# Filtros en topología

Los filtros en topología, un subcampo de las matemáticas, se pueden utilizar para estudiar espacios topológicos y definir todas las nociones topológicas básicas como convergencia, continuidad o compacidad entre otras. Los filtros, que son familias especiales de subconjuntos de un conjunto determinado, también proporcionan un marco común para definir varios tipos de límites de funciones, como límites desde la izquierda/derecha, hasta el infinito, hasta un punto o un conjunto, y muchos otros. Tipos especiales de filtros llamados ultrafiltros tienen muchas propiedades técnicas útiles y, a menudo, pueden usarse en lugar de los filtros arbitrarios.
Los filtros tienen generalizaciones llamadas prefiltros (también conocidos como bases de filtros) y subbases de filtros, que aparecen de forma natural y repetida en toda la topología. Los ejemplos incluyen filtros de entornos/bases/subbases y uniformidades. Cada filtro es un prefiltro y ambos son subbases de filtros. Cada prefiltro y subbase de filtros está contenido en un filtro más pequeño único, que se dice que es generado. Esto establece una relación entre filtros y prefiltros que a menudo puede explotarse para permitir utilizar la noción que sea técnicamente más conveniente. Existe un cierto preorden en familias de conjuntos, denotado por $\,\leq ,\,$ que ayuda a determinar exactamente cuándo y cómo una noción (filtro, prefiltro u otra) puede o no usarse. La importancia de este preorden se ve amplificada por el hecho de que también define la noción de convergencia de filtro, donde por definición, un filtro (o prefiltro) ${\mathcal {B}}$ converge a un punto si y solo si ${\mathcal {N}}\leq {\mathcal {B}},$ donde ${\mathcal {N}}$ es el filtro de entornos de ese punto. En consecuencia, la subordinación también juega un papel importante en muchos conceptos relacionados con la convergencia, como los puntos de acumulación y los límites de funciones. Además, la relación ${\mathcal {S}}\geq {\mathcal {B}},$ que se denota como ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}$ y se expresa diciendo que ${\mathcal {S}}$ está subordinado a ${\mathcal {B}},$ también establece una correspondencia en la que ${\mathcal {S}}$ es a ${\mathcal {B}}$ como una subsucesión a una sucesión (es decir, la relación $\geq ,$ que se llama de subordinación, es para filtros el análogo a "ser una subsucesión de").
Fueron introducidos por Henri Cartan en 1937 y posteriormente el colectivo de matemáticos franceses agrupado bajo el seudónimo de Nicolas Bourbaki los utilizó en su libro Topologie Générale como una alternativa a la noción similar de red desarrollada en 1922 por E. H. Moore y H. L. Smith. También se pueden utilizar filtros para caracterizar las nociones de convergencia de sucesiones y redes. Pero a diferencia de las sucesiones y la convergencia de redes, la convergencia del filtros se define completamente en términos de subconjuntos del espacio topológico $X$ y, por lo tanto, proporciona una noción de convergencia que es completamente intrínseca al espacio topológico. De hecho, la categoría de espacios topológicos puede ser equivalentemente definida enteramente en términos de filtros. Cada red induce un filtro canónico y, dualmente, cada filtro induce una red canónica, donde esta red inducida (respectivamente, filtro inducido) converge a un punto si y solo si lo mismo ocurre con el filtro original (respectivamente, red). Esta caracterización también es válida para muchas otras definiciones, como la de puntos de acumulación. Estas relaciones permiten alternar entre filtros y redes y, a menudo, también permiten elegir cuál de estas dos nociones (filtro o red) es más conveniente para el problema en cuestión. Sin embargo, suponiendo que las "subredes" se definen utilizando cualquiera de sus definiciones más usuales (que son las dadas por Willard y por Kelley), entonces, en general, esta relación no se extiende a los filtros y subredes subordinados porque, al igual que como se detalla más adelante, existen filtros subordinados cuya relación «filtro/filtro subordinado» no se puede describir en términos de la relación «red/subred» correspondiente. Sin embargo, este problema se puede resolver utilizando una definición de "subred" menos común, que es la de subred AA.
Por lo tanto, los filtros/prefiltros y el preorden único $\,\leq \,$ proporcionan un marco que une perfectamente conceptos topológicos fundamentales como espacios topológicos (mdiante los filtros de entornos), bases de entornos, convergencia, varios límites de funciones, continuidad, compacidad, sucesiones (a través de filtros secuenciales), filtros equivalentes a "subsucesiones" (relación de subordinación) o espacios uniformes entre otros; conceptos todos ellos que de otro modo parecen relativamente dispares y cuyas relaciones son menos claras.

## Motivación

Ejemplo arquetípico de un filtro
El ejemplo arquetípico de un filtro es el filtro de entornos ${\mathcal {N}}(x)$ en un punto $x$ de un espacio topológico $(X,\tau ),$ que es la familia de conjuntos que consta de todas los entornos de $x.$ Por definición, un entorno de un punto dado $x$ es cualquier subconjunto $B\subseteq X$ cuyo interior topológico contenga este punto; es decir, tal que $x\in \operatorname {Int} _{X}B.$ Es importante destacar que los entornos no se requiere que sean conjuntos abiertos (denominados entornos abiertos). A continuación se enumeran las propiedades fundamentales de los filtros de entornos que finalmente se convirtieron en la definición de "filtro". Un filtro en $X$ es un conjunto ${\mathcal {B}}$ de subconjuntos de $X$ que satisface todas las condiciones siguientes:
* No vacío: $X\in {\mathcal {B}}$    al igual que $X\in {\mathcal {N}}(x),$ ya que $X$ es siempre un entorno de $x$ (y de cualquier otra cosa que contenga);
* No contiene el conjunto vacío: $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}$  así como ningún entorno de $x$ está vacío;
* Cerrado bajo intersecciones finitas: si $B,C\in {\mathcal {B}}{\text{ entonces }}B\cap C\in {\mathcal {B}}$  así como la intersección de dos entornos cualesquiera de $x$ es nuevamente un entorno de $x$;
* Cerrado hacia arriba: si $B\in {\mathcal {B}}{\text{ y }}B\subseteq S\subseteq X$ entonces $S\in {\mathcal {B}}$  así como cualquier subconjunto de $X$ que contenga un entorno de $x$ será necesariamente un entorno de $x$ (esto se deduce de $\operatorname {Int} _{X}B\subseteq \operatorname {Int} _{X}S$ y la definición de "un entorno de $x$").
Generalización de la convergencia de sucesiones mediante el uso de conjuntos: determinar la convergencia de sucesiones sin la sucesión
Una sucesión en $X$ es por definición una aplicación $\mathbb {N} \to X$ desde los números naturales al espacio $X.$ La noción original de convergencia en un espacio topológico era la de un sucesión convergente en algún punto dado en un espacio, como un espacio métrico. Con espacios metrizables (o más generalmente, de acuerdo con el primer axioma de numerabilidad o espacios de Fréchet-Urysohn), las sucesiones suelen ser suficientes para caracterizar o "describir" la mayoría de las propiedades topológicas, como los cierres de subconjuntos o la continuidad de funciones. Pero hay muchos espacios donde las sucesiones no pueden usarse para describir incluso propiedades topológicas básicas como el cierre o la continuidad. Este fallo de las sucesiones fue la motivación para definir nociones como redes y filtros, que nunca dejan de caracterizar propiedades topológicas.
Las redes generalizan directamente la noción de sucesión, ya que son, por definición, aplicaciones $I\to X$ de un conjunto dirigido $(I,\leq )$ arbitrario sobre el espacio $X.$ Una sucesión es simplemente una red cuyo dominio es $I=\mathbb {N}$ con el orden natural. Las redes tienen su propia noción de convergencia, que es una generalización directa de la convergencia de sucesiones.
Los filtros generalizan la convergencia de sucesiones de una manera diferente al considerar solo los valores de una sucesión. Para ver cómo se hace esto, considérese una sucesión $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }{\text{ en }}X,$ que, por definición, es simplemente una función $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X$ cuyo valor en $i\in \mathbb {N}$ se denota por $x_{i}$ en lugar de por la notación habitual entre paréntesis $x_{\bullet }(i)$ que se usa comúnmente para funciones arbitrarias. Conocer solo la imagen (a veces llamada "rango") $\operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}=\left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}$ de la sucesión no es suficiente para caracterizar su convergencia, y se necesitan varios conjuntos. Resulta que los conjuntos necesarios son los siguientes, que se denominan colas de la sucesión $x_{\bullet }$:
    ${\begin{alignedat}{8}x_{\geq 1}=\;&\{&&x_{1},&&x_{2},&&x_{3},&&x_{4},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]x_{\geq 2}=\;&\{&&x_{2},&&x_{3},&&x_{4},&&x_{5},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]x_{\geq 3}=\;&\{&&x_{3},&&x_{4},&&x_{5},&&x_{6},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]&&&&&&&\;\,\vdots &&&&&&\\[0.3ex]x_{\geq n}=\;&\{&&x_{n},\;\;\,&&x_{n+1},\;&&x_{n+2},\;&&x_{n+3},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]&&&&&&&\;\,\vdots &&&&&&\\[0.3ex]\end{alignedat}}$
Estos conjuntos determinan completamente la convergencia (o no convergencia) de esta sucesión porque dado cualquier punto, esta sucesión converge si y solo si para cada entorno $U$ (de este punto), hay algún número entero $n$ tal que $U$ contenga todos los puntos $x_{n},x_{n+1},\ldots .$ Esto se puede reformular como:
cada entorno $U$ debe contener algún conjunto de la forma $\{x_{n},x_{n+1},\ldots \}$ como subconjunto.
O más brevemente: cada entorno debe contener alguna cola $x_{\geq n}$ como subconjunto. Es esta caracterización la que se puede utilizar con la familia de colas anterior para determinar la convergencia (o no convergencia) de la sucesión $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X.$ Específicamente, con la familia de conjuntos $\{x_{\geq 1},x_{\geq 2},\ldots \}$ en la mano, la función $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X$ ya no es necesaria para determinar la convergencia de esta sucesión (sin importar qué topología se coloque en $X$). Al generalizar esta observación, se amplía la noción de "convergencia" de sucesiones/funciones a las familias de conjuntos.
El conjunto anterior de colas de una sucesión en general no es un filtro, pero "genera" un filtro tomando su sección final (que consta de todos los superconjuntos de todas las colas). Lo mismo ocurre con otras familias importantes de conjuntos, como cualquier base de entornos en un punto dado, que en general tampoco es un filtro pero genera un filtro a través de su cierre hacia arriba (en particular, genera el filtro de entornos en ese punto). Las propiedades que comparten estas familias llevaron a la noción de una base de filtros, también llamada prefiltro, que por definición es cualquier familia que tiene las propiedades mínimas necesarias y suficientes para generar un filtro tomando su sección final.
Redes frente a filtros: ventajas y desventajas
Los filtros y las redes tienen cada uno sus propias ventajas e inconvenientes y no hay razón para utilizar un concepto exclusivamente sobre el otro. Dependiendo de lo que se esté comprobando, la demostración puede resultar mucho más fácil si se utiliza una de estas nociones en lugar de la otra. Tanto los filtros como las redes se pueden utilizar para caracterizar cualquier topología dada por completo. Las redes son generalizaciones directas de las sucesiones y, a menudo, se pueden usar de manera similar a las sucesiones, por lo que la curva de aprendizaje de las redes suele ser mucho menos pronunciada que la de los filtros. Sin embargo, los filtros y especialmente los ultrafiltros tienen muchos más usos fuera de la topología, como en teoría de conjuntos, lógica matemática, teoría de modelos (ultraproductos, por ejemplo), álgebra abstracta, combinatoria, dinámica, teoría del orden, espacios de convergencia generalizados, espacios de Cauchy y en la definición y uso de los números hiperreales.
Al igual que las sucesiones, las redes son funciones y, por lo tanto, tienen las ventajas propias de las funciones. Por ejemplo, al igual que las sucesiones, las redes se pueden "conectar" a otras funciones, donde "conectar" significa simplemente crear una función compuesta. En consecuencia, los teoremas relacionados con funciones y composición de funciones se pueden aplicar a las redes. Un ejemplo es la propiedad universal del límite inverso, que se define en términos de composición de funciones en lugar de conjuntos y se aplica más fácilmente a funciones como redes que a conjuntos como filtros (un ejemplo destacado de límite inverso es el producto cartesiano). Los filtros pueden resultar incómodos de usar en determinadas situaciones, como cuando se cambia entre un filtro en un espacio $X$ y un filtro en un subespacio denso $S\subseteq X.$.
A diferencia de las redes, los filtros (y los prefiltros) son familias de conjuntos y, por lo tanto, tienen las ventajas de los conjuntos. Por ejemplo, si $f$ es sobreyectiva, entonces la imagen $f^{-1}({\mathcal {B}}):=\left\{f^{-1}(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\right\}$ bajo $f^{-1}$ de un filtro o prefiltro arbitrario ${\mathcal {B}}$ se define fácilmente y se garantiza que será un prefiltro en el dominio de $f$, mientras que está menos claro cómo en sentido inverso (sin ambigüedades derivadas del axioma de elección) una sucesión arbitraria (o red) $y_{\bullet }$ para obtener una sucesión o red en el dominio (a menos que $f$ sea también inyectiva y, en consecuencia, una biyección, lo cual es un requisito estricto). De manera similar, la intersección de cualquier colección de filtros vuelve a ser un filtro, aunque no está claro qué podría significar esto para sucesiones o redes. Debido a que los filtros se componen de subconjuntos del mismo espacio topológico $X$ que se está considerando, se pueden aplicar operaciones de conjuntos topológicos (como el cierre o interior) a los conjuntos que constituyen el filtro. A veces es útil cerrar todos los conjuntos en un filtro en análisis funcional, por ejemplo. Los teoremas y resultados sobre imágenes o preimágenes de conjuntos bajo una función también pueden aplicarse a los conjuntos que constituyen un filtro. Un ejemplo de tal resultado podría ser uno de caracterizaciones de la continuidad en términos de preimágenes de conjuntos abiertos/cerrados o en términos de operadores interiores/cerrados. Los tipos especiales de filtros llamados ultrafiltros tienen muchas propiedades útiles que pueden ayudar significativamente a comprobar los resultados. Una desventaja de las redes es su dependencia de los conjuntos dirigidos que constituyen sus dominios, que en general pueden no tener ninguna relación con el espacio $X.$ De hecho, la clase de redes en un conjunto dado $X$ es demasiado grande para siquiera ser un conjunto (es una clase propia). Esto se debe a que las redes en $X$ pueden tener dominios de cualquier cardinalidad. Por el contrario, la colección de todos los filtros (y de todos los prefiltros) en $X$ es un conjunto cuya cardinalidad no es mayor que la de $\wp (\wp (X)).$ Similar a una topología en $X,$ un filtro en $X$ es "intrínseco a $X$" en el sentido de que ambas estructuras consisten enteramente en subconjuntos de $X$ y ninguna definición requiere ningún conjunto que no pueda construirse a partir de $X$ (como $\mathbb {N}$ u otros conjuntos dirigidos, que sucesiones y redes requieren).

