# Diofanto de Alejandría

Diofanto de Alejandría (en griego antiguo: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς, Dióphantos ho Alexandreús) fue un matemático griego que vivió en el siglo III, considerado "el padre del álgebra".
Fue el autor de una serie de libros llamados Arithmetica, muchos de los cuales ahora se han perdido. Sus textos tratan sobre la resolución de ecuaciones algebraicas. La ecuación diofántica ("geometría diofántica") y la aproximación diofántica son áreas importantes de la investigación matemática. Diofanto acuñó el término παρισότης (parisotes) para referirse a una igualdad aproximada. Este término se tradujo como "adaequalitas" en latín, y se convirtió en la técnica de adecuación desarrollada por Pierre de Fermat para encontrar máximos para funciones y líneas tangentes a curvas. Diofanto fue el primer griego matemático que reconoció las fracciones como números; así permitió los números racionales positivos para los coeficientes y soluciones. En el uso moderno, las ecuaciones diofánticas suelen ser ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros, para las que se buscan soluciones enteras.

## Vida

Nacido en Alejandría, de él nada se conoce con seguridad sobre su vida, salvo la edad de su muerte; esto, gracias al epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega.
    ${\frac {x}{6}}+{\frac {x}{12}}+{\frac {x}{7}}+5+{\frac {x}{2}}+4=x$ donde la incógnita $x$ representa la edad que le cupo vivir a Diofanto.
Según esto, Diofanto falleció a la edad de 84 años. Se ignora, sin embargo, en qué siglo vivió. Diofanto dedica su Aritmética a un tal Dionisio, acerca del que el historiador francés Paul Tannery (1843-1904) ha sugerido que podría tratarse de un obispo de Alejandría que vivió en el siglo III. Por otra parte, si fuera el mismo astrónomo Diofanto que citó Hipatia (fallecida en 415), habría fallecido antes del siglo V; pero si se tratase de personas distintas, cabe conjeturar que habría vivido a finales de dicho siglo, ya que ni Proclo ni Papo lo citan, lo que resulta difícil de entender tratándose de un matemático que pasa por ser el inventor occidental del álgebra.

## Arithmetica

Este matemático alejandrino debe su renombre a su obra Arithmetica. Este libro, que constaba de trece libros, de los que solo se han hallado seis, fue publicado por Guilielmus Xylander en 1575 a partir de unos manuscritos de la universidad de Wittenberg, añadiendo el editor un manuscrito sobre números poligonales, fragmento de otro tratado del mismo autor. Los libros que faltan parece que se perdieron tempranamente, ya que no hay razones para suponer que los traductores y comentaristas árabes dispusieran de otros manuscritos además de los que aún se conservan.
En esta obra Diofanto realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional (ecuaciones diofánticas), aunque no es una obra de carácter teórico, sino una colección de problemas, adecuados para soluciones enteras. Importante fue también su contribución en el campo de la notación; si bien los símbolos empleados por Diofanto no son como los concebimos actualmente, introdujo importantes novedades como el empleo de un símbolo único para la variable desconocida (στ) y para la sustracción, aunque conservó las abreviaturas para las potencias de la incógnita (δς para el cuadrado, δδς para el duplo del cuadrado, χς para el cubo, δχς para la quinta potencia, etc.). En su época, el concepto de números poligonales se extendió a los números espaciales, representados por familias de ortoedros, números piramidales.
En 1621 vio la luz una edición comentada de Bachet de Méziriac, edición reimpresa con posterioridad en 1670 por el hijo de Pierre de Fermat incluyendo los comentarios que el célebre matemático francés había realizado en los márgenes de un ejemplar de la edición de Bachet que poseía.

### Notas al margen de Fermat y Cortasmeno

La edición de 1621 de la Arithmetica de Bachet ganó fama después de que Pierre de Fermat escribiera su famoso "Último Teorema" en los márgenes de su ejemplar:
    "Si un número entero n es mayor que 2, entonces a$^n$ + b$^n$ = c$^n$ no tiene soluciones en enteros distintos de cero a, b, y c. Tengo una prueba verdaderamente maravillosa de esta proposición que este margen es demasiado estrecho para contener."
La prueba de Fermat nunca se encontró, y el problema de encontrar una prueba para el teorema permaneció sin resolver durante siglos. Finalmente, en 1994, Andrew Wiles encontró una prueba después de trabajar en ella durante siete años. Se cree que Fermat no tenía realmente la prueba que decía tener. Aunque la copia original en la que Fermat escribió esto se ha perdido, el hijo de Fermat editó la siguiente edición del Diofanto, publicada en 1670. Aunque el texto es inferior a la edición de 1621, las anotaciones de Fermat -incluido el "Último teorema"- se imprimieron en esta versión.
Fermat no fue el primer matemático que se sintió impulsado a escribir sus propias notas marginales en un libro de Diofanto; el erudito bizantino Juan Cortasmeno (1370-1437) había escrito "Tu alma, Diofanto, esté con Satanás debido a la dificultad de tus otros teoremas y particularmente del presente teorema" junto al mismo problema.

## Otras obras

Diofanto escribió otros libros además de Arithmetica, pero sólo se conservan unos pocos.

