# Módulo dinámico (viscoelasticidad)

En viscoelasticidad, el módulo dinámico o módulo complejo) es una función que define la relación entre la tensión y la deformación en condiciones vibratorias u oscilatorias. Usualmente, se calcula a partir de los datos obtenidos en ensayos de vibración libre o forzada, en cizalladura, compresión o alargamiento. Es una propiedad de los materiales viscoelásticos lineales.

## Retardo de fase de la tensión frente a la deformación viscoelásticas

La viscoelasticidad lineal emplea un tipo de análisis dinámico para analizar el efecto de una fuerza oscilante, que porduce tensiones en un material, y se mide el desplazamiento resultante, de donde se deduce igualmente la deformación.
* En los materiales puramente elástica la tensión y la deformación se producen en fase, de modo que la respuesta de una se produce simultáneamente con la otra.
* En los materiales puramente viscosos, existe una diferencia de fase entre la tensión y la deformación, en la que la deformación se retrasa con respecto a la tensión en un desfase de 90 grados ($\pi /2$).
* Los materiales viscoelásticos tienen un comportamiento intermedio entre los materiales puramente viscosos y los puramente elásticos, y presentan cierto desfase en la deformación.
La tensión y la deformación en un material viscoelástico sometido a una solicitación cíclica pueden representarse mediante las siguientes expresiones:
* Deformación: $\varepsilon =\varepsilon _{0}\sin(\omega t)$
* Esfuerzo: $\sigma =\sigma _{0}\sin(\omega t+\delta )\,$
donde
    $\omega =2\pi f$ donde $f$ es la frecuencia de oscilación de la deformación,
    $t$ es el tiempo,
    $\delta$ es el desfase entre la tensión y la deformación.
El módulo de relajación de tensiones $G\left(t\right)$ es la relación de la tensión restante en el tiempo $t$ después de que se haya aplicado una tensión escalonada $\varepsilon$ en el tiempo $t=0$:
   $G\left(t\right)={\frac {\sigma \left(t\right)}{\varepsilon _{0}}}$
que es una generalización dependiente del tiempo de la ley de Hooke para el comportamiento elástico. Para los sólidos viscoelásticos, $G\left(t\right)$ converge al módulo de corte de equilibrio$G$:
   $G=\lim _{t\to \infty }G(t)$
La transformada de Fourier del módulo de relajación en cizalladura $G(t)$ es ${\hat {G}}(\omega )={\hat {G}}'(\omega )+i{\hat {G}}''(\omega )$.

### Módulos de almacenaje y de pérdida

Los módulos de almacenaje y de pérdida en materiales viscoelásticos miden la energía almacenada, que representa la parte elástica, y la energía disipada en forma de calor, que representa la parte viscosa. Los módulos de almacenaje y de pérdida en tracción se definen como sigue:
* Almacenaje: $E'={\frac {\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}}}\cos \delta$
* Pérdida: $E''={\frac {\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}}}\sin \delta$
De forma similar, también se definen los módulos de almacenaje y pérdida por cizallamiento, $G'$ y $G''$.
Se pueden utilizar variables complejas para expresar matemáticamente los módulos anteriores, en particular se definen los módulos complejos $E^{*}$ y $G^{*}$ de la siguiente manera:
    $E^{*}=E'+iE''$
    $G^{*}=G'+iG''$
donde $i={\sqrt {-1}}$ es la unidad imaginaria.

### Cociente entre el módulo de pérdida y el de almacenaje

El cociente entre el módulo de pérdida y el módulo de almacenaje en un material viscoelástico se define como $\tan \delta$ y proporciona una medida del amortiguamiento en el material. $\tan \delta$ también puede visualizarse como la tangente del ángulo de fase ($\delta$) entre el módulo de almacenaje y el módulo de pérdida.
    Tracción: $\tan \delta ={\frac {E''}{E'}}$
    Cizalladura: $\tan \delta ={\frac {G''}{G'}}$
Para un material con un $\tan \delta$ mayor que 1, prevalece la componente viscosa de disipación de energía del módulo complejo.