## Preliminares, notación y nociones básicas

En este artículo, las letras romanas mayúsculas como $S{\text{ y }}X$ denotan conjuntos (pero no familias a menos que se indique lo contrario) y $\wp (X)$ denotará el conjunto potencia de $X.$ Un subconjunto de un conjunto potencia se llama una familia de conjuntos (o simplemente, una familia) donde está definida sobre $X$ si es un subconjunto de $\wp (X).$ Las familias de conjuntos se indicarán con letras de caligrafía mayúsculas como ${\mathcal {B}},{\mathcal {C}},{\text{ y }}{\mathcal {F}}.$ Siempre que se necesiten estas suposiciones, se debe asumir que $X$ no está vacío y que ${\mathcal {B}},{\mathcal {F}},$ etc., son familias de conjuntos sobre $X.$
Los términos "prefiltro" y "base de filtros" son sinónimos y se utilizarán indistintamente.
Advertencia sobre definiciones y notaciones alternativas
Lamentablemente, existen varios términos en la teoría de los filtros que los distintos autores definen de forma diferente. Estos incluyen algunos de los términos más importantes, como "filtro". Si bien las diferentes definiciones del mismo término generalmente tienen una superposición significativa, debido a la naturaleza muy técnica de los filtros (y de la topología de conjuntos de puntos), estas diferencias en las definiciones a menudo tienen consecuencias importantes. Al leer textos matemáticos al respecto, se recomienda que los lectores comprueben cómo el autor define la terminología relacionada con los filtros.
Por esta razón, en este artículo se establecen claramente todas las definiciones tal como se utilizan. Desafortunadamente, no toda la notación relacionada con los filtros está bien establecida y algunas notaciones varían mucho según la literatura (por ejemplo, la notación para el conjunto de todos los prefiltros de un conjunto), por lo que en tales casos este artículo utiliza cualquier notación que describa mejor el término o sea más fácil de escribir o de recordar.
La teoría de los filtros y de los prefiltros está bien desarrollada y tiene una gran cantidad de definiciones y notaciones, muchas de las cuales se enumeran con el fin de permitir una fácil búsqueda de notaciones y definiciones. Sus propiedades importantes se describen más adelante.
Operaciones con conjuntos
La isotonización del cierre hacia arriba o isotonización en $X$ de una familia de conjuntos ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ es
y de manera similar, el cierre hacia abajo de ${\mathcal {B}}$ es ${\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\}={\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\wp (B).$
| Notación y definición | Nombre |
| $\ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B$ | Núcleo de ${\mathcal {B}}$ |
| $S\setminus {\mathcal {B}}:=\{S\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\}=\{S\}\,(\setminus )\,{\mathcal {B}}$ | Dual de ${\mathcal {B}}{\text{ en }}S$ donde $S$ es un conjunto. |
| ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}:=\{B\cap S~:~B\in {\mathcal {B}}\}={\mathcal {B}}\,(\cap )\,\{S\}$ | Traza de ${\mathcal {B}}{\text{ sobre }}S$ o la restricción de ${\mathcal {B}}{\text{ a }}S$ donde $S$ es un conjunto; a veces denotado por ${\mathcal {B}}\cap S$ |
| ${\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {C}}=\{B\cap C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ y }}C\in {\mathcal {C}}\}$ | Intersección de conjuntos uno a uno (donde ${\mathcal {B}}\cap {\mathcal {C}}$ denota la intersección usual) |
| ${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {C}}=\{B\cup C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ y }}C\in {\mathcal {C}}\}$ | Unión de conjuntos uno a uno (donde ${\mathcal {B}}\cup {\mathcal {C}}$ denota la unión usual) |
| ${\mathcal {B}}\,(\setminus )\,{\mathcal {C}}=\{B\setminus C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ y }}C\in {\mathcal {C}}\}$ | Sustracción de conjuntos uno a uno (donde ${\mathcal {B}}\setminus {\mathcal {C}}$ denota el complemento de un conjunto usual) |
| $\wp (X)=\{S~:~S\subseteq X\}$ | Conjunto potencia de un conjunto $X$ |
* Para dos familias cualesquiera, ${\mathcal {C}}{\text{ y }}{\mathcal {F}},$ se declara que ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ si y solo si para cada $C\in {\mathcal {C}}$ existe algún $F\in {\mathcal {F}}{\text{ tal que }}F\subseteq C,$ en cuyo caso se dice que ${\mathcal {C}}$ es más grueso que ${\mathcal {F}}$ y que ${\mathcal {F}}$ es más fino que (o subordinado a) ${\mathcal {C}}.$ La notación ${\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}}{\text{ o }}{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}$ también puede usarse en lugar de ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}.$ Si ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ y ${\mathcal {F}}\leq {\mathcal {C}}$, entonces se dice que ${\mathcal {C}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}$ son equivalentes (con respecto a la relación de subordinación).
* Dos familias ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}$ concuerdan, escrito ${\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},$ si $B\cap C\neq \varnothing {\text{ para todo }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ y }}C\in {\mathcal {C}}.$
En todo momento, $f$ es una aplicación.
| Notación y definición | Nombre |
| $f^{-1}({\mathcal {B}})=\left\{f^{-1}(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\right\}$ | Imagen de ${\mathcal {B}}{\text{ todo }}f^{-1},$ o la preimagen de ${\mathcal {B}}$ bajo $f$ |
| $f({\mathcal {B}})=\{f(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\}$ | Imagen de ${\mathcal {B}}$ bajo $f$ |
| $\operatorname {imagen} f=f(\operatorname {dominio} f)$ | Imagen (o rango) de $f$ |
Notación de topología
Denota el conjunto de todas las topologías en un conjunto $X{\text{ por }}\operatorname {Top} (X).$ Supóngase que $\tau \in \operatorname {Top} (X),$ $S\subseteq X$ es cualquier subconjunto y $x\in X$ es cualquier punto.
| Notación y definición | Nombre |
| $\tau (S)=\{O\in \tau ~:~S\subseteq O\}$ | Conjunto o prefiltro de entornos de $S{\text{ en }}(X,\tau )$ |
| $\tau (x)=\{O\in \tau ~:~x\in O\}$ | Conjunto o prefiltro de entornos abiertos de $x{\text{ en }}(X,\tau )$ |
| ${\mathcal {N}}_{\tau }(S)={\mathcal {N}}(S):=\tau (S)^{\uparrow X}$ | Conjunto o filtro de entornos de $S{\text{ en }}(X,\tau )$ |
| ${\mathcal {N}}_{\tau }(x)={\mathcal {N}}(x):=\tau (x)^{\uparrow X}$ | Conjunto o filtro de entornos de $x{\text{ en }}(X,\tau )$ |
Si $\varnothing \neq S\subseteq X$, entonces $\tau (S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}\tau (s){\text{ y }}{\mathcal {N}}_{\tau }(S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}{\mathcal {N}}_{\tau }(s).$
Redes y sus colas
Un conjunto dirigido es un conjunto $I$ junto con un preorden, que se denotará por $\,\leq \,$ (a menos que se indique explícitamente lo contrario), que convierte a $(I,\leq )$ en un conjunto dirigido (hacia arriba). Esto significa que para todo $i,j\in I,$ existe algún $k\in I$ tal que $i\leq k{\text{ y }}j\leq k$ para cualquier par de índices $i{\text{ y }}j,$ la notación $j\geq i$ se define como $i\leq j$ mientras que $i<j$ se define para significar que $i\leq j$ se cumple, pero no es cierto que $j\leq i$ (si $\,\leq \,$ es antisimétrica, entonces esto es equivalente a $i\leq j{\text{ y }}i\neq j$).
Una red en $X$ es una aplicación de un conjunto dirigido no vacío en $X.$ La notación $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ se utilizará para indicar una red con dominio $I.$
| Notación y definición | Nombre |
| $I_{\geq i}=\{j\in I~:~j\geq i\}$ | Cola o sección de $I$ empezando en $i\in I$, donde $(I,\leq )$ es un conjunto dirigido. |
| $x_{\geq i}=\left\{x_{j}~:~j\geq i{\text{ y }}j\in I\right\}$ | Cola o sección de $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ empezando en $i\in I$ |
| $\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)=\left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}$ | Conjunto o prefiltro de colas/secciones de $x_{\bullet }.$ También llamado base de filtro de finalización generado por (las colas de) $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}.$ Si $x_{\bullet }$ es una sucesión, entonces $\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)$ también es denominado base de filtros secuencial. |
| $\operatorname {Filtro\,de\,colas} \left(x_{\bullet }\right)=\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)^{\uparrow X}$ | Filtro (de finalización) de/generado por (colas de) $x_{\bullet }$ |
| $f\left(I_{\geq i}\right)=\{f(j)~:~j\geq i{\text{ y }}j\in I\}$ | Cola o sección de una red $f:I\to X$ empezando en $i\in I$, donde $(I,\leq )$ es un conjunto dirigido. |
Advertencia sobre el uso de la comparación estricta
Si $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ es una red y $i\in I$, entonces es posible que el conjunto $x_{>i}=\left\{x_{j}~:~j>i{\text{ y }}j\in I\right\},$ que se llama la cola de $x_{\bullet }$ detrás de $i$, esté vacío (por ejemplo, esto sucede si $i$ es una cota superior del conjunto dirigido $I$). En este caso, la familia $\left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}$ contendría el conjunto vacío, lo que impediría que fuera un prefiltro (tal como se define más adelante). Esta es la razón (importante) para definir las $\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)$ como $\left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}$ en lugar de $\left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}$ o incluso $\left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}\cup \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}$ y es por esta razón que en general, cuando se trata del prefiltro de colas de una red, la desigualdad estricta $\,<\,$ no puede usarse indistintamente con la desigualdad $\,\leq .$

