el potencial se anulan), o sea para $r=\infty$, $E_{p}=0$ quedando definida la función energía potencial para todos los puntos del espacio, sin necesidad de ninguna constante adicional. Habitualmente se utilizan diferencias de energía potencial (o de potencial) y, por tanto, el trabajo realizado por la fuerza conservativa, no dependerá del origen de potenciales.
Para definir de manera natural el potencial eléctrico a partir de la energía potencial electrostática, se considera la energía potencial de la carga Q y la carga q= +1 Coul separadas una distancia r cuando el campo eléctrico E lo crea la carga fuente Q. De esta forma, se obtendrá el potencial V creado por la carga Q y que representa, a su vez, la energía potencial referida a la unidad de carga positiva. Por tanto, basta con dividir la energía potencial, Ep (r) por la carga q, que se sitúa a una distancia r de la carga fuente Q, para obtener el potencial eléctrico creado por Q a una distancia r:
$V(r)={\frac {E_{p}(r)}{q}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}}\qquad \qquad [1]$
estando la carga fuente Q en el origen de coordenadas. El potencial eléctrico tiene el mismo comportamiento con la distancia r que la energía potencial eléctrica.
El hecho de que la fuerza electrostática sea conservativa significa que la energía cinética más la energía potencial asociada a la partícula de carga q y de masa m es una constante, es decir, su energía total E permanece constante para cualquier posición r adoptada por la partícula dentro de la región donde aparece el campo creado por Q:
$E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r}}+{\frac {mv^{2}}{2}}=constante$

### Potencial debido a un sistema de cargas puntuales

Se puede calcular el potencial en un punto P debido a la presencia de un sistema de n cargas puntuales por medio de la superposición del creado por cada carga, sobre una dada, de manera independiente del resto. El potencial es una magnitud escalar a la que se puede aplicar el principio de superposición por ser lineales las ecuaciones de la electrostática.
* El potencial creado por una carga $q$ a una distancia r viene dado por
$V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r}}$
* El potencial creado por varias cargas $q_{1},q_{2},q_{3},...q_{i}$ en un punto P que distan $r_{1},r_{2},r_{3},...r_{i}$ de cada centro de carga respectivamente, será la superposición de los potenciales que crean cada una de las cargas, por separado, en dicho punto
$V=V_{1}+V_{2}+V_{3}+...+V_{i}=\sum _{i}^{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{i}}{r_{i}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i}^{\frac {q_{i}}{r_{i}}}$
El potencial debido a una distribución continua de carga se puede calcular transformando la última expresión. Las cargas puntuales pasan a ser elementos de carga infinitesimales dq y la suma pasa a ser una integral
$V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {dq}{r}}$
Esta expresión supone que V=0 a una distancia infinita de distribución. No puede, por tanto, utilizarse para obtener el potencial creado por las distribuciones indefinidas de carga como pueden ser la distribución lineal de carga indefinida o el plano indefinido de carga. En toda región del espacio donde existe un campo eléctrico, existe también una energía potencial electrostática expresable como
$E_{p}={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int {\vec {E}}^{2}dV\qquad \qquad [2]$
extendida al volumen del espacio donde reside el campo eléctrico. Y siendo ${\vec {E}}^{2}={\vec {E}}.{\vec {E}}=E^{2}$ (definición de producto escalar de dos vectores).

