# Material ortótropo

Un material ortótropo u ortótropico es una material cuya microestructura local tiene dos o tres ejes ortogonales entre sí, de doble simetría rotacional, de forma que sus propiedades físicas son, en general, diferentes en las direcciones de cada uno de esos ejes. Por esta razón, los materiales ortótropos son anisótropos, ya que sus propiedades físicas dependerán de la dirección en que sean medidas. En cambio, un material isótropo exhibirá las mismas propiedades físicas en cualquier dirección. Los materiales transversalmente isótropos son un subtipo de material ortótropo.

## Ortotropía general en física
### Relaciones constitutivas para materiales anisótropicos

El comportamiento de los materiales se presenta en teorías físicas como relaciones constitutivas. Una gran cantidad de comportamientos físicos se pueden representar con modelos lineales de materiales que toman la forma de un tensor de segundo orden. El tensor material relaciona dos vectores y puede ser escrito como:
   $\mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot \mathbf {d}$
donde $\mathbf {d} ,\mathbf {f}$ son dos vectores que representan magnitudes físicas y ${\boldsymbol {K}}$ es el tensor material de segundo orden. Si se expresa la ecuación anterior en términos de componentes respecto de un sistema de coordenadas ortogonales resulta:
   $f_{i}=K_{ij}~d_{j}~.$
En la relación anterior se ha asumido la sumatoria sobre índices repetidos (notación de Einstein). En forma matricial se obtiene:
   ${\underline {\mathbf {f} }}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\mathbf {d} }}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}$
Ejemplos de problemas físicos que encajan en esta descripción están listados en la lista a continuación:
    Problema$\mathbf {f}$$\mathbf {d}$${\boldsymbol {K}}$ Conducción eléctricaCorriente eléctrica $\mathbf {J}$Campo eléctrico $\mathbf {E}$Conductividad eléctrica ${\boldsymbol {\sigma }}$ DieléctricosDensidad de flujo eléctrico $\mathbf {D}$Campo eléctrico $\mathbf {E}$Permitividad ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ MagnetismoInducción magnética $\mathbf {B}$Excitación magnética $\mathbf {H}$Permeabilidad magnética ${\boldsymbol {\mu }}$ Conducción de calorFlujo de calor $\mathbf {q}$Gradiente térmico $-{\boldsymbol {\nabla }}T$Conductividad térmica ${\boldsymbol {\kappa }}$ DifusiónFlujo de partículas $\mathbf {J}$Gradiente de concentración $-{\boldsymbol {\nabla }}c$Coeficiente de difusión ${\boldsymbol {D}}$ Mecánica de sólidostensión mecánica ${\boldsymbol {\sigma }}$Deformación ${\boldsymbol {\varepsilon }}$Relación Constitutiva ${\boldsymbol {K}}$ Flujo en medios porososVelocidad ponderada $\eta _{\mu }\mathbf {v}$Gradiente barométrico ${\boldsymbol {\nabla }}P$Permeabilidad ${\boldsymbol {\kappa }}$

### Condición para simetría del material

La matriz del material ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}$ tiene simetría respecto de una transformación ortogonal (${\boldsymbol {A}}$) si no cambia cuando se la somete a una transformación de ese tipo. Para la invarianza de las propiedades del material cuando se le aplica una transformación de tales características se requiere que:
   ${\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}$
Por lo tanto, la condición de simetría del material es (usando la definición de una transformación ortogonal)
   ${\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}$
Las transformaciones ortogonales se pueden representar en coordenadas cartesianas mediante una matriz ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ de $3\times 3$ dada por
   ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.$
Por lo tanto, la condición de simetría se puede escribir en forma matricial como
   ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$