### Filtros y prefiltros

Familias de conjuntos ${\mathcal {F}}$ sobre $\Omega$ :
| Es necesariamente cierto de ${\mathcal {F}}\colon$ o ${\mathcal {F}}$ es cerrado bajo: | Dirigido por $\,\supseteq$ | $A\cap B$ | $A\cup B$ | $B\setminus A$ | $\Omega \setminus A$ | $A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$ | $A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$ | $\Omega \in {\mathcal {F}}$ | $\varnothing \in {\mathcal {F}}$ | P.I.F. |
| Sistema Π | | | | | | | | | | |
| Semianillo | | | | | | | | | | Nunca |
| Semiálgebra (Semicuerpo) | | | | | | | | | | Nunca |
| Clase monótona | | | | | | Solo si $A_{i}\searrow$ | Solo si $A_{i}\nearrow$ | | | |
| Sistema λ (Sistema de Dynkin) | | | | Solo si $A\subseteq B$ | | | Solo si $A_{i}\nearrow$ o son disjuntos | | | Nunca |
| Anillo (Teoría del orden) | | | | | | | | | | |
| Anillo (Teoría de la medida) | | | | | | | | | | Nunca |
| Anillo δ | | | | | | | | | | Nunca |
| Anillo Σ | | | | | | | | | | Nunca |
| Álgebra (Cuerpo) | | | | | | | | | | Nunca |
| Álgebra Σ (Cuerpo Σ) | | | | | | | | | | Nunca |
| Ideal dual | | | | | | | | | | |
| Filtro | | | | Nunca | Nunca | | | | $\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$ | |
| Prefiltro (Base de filtros) | | | | Nunca | Nunca | | | | $\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$ | |
| Subbase de filtros | | | | Nunca | Nunca | | | | $\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$ | |
| Topología abierta | | | | | | | (Incluso $\cup$ arbitrario) | | | Nunca |
| Topología cerrada | | | | | | (Incluso $\cap$ arbitrario) | | | | Nunca |
| Es necesariamente cierto de ${\mathcal {F}}\colon$ o ${\mathcal {F}}$ es cerrado bajo: | Dirigido abajo | Intersecciones finitas | Uniones finitas | Complementos relativos | Complementos en $\Omega$ | Intersecciones numerables | Uniones numerables | Contiene a $\Omega$ | Contiene a $\varnothing$ | Propiedad de la Intersección Finita |
| Además, un semianillo es un sistema Π donde cada complemento $B\setminus A$ es igual a una unión disjunta finita de conjuntos en ${\mathcal {F}}.$ . Una semiálgebra es un semianillo que contiene a $\Omega .$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ son elementos arbitrarios de ${\mathcal {F}}$ y se supone que ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$ |||||||||||
La siguiente es una lista de propiedades que puede poseer una familia ${\mathcal {B}}$ de conjuntos y que forman las propiedades definitorias de filtros, prefiltros y subbases de filtros. Siempre que sea necesario, se debe asumir que ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).$
* La familia de conjuntos ${\mathcal {B}}$ es:
* Filtro propio o filtro no degenerado si $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}.$ De lo contrario, si $\varnothing \in {\mathcal {B}},$ entonces se llama impropio o degenerado.
* Dirigido hacia abajo si siempre que $A,B\in {\mathcal {B}}$ existe algún $C\in {\mathcal {B}}$ tal que $C\subseteq A\cap B.$
* Esta propiedad se puede caracterizar en términos de direccionalidad, lo que explica la palabra "dirigido": una relación binaria $\,\preceq \,$ en ${\mathcal {B}}$ se llama dirigido (hacia arriba) si para dos $A{\text{ y }}B$ cualesquiera, existe algún $C$ que satisfaga $A\preceq C{\text{ y }}B\preceq C.$ El uso de $\,\supseteq \,$ en lugar de $\,\preceq \,$ da la definición de dirigido hacia abajo, mientras que usar $\,\subseteq \,$ en su lugar da la definición de dirigido hacia arriba. Explícitamente, ${\mathcal {B}}$ es dirigido hacia abajo (respectivamente, dirigido hacia arriba) si y solo si para todo $A,B\in {\mathcal {B}},$ existe algún $C\in {\mathcal {B}}$ "mayor" tal que $A\supseteq C{\text{ y }}B\supseteq C$ (respectivamente, tal que $A\subseteq C{\text{ y }}B\subseteq C$) - donde el elemento "mayor" siempre está en el lado derecho, - que se puede reescribir como $A\cap B\supseteq C$ (respectivamente, como $A\cup B\subseteq C$).
* Cerrado bajo intersecciones finitas (respectivamente, uniones) si la intersección (respectivamente, unión) de dos elementos cualesquiera de ${\mathcal {B}}$ es un elemento de ${\mathcal {B}}.$
* Si ${\mathcal {B}}$ está cerrado bajo intersecciones finitas, entonces ${\mathcal {B}}$ está necesariamente dirigido hacia abajo. Lo contrario es generalmente falso.
* Cerrado hacia arriba o isotono en $X$ si ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ y }}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},$ o equivalente, si siempre que $B\in {\mathcal {B}}$ y algún conjunto $C$ satisfaga $B\subseteq C\subseteq X,{\text{ entonces }}C\in {\mathcal {B}}.$ De manera similar, ${\mathcal {B}}$ es cerrado hacia abajo si ${\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\downarrow }.$ Un conjunto cerrado hacia arriba (respectivamente, hacia abajo) también se llama conjunto superior (respectivamente, conjunto inferior).
* La familia ${\mathcal {B}}^{\uparrow X},$ que es el cierre ascendente de ${\mathcal {B}}{\text{ en }}X,$ es la única familia de isótonos más pequeña (con respecto a $\,\subseteq$) de conjuntos sobre $X$ que tiene ${\mathcal {B}}$ como subconjunto.
Muchas de las propiedades de ${\mathcal {B}}$ definidas arriba y abajo, como "propia" y "dirigida hacia abajo", no dependen de $X,$ por lo que mencionar el conjunto $X$ es opcional cuando se utilizan dichos términos. Las definiciones que implican estar "cerrado hacia arriba en $X,$" como la de "filtrar en $X,$" dependen de $X$, por lo que se debe mencionar el conjunto $X$ si no queda claro por el contexto.
* Una familia ${\mathcal {B}}$ es/es un(a):
* Ideal si ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ está cerrado hacia abajo y cerrado bajo uniones finitas.
* Ideal dual en $X$ si ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ está cerrado hacia arriba en $X$ y también cerrado bajo intersecciones finitas. De manera equivalente, ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ es un ideal dual si para todos $R,S\subseteq X,$ $R\cap S\in {\mathcal {B}}\;{\text{ si y solo si }}\;R,S\in {\mathcal {B}}.$
* Explicación de la palabra "dual": Una familia ${\mathcal {B}}$ es un ideal dual (o un ideal) en $X$ si y solo si el dual de ${\mathcal {B}}{\text{ en }}X,$, que es la familia :$X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\},$ es un ideal (o un ideal dual) en $X.$ En otras palabras, dual ideal significa "dual de un ideal". El dual del dual es la familia original, es decir $X\setminus (X\setminus {\mathcal {B}})={\mathcal {B}}.$
* Filtro en $X$ si ${\mathcal {B}}$ es un ideal dual propio en $X.$ Es decir, un filtro en $X$ es un subconjunto no vacío de $\wp (X)\setminus \{\varnothing \}$ que está cerrado bajo intersecciones finitas y cerrado hacia arriba en $X.$ De manera equivalente, es un prefiltro que está cerrado hacia arriba en $X.$ En otras palabras, un filtro en $X$ es una familia de conjuntos sobre $X$ que (1) no está vacía (o de manera equivalente, contiene a $X$), (2) está cerrada bajo intersecciones finitas, (3) está cerrada hacia arriba en $X,$ y (4) no tiene el conjunto vacío como elemento.
* Aviso: Algunos autores, particularmente algebristas, utilizan "filtro" para referirse a un ideal dual; otros, particularmente los topólogos, usan "filtro" para referirse a un ideal dual propio/no degenerado. Se recomienda que los lectores siempre comprueben cómo se define "filtro" al trabajar con literatura matemática. Sin embargo, las definiciones de "ultrafiltro", "prefiltro" y "subbase de filtros" siempre requieren la condición de ser "no degenerados". Este artículo utiliza la definición original de "filtro" de Henri Cartan, que requería la no degeneración de los elementos.
* El conjunto de potencia $\wp (X)$ es el único dual ideal en $X$ que no es también un filtro. Excluir $\wp (X)$ de la definición de "filtro" en topología tiene el mismo beneficio que excluir el $1$ de la definición de "número primo": esto hace innecesario especificar "no degenerado" (el análogo de "no unitario" o "no $1$") en muchos resultados importantes, haciendo así sus enunciados más concisos.
* Prefiltro o base de filtros si ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ es propio y está dirigido hacia abajo. De manera equivalente, ${\mathcal {B}}$ se denomina prefiltro si su cierre hacia arriba ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ es un filtro. También se puede definir como cualquier familia que sea equivalente a algún filtro. Una familia propia ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ es un prefiltro si y solo si ${\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}.$ Una familia es un prefiltro si y solo si ocurre lo mismo con su cierre hacia arriba.
* Si ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro, entonces su cierre hacia arriba ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ es el único filtro más pequeño (en relación con $\subseteq$) en $X$ que contiene a ${\mathcal {B}}$ y se llama el filtro generado por ${\mathcal {B}}.$ Se dice que un filtro ${\mathcal {F}}$ es generado por un prefiltro ${\mathcal {B}}$ si ${\mathcal {F}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},$ en el que ${\mathcal {B}}$ se llama base de filtros para ${\mathcal {F}}.$
* A diferencia de un filtro, un prefiltro no está necesariamente cerrado bajo intersecciones finitas.
* Sistema Π si ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ está cerrado bajo intersecciones finitas. Cada familia no vacía ${\mathcal {B}}$ está contenida en un único sistema Π más pequeño llamado el sistema Π generado por ${\mathcal {B}},$ que a veces se denota como $\pi ({\mathcal {B}}).$ Es igual a la intersección de todos los sistemas Π que contienen a ${\mathcal {B}}$ y también al conjunto de todas las posibles intersecciones finitas de conjuntos de ${\mathcal {B}}$:
* $\pi ({\mathcal {B}})=\left\{B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}~:~n\geq 1{\text{ y }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}\right\}.$
* Un sistema Π es un prefiltro si y solo si es propio. Cada filtro es un sistema Π propio y cada sistema Π propio es un prefiltro, pero lo contrario no se cumple en general.
* Un prefiltro es equivalente al sistema Π generado por él mismo y ambas familias generan el mismo filtro en $X.$
* Subbase de filtros y centrado si ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ y ${\mathcal {B}}$ satisfacen cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
* ${\mathcal {B}}$ tiene la propiedad de la intersección finita, lo que significa que la intersección de cualquier familia finita de (uno o más) conjuntos en ${\mathcal {B}}$ no está vacía. Explícitamente, esto significa que siempre que $n\geq 1{\text{ y }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}$, entonces $\varnothing \neq B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}.$
* El sistema Π generado por ${\mathcal {B}}$ es propio; es decir, $\varnothing \not \in \pi ({\mathcal {B}}).$
* El sistema Π generado por ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro.
* ${\mathcal {B}}$ es un subconjunto de algún prefiltro.
* ${\mathcal {B}}$ es un subconjunto de algún filtro.
* Supóngase que ${\mathcal {B}}$ es una subbase de filtros. En consecuencia, existe un filtro único más pequeño (relativo a $\subseteq$) ${\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}enX$ que contiene a ${\mathcal {B}}$ llamado filtro generado por ${\mathcal {B}}$, y se dice que ${\mathcal {B}}$ es una subbase de filtros para este filtro, que es igual a la intersección de todos los filtros en $X$ que son superconjuntos de ${\mathcal {B}}.$ El sistema Π generado por ${\mathcal {B}},$ denotado por $\pi ({\mathcal {B}}),$ será un prefiltro y un subconjunto de ${\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.$ Además, el filtro generado por ${\mathcal {B}}$ es igual al cierre hacia arriba de $\pi ({\mathcal {B}}),$ lo que significa que $\pi ({\mathcal {B}})^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.$ Sin embargo, ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}$ si y solo si ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro (aunque ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ es siempre una subbase de filtros cerrada hacia arriba para ${\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}$).
* El prefiltro $\subseteq$  más pequeño (es decir, el más pequeño en relación con $\subseteq$ ) que contiene una subbase de filtros ${\mathcal {B}}$ existirá solo bajo ciertas circunstancias. Existe, por ejemplo, si la subbase de filtros ${\mathcal {B}}$ también es un prefiltro. También existe si el filtro (o equivalentemente, el sistema Π) generado por ${\mathcal {B}}$ es principal, en cuyo caso ${\mathcal {B}}\cup \{\ker {\mathcal {B}}\}$ es el prefiltro más pequeño único que contiene a ${\mathcal {B}}.$ De lo contrario, en general, es posible que no exista un prefiltro $\subseteq$ más pequeño que contenga a ${\mathcal {B}}$. Por esta razón, algunos autores pueden referirse al sistema Π generado por ${\mathcal {B}}$ como el prefiltro generado por una subbase de filtros ${\mathcal {B}}.$ Sin embargo, si existe un prefiltro más pequeño $\subseteq$  (póngase por caso que se denota como $\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}$) entonces, contrariamente a las expectativas habituales, no es necesariamente igual al "prefiltro generado por ${\mathcal {B}}$" (es decir, $\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}\neq \pi ({\mathcal {B}})$ es posible). Y si la subbase de filtros ${\mathcal {B}}$ también es un prefiltro pero no un sistema Π, entonces, desafortunadamente, el "prefiltro generado por este prefiltro" (lo que significa que $\pi ({\mathcal {B}})$) no será ${\mathcal {B}}=\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}$ (es decir, $\pi ({\mathcal {B}})\neq {\mathcal {B}}$ es posible incluso cuando ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro), razón por la cual en este artículo se prefiere la terminología precisa e inequívoca de "el sistema Π generado por ${\mathcal {B}}$".
* Subfiltro de un filtro ${\mathcal {F}}$ y que ${\mathcal {F}}$ es un superfiltro de ${\mathcal {B}}$ si ${\mathcal {B}}$ es un filtro y ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}$, donde para los filtros, ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}{\text{ si y solo si }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.$
* Es importante destacar que la expresión "es un superfiltro de" es para filtros el análogo de "es una subsucesión de". Entonces, a pesar de tener el prefijo "sub" en común, "ser un subfiltro de" es en realidad el reverso de "ser una subsucesión de". Sin embargo, ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}$ también se puede escribir ${\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {B}}$, que se describe diciendo que "${\mathcal {F}}$ está subordinado a ${\mathcal {B}}.$". Con esta terminología, "estar subordinado a" se convierte para filtros (y también para prefiltros) en el análogo de "ser una subsucesión de",, lo que hace que esta sea una situación en la que usar el término "subordinado" y el símbolo $\,\vdash \,$ puede resultar útil.
No hay prefiltros en $X=\varnothing$ (ni hay redes valoradas en $\varnothing$), por lo que este artículo, como la mayoría de los autores, asumirá automáticamente sin comentarios que $X\neq \varnothing$ siempre que esta suposición sea necesaria.