### Superficies equipotenciales

Una forma práctica de visualizar en el espacio la energía potencial o el potencial consiste en utilizar la representación gráfica de las superficies equipotenciales o superficies de igual potencial. La definición matemática de superficie equipotencial aplicado a la energía potencial es:
$E_{p}=cte$
Una superficie equipotencial representa el lugar geométrico de todos los puntos del espacio que presentan el mismo valor de potencial y, por tanto, la misma energía potencial. Para una carga puntual, las superficies equipotenciales son esferas concéntricas en cuyo centro está la carga. Por otro lado, las líneas de campo son radiales y perpendiculares a las superficies esféricas. Para un campo eléctrico uniforme las superficies equipotenciales son planos paralelos entre sí y perpendiculares a las líneas de campo.
Si una carga eléctrica que se desplaza a lo largo de una superficie equipotencial no experimenta cambios de energía potencial, ni por tanto, del potencial. Es decir,
$dV={\vec {E}}.d{\vec {l}}=0$
Algunas propiedades de las superficies equipotenciales son:
* Las líneas de campo eléctrico son, en cada punto, perpendiculares a las superficies equipotenciales con sentido hacia los potenciales decrecientes.
* El trabajo para desplazar una carga entre dos puntos de una misma superficie equipotencial es nulo.
* Dos superficies equipotenciales no se pueden cortar.
Cuando la representación geométrica de los potenciales se realiza en el plano, en lugar de superficies equipotenciales aparecen líneas equipotenciales. Ahora las líneas de campo eléctrico serán perpendiculares a las líneas equipotenciales.
| 1.- Líneas de campo y líneas equipotenciales (LE) creadas por una carga positiva. Las (LE) son circunferencias; en tres dimensiones son superficies esféricas | 2.- Líneas de campo y líneas equipotenciales (LE) creadas por un campo uniforme. Las (LE) son líneas rectas; en tres dimensiones son planos | 3.- Líneas de campo y líneas equipotenciales (LE) creadas por un dipolo eléctrico. En tres dimensiones las (LE) forman superficies equipotenciales |

### Aplicaciones

Algunas aplicaciones de la energía potencial en el campo de la electrostática son:

#### Los condensadores

Un condensador es un dispositivo que almacena la energía en forma de energía potencial electrostática en su interior. Para almacenar la carga eléctrica, creadora del campo eléctrico, utiliza dos superficies conductoras en forma generalmente de láminas o placas separadas por un material dieléctrico (aislante). Estas placas son las que se cargarán eléctricamente cuando se conecte a una fuente de alimentación. Las dos placas se cargarán con la misma cantidad de carga (q) pero con distintos signos, siendo la magnitud de la carga proporcional a la diferencia de potencial aplicada. La constante de proporcionalidad entre la carga adquirida por el condensador y la diferencia de potencial alcanzado entre las dos placas se conoce como capacidad del condensador:
$C={\frac {q}{V}}$
Donde $q$ es la carga de una de las placas y $V$ la diferencia de potencial entre ellas.
Un condensador cargado con una carga $q$ y aislado, representa un sistema que mantiene un campo eléctrico $E$ en su interior y, por tanto, almacena, en los lugares donde está presente el campo, una energía electrostática de origen 'potencial'. La expresión de esta energía potencial electrostática se puede representar en tres formas directas equivalentes. En dos de ellas aparece directamente la expresión de la diferencia de potencial $V$ entre sus armaduras:
$E_{p}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\int E^{2}dV={\frac {1}{2}}qV={\frac {1}{2}}{\frac {q^{2}}{C}}={\frac {1}{2}}CV^{2}$
Las aplicaciones de los condensadores son numerosas en el campo de la electrónica y por tanto, también lo son para los electrodomésticos de consumo. En las aplicaciones tecnológicas de hoy en día están presentes en los dispositivos multimedia como ordenadores, teléfonos móviles, reproductores de vídeo y de sonido, etc. En estas aplicaciones de la tecnología actual, los condensadores son capaces de almacenar una energía potencial electrostática durante breves espacios de tiempo y con valores no excesivamente elevados.

#### El generador de Van de Graaff

En 1931 Van de Graaff construyó el mayor generador electrostático del mundo con el propósito de producir una diferencia de potencial muy alta (del orden de 20 millones de voltios) y poder acelerar partículas cargadas que se hacían chocar contra blancos fijos. Los resultados de las colisiones permitían informar sobre las características de los núcleos atómicos del material que constituye el blanco.
Un generador Van de Graaff consta de:
* Un generador inferior que suministra cargas positivas al dispositivo de Van de Graff y cuyo polo negativo hace el papel de tierra del dispositivo.
* Dos poleas, una inferior dotada de un motor de accionamiento, y una superior con una correa de material aislante ajustada a las dos poleas para transmitir el movimiento de la polea inferior a la superior.
* Un gran cilindro hueco de material aislante que contiene el mencionado sistema mecánico.
* Una gran esfera metálica superior hueca acoplada al cilindro hueco.
* Dos peines metálicos de cerdas muy finas destinados a transmitir las cargas desde el generador inferior hasta la esfera metálica hueca del dispositivo de van de Graaff. El primero está enfrentado a la correa a nivel de la polea inferior y está conectado eléctricamente al polo positivo del generador inferior. El segundo está enfrentado a la correa a nivel de la polea superior. El peine metálico superior está conectado eléctricamente al interior de la esfera metálica hueca.