### Los Porismos

El propio Diofanto se refiere a una obra que consiste en una colección de lemas llamada Los Porismos (o Porismata), pero este libro se ha perdido por completo.
Aunque Los Porismos se ha perdido, conocemos tres lemas contenidos en él, ya que Diofanto se refiere a ellos en la Arithmetica. Un lema afirma que la diferencia de los cubos de dos números racionales es igual a la suma de los cubos de otros dos números racionales, es decir, dados cualesquiera a y b, con a > b, existen c y d, todos positivos y racionales, tales que
    a$^3$ - b$^3$ = c$^3$ + d$^3$

### Números poligonales y elementos geométricos

También se sabe que Diofanto escribió sobre números poligonales, tema de gran interés para Pitágoras y pitagóricos. Existen fragmentos de un libro que trata sobre los números poligonales.
Tradicionalmente se ha atribuido a Herón de Alejandría un libro titulado Preliminares a los elementos geométricos. Ha sido estudiado recientemente por el historiador de matemáticas Wilbur Knorr (1945-1997), quien sugirió que la atribución a Herón es incorrecta, y que el verdadero autor es Diofanto.

## Análisis diofantino

En la actualidad, el análisis diofantino es el área de estudio en la que se buscan soluciones enteras —de números enteros— para las ecuaciones, y las ecuaciones diofantinas son ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros para las que sólo se buscan soluciones enteras. Suele ser bastante difícil saber si una determinada ecuación diofantina tiene solución. La mayoría de los problemas de la Aritmética conducen a ecuaciones cuadráticas. Diofanto estudió tres tipos diferentes de ecuaciones cuadráticas: ax$^2$ + bx = c, ax$^2$ = bx + c, y ax$^2$ + c = bx. La razón por la que para Diofanto había tres casos, mientras que hoy sólo tenemos uno, es que no tenía noción del cero y evitaba los coeficientes negativos considerando que los números dados a, b, c eran todos positivos en cada uno de los tres casos anteriores. Diofanto siempre se conformaba con una solución racional y no exigía un número entero, lo que significa que aceptaba fracciones como soluciones a sus problemas. Diofanto consideraba "inútiles", "sin sentido" e incluso "absurdas" las soluciones de raíz cuadrada negativas o de irracional. Para dar un ejemplo específico, llama a la ecuación 4 = 4x + 20 absurda porque llevaría a un valor negativo para x. Lo único que buscaba en una ecuación cuadrática era una solución. No hay evidencia que sugiera que Diofanto se diera cuenta siquiera de que podía haber dos soluciones para una ecuación cuadrática. También consideró ecuaciones cuadráticas simultáneas.

## Notación matemática

Diofanto hizo importantes avances en la notación matemática, convirtiéndose en la primera persona conocida que utilizó la notación algebraica y el simbolismo. Antes de él, todo el mundo escribía las ecuaciones por completo. Diofanto introdujo un simbolismo algebraico que utilizaba una notación abreviada para las operaciones más frecuentes y una abreviatura para la incógnita y para las potencias de la incógnita. El historiador matemático Kurt Vogel afirma:
   El simbolismo que Diofanto introdujo por primera vez, y que sin duda ideó él mismo, proporcionaba un medio breve y fácilmente comprensible de expresar una ecuación.... Dado que también se emplea una abreviatura para la palabra "igual", Diofanto dio un paso fundamental desde el álgebra verbal hacia el álgebra simbólica.
Aunque Diofanto realizó importantes avances en el simbolismo, aún carecía de la notación necesaria para expresar métodos más generales. Esto provocó que su obra se centrara más en problemas particulares que en situaciones generales. Algunas de las limitaciones de la notación de Diofanto son que sólo tenía notación para una incógnita y, cuando los problemas implicaban más de una incógnita, Diofanto se veía reducido a expresar "primera incógnita", "segunda incógnita", etc. en palabras. También carecía de un símbolo para un número general n. Donde nosotros escribiríamos 12 + 6n/n$^2$ − 3, Diofanto tiene que recurrir a construcciones como: "... un número séxtuplo aumentado por doce, que se divide por la diferencia en que el cuadrado del número excede de tres". Al álgebra le quedaba aún mucho camino por recorrer antes de poder escribir y resolver sucintamente problemas muy generales.

## Repercusión

La obra de Diofanto ha tenido una gran influencia en la historia. Las ediciones de Arithmetica ejercieron una profunda influencia en el desarrollo del álgebra en Europa a finales del siglo XVI y durante los siglos XVII y XVIII. Diofanto y sus obras también influyeron en las matemáticas árabes y fueron de gran fama entre los matemáticos árabes. El trabajo de Diofanto creó una base para el trabajo en álgebra y, de hecho, gran parte de las matemáticas avanzadas se basa en el álgebra. Cuánto afectó a la India es un tema de debate.
Diofanto ha sido considerado "el padre del álgebra" debido a sus contribuciones a la teoría de números, las notaciones matemáticas y el primer uso conocido de notación sincopada en su serie de libros Arithmetica. Sin embargo, esto suele ser objeto de debate, porque a Al-Juarismi también se le dio el título de "padre del álgebra", aunque ambos matemáticos fueron responsables de allanar el camino para el álgebra actual.
El matemático del siglo XIX Hermann Hankel, en su Historia de las matemáticas, valoró así su figura: «Diofanto es el padre de la aritmética y del álgebra en el sentido con que practicamos estas ciencias; fue el primero que operó, es decir, que calculó sin ninguna representación geométrica, manejando expresiones numéricas de tipo general las leyes formales determinadas de la suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces».

## Eponimia

* Las ecuaciones diofánticas (relaciones algebraicas con soluciones enteras) le deben su nombre.
* El cráter lunar Diophantus lleva este nombre en su memoria.