#### Ejemplos básicos

Ejemplos nombrados
* El conjunto unitario ${\mathcal {B}}=\{X\}$ se llama no discreto o filtro trivial sobre $X.$ Es el filtro mínimo único en $X$ porque es un subconjunto de cada filtro en $X$. Sin embargo, no es necesario que sea un subconjunto de cada prefiltro en $X.$
* El ideal dual $\wp (X)$ también se llama filtro degenerado en $X$ (a pesar de no ser realmente un filtro). Es el único ideal dual en $X$ que no es un filtro en $X.$
* Si $(X,\tau )$ es un espacio topológico y $x\in X,$ entonces un filtro de entornos ${\mathcal {N}}(x)$ en $x$ es un filtro en $X.$ Por definición, una familia ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ se llama base de entornos (respectivamente, una subbase de entornos) en $x{\text{ para }}(X,\tau )$ si y solo si ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro (respectivamente, ${\mathcal {B}}$ es una subbase de filtros) y el filtro en $X$ que genera ${\mathcal {B}}$ es igual al filtro de entornos ${\mathcal {N}}(x).$ La subfamilia $\tau (x)\subseteq {\mathcal {N}}(x)$ de entornos abiertas es una base de filtros para ${\mathcal {N}}(x).$ Ambos prefiltros ${\mathcal {N}}(x){\text{ y }}\tau (x)$ también forman una base para topologías en $X,$ con la topología generada $\tau (x)$ siendo más gruesa que $\tau .$ Este ejemplo se generaliza inmediatamente desde entornos de puntos a entornos de subconjuntos no vacíos $S\subseteq X.$
* ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro elemental si ${\mathcal {B}}=\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)$ para alguna sucesión de puntos $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }.$
* ${\mathcal {B}}$ es un filtro elemental o un filtro secuencial sobre $X$ si ${\mathcal {B}}$ es un filtro sobre $X$ generado por algún prefiltro elemental. El filtro de colas generado por una sucesión que finalmente no es constante y no es necesariamente un ultrafiltro. Cada filtro principal en un conjunto numerable es una sucesión al igual que cada filtro cofinito en un conjunto numerable infinito. La intersección de un número finito de filtros de sucesiones es nuevamente una sucesión.
* El conjunto ${\mathcal {F}}$ de todos los subconjuntos cofinitos de $X$ (es decir, aquellos conjuntos cuyo complemento en $X$ es finito) es propio si y solo si ${\mathcal {F}}$ es infinito (o equivalentemente, $X$ es infinito), en cuyo caso ${\mathcal {F}}$ es un filtro en $X$ conocido como filtro de Fréchet o filtro cofinito en $X.$ Si $X$ es finito, entonces ${\mathcal {F}}$ es igual al ideal dual $\wp (X),$ que no es un filtro. Si $X$ es infinita, entonces la familia $\{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}$ de complementos de conjuntos unitarios es una subbase de filtros que genera el filtro de Fréchet en $X.$ Como ocurre con cualquier familia de conjuntos sobre $X$ que contiene $\{X\setminus \{x\}~:~x\in X\},$ el núcleo del filtro de Fréchet en $X$ es el conjunto vacío: $\ker {\mathcal {F}}=\varnothing .$
* La intersección de todos los elementos en cualquier familia no vacía $\mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filtros} (X)$ es en sí misma un filtro en $X$, llamado ínfimo o mayor cota inferior de $\mathbb {F} {\text{ en }}\operatorname {Filtros} (X),$ por lo que puede denotarse como ${\textstyle \bigwedge \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.$ Dicho de otra manera, $\ker \mathbb {F} ={\textstyle \bigcap \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}\in \operatorname {Filtros} (X).$ Dado que cada filtro en $X$ tiene $\{X\}$ como subconjunto, esta intersección nunca está vacía. Por definición, el mínimo es el filtro más fino/más grande (en relación con $\,\subseteq \,{\text{ y }}\,\leq \,$) contenido como un subconjunto de cada miembro de $\mathbb {F} .$.
** Si ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}$ son filtros, entonces su mínimo en $\operatorname {Filtros} (X)$ es el filtro ${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.$ Si ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}$ son prefiltros, entonces ${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}$ es un prefiltro que es más grueso que ambos ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}$ (es decir, ${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {F}}$). De hecho, es uno de los prefiltros más finos, lo que significa que si ${\mathcal {S}}$ es un prefiltro tal que ${\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}$, entonces necesariamente ${\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.$. Más generalmente, si ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}$ son familias no vacías y si $\mathbb {S} :=\{{\mathcal {S}}\subseteq \wp (X)~:~{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}\}$, entonces ${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\in \mathbb {S}$ y ${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}$ son supremos de $(\mathbb {S} ,\leq ).$
* Deja $\varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Ideales\,Duales} (X)$ y deja $\cup \mathbb {F} ={\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.$ El supremo o menor cota superior de $\mathbb {F} {\text{ en }}\operatorname {Ideales\,Duales} (X),$ denotado por ${\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}},$ es el ideal dual más pequeño (en relación con $\subseteq$) en $X$ que contiene cada elemento de $\mathbb {F}$ como un subconjunto; es decir, es el ideal dual más pequeño (en relación con $\subseteq$) en $X$ que contiene a $\cup \mathbb {F}$ como subconjunto. Este ideal dual es ${\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X},$ donde $\pi \left(\cup \mathbb {F} \right):=\left\{F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}~:~n\in \mathbb {N} {\text{ y cada }}F_{i}{\text{ pertenece a algún }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} \right\}$ es el sistema Π generado por $\cup \mathbb {F} .$ Al igual que con cualquier familia de conjuntos no vacía, $\cup \mathbb {F}$ está contenida en algún filtro en $X$ si y solo si es una subbase de filtros, o de manera equivalente, si y solo si ${\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}$ es un filtro en $X,$ en cuyo caso esta familia es el filtro más pequeño (relativo a $\subseteq$) en $X$ que contiene cada elemento de $\mathbb {F}$ como un subconjunto y necesariamente $\mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filtros} (X).$
* Sean $\varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filtros} (X)$ y $\cup \mathbb {F} ={\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.$ El supremo o límite superior mínimo de $\mathbb {F} {\text{ en }}\operatorname {Filtros} (X),$ denotado por ${\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}$ si existe, es por definición el más pequeño (en relación con $\subseteq$) filtro en $X$ que contiene cada elemento de $\mathbb {F}$ como un subconjunto. Si existe, entonces necesariamente ${\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}$ (como se definió anteriormente) y ${\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}$ también serán iguales a la intersección de todos los filtros en $X$ que contengan a $\cup \mathbb {F} .$ Este supremo de $\mathbb {F} {\text{ en }}\operatorname {Filtros} (X)$ existe si y solo si el ideal dual $\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}$ es un filtro en $X.$ Es posible que el límite superior mínimo de una familia de filtros $\mathbb {F}$ no sea un filtro. De hecho, si $X$ contiene al menos 2 elementos distintos, entonces existen filtros ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}{\text{ sobre }}X$ para los cuales no existe un filtro ${\mathcal {F}}{\text{ sobre }}X$ que contenga a ambos ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}.$ Si $\cup \mathbb {F}$ no es una subbase de filtros, entonces el supremo de $\mathbb {F} {\text{ en }}\operatorname {Filtros} (X)$ no existe y lo mismo ocurre con su supremo en $\operatorname {Prefiltros} (X)$, pero su supremo en el conjunto de todos los ideales duales en $X$ existirá (siendo el filtro degenerado $\wp (X)$).
** Si ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}$ son prefiltros (respectivamente, filtros en $X$), entonces ${\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}$ es un prefiltro (respectivamente, un filtro) si y solo si no es degenerado (o dicho de otra manera, si y solo si ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}$ concuerdan), en cuyo caso es uno de los prefiltros más gruesos (respectivamente, filtro más grueso) en $X$ que es más fino (con respecto a $\,\leq$) que ambos ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}.$ Esto significa que si ${\mathcal {S}}$ es cualquier prefiltro (respectivamente, cualquier filtro) tal que ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}}$, entonces necesariamente ${\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}},$ en cuyo caso se denota por ${\mathcal {B}}\vee {\mathcal {F}}.$
Otros ejemplos
* Sea $X=\{p,1,2,3\}$ y considérese que ${\mathcal {B}}=\{\{p\},\{p,1,2\},\{p,1,3\}\},$ lo que convierte a ${\mathcal {B}}$ en un prefiltro y una subbase de filtros que no está cerrada bajo intersecciones finitas. Debido a que ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro, el prefiltro más pequeño que contiene a ${\mathcal {B}}$ es ${\mathcal {B}}.$ El sistema Π generado por ${\mathcal {B}}$ es $\{\{p,1\}\}\cup {\mathcal {B}}.$ En particular, el prefiltro más pequeño que contiene a la subbase de filtros ${\mathcal {B}}$, no es igual al conjunto de todas las intersecciones finitas de conjuntos en ${\mathcal {B}}.$ El filtro en $X$ generado por ${\mathcal {B}}$ es ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}=\{S\subseteq X:p\in S\}=\{\{p\}\cup T~:~T\subseteq \{1,2,3\}\}.$ Los tres ${\mathcal {B}},$ que genera el sistema Π${\mathcal {B}}$, y ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ son ejemplos de valores fijos, principales, ultra prefiltros que son principales en el punto $p;{\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ y que también son un ultrafiltros en $X.$
* Sea $(X,\tau )$ un espacio topológico, ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),$ y defínase ${\overline {\mathcal {B}}}:=\left\{\operatorname {cl} _{X}B~:~B\in {\mathcal {B}}\right\},$ donde ${\mathcal {B}}$ es necesariamente más fino que ${\overline {\mathcal {B}}}.$ Si ${\mathcal {B}}$ no está vacío (respectivamente, no degenerado, una subbase de filtro, un prefiltro, cerrado bajo uniones finitas), entonces lo mismo se aplica a ${\overline {\mathcal {B}}}.$ Si ${\mathcal {B}}$ es un filtro en $X$, entonces ${\overline {\mathcal {B}}}$ es un prefiltro pero no necesariamente un filtro en $X$, aunque $\left({\overline {\mathcal {B}}}\right)^{\uparrow X}$ es un filtro en $X$ equivalente a ${\overline {\mathcal {B}}}.$
* El conjunto ${\mathcal {B}}$ de todos los subconjuntos abiertos densos de un espacio topológico (no vacío) $X$ es un sistema Π propio y, por lo tanto, también un prefiltro. Si el espacio es un espacio de Baire, entonces el conjunto de todas las intersecciones numerables de subconjuntos abiertos densos es un sistema Π y un prefiltro que es más fino que ${\mathcal {B}}.$ Si $X=\mathbb {R} ^{n}$ (con $1\leq n\in \mathbb {N}$), entonces el conjunto ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinito} }$ de todos los $B\in {\mathcal {B}}$ tal que $B$ tiene medida de Lebesgue finita es un sistema Π propio y un prefiltro libre que también es un subconjunto de ${\mathcal {B}}.$ Los prefiltros ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinito} }$ y ${\mathcal {B}}$ son equivalentes y, por lo tanto, generan el mismo filtro en $X.$ El prefiltro ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinito} }$ está correctamente contenido en el prefiltro que consta de todos los subconjuntos abiertos densos de $\mathbb {R}$, y no es equivalente a él. Dado que $X$ es un espacio de Baire, cada intersección numerable de conjuntos en ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinito} }$ es densa en $X$ (y también coexigua y no escasa), por lo que el conjunto de todas las intersecciones numerables de elementos de ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinito} }$ es un prefiltro y un sistema Π, y también es más fino que ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinito} }$