##### Funcionamiento del generador de Van de Graff

* Se pone en marcha el motor que mueve la polea inferior, arrastra en su movimiento a la correa y transmite el movimiento a la polea superior.
* El generador inferior suministra cargas positivas al peine inferior. Con ellas se crea un campo eléctrico elevado en las puntas del peine. Por el poder de las puntas del peine inferior, las cargas positivas son depositadas en la superficie exterior de la polea.
* Las cargas depositadas sobre la correa viajan hasta la polea superior.
* Las cargas positivas que llegan a la altura del peine superior crean un campo eléctrico elevado en las puntas del peine superior. Por el poder de las puntas del peine superior las cargas positivas de la correa son capturadas por el peine y llevadas a la gran esfera metálica.
* Las cargas pasan a la cara externa de la esfera metálica superior.
* El proceso es continuo de forma que en la esfera superior se llega a acumular una enorme cantidad de carga eléctrica positiva. Entre el electrodo de tierra del generador inferior y la esfera metálica superior se crea una diferencia de potencial de varios millones de voltios, lo cual constituye el objetivo del Van de Graff.
* Si se conecta una esfera de prueba a la tierra inferior mediante un cable y se aproxima a la esfera metálica superior, debido a la gran diferencia de potencial existente entre ambas esferas se producirá una gran descarga eléctrica. Como alternativa, en el generador inferior se puede invertir la polaridad, poniendo el electrodo positivo a tierra y el negativo conectado al peine inferior. En estas condiciones las polaridades y las cargas se invierten: la correa arrastra las cargas negativas depositadas por el peine inferior, el peine superior retira las cargas negativas de la correa, la esfera superior adquiere una gran carga negativa y, por tanto, un potencial negativo muy elevado respecto a la tierra.

##### Aplicaciones del generador Van de Graaff

La gran diferencia de potencial creada por el generador entre la esfera superior y la tierra inferior se emplea para acelerar partículas cargadas. Las partículas cargadas se producen en una fuente, recorren un tubo acelerador vertical, colocado no lejos de la cinta, e impactan sobre una muestra que hace de blanco. Según se utilice una u otra alternativa se podrán acelerar iones negativos o iones positivos. En resumen, la gran energía potencial electrostática acumulada en el Van de Graaff, de varios millones de electrón-voltios (1 electrón-voltio = 1.6×10$^{−19}$ J) se destina a suministrar una gran energía cinética a los iones del acelerador de partículas. El generador de Van de Graaff también se utiliza en Escuelas y Centros de Educación para hacer demostraciones sobre los efectos del alto potencial electrostático alcanzado en su esfera metálica.

## Energía potencial química

Es una forma de energía potencial relacionada con la organización estructural de los átomos o moléculas. Esta organización puede ser el resultado de enlaces químicos. La energía química de una sustancia puede ser transformada en otras formas de energía mediante una reacción química. Por ejemplo, cuando se quema un combustible la energía química se convierte en calor, de la misma forma que en el metabolismo de los alimentos en un organismo biológico. Los organismos fotoautótrofos pueden convertir energía solar en química mediante un proceso llamado fotosíntesis, y la eléctrica puede ser convertida en energía química mediante reacciones electro-químicas (por ejemplo una batería recargable).