### Propiedades materiales del ortótropo

Un material ortótropico tiene tres planos de simetría ortogonal. Si tomamos un sistema coordinado ortonormal de manera que los ejes coincidan con las normales por los tres planos de simetría, las matrices de transformación son:
    ${\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{1}}}}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$
Se puede ver que si la matriz ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}$ para un material es invariable ante la reflexión de dos planos ortogonales, entonces es también invariable ante la reflexión sobre un tercer plano ortogonal.
Teniendo en cuenta la reflexión ${\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}$ sobre el plano $1-2\,$ Entonces tenemos:
    ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&-K_{13}\\K_{21}&K_{22}&-K_{23}\\-K_{31}&-K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}$
La relación citada anteriormente implica que $K_{13}=K_{23}=K_{31}=K_{32}=0$. Tengamos ahora en cuenta una reflexión ${\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}$ sobre el plano $1-3\,$ Entonces tenemos:
    ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&-K_{12}&0\\-K_{21}&K_{22}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}$
Esto implica que $K_{12}=K_{21}=0$. Por lo tanto, las propiedades materiales de un material ortótropico están descritas por la matriz:
       ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{22}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}$

## Ortotropía en la elasticidad lineal
### Ejemplos en elasticidad

Un material elástico ortótropo (lineal y homogéneo) requiere en general especificar 9 constantes elásticas, mientras que un material transversalmente isótropo sólo requiere 5 y un material puramente isótropo únicamente requiere 2.
Un ejemplo común de un material ortótropico con dos ejes de simetría es un polímero reforzado por fibras de vidrio o carbono paralelas. La resistencia y rigidez de un material compuesto de estas características generalmente serán mayores en la dirección paralela a las fibras respecto de la dirección transversal. Otro ejemplo es una membrana biológica, en la cual las propiedades en el plano de la membrana son diferentes a aquellas en la dirección perpendicular. Estos materiales son llamados a veces transversalmente isótropicos. Un ejemplo familiar de un material ortótropico con tres ejes mutuamente perpendiculares es la madera, en la que las propiedades (tales como resistencia y rigidez) a lo largo de sus fibras y en cada una de dos direcciones perpendiculares son diferentes. La ecuación de Hankinson provee una forma de cuantificar la diferencia en resistencia entre las diferentes direcciones. Otro ejemplo es un metal que ha sido laminado para producir una lámina. En él, las propiedades en la dirección de laminado y en cada una de las dos direcciones transversales serán diferentes debido a la estructura anisotrópica que se produce durante el laminado.
Es importante recordar que un material que es anisotrópico en una escala de medida puede ser isotrópico en otra, en general, mayor. Por ejemplo, la mayoría de los metales son policristalinos con granos muy pequeños. Cada uno de los granos individuales puede ser anisotrópico, pero el material como globalmente está formado por granos de orientación al azar, por lo que sus propiedades mecánicas medidas serán un promedio de las propiedades en todas las posibles orientaciones de los granos individuales.

### Elasticidad anisótropica

En la elasticidad lineal, la relación entre tensión y deformación dependen del tipo de material en consideración. Esta relación es conocida como Ley de Hooke. Para materiales anisótropicos lineales, la Ley de Hooke puede ser escrita como:
    ${\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}$
En donde ${\boldsymbol {\sigma }}$ es el tensor de la tensión, ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ es el tensor del esfuerzo, y ${\mathsf {c}}$ es el tensor de fuerza elástico. Si los tensores de las expresiones anteriormente citadas están descritos en términos de componentes con respecto a un sistema ortonormal coordinado podemos escribir:
    $\sigma _{ij}=c_{ijk\ell }~\varepsilon _{k\ell }$
En donde la suma se ha asumido sobre índices repetidos (convenio de la suma de Einstein). Desde que la tensión y el esfuerzo son simétricos, y desde que la relación de tensión-esfuerzo en elasticidad lineal puede ser derivada desde una función de esfuerzo de densidad energética, Las siguientes simetrías se mantienen por materiales elásticos lineales.
    $c_{ijk\ell }=c_{jik\ell }~,~~c_{ijk\ell }=c_{ij\ell k}~,~~c_{ijk\ell }=c_{k\ell ij}~.$
Debido a las simetrías citadas anteriormente, la relación de tensión-esfuerzo en elasticidad lineal puede ser expresada en forma matriz como:
    ${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$
Una representación alternativa en Notación Voigt es:
    ${\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}$
o también
    ${\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}$
La matriz de fuerza ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}$ en la relación anterior satisface el punto de simetría.