#### Ultrafiltros

Hay muchas otras caracterizaciones de "ultrafiltro" y "ultra prefiltro", que se enumeran en el artículo sobre ultrafiltros. En ese artículo también se describen propiedades importantes de los ultrafiltros.
* Una familia no vacía de conjuntos ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ es/es un:
* Ultra si se cumple que $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}$ y cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
* Para cada conjunto $S\subseteq X$ existe algún conjunto $B\in {\mathcal {B}}$ tal que $B\subseteq S{\text{ o }}B\subseteq X\setminus S$ (o equivalentemente, tal que $B\cap S{\text{ es igual }}B{\text{ o }}\varnothing$).
* Para cada conjunto $S\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}B$ existe algún conjunto $B\in {\mathcal {B}}$ tal que $B\cap S{\text{ es igual }}B{\text{ o }}\varnothing .$
* Esta caracterización de "${\mathcal {B}}$ es ultra" no depende del conjunto $X,$ por lo que mencionar el conjunto $X$ es opcional cuando se utiliza el término "ultra".
* Para todo conjunto $S$ (no necesariamente ni siquiera un subconjunto de $X$) existe algún conjunto $B\in {\mathcal {B}}$ tal que $B\cap S{\text{ es igual }}B{\text{ o }}\varnothing .$
* Ultra prefiltro si es un prefiltro que también es ultra. De manera equivalente, es una subbase de ultrafiltros. Un prefiltro ${\mathcal {B}}$ es ultra si y solo si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
* ${\mathcal {B}}$ es máximo en $\operatorname {Prefiltros} (X)$ con respecto a $\,\leq ,\,$ lo que significa que :${\text{ para todo }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Prefiltros} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implica que }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.$
* ${\text{Para todo }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filtros} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implica que }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.$
* Aunque esta declaración es idéntica a la que se proporciona a continuación para los ultrafiltros, aquí se supone que ${\mathcal {B}}$ es simplemente un prefiltro, y no tiene por qué ser un filtro.
* ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ es ultra (y por lo tanto, un ultrafiltro).
* ${\mathcal {B}}$ es equivalente respecto a algún ultrafiltro.
* Una subbase de filtros que sea ultra es necesariamente un prefiltro. Una subbase de filtros es ultra si y solo si es una subbase de filtros máxima con respecto a $\,\leq \,$ (como arriba).
* Ultrafiltro sobre $X$ si es un filtro en $X$ que es ultra. De manera equivalente, un ultrafiltro en $X$ es un filtro ${\mathcal {B}}{\text{ sobre }}X$ que satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
* ${\mathcal {B}}$ es generado por un ultra prefiltro.
* Para cualquier $S\subseteq X,S\in {\mathcal {B}}{\text{ o }}X\setminus S\in {\mathcal {B}}.$
* ${\mathcal {B}}\cup (X\setminus {\mathcal {B}})=\wp (X).$ Esta condición se puede reformular como: $\wp (X)$ está particionado por ${\mathcal {B}}$ y su dual $X\setminus {\mathcal {B}}.$
* Para cualquier $R,S\subseteq X,$ si $R\cup S\in {\mathcal {B}}$ y entonces $R\in {\mathcal {B}}{\text{ o }}S\in {\mathcal {B}}$ (un filtro con esta propiedad se denomina filtro primo).
* Esta propiedad se extiende a cualquier unión finita de dos o más conjuntos.
* ${\mathcal {B}}$ es un filtro máximo en $X$, lo que significa que si ${\mathcal {C}}$ es un filtro en $X$ tal que ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}$ entonces necesariamente ${\mathcal {C}}={\mathcal {B}}$ (esta igualdad puede ser reemplazada por ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}{\text{ o por }}{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}$).
* Si ${\mathcal {C}}$ está cerrado hacia arriba, entonces ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}{\text{ si y solo si }}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}.$ Por lo tanto, esta caracterización de los ultrafiltros como filtros máximos se puede reformular como:${\text{ para todo }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filtros} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implica que }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.$
* Debido a que la subordinación $\,\geq \,$ es para filtros el análogo de "es una subred/subsucesión de" (específicamente, "subred" debería significar "subred AA", que se define a continuación). Esta caracterización de un ultrafiltro como un "filtro máximamente subordinado" sugiere que un ultrafiltro puede interpretarse como análogo a algún tipo de "red de máxima profundidad" (lo que podría, por ejemplo, significar que "cuando se ve solo desde $X$" en algún sentido, es indistinguible de sus subredes, como es el caso de cualquier valor neto en un conjunto unitario, por ejemplo),, que es una idea que en realidad las ultrarredes hacen rigurosa. El lema del ultrafiltro es entonces la afirmación de que cada filtro ("red") tiene algún filtro subordinado ("subred") que es "máximamente subordinado" ("máximamente profundo").
Lema del ultrafiltro
El siguiente teorema importante se debe a Alfred Tarski (1930).
* Lema del ultrafiltro/principio/teorema
* Cada filtro en un conjunto $X$ es un subconjunto de algún ultrafiltro en $X.$
Una consecuencia del lema de los ultrafiltros es que cada filtro es igual a la intersección de todos los ultrafiltros que lo contienen. Suponiendo los axiomas de Zermelo–Fraenkel (ZF), el lema del ultrafiltro se deriva del axioma de elección (en particular, del lema de Zorn) pero es estrictamente más débil que él. El lema del ultrafiltro implica el axioma de elección para conjuntos finitos. Si solo se opera con espacios de Hausdorff, entonces la mayoría de los resultados básicos (como los que se encuentran en los cursos introductorios) en topología (como el teorema de Tíjonov para espacios compactos de Hausdorff y subbases) y en análisis funcional (como el teorema de Hahn–Banach) se pueden probar usando solo el lema del ultrafiltro, y pude no ser necesaria toda la fuerza del axioma de elección.

#### Núcleos

El núcleo es útil para clasificar propiedades de prefiltros y otras familias de conjuntos.
* El núcleo de una familia de conjuntos ${\mathcal {B}}$ es la intersección de todos los conjuntos que son elementos de ${\mathcal {B}}:$
* $\ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B$
Si ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$, entonces $\ker \left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right)=\ker {\mathcal {B}}$, y este conjunto también es igual al núcleo del sistema Π generado por ${\mathcal {B}}.$ En particular, si ${\mathcal {B}}$ es una subbase de filtros, entonces los núcleos de todos los siguientes conjuntos son iguales:
    (1) ${\mathcal {B}},$ (2) el sistema Π generado por ${\mathcal {B}},$ y (3) el filtro generado por ${\mathcal {B}}.$
Si $f$ es una aplicación, entonces $f(\ker {\mathcal {B}})\subseteq \ker f({\mathcal {B}}){\text{ y }}f^{-1}(\ker {\mathcal {B}})=\ker f^{-1}({\mathcal {B}}).$ Las familias equivalentes tienen núcleos iguales. Dos familias principales son equivalentes si y solo si sus núcleos son iguales.

##### Clasificación de familias por sus núcleos

* Una familia ${\mathcal {B}}$ de conjuntos es:
* Libre si $\ker {\mathcal {B}}=\varnothing ,$ o equivalentemente, si $\{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\subseteq {\mathcal {B}}^{\uparrow X};$ se puede reformular como $\{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\leq {\mathcal {B}}.$
* Un filtro ${\mathcal {F}}{\text{ sobre }}X$ es libre si y solo si $X$ es infinito y ${\mathcal {F}}$ contiene un filtro de Fréchet en $X$ como un subconjunto.
* Fijo si $\ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing$, en cuyo caso se dice que ${\mathcal {B}}$ está fijado por cualquier punto $x\in \ker {\mathcal {B}}.$
* Cualquier familia fija es necesariamente una subbase de filtros.
* Principal si $\ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}.$
* Una familia principal propia de conjuntos es necesariamente un prefiltro.
* Discreto o principal en $x\in X$ si $\{x\}=\ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}.$
* El filtro principal en $x{\text{ sobre }}X$ es el filtro $\{x\}^{\uparrow X}.$ Un filtro ${\mathcal {F}}$ es principal en $x$ si y solo si ${\mathcal {F}}=\{x\}^{\uparrow X}.$
* Numerablemente profundo si siempre que ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}$ es un subconjunto numerable, entonces $\ker {\mathcal {C}}\in {\mathcal {B}}.$
Si ${\mathcal {B}}$ es un filtro principal en $X$, entonces $\varnothing \neq \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}$ y ${\mathcal {B}}=\{\ker {\mathcal {B}}\}^{\uparrow X}$ y $\{\ker {\mathcal {B}}\}$ es también el prefiltro más pequeño que genera ${\mathcal {B}}.$
Familia de ejemplos: Para cualquier $C\subseteq \mathbb {R} ,$ no vacío, la familia ${\mathcal {B}}_{C}=\{\mathbb {R} \setminus (r+C)~:~r\in \mathbb {R} \}$ es libre pero es una subbase de filtros si y solo si ninguna unión finita de la forma $\left(r_{1}+C\right)\cup \cdots \cup \left(r_{n}+C\right)$ recubre $\mathbb {R} ,$ en cuyo caso el filtro que genere también será libre. En particular, ${\mathcal {B}}_{C}$ es una subbase de filtros si $C$ es numerable (por ejemplo, $C=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} ,$ los primos), un conjunto exiguo en $\mathbb {R} ,$ es un conjunto de medida finita o un subconjunto acotado de $\mathbb {R} .$ Si $C$ es un conjunto unitario, entonces ${\mathcal {B}}_{C}$ es una subbase para un filtro de Fréchet en $\mathbb {R} .$

##### Caracterización de ultra prefiltros fijos

Si una familia de conjuntos ${\mathcal {B}}$ es fija (es decir, $\ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing$), entonces ${\mathcal {B}}$ es ultra si y solo si algún elemento de ${\mathcal {B}}$ es un conjunto unitario, en cuyo caso ${\mathcal {B}}$ será necesariamente un prefiltro. Cada prefiltro principal es fijo, por lo que un prefiltro principal ${\mathcal {B}}$ es ultra si y solo si $\ker {\mathcal {B}}$ es un conjunto unitario.
Cada filtro en $X$ que es principal en un solo punto es un ultrafiltro, y si además $X$ es finito, entonces no hay ultrafiltros en $X$ aparte de estos.
El siguiente teorema muestra que cada ultrafiltro cae en una de dos categorías: o es libre o es un filtro principal generado por un solo punto.
* Proposición
* Si ${\mathcal {F}}$ es un ultrafiltro en $X$, entonces lo siguiente es equivalente:
* ${\mathcal {F}}$ es fijo o, equivalentemente, no libre, lo que significa que $\ker {\mathcal {F}}\neq \varnothing .$
* ${\mathcal {F}}$ es principal, lo que significa que $\ker {\mathcal {F}}\in {\mathcal {F}}.$
* Algún elemento de ${\mathcal {F}}$ es un conjunto finito.
* Algún elemento de ${\mathcal {F}}$ es un conjunto unitario.
* ${\mathcal {F}}$ es principal en algún punto de $X,$ lo que significa que $\ker {\mathcal {F}}=\{x\}\in {\mathcal {F}}$ para algunos $x\in X.$
* ${\mathcal {F}}$ no contiene el filtro de Fréchet en $X.$
* ${\mathcal {F}}$ es secuencial.