## Energía potencial nuclear

En física nuclear, para desarrollar una teoría de la estabilidad del núlceo atómico, es necesario tener en cuenta tres observaciones. La primera es que el núcleo del átomo está constituido por protones y neutrones y que ambos conjuntamente son considerados como nucleones, dado que como tales nucleones le confieren al núcleo algunos de sus atributos, por ejemplo la existencia del número másico A. La segunda es que la resolución de la interacción a nivel de partículas debe llevarse a cabo empleando los procedimientos de la física cuántica, concretamente por aplicación de la ecuación de Schrödinger donde figura explícitamente la expresión de la energía potencial asociada al fenómeno de la interacción. La tercera es que para analizar la estructura del núcleo y de los nucleones hay que moverse dentro del margen de distancias y dimensiones de los femtometros (donde $1\ {\text{fm}}=10^{-15}\ {\text{m}}$).
En la estructura del núcleo intervienen dos tipos de fuerzas, las fuerzas electromagnéticas asociadas a las carga eléctricas de los protones y las fuerzas nucleares de origen cromodinámico. Las fuerzas eléctricas pueden ser aproximadas por un potencial electrostático. Sin embargo, las fuerzas nucleares si bien pueden ser aproximadas por el potencial de Yukawa para pares de nucleones, son más complicadas ya que en ellas también intervienen el espín de los nucleones y se ven afectadas por número relativo de protones y neutrones en un núcleo (un exceso de alguno de ellos produce inestabilidad, así como un número atómico elevado, ver radioactividad). Todos estos factores complican asociar una expresión aproximada de energía potencial a las fuerzas nucleares. Las características más sobresalientes a la hora de diseñar una energía potencial para el núcleo pueden ser las siguientes, si bien existen otras:
* Son fuerzas atractivas muy intensas de forma que superan en dos órdenes de magnitud la repulsión electrostática entre los protones.
* Actúan por igual entre los nucleones, sean estos protones o neutrones.
* Son de corto alcance de forma que un nucleón solo interacciona con sus vecinos inmediatos.
De todo ello se puede deducir que las fuerzas nucleares no acaban de encajar dentro del concepto de fuerzas conservativas. Sin embargo, dada la utilidad de la energía potencial y la necesidad de incorporarla a la ecuación de Schrödinger para resolver los problemas dentro de la física a nivel de partículas, se puede adoptar la existencia de la magnitud $E_{p}$ seleccionando también los márgenes de distancias donde pueda resultar factible esta hipótesis al introducir modelos prácticos.
Para las fuerzas nucleares, como para otras fuerzas, pueden construirse modelos analíticos, modelos empíricos, modelos gráficos o modelos mixtos. Las propiedades básicas de estas y, sobre todo, el buen funcionamiento de los modelos nucleares cuando se aplican a casos reales, determinarán su aceptación, su rechazo o bien establecerán los requerimientos necesarios para su optimización. Cada uno de los modelos establecidos para el núcleo sirve para justificar alguna de sus propiedades. No hay modelos que abarquen una descripción completa de toda la fenomenología nuclear.

### La barrera de potencial nuclear

Si se lanzan partículas cargadas positivamente (dotadas de una carga |ze| donde z representa el número de protones que posee la partícula cargada) contra una muestra formada por átomos de número atómico Z (los núcleos de los átomos poseerán la carga ($|Ze|$), estas tendrán que vencer una barrera de potencial para poder acceder al mismo. La barrera de potencial a franquear será de origen electrostático y se opondrá a la aproximación de las partículas cargadas.
Esta barrera de potencial se encontrará superpuesta a la energía potencial debida a las fuerzas nucleares que, en el caso de una gran aproximación, favorecerá la incorporación de la partícula al núcleo para crear una nueva configuración nuclear $((Z+z)e)$. El modelo de energía potencial asociado a las fuerzas nucleares atractivas consistirá así en un pozo rectangular de anchura $2R$, donde $R$ representa el radio del núcleo, y profundidad ${-U}_{0}$. El modelo de barrera asociado a la fuerza electrostática repulsiva será:
   $E_{p}(r)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {|ze||Ze|}{r}}$
La energía electrostática en la periferia del núcleo de radio $r=R$ caerá bruscamente hasta ${-U}_{0}$ al entrar en juego las fuerzas nucleares atractivas. Justo en el borde del núcleo la barrera electrostática pasará por su valor máximo:
   $E_{p}(r)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {|ze||Ze|}{R}}$
La existencia de esta barrera implica la necesidad de un aporte de energía cinética que sobrepase el valor anterior por parte de la partícula cargada impactante para poderla franquear y ser incorporada al núcleo. Para proporcionar una energía cinética a las partículas cargadas ze se acudirá a los aceleradores de partículas. Sin embargo, en virtud del efecto túnel, algunas partículas cargadas podrán atravesar la barrera de potencial tanto en sentido entrada al núcleo como en sentido salida del mismo, sin necesidad de ese aporte energético suplementario. Es el caso, por ejemplo, de la desintegración alfa.