### Condición para materiales simétricos

La matriz de fuerza ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}$ satisface una simetría de condición dada si no se cambia cuando está sometida a la transformación ortogonal correspondiente. La transformación ortogonal podría representar simetría con respecto a un punto, un eje, o un plano. Las transformaciones ortogonales en elasticidad lineal incluyen rotaciones y reflexiones, pero no cambios de transformación en la forma y pueden ser representadas en coordinadas ortonormales, dadas por la matriz $3\times 3$ ${\underline {\underline {\mathbf {A} }}}$ dada por:
    ${\underline {\underline {\mathbf {A} }}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.$
En Notación Voigt, la transformación de la matriz para el tensor de fuerza puede ser expresada como una matriz: $6\times 6$ dada por ${\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}$
    ${\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&2A_{12}A_{13}&2A_{11}A_{13}&2A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&2A_{22}A_{23}&2A_{21}A_{23}&2A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&2A_{32}A_{33}&2A_{31}A_{33}&2A_{31}A_{32}\\A_{21}A_{31}&A_{22}A_{32}&A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\A_{11}A_{31}&A_{12}A_{32}&A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\A_{11}A_{21}&A_{12}A_{22}&A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}$
La transformación para el tensor de esfuerzo tiene una ligera forma diferente debido a la elección de notación. Esta transformación de matriz es:
    ${\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&A_{12}A_{13}&A_{11}A_{13}&A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&A_{22}A_{23}&A_{21}A_{23}&A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&A_{32}A_{33}&A_{31}A_{33}&A_{31}A_{32}\\2A_{21}A_{31}&2A_{22}A_{32}&2A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\2A_{11}A_{31}&2A_{12}A_{32}&2A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\2A_{11}A_{21}&2A_{12}A_{22}&2A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}$
Se puede mostrar que: ${\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}^{-1}$.
   Las propiedades elásticas de un continuo son invariables ante una transformación ${\underline {\underline {\mathbf {A} }}}$ si y sólo si:
       ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}$

### Matrices de rigidez y flexibilidad para materiales ortótropicos

Para un material elástico ortótropico existen tres planos de simetría ortogonales entre sí. Por esa razón, puede escogerse una base ortonormal, de tal manera que cada uno de los vectores que forman dicha base sea el vector normal a uno de los planos de simetría, las matrices de transformación serían:
   ${\underline {\underline {\mathbf {A} _{1}}}}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {\mathbf {A} _{2}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {\mathbf {A} _{3}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$
Se puede demostrar que si la matriz ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}$ para un material elástico es invariante frente a una reflexión respecto de dos planos ortogonales, entonces también es invariante frente a una reflexión respecto del tercer plano ortogonal. Si consideraramos otra reflexión ${\underline {\underline {\mathbf {A} _{3}}}}$ respecto del plano $1-2$ entonces tendríamos:
   ${\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}$
La necesidad de que ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}$ implica que:
   ${\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&-C_{14}&-C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&-C_{24}&-C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&-C_{34}&-C_{35}&C_{36}\\-C_{14}&-C_{24}&-C_{34}&C_{44}&C_{45}&-C_{46}\\-C_{15}&-C_{25}&-C_{35}&C_{45}&C_{55}&-C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&-C_{46}&-C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}$
Esto se puede cumplir únicamente si:
    $C_{14}=C_{15}=C_{24}=C_{25}=C_{34}=C_{35}=C_{46}=C_{56}=0~.$
Consideremos ahora la reflexión ${\underline {\underline {\mathbf {A} _{2}}}}$ respecto del plano $1-3$. En este caso:
   ${\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&-1\end{bmatrix}}$
Usando de nuevo la condición de invarianza, se obtiene un requerimiento adicional:
    $C_{16}=C_{26}=C_{36}=C_{45}=0$
No se puede obtener información adicional porque la reflexión respecto del tercer plano de simetría no es independiente de las reflexiones respecto de los plano que ya hemos considerado. Por lo tanto, la matriz de rigidez o tensor de constantes elásticas de un material elástico ortótropo lineal puede ser escrita como:
   ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}$
La inversa de esta matriz de rigidez, denominada matriz de flexibilidad o matriz de docilidad, generalmente se escribe como:
   ${\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {1}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {12}}}{E_{\rm {1}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {13}}}{E_{\rm {1}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {21}}}{E_{\rm {2}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {2}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {23}}}{E_{\rm {2}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {31}}}{E_{\rm {3}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {32}}}{E_{\rm {3}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {23}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {31}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {12}}}}\\\end{bmatrix}}$
donde ${E}_{\rm {i}}\,$ es el módulo de Young a lo largo del eje $i$, $G_{\rm {ij}}\,$ es el módulo de corte en la dirección $j$ en el plano cuya normal está en la dirección $i$, y $\nu _{\rm {ij}}\,$ es el coeficiente de Poisson que corresponde a una contracción en la dirección $j$ cuando se aplica una elongación en la dirección $i$.
Usando las constantes que aparecen en esa última matriz, la matriz de rigidez o matriz de constantes elásticas ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}$ se puede escribir explícitamente como:
   ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{pmatrix}(1-\nu _{23}\nu _{32})E_{1}&(\nu _{12}+\nu _{13}\nu _{32})E_{2}&(\nu _{13}+\nu _{12}\nu _{23})E_{3}&0&0&0\\(\nu _{21}+\nu _{23}\nu _{31})E_{1}&(1-\nu _{31}\nu _{13})E_{2}&(\nu _{23}+\nu _{21}\nu _{13})E_{3}&0&0&0\\(\nu _{31}+\nu _{32}\nu _{21})E_{1}&(\nu _{32}+\nu _{31}\nu _{12})E_{2}&(1-\nu _{12}\nu _{21})E_{3}&0&0&0\\0&0&0&G_{12}&0&0\\0&0&0&0&G_{31}&0\\0&0&0&0&0&G_{23}\end{pmatrix}}$
Además la magnitud $\Delta$ viene dada por la relación:
    $\Delta :=1-\nu _{12}\nu _{21}-\nu _{13}\nu _{31}-\nu _{23}\nu _{32}-\nu _{13}\nu _{32}\nu _{21}-\nu _{31}\nu _{12}\nu _{23}$

