# Teoría diferencial de Galois

En matemáticas, la Teoría diferencial de Galois es la rama de la Teoría de cuerpos que estudia las extensiones de cuerpos diferenciales. Esta teoría permite determinar cuándo la primitiva de una función elemental puede (o no) ser expresada a partir de funciones elementales. Esta teoría está construida sobre la Teoría de cuerpos y más concretamente en la Teoría de Galois; mientras que la Teoría de Galois usual estudia las extensiones de un cuerpo algebraico, la Teoría diferencial de Galois estudia las extensiones de los cuerpos diferenciales, es decir, cuerpos equipados con un operador de derivación $D$.
Existen en el análisis funciones elementales tal que su primitiva no es una función elemental. El ejemplo quizás más conocido de una función de este tipo es $e^{-x^{2}}$, llamada función gaussiana o campana de Gauss, cuya primitiva es (salvo constantes) la función error, denotada usualmente ${\text{erf}}(x)$. La importancia y fama de estas funciones radica en que son de vital importancia en probabilidad y estadística. Otros ejemplos conocidos son la función sinc o seno cardinal, definida como ${\tfrac {\sin(x)}{x}}$; la función $x^{x}$ y la función ${\tfrac {e^{x}}{x}}$, cuya primitiva es conocida como la integral exponencial.
Cabe destacar que la noción de función elemental es tan sólo una convención. Usualmente se toman como funciones elementales los polinomios y las exponenciales, así como sus inversas y la suma, resta, multiplicación, división y composición de estas. Se puede decidir añadir, por ejemplo, la función error a la lista de funciones elementales y, con esta nueva lista, la primitiva de $e^{-x^{2}}$ sería trivialmente una función elemental. Aun así, no importa cuánto se extienda la lista de funciones elementales, siempre existirán funciones en la lista tales que sus primitivas no estarán en ella.
La mayor parte de la Teoría diferencial de Galois es, como hemos dicho, paralela a la Teoría de Galois. Una diferencia fundamental entre ambas construcciones es que los grupos de Galois en la teoría diferencial suelen ser grupos de Lie matriciales, mientras que en la Teoría de Galois, estos suelen ser finitos.

## Definiciones

Para cualquier cuerpo diferencial $F$, podemos definir el conjunto
    ${\text{Con}}(F)\triangleq \{f\in F\ |\ Df=0\}.$
el cual puede probarse que es un subcuerpo de $F$, y que llamamos el cuerpo constantes de $F$. Dados dos cuerpos diferenciales $K$ y $F$, decimos que $K$ es una extensión logarítmica de $F$ si $K$ es una extensión trascendente simple de $F$ tal que para todo $f\in K$ se cumple que
    $Df={\frac {Dg}{g}}$ para algún $g\in F$.
No es casualidad que esta fórmula se parezca a una derivada logarítmica; intuitivamente, esta propiedad puede verse como que $f$ es el logaritmo de algún elemento $g$ de $F$. Cabe aclarar que los elementos de $F$ no está necesariamente equipados con un único logaritmo en la extensión; se podrían añadir más extensiones «pseudo-logarítmicas» a $F$ . De forma similar, una extensión exponencial es una extensión trascendente simple que satisface que para todo $f\in K$ se tiene
    $Df=f\cdot Dg$ para algún $g\in F$.
De igual forma, este elemento puede verse como «la exponencial» de un elemento de $F$. Finalmente, se dice que $K$ es una extensión diferencial elemental de $F$ si existe una torre finita de cuerpos desde $F$ hasta $K$ donde cada extensión de la cadena es o bien algebraica, logarítmica o exponencial.

## Ejemplo

El ejemplo usual es el cuerpo $\mathbb {C} (x)$ de las funciones racionales (complejas) de una sola variable; que está equipado de forma natural con el operador $D$, que representa a la derivada habitual respecto de esa variable. Las constantes de este cuerpo son precisamente los números complejos $\mathbb {C}$.

## Teorema básico

Sean $F$ y $K$ dos cuerpos diferenciales tales que $K$ es una extensión diferencial elemental de $F$ y tales que ${\text{Con}}(K)={\text{Con}}(F)$. Sea $f\in F$ y $g\in K$ tal que $Dg=f$ (en palabras, $K$ contiene una primitiva de $f$). Entonces existen $c_{1},c_{2},...,c_{n}$ elementos de ${\text{Con}}(F)$ y $u_{1},u_{2},...,u_{n},v$ elementos de $F$ tal que
    $f=c_{1}{\frac {Du_{1}}{u_{1}}}+\dotsb +c_{n}{\frac {Du_{n}}{u_{n}}}+Dv.$
Es decir, las únicas funciones que tienen «primitivas elementales» (esto es, primitivas que pertenecen, en el peor de los casos, a una extensión diferencial elemental de $F$) son aquellas que se pueden escribir según esa expresión dada, semejante a una combinación lineal. De forma más intuitiva, el teorema establece que las únicas primitivas elementales son las «funciones simples» más un número finito de logaritmos de funciones «simples».