### La energía potencial nuclear entre dos nucleones libres

Una primera hipótesis sobre la expresión de la energía potencial entre dos nucleones libres se debe a Yukawa:
   $E_{p}(r)={-E_{0}}r_{0}{\frac {e^{^{-r}/_{r_{0}}}}{r}}$
donde $r$ es la distancia entre los dos nucleones en interacción, $r_{0}$ representa una distancia característica representativa del "alcance" de la fuerza fuerza de interacción nuclear tal que
   $E_{0}=eE_{p}(r_{0})$
Esta expresión, si bien puede asociarse a la acción de las fuerzas nucleares, adolece de dos defectos. El primero es que al ser una fuerza atractiva muy intensa y que aumenta con la proximidad de los nucleones, se pensaría que podría llegar a colapsarlos. El segundo, que si bien los neutrones, una de las dos clases de nucleón, no exhiben ninguna carga eléctrica, los protones, la otra clase de nucleón, poseen una unidad de carga eléctrica elemental. Estos dos efectos no se toman en consideración, sin embargo, en la expresión de Yukawa.
El primer efecto fue analizado y resuelto inicialmente por Jastrow (1951). Para ello estudió las interacciones neutrón-protón y protón-protón que impactaban en el margen de las altas energías (del orden de centenares de MeV). Llegó a la conclusión de la existencia de una fuerza repulsiva que surge a partir de un radio algo inferior al radio asociado al nucleón. La fuerza repulsiva crece muy fuertemente al disminuir la distancia entre los dos nucleones en interacción. Este radio inferior determina la existencia de un núcleo esférico impenetrable que protege la integridad del nucleón, el llamado "núcleo duro". En términos de energía potencial, la fuerza repulsiva origina una energía potencial positiva pero de pendiente negativa que disminuye muy fuertemente con r y lo hace con una pendiente superior en valor absoluto a la correspondiente a la de la energía potencial de Yukawa, asociada a la fuerza nuclear atractiva.
Existen valoraciones sobre el tamaño del "núcleo duro". El radio de un nucleón puede estimarse en rc ≈ 0.7 fm. Por otro lado, y de acuerdo con Thakur, el radio del "núcleo duro" de un nucleón puede estimarse en rc ≈ 0.4 fm.
La superposición de los dos términos de energía potencial proporcionará una curva de energía potencial resultante análoga en términos cualitativos a la existente en la interacción entre dos átomos. En consecuencia, aparecerá un pozo de potencial que vendrá caracterizado por un mínimo. Su posición determinará la existencia de un radio efectivo del nucleón y una energía asociada a la profundidad del mismo. La composición de estos dos términos de energía potencial, la energía potencial nuclear y el "núcleo duro", originará una curva de energía potencial resultante aplicable a las interacciones entre dos neutrones o entre un protón y un neutrón.
El segundo efecto, es decir la existencia de una fuerza de interacción electromagnética, surge por la existencia de las cargas positivas del núcleo (protones) que será de naturaleza repulsiva entre ellos, también llamada potencial de Coulomb. Esta última, por tanto, se manifestará exclusivamente entre los protones pero no entre los neutrones o entre las parejas neutrón y protón. La energía potencial correspondiente a la interacción electromagnética entre dos protones situados a la distancia r valdrá
$E_{p}(r)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r}}$
y se incorporará a las contribuciones de la proporcionada por las fuerzas nucleares atractivas y al término repulsivo de Jastrow, para componer la expresión completa de la energía potencial que surge al estudiar la interacción entre los nucleones. En el caso de la interacción protón-protón, la energía potencial del proceso será la superposición de tres componentes de energía potencial, la debida a las fuerzas nucleares, la correspondiente al "núcleo duro" y la debida a la repulsión electrostática.