### Más fino/más grueso, subordinación y concordancia

El preorden $\,\leq \,$ que se define a continuación es de fundamental importancia para el uso de prefiltros (y filtros) en topología. Por ejemplo, este preorden se utiliza para definir el prefiltro equivalente a "subsucesión", donde "${\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}$" puede interpretarse como que "${\mathcal {F}}$ es una subsucesión de ${\mathcal {C}}$" (por lo que "subordinado a" es el equivalente para un prefiltro de "subsucesión de"). También se utiliza para definir la convergencia del prefiltro en un espacio topológico. La definición de ${\mathcal {B}}$ encaja con ${\mathcal {C}},$ que está estrechamente relacionada con el preorden $\,\leq ,$ y se utiliza en topología para definir puntos de acumulación.
Que dos familias de conjuntos ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}$ concuerdan y son compatibles, se indica escribiendo ${\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},$ si $B\cap C\neq \varnothing {\text{ para todo }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ y }}C\in {\mathcal {C}}.$ Si ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}$ no concuerdan, entonces se dice que están disociadas. Si $S\subseteq X{\text{ y }}{\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$, entonces ${\mathcal {B}}{\text{ y }}S$ se dice que concuerdan si ${\mathcal {B}}{\text{ y }}\{S\}$ concuerdan, o equivalentemente, si la traza de ${\mathcal {B}}{\text{ sobre }}S,$ que es la familia
    ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}=\{B\cap S~:~B\in {\mathcal {B}}\},$
no contiene el conjunto vacío, donde la traza también se denomina restricción de ${\mathcal {B}}{\text{ a }}S.$
* Declarar que ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}},{\text{ y }}{\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}},$ expresado como ${\mathcal {C}}$ es más grueso que ${\mathcal {F}}$ y ${\mathcal {F}}$ es más fino que (o está subordinado a) ${\mathcal {C}},$ si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
* Definición: cada $C\in {\mathcal {C}}$ contiene algún $F\in {\mathcal {F}}.$ Explícitamente, esto significa que para cada $C\in {\mathcal {C}},$ hay algún $F\in {\mathcal {F}}$ tal que $F\subseteq C$ (por lo tanto, ${\mathcal {C}}\ni C\supseteq F\in {\mathcal {F}}$ se mantiene).
* Dicho más concisamente, ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ si cada conjunto en ${\mathcal {C}}$ es más grande que algún conjunto en ${\mathcal {F}}.$ Aquí, un "conjunto más grande" significa un superconjunto.
* $\{C\}\leq {\mathcal {F}}{\text{ para todo }}C\in {\mathcal {C}}.$
* En otras palabras, $\{C\}\leq {\mathcal {F}}$ establece exactamente que $C$ es mayor que algún conjunto en ${\mathcal {F}}.$ La equivalencia de (a) y (b) se sigue inmediatamente.
* ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},$ lo que equivale a que ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}$;
* ${\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}$;
* ${\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},$ lo que equivale a que ${\mathcal {C}}^{\uparrow X}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}$;
* y si además ${\mathcal {F}}$ está cerrado hacia arriba, lo que significa que ${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}^{\uparrow X},$ entonces esta lista se puede ampliar para incluir:
* ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}.$
* Entonces, en este caso, esta definición de "${\mathcal {F}}$ es más fina que ${\mathcal {C}}$" sería idéntica a la definición topológica de "más fina" si ${\mathcal {C}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}$ hubieran tenido topologías en $X.$
* Si una familia cerrada hacia arriba ${\mathcal {F}}$ es más fina que ${\mathcal {C}}$ (es decir, ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$) pero ${\mathcal {C}}\neq {\mathcal {F}}$, entonces se dice que ${\mathcal {F}}$ es estrictamente más fina que ${\mathcal {C}}$ y ${\mathcal {C}}$ es Estrictamente más gruesa que ${\mathcal {F}}.$
* Dos familias son comparables si una de ellas es más fina que la otra.
Ejemplo: Si $x_{i_{\bullet }}=\left(x_{i_{n}}\right)_{n=1}^{\infty }$ es una subsucesión de $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$, entonces $\operatorname {Colas} \left(x_{i_{\bullet }}\right)$ está subordinada a $\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right).$ Expresado simbólicamente, $\operatorname {Colas} \left(x_{i_{\bullet }}\right)\vdash \operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)$ y también $\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Colas} \left(x_{i_{\bullet }}\right).$ Dicho en términos sencillos, el prefiltro de colas de una subsucesión siempre está subordinado al de la sucesión original. Para ver esto, supóngase que $C:=x_{\geq i}\in \operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)$ sea arbitrario (o, equivalentemente, que $i\in \mathbb {N}$ sea arbitrario) y queda por demostrar que este conjunto contiene algo de $F:=x_{i_{\geq n}}\in \operatorname {Colas} \left(x_{i_{\bullet }}\right).$ Para que el conjunto $x_{\geq i}=\left\{x_{i},x_{i+1},\ldots \right\}$ contenga a $x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{i_{n}},x_{i_{n+1}},\ldots \right\},$ es suficiente que $i\leq i_{n}.$ Dado que $i_{1}<i_{2}<\cdots$ son números enteros estrictamente crecientes, existe $n\in \mathbb {N}$ tal que $i_{n}\geq i,$ y, por lo tanto, $x_{\geq i}\supseteq x_{i_{\geq n}}$ se cumple, según se quería demostrar.
En consecuncia, $\operatorname {Filtro\,de\,colas} \left(x_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {Filtro\,de\,colas} \left(x_{i_{\bullet }}\right).$ El lado izquierdo de la ecuación será un subconjunto estricto/propio del lado derecho si (por ejemplo) cada punto de $x_{\bullet }$ es único (es decir, cuando $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X$ es inyectivo) y $x_{i_{\bullet }}$ es la subsucesión $\left(x_{2},x_{4},x_{6},\ldots \right)$ con índice par porque, en estas condiciones, cada cola $x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{2n},x_{2n+2},x_{2n+4},\ldots \right\}$ (para cada $n\in \mathbb {N}$) de la subsucesión, pertenecerá al filtro del lado derecho pero no al filtro del lado izquierdo.
Otro ejemplo. Si ${\mathcal {B}}$ es cualquier familia, entonces $\varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}\leq \{\varnothing \}$ siempre se mantiene y, además, $\{\varnothing \}\leq {\mathcal {B}}{\text{ si y solo si }}\varnothing \in {\mathcal {B}}.$
Una familia no vacía que sea más gruesa que una subbase de filtros debe ser en sí misma una subbase de filtros. Cada subbase de filtros es más gruesa que tanto el sistema Π que genera como el filtro que genera.
Si ${\mathcal {C}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}$ son familias tales que ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},$ la familia ${\mathcal {C}}$ es ultra, y $\varnothing \not \in {\mathcal {F}},$ entonces ${\mathcal {F}}$ es necesariamente ultra. De ello se deduce que cualquier familia que sea equivalente a una familia ultra necesariamente será ultra. En particular, si ${\mathcal {C}}$ es un prefiltro, entonces tanto ${\mathcal {C}}$ como el filtro ${\mathcal {C}}^{\uparrow X}$ que genera son ultra, o ninguno es ultra.
La relación $\,\leq \,$ es reflexiva y transitiva, lo que la convierte en un preorden en $\wp (\wp (X)).$. La relación $\,\leq \,{\text{ sobre }}\operatorname {Filtros} (X)$ es antisimétrica, pero si $X$ tiene más de un punto entonces no es simétrica.

#### Familias equivalentes de conjuntos

El preorden $\,\leq \,$ induce su relación de equivalencia canónica en $\wp (\wp (X)),$ donde para todo ${\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X)),$ ${\mathcal {B}}$ es equivalente a ${\mathcal {C}}$ si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
* ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}.$
* Los cierres hacia arriba de ${\mathcal {C}}{\text{ y }}{\mathcal {B}}$ son iguales.
Dos subconjuntos cerrados hacia arriba (en $X$) de $\wp (X)$ son equivalentes si y solo si son iguales. Si ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$, entonces necesariamente $\varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq \wp (X)$ y ${\mathcal {B}}$ es equivalente a ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}.$ Cada clase de equivalencia distinta de $\{\varnothing \}$ contiene un representante único (es decir, un elemento de la clase de equivalencia) que está cerrado hacia arriba en $X.$.
Propiedades preservadas entre familias equivalentes
Sea ${\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X))$ arbitrario y sea ${\mathcal {F}}$ cualquier familia de conjuntos. Si ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}$ son equivalentes (lo que implica que $\ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}$), entonces para cada una de las afirmaciones/propiedades enumeradas a continuación, o es verdadera para ambas ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}$ o es falsa para ambas ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}$:
* No vacío
* Propio (es decir, $\varnothing$ no es un elemento)
** Además, dos familias degeneradas cualesquiera son necesariamente equivalentes.
* Subbase de filtros
* Prefiltro
** En este caso, ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}$ generan el mismo filtro en $X$ (es decir, sus cierres hacia arriba en $X$ son iguales).
* Libre
* Dirigido
* Ultra
* Igual al filtro trivial $\{X\}$
** En otras palabras, esto significa que el único subconjunto de $\wp (X)$ que es equivalente al filtro trivial es el filtro trivial. En general, esta conclusión de igualdad no se extiende a filtros no triviales (una excepción es cuando ambas familias son filtros).
* Concordante con ${\mathcal {F}}$
* Ser más fina que ${\mathcal {F}}$
* Ser más gruesa que ${\mathcal {F}}$
* Ser equivalente a ${\mathcal {F}}$
En la lista anterior falta la palabra "filtro", porque esta propiedad no es conservada por la equivalencia. Sin embargo, si ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}$ son filtros en $X,$ entonces son equivalentes si y solo si son iguales. Esta caracterización no se extiende a los prefiltros.
Equivalencia de prefiltros y subbases de filtros
Si ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro en $X$, entonces las siguientes familias siempre son equivalentes entre sí:
* ${\mathcal {B}}$
* El sistema Π generado por ${\mathcal {B}}$
* El filtro en $X$ generado por ${\mathcal {B}}$
y además, estas tres familias generan el mismo filtro en $X$ (es decir, los cierres ascendentes en $X$ de estas familias son iguales).
En particular, cada prefiltro es equivalente al filtro que genera. Por transitividad, dos prefiltros son equivalentes si y solo si generan el mismo filtro. Cada prefiltro equivale exactamente a un filtro en $X,$ que es el filtro que genera (es decir, el cierre hacia arriba del prefiltro). Dicho de otra manera, cada clase de equivalencia de prefiltros contiene exactamente un representante que es un filtro. De esta manera, los filtros pueden considerarse simplemente elementos diferenciados de estas clases de equivalencia de prefiltros.
Una subbase de filtro que no sea también un prefiltro, no puede ser equivalente al prefiltro (o filtro) que genera. En cambio, cada prefiltro equivale al filtro que genera. Esta es la razón por la que los prefiltros pueden, en general, usarse indistintamente con los filtros que generan, mientras esto no se puede hacer con las subbases de filtros

## Propiedades en teoría de conjuntos y construcciones relevantes para la topología
### Traza y concordancia

Si ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro (respectivamente, filtro) en $X{\text{ y }}S\subseteq X$, entonces la traza de ${\mathcal {B}}{\text{ sobre }}S,$ que es la familia ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}:={\mathcal {B}}(\cap )\{S\},$ es un prefiltro (respectivamente, un filtro) si y solo si concuerdan ${\mathcal {B}}{\text{ y }}S$ (es decir, $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap )\{S\}$), en cuyo caso se dice que la traza de ${\mathcal {B}}{\text{ sobre }}S$ es inducida por $S$. La traza es siempre más fina que la familia original; es decir, ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}.$ Si ${\mathcal {B}}$ es ultra y si ${\mathcal {B}}{\text{ y }}S$ concuerdan, entonces la traza ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}$ es ultra. Si ${\mathcal {B}}$ es un ultrafiltro en $X$, entonces la traza de ${\mathcal {B}}{\text{ sobre }}S$ es un filtro en $S$ si y solo si $S\in {\mathcal {B}}.$
Por ejemplo, supóngase que ${\mathcal {B}}$ es un filtro en $X{\text{ y }}S\subseteq X$ y es tal que $S\neq X{\text{ y }}X\setminus S\not \in {\mathcal {B}}.$ Entonces, ${\mathcal {B}}{\text{ y }}S$ concuerdan y ${\mathcal {B}}\cup \{S\}$ genera un filtro en $X$ que es estrictamente más fino que ${\mathcal {B}}.$
Concordancia de prefiltros Dadas las familias no vacías ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}},$ la familia
    ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}:=\{B\cap C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ y }}C\in {\mathcal {C}}\}$
satisface que ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ y ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.$ Si ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ es apropiado (respectivamente, un prefiltro, una subbase de filtros), entonces esto también es cierto para ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}.$ Para poder hacer deducciones significativas sobre ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ de ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}},{\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ es necesario que sea propio (es decir, $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}},$ que es la motivación para la definición de "concordancia". En este caso, ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ es un prefiltro (o subbase de filtros) si y solo si esto es cierto tanto para ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}.$ Dicho de otra manera, si ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}$ son prefiltros, entonces concuerdan si y solo si ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ es un prefiltro. La generalización da una caracterización bien conocida de "concordancia" enteramente en términos de subordinación (es decir, $\,\leq \,$):
Dos prefiltros (respectivamente, subbases de filtros) ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}$ concuerdan si y solo si existe un prefiltro (respectivamente, subbase de filtros) ${\mathcal {F}}$ tal que ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ y ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.$
Si el límite superior mínimo de dos filtros ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}$ existe en $\operatorname {Filtros} (X)$, entonces este límite superior mínimo es igual a ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.$

