# Subespacio cíclico

En matemáticas, álgebra lineal y análisis funcional, un subespacio cíclico es un subespacio especial de un espacio vectorial asociado con un vector en este y una transformación lineal del espacio sobre sí mismo. El subespacio cíclico asociado a un vector v en un espacio vectorial V y a una transformación lineal T de V se denomina subespacio T-cíclico generado por v.
El concepto de subespacio cíclico es un componente básico en la formulación del teorema de descomposición cíclica en álgebra lineal.

## Definición

Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio vectorial $V$ y sea $v$ un vector en $V$. El subespacio $T$-cíclico de $V$ generado por $v$, denotado $Z(v;T)$ es el subespacio de $V$ generado por el conjunto de vectores $\{v,T(v),T^{2}(v),\ldots ,T^{r}(v),\ldots \}$. En el caso en que $V$ sea un espacio vectorial topológico, el vector $v$ se conoce como el vector cíclico para $T$ si es que $Z(v;T)$ es denso en $V$. Para el caso particular de espacios de dimensión finita, esto equivale a decir que $Z(v;T)$ es todo el espacio $V$.
Existe otra definición equivalente para espacio cíclico. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio vectorial topológico sobre un campo $F$ y sea $v$ un vector en $V$, el conjunto de todos los vectores de la forma $g(T)v$, dónde $g(x)$ es un polinomio en el anillo $F[x]$ de todos los polinomios en $x$ sobre $F$, es el subespacio $T$-cíclico generado por $v$.
El subespacio $Z(v;T)$ es un subespacio invariante para $T$, en el sentido de que $TZ(v;T)\subset Z(v;T)$.

### Ejemplos

* Para cualquier espacio vectorial $V$ y cualquier operador lineal $T$ en $V$, el subespacio $T$-cíclico generado por el vector cero es el subespacio cero de $V$.
* Si $I$ es el operador identidad entonces todo subespacio $I$-cíclico es unidimensional.
* $Z(v;T)$ es unidimensional si y solo si $v$ es un vector característico (autovector) de $T$.
* Sea $V$ un espacio vectorial bidimensional y sea $T$ el operador lineal en $V$ representado por la matriz ${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$ relativa a la base canónica ordenada de $V$. Sea $v={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$. Entonces $Tv={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad T^{2}v=0,\ldots ,T^{r}v=0,\ldots$. Por lo tanto,$\{v,T(v),T^{2}(v),\ldots ,T^{r}(v),\ldots \}=\left\{{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\right\}$ con lo cual $Z(v;T)=V$. Es decir, $v$ es un vector cíclico de $T$.

## Matriz compañera

Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio vectorial n-dimensional $V$ sobre un campo $F$ y sea $v$ un vector cíclico para $T$ . Entonces los vectores
       $B=\{v_{1}=v,v_{2}=Tv,v_{3}=T^{2}v,\ldots v_{n}=T^{n-1}v\}$
forman una base ordenada para $V$. Sea el polinomio característico para $T$
       $p(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}$.
Entonces
       ${\begin{aligned}Tv_{1}&=v_{2}\\Tv_{2}&=v_{3}\\Tv_{3}&=v_{4}\\\vdots &\\Tv_{n-1}&=v_{n}\\Tv_{n}&=-c_{0}v_{1}-c_{1}v_{2}-\cdots c_{n-1}v_{n}\end{aligned}}$
Por lo tanto, el operador $T$ relativo a la base ordenada $B$ está representado por la matriz
       ${\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&-c_{0}\\1&0&0&\ldots &0&-c_{1}\\0&1&0&\ldots &0&-c_{2}\\\vdots &&&&&\\0&0&0&\ldots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}$
Esta matriz se conoce como matriz compañera del polinomio $p(x)$.