### Cotas para los módulos elásticos en materiales ortótropos

La relación deformación-tensión para un material lineal isótropo se puede escribir usando la notación de Voigt como:
   ${\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {S}}:{\boldsymbol {\sigma }}$
donde la matriz de flexibilidad ${\underline {\underline {\mathsf {S}}}}$ viene dada por:
   ${\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&0&0&0\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&0&0&0\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&0&0&0\\0&0&0&S_{44}&0&0\\0&0&0&0&S_{55}&0\\0&0&0&0&0&S_{66}\end{bmatrix}}$
La matriz de complianza es una matriz simétrica y debe ser definida positiva para que la función de densidad de energía de deformación sea positiva. Esto implica a partir del criterio de Sylvester que todos los menores principales de la matriz son positivos, es decir:: $\Delta _{k}:=\det({\underline {\underline {{\mathsf {S}}_{k}}}})>0$ donde ${\underline {\underline {{\mathsf {S}}_{k}}}}$ es la submatriz principal de $k\times k$ de ${\underline {\underline {\mathsf {S}}}}$.
Entonces: ${\begin{aligned}\Delta _{1}>0&\implies \quad S_{11}>0\\\Delta _{2}>0&\implies \quad S_{11}S_{22}-S_{12}^{2}>0\\\Delta _{3}>0&\implies \quad (S_{11}S_{22}-S_{12}^{2})S_{33}-S_{11}S_{23}^{2}+2S_{12}S_{23}S_{13}-S_{22}S_{13}^{2}>0\\\Delta _{4}>0&\implies \quad S_{44}\Delta _{3}>0\implies S_{44}>0\\\Delta _{5}>0&\implies \quad S_{44}S_{55}\Delta _{3}>0\implies S_{55}>0\\\Delta _{6}>0&\implies \quad S_{44}S_{55}S_{66}\Delta _{3}>0\implies S_{66}>0\end{aligned}}$ Se puede demostrar que este conjunto de condiciones implica que: $S_{11}>0~,~~S_{22}>0~,~~S_{33}>0~,~~S_{44}>0~,~~S_{55}>0~,~~S_{66}>0$ o: $E_{1}>0,E_{2}>0,E_{3}>0,G_{12}>0,G_{23}>0,G_{13}>0$ Sin embargo, no se pueden establecer cotas inferiores similares para los valores de los coeficientes de Poisson $\nu _{ij}$.