### Imágenes y preimágenes bajo funciones

En todo momento, $f:X\to Y{\text{ y }}g:Y\to Z$ serán aplicaciones entre conjuntos no vacíos.
Imágenes de prefiltros
Sea ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).$ Muchas de las propiedades que ${\mathcal {B}}$ pueda tener se conservan bajo imágenes de aplicaciones. Las excepciones notables incluyen estar cerrado hacia arriba, estar cerrado bajo intersecciones finitas y ser un filtro, que no necesariamente se conservan.
Explícitamente, si una de las siguientes propiedades es cierta para ${\mathcal {B}}{\text{ sobre }}Y,$ entonces necesariamente también será cierta para $g({\mathcal {B}}){\text{ sobre }}g(Y)$ (aunque posiblemente no en el codominio $Z$, a menos que $g$ sea sobreyectiva): ultra, ultrafiltro, filtro, prefiltro, subbase de filtro, ideal dual, cerrado hacia arriba, propio/no degenerado, ideal, cerrado bajo uniones finitas, cerrado hacia abajo, dirigido hacia arriba. Además, si ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y)$ es un prefiltro, también lo son $g({\mathcal {B}}){\text{ y }}g^{-1}(g({\mathcal {B}})).$. La imagen bajo una aplicación $f:X\to Y$ de un conjunto ultra ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ es nuevamente ultra y si ${\mathcal {B}}$ es un ultra prefiltro, entonces también lo es $f({\mathcal {B}}).$
Si ${\mathcal {B}}$ es un filtro, entonces $g({\mathcal {B}})$ es un filtro en el rango $g(Y),$ pero es un filtro en el codominio $Z$ si y solo si $g$ es sobreyectiva. De lo contrario, es solo un prefiltro en $Z$ y su cierre hacia arriba debe tomarse en $Z$ para obtener un filtro. El cierre hacia arriba de $g({\mathcal {B}}){\text{ en }}Z$ es
    $g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~B\subseteq g^{-1}(S){\text{ para algún }}B\in {\mathcal {B}}\right\}$
donde si ${\mathcal {B}}$ está cerrado hacia arriba en $Y$ (es decir, es un filtro), esto se simplifica a:
    $g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~g^{-1}(S)\in {\mathcal {B}}\right\}.$
Si $X\subseteq Y$, entonces se debe tomar $g$ como la aplicación de inclusión. $X\to Y$ muestra que cualquier prefiltro (respectivamente, ultra prefiltro, subbase de filtro) en $X$ también es un prefiltro (respectivamente, ultra prefiltro, subbase de filtros) en $Y.$
Preimágenes de prefiltros
Sea ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).$ Bajo el supuesto de que $f:X\to Y$ es sobreyectiva, se cumple que:
$f^{-1}({\mathcal {B}})$ es un prefiltro (respectivamente, subbase de filtros, sistema Π, cerrado bajo uniones finitas, propio) si y solo si esto es cierto para ${\mathcal {B}}.$
Sin embargo, si ${\mathcal {B}}$ es un ultrafiltro en $Y$, incluso si $f$ es sobreyectiva (lo que convertiría a $f^{-1}({\mathcal {B}})$ en un prefiltro), aún es posible que el prefiltro $f^{-1}({\mathcal {B}})$ no sea ni ultra ni un filtro en $X.$ .
Si $f:X\to Y$ no es sobreyectiva, entonces se denomina traza de ${\mathcal {B}}{\text{ sobre }}f(X)$ por ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},$ donde en este caso particular la traza satisface que:
    ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}=f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right)$
y en consecuencia, también que:
    $f^{-1}({\mathcal {B}})=f^{-1}\left({\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}\right).$
Esta última igualdad y el hecho de que la traza ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}$ sea una familia de conjuntos sobre $f(X)$, significa que para sacar conclusiones sobre $f^{-1}({\mathcal {B}}),$ se puede utilizar la traza ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}$ en lugar de ${\mathcal {B}}$ y la sobreyección $f:X\to f(X)$ se puede utilizar en lugar de $f:X\to Y.$ Por ejemplo:
$f^{-1}({\mathcal {B}})$ es un prefiltro (respectivamente, subbase de filtros, sistema Π, propio) si y solo si esto es cierto para ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}.$
De esta manera, el caso en el que $f$ no es (necesariamente) sobreyectiva se puede reducir al caso de una función sobreyectiva (que es un caso que se describió al comienzo de esta subsección).
Incluso si ${\mathcal {B}}$ es un ultrafiltro en $Y,$ y si $f$ no es sobreyectiva, es posible que $\varnothing \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},$ lo que haría que $f^{-1}({\mathcal {B}})$ también sea degenerada. La siguiente caracterización muestra que la degeneración es el único obstáculo. Si ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro, entonces lo siguiente es equivalente:
* $f^{-1}({\mathcal {B}})$ es un prefiltro
* ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}$ es un prefiltro
* $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}$
* ${\mathcal {B}}$ concuerda con $f(X)$
y además, si $f^{-1}({\mathcal {B}})$ es un prefiltro, entonces también lo es $f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right).$
Si $S\subseteq Y$ y $\operatorname {In} :S\to Y$ denotan la aplicación de inclusión, entonces la traza de ${\mathcal {B}}{\text{ sobre }}S$ es igual a $\operatorname {In} ^{-1}({\mathcal {B}}).$ Esta observación permite que los resultados de esta subsección se apliquen a la investigación de la traza en un conjunto.

#### Preservación de la subordinación a través de imágenes y preimágenes

La relación $\,\leq \,$ se conserva tanto en imágenes como en preimágenes de familias de conjuntos. Esto significa que para cualquier familia ${\mathcal {C}}{\text{ y }}{\mathcal {F}},$
    ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}\quad {\text{ implica que }}\quad g({\mathcal {C}})\leq g({\mathcal {F}})\quad {\text{ y }}\quad f^{-1}({\mathcal {C}})\leq f^{-1}({\mathcal {F}}).$
Además, las siguientes relaciones siempre se cumplen para cualquier familia de conjuntos ${\mathcal {C}}$:
    ${\mathcal {C}}\leq f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)$
donde la igualdad se mantendrá si $f$ es sobreyectivo. Además,
    $f^{-1}({\mathcal {C}})=f^{-1}\left(f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)\right)\quad {\text{ y }}\quad g({\mathcal {C}})=g\left(g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\right).$
Si ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ y }}{\mathcal {C}}\subseteq \wp (Y)$ entonces
    $f({\mathcal {B}})\leq {\mathcal {C}}\quad {\text{ si y solo si }}\quad {\mathcal {B}}\leq f^{-1}({\mathcal {C}})$
y $g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\leq {\mathcal {C}}$ donde se mantendrá la igualdad si $g$ es inyectiva.

### Productos de prefiltros

Supóngase que $X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}$ es una familia de uno o más conjuntos no vacíos, cuyo producto se denotará por ${\textstyle \prod _}X_{\bullet }:={\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},$ y para cada índice $i\in I,$ sea
    $\Pr_{X_{i}}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}$
denotando la proyección canónica. Sean ${\mathcal {B}}_{\bullet }:=\left({\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}$ familias no vacías, también indexadas por $I,$ de modo que ${\mathcal {B}}_{i}\subseteq \wp \left(X_{i}\right)$ para cada $i\in I.$ El producto de las familias ${\mathcal {B}}_{\bullet }$ se define de manera idéntica a cómo se definen los subconjuntos abiertos básicos de la topología producto (si todos estos ${\mathcal {B}}_{i}$ hubieran sido topologías). Es decir, la notación
    $\prod _{\mathcal {B}}_{\bullet }=\prod _{i\in I}{\mathcal {B}}_{i}$
denota la familia de todos los subconjuntos de cilindros ${\textstyle \prod \limits _{i\in I}}S_{i}\subseteq {\textstyle \prod }X_{\bullet }$ tal que $S_{i}=X_{i}$ para todos menos un número finito de $i\in I$ y donde $S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}$ para cualquiera de estas finitas excepciones (es decir, para cualquier $i$ tal que $S_{i}\neq X_{i},$ necesariamente $S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}$). Cuando cada ${\mathcal {B}}_{i}$ es una subbase de filtros, entonces la familia ${\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}\Pr_{X_{i}}^{-1}\left({\mathcal {B}}_{i}\right)$ es una subbase de filtros para el filtro en ${\textstyle \prod }X_{\bullet }$ generado por ${\mathcal {B}}_{\bullet }.$ Si ${\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }$ es una subbase de filtros, entonces el filtro en ${\textstyle \prod }X_{\bullet }$ que genera se denomina filtro generado por ${\mathcal {B}}_{\bullet }$. Si cada ${\mathcal {B}}_{i}$ es un prefiltro en $X_{i}$, entonces ${\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }$ será un prefiltro en ${\textstyle \prod }X_{\bullet }$ y, además, este prefiltro es igual al prefiltro más grueso ${\mathcal {F}}{\text{ sobre }}{\textstyle \prod }X_{\bullet }$, de modo que $\Pr_{X_{i}}({\mathcal {F}})={\mathcal {B}}_{i}$ por cada $i\in I.$ Sin embargo, es posible que ${\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }$ no sea un filtro en ${\textstyle \prod }X_{\bullet }$ incluso si cada ${\mathcal {B}}_{i}$ es un filtro en $X_{i}.$

## Convergencia, límites y puntos de acumulación

En todo momento, $(X,\tau )$ es un espacio topológico.
Prefiltros frente a filtros
Con respecto a aplicaciones y subconjuntos, la propiedad de ser un prefiltro en general se comporta mejor y se conserva mejor que la propiedad de ser un filtro. Por ejemplo, la imagen de un prefiltro bajo una aplicación es nuevamente un prefiltro; pero la imagen de un filtro bajo una aplicación no sobreyectiva nunca es un filtro en el codominio, aunque será un prefiltro. La situación es la misma con las preimágenes bajo aplicaciones no inyectivas (incluso si la aplicación es sobreyectiva). Si $S\subseteq X$ es un subconjunto propio, entonces cualquier filtro en $S$ no será un filtro en $X,$ aunque será un prefiltro.
Una ventaja que tienen los filtros es que son representantes distinguidos de su clase de equivalencia (en relación con $\,\leq$), lo que significa que cualquier clase de equivalencia de prefiltros contiene un filtro único. Esta propiedad puede resultar útil cuando se trata de clases de equivalencia de prefiltros (por ejemplo, son útiles en la construcción de completaciones de espacios uniformes mediante filtros de Cauchy). Las numerosas propiedades que caracterizan a los ultrafiltros también suelen ser útiles. Se utilizan, por ejemplo, para construir la compactación Stone-Čech. El uso de ultrafiltros generalmente requiere que se asuma el lema del ultrafiltro. Pero en los muchos campos donde se supone el axioma de elección (o el teorema de Hahn–Banach), el lema del ultrafiltro necesariamente se cumple y no requiere la suposición de existencia de una suma.
Una nota sobre la intuición
Supóngase que ${\mathcal {F}}$ es un filtro no principal en un conjunto infinito $X.$ ${\mathcal {F}}$ tiene una propiedad "hacia arriba" (la de estar cerrado hacia arriba) y una propiedad "hacia abajo" (la de estar dirigido hacia abajo). A partir de cualquier $F_{0}\in {\mathcal {F}},$ siempre existe algún $F_{1}\in {\mathcal {F}}$ que es un subconjunto propio $F_{0}$. Esto puede continuar hasta el infinito para obtener una sucesión $F_{0}\supsetneq F_{1}\supsetneq \cdots$ de conjuntos en ${\mathcal {F}}$, siendo cada $F_{i+1}$ un subconjunto propio de $F_{i}.$ Lo mismo no es verdadero yendo "hacia arriba", porque si $F_{0}=X\in {\mathcal {F}}$, entonces no hay ningún conjunto en ${\mathcal {F}}$ que contenga a $X$ como un subconjunto propio. Por lo tanto, cuando se trata de limitar el comportamiento (que es un tema central en el campo de la topología), ir "hacia arriba" conduce a un callejón sin salida, mientras que ir "hacia abajo" suele ser fructífero. Entonces, para comprender e intuir cómo los filtros (y los prefiltros) se relacionan con los conceptos de topología, la propiedad "hacia abajo" suele ser en la que hay que concentrarse. Esta es también la razón por la que tantas propiedades topológicas se pueden describir usando solo prefiltros, en lugar de requerir filtros (que solo se diferencian de los prefiltros en que también están cerrados hacia arriba). La propiedad "hacia arriba" de los filtros es menos importante para la intuición topológica, pero a veces es útil disponer de ella por razones técnicas. Por ejemplo, con respecto a $\,\subseteq ,$ cada subbase de filtros está contenida en un filtro más pequeño único, pero puede que no exista un prefiltro más pequeño único que lo contenga.

### Límites y convergencia

Se dice que una familia ${\mathcal {B}}$ converge en $(X,\tau )$ a un punto o subconjunto $x$ de $X$ si ${\mathcal {B}}\geq {\mathcal {N}}(x).$ Explícitamente, ${\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {B}}$ significa que cada entorno $N{\text{ de }}x$ contiene algún $B\in {\mathcal {B}}$ como subconjunto (es decir, $B\subseteq N$). Por lo tanto, se cumple lo siguiente: ${\mathcal {N}}\ni N\supseteq B\in {\mathcal {B}}.$ En otras palabras, una familia converge a un punto o subconjunto $x$ si y solo si es más fino que el filtro de entornos en $x.$ Una familia ${\mathcal {B}}$ que converge a un punto o subconjunto $x$ se puede indicar escribiendo ${\mathcal {B}}\to x{\text{ o }}\lim {\mathcal {B}}\to x{\text{ en }}X$ y diciendo que $x$ es un límite de ${\mathcal {B}}{\text{ en }}X;$ si este límite $x$ es un punto (y no un subconjunto), entonces $x$ también es llamado punto límite. Como de costumbre, $\lim {\mathcal {B}}=x$ se define para significar que ${\mathcal {B}}\to x$ y $x\in X$ es el punto límite solo de ${\mathcal {B}}$, es decir, si también ${\mathcal {B}}\to z{\text{ entonces }}z=x.$) Si la notación "$\lim {\mathcal {B}}=x$" no requiriera también que el punto límite $x$ fuera único, entonces ya no se garantizaría que la relación = fuera transitiva. El conjunto de todos los puntos límite de ${\mathcal {B}}$ se denota por $\lim_{X}{\mathcal {B}}{\text{ o }}\lim {\mathcal {B}}.$
En las definiciones anteriores, basta con comprobar que ${\mathcal {B}}$ es más fina que algunas (o equivalentemente, más fina que todas) bases de entornos en $(X,\tau )$ del punto o conjunto (por ejemplo, como $\tau (x)=\{U\in \tau :x\in U\}$ o $\tau (S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}\tau (s)$ cuando $S\neq \varnothing$).
Ejemplos
Si $X:=\mathbb {R} ^{n}$ es el espacio euclídeo y $\|x\|$ denota la norma euclídea (que es la distancia desde el origen, definida como de costumbre), entonces todas las siguientes familias convergen al origen:
* El prefiltro $\{B_{r}(0):0<r\leq 1\}$ de todas las bolas abiertas centradas en el origen, donde $B_{r}(z)=\{x:\|x-z\|<r\}.$
* El prefiltro $\{B_{\leq r}(0):0<r\leq 1\}$ de todas las bolas cerradas centradas en el origen, donde $B_{\leq r}(z)=\{x:\|x-z\|\leq r\}.$ Este prefiltro es equivalente al anterior.
* El prefiltro $\{R\cap B_{\leq r}(0):0<r\leq 1\}$ donde $R=S_{1}\cup S_{1/2}\cup S_{1/3}\cup \cdots$ es una unión de esferas $S_{r}=\{x:\|x\|=r\}$ centradas en el origen que tienen radios progresivamente más pequeños. Esta familia consta de los conjuntos $S_{1/n}\cup S_{1/(n+1)}\cup S_{1/(n+2)}\cup \cdots$, ya que $n$ abarca los números enteros positivos.
* Cualquiera de las familias anteriores pero con el radio $r$ sobre $1,\,1/2,\,1/3,\,1/4,\ldots$ (o sobre cualquier otra sucesión positiva decreciente) en lugar de sobre todos los reales positivos.
** Diseñar o imaginar cualquiera de estas sucesiones de conjuntos cuando $X=\mathbb {R} ^{2}$ tiene dimensión $n=2$ sugiere que intuitivamente, estos conjuntos "deberían" converger al origen (y de hecho lo hacen). Esta es la intuición que la definición anterior de "prefiltro convergente" hace rigurosa. Aunque se supuso que $\|\cdot \|$ era la norma euclídea, el ejemplo anterior sigue siendo válido para cualquier otra norma en $\mathbb {R} ^{n}.$
El único punto límite en $X:=\mathbb {R}$ del prefiltro libre $\{(0,r):r>0\}$ es $0$, ya que cada bola abierta alrededor del origen contiene algún intervalo abierto de esta forma. El prefiltro fijo ${\mathcal {B}}:=\{[0,1+r):r>0\}$ no converge en $\mathbb {R}$ a ningún punto, y por lo tanto, $\lim {\mathcal {B}}=\varnothing ,$ aunque ${\mathcal {B}}$ sí converge al conjunto $\ker {\mathcal {B}}=[0,1]$ desde ${\mathcal {N}}([0,1])\leq {\mathcal {B}}.$ Sin embargo, no todos los prefiltros fijos convergen a su núcleo. Por ejemplo, el prefiltro fijo $\{[0,1+r)\cup (1+1/r,\infty ):r>0\}$ también contiene el núcleo $[0,1]$, pero no converge (en $\mathbb {R}$) a él.
El prefiltro libre $(\mathbb {R} ,\infty ):=\{(r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}$ de intervalos no converge (en $\mathbb {R}$) a ningún punto, y converge a un subconjunto $S\subseteq \mathbb {R}$ si y solo si $S\in (\mathbb {R} ,\infty )^{\uparrow \mathbb {R} }$ (es decir, si y solo si el conjunto contiene algún intervalo de la forma $(r,\infty )$ como subconjunto). Lo mismo ocurre con el prefiltro $[\mathbb {R} ,\infty ):=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}$ porque es equivalente a $(\mathbb {R} ,\infty )$ y las familias equivalentes tienen los mismos límites. De hecho, si ${\mathcal {B}}$ es cualquier prefiltro en cualquier espacio topológico $X$, entonces para cada $S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X},$ ${\mathcal {B}}\to S;$ en particular, cada prefiltro converge al conjunto $X.$ De manera más general, debido a que el único entorno de $X$ es él mismo (es decir, ${\mathcal {N}}(X)=\{X\}$), cada familia no vacía (incluidas todas las subbases de filtros) converge a $X.$
Para cualquier punto o subconjunto $x,$ su filtro de entornos ${\mathcal {N}}(x)\to x$ siempre converge a $x.$ Más generalmente, cualquier base de entornos en $x$ converge a $x.$ En cualquier espacio topológico, una familia converge a un punto $x$ si y solo si converge al conjunto unitario $\{x\}.$ Cuando un espacio lleva asociada la topología trivial, entonces cada familia no vacía converge a cada subconjunto no vacío (y por lo tanto, también a cada punto, dado que los conjuntos unitarios no están vacíos). Un punto $x$ es siempre un punto límite del ultraprefiltro principal $\{\{x\}\}$ y del ultrafiltro que genera. La familia vacía ${\mathcal {B}}=\varnothing$ no converge a ningún punto ni a ningún conjunto. Debido a que el conjunto vacío es siempre un entorno abierto de sí mismo, una familia ${\mathcal {B}}$ converge a $\varnothing$ si y solo si $\varnothing \in {\mathcal {B}}.$ Por lo tanto, ningún filtro, prefiltro u otra familia no degenerada puede converger al conjunto vacío.
Si $S\neq \varnothing$ es un subconjunto no vacío, entonces ${\mathcal {N}}(S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}{\mathcal {N}}(s)$ y, en consecuencia, si ${\mathcal {B}}\to s$ es para todos los $s\in S$, entonces ${\mathcal {B}}\to S.$ Aplicando esto a $S:=\lim {\mathcal {B}},$ se deduce que si una familia ${\mathcal {B}}$ tiene al menos un punto límite, entonces converge a su conjunto de puntos límite: ${\mathcal {B}}\to \lim {\mathcal {B}}.$
Propiedades básicas
Si ${\mathcal {B}}$ converge a un punto o subconjunto, entonces lo mismo ocurre con cualquier familia más fina que ${\mathcal {B}}.$ Esto tiene muchas consecuencias importantes. Una consecuencia es que los puntos límite de una familia ${\mathcal {B}}$ son los mismos que los puntos límite de su cierre hacia arriba:
    $\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}~=~\operatorname {lim} _{X}\left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right).$
En particular, los puntos límite de un prefiltro son los mismos que los puntos límite del filtro que genera. Otra consecuencia es que si una familia converge en un punto (o subconjunto), entonces lo mismo ocurre con la traza/restricción de la familia a cualquier subconjunto dado de $X.$ Si ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro y $B\in {\mathcal {B}}$, entonces ${\mathcal {B}}$ converge a un punto (o subconjunto) de $X$ si y solo si esto es cierto para la traza ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{B}.$ Si una subbase de filtros converge a un punto o subconjunto, entonces lo hace el filtro y el sistema Π que genera, aunque no se garantiza lo contrario. Por ejemplo, la subbase de filtros $\{(-\infty ,0],[0,\infty )\}$ no converge a $0$ en $X:=\mathbb {R}$, aunque el filtro (principio ultra) que genera sí lo hace.
Dado $x\in X,$ lo siguiente es equivalente para un prefiltro ${\mathcal {B}}:$
* ${\mathcal {B}}$ converge a $x.$
* ${\mathcal {B}}$ converge al conjunto $\{x\}.$
* ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ converge a $x.$
* Existe una familia equivalente a ${\mathcal {B}}$ que converge a $x.$
Debido a que la subordinación es transitiva, si ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}{\text{ entonces }}\lim_{X}{\mathcal {B}}\subseteq \lim_{X}{\mathcal {C}}$ y además, para cada $x\in X,$ tanto $\{x\}$ como el máximo/ultrafiltro $\{x\}^{\uparrow X}$ convergen a $x.$ Así, todo espacio topológico $(X,\tau )$ induce una convergencia $\xi \subseteq X\times \operatorname {Filtros} (X)$ definido por $(x,{\mathcal {B}})\in \xi {\text{ si y solo si }}x\in \lim_{(X,\tau )}{\mathcal {B}}.$ En el otro extremo, el filtro de entornos ${\mathcal {N}}(x)$ es el filtro más pequeño (es decir, el más grueso) en $X$ que converge a $x$, es decir, cualquier filtro que converja a $x$ debe contener a ${\mathcal {N}}(x)$) como un subconjunto. Dicho de otra manera, la familia de filtros que convergen a $x$ consta exactamente de aquellos filtros en $X$ que contienen a ${\mathcal {N}}(x)$ como subconjunto. En consecuencia, cuanto más fina sea la topología en $X$, entonces existen menos prefiltros que tengan puntos límite en $X.$

### Puntos de acumulación

Se dice que una familia ${\mathcal {B}}$ presenta una acumulación en un punto o subconjunto $x$ de $X$ si concuerda con el filtro de entornos de $x$, es decir, si ${\mathcal {B}}\#{\mathcal {N}}(x).$ Explícitamente, esto significa que $B\cap N\neq \varnothing {\text{ para todo }}B\in {\mathcal {B}}$ y cada entorno $N$ de $x.$ En particular, un punto $x\in X$ es un punto de acumulación de una familia ${\mathcal {B}}$ si ${\mathcal {B}}$ concuerda con el filtro de entorno en $x:\ {\mathcal {B}}\#{\mathcal {N}}(x).$ El conjunto de todos los puntos de acumulación de ${\mathcal {B}}$ se denota por $\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}},$ donde el subíndice puede eliminarse si no es necesario.
En las definiciones anteriores, basta con comprobar que ${\mathcal {B}}$ concuerda con alguna (o equivalentemente, concuerda con todos) base de entornos en $X$ de $x{\text{ o }}S.$ Cuando ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro, entonces la definición de "concordancia de ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {N}}$" se puede caracterizar completamente en términos del preorden de subordinación $\,\leq \,.$
Dos familias de conjuntos equivalentes tienen exactamente los mismos puntos límite y también los mismos puntos de acumulación. No importa la topología, para cada $x\in X,$ tanto $\{x\}$ como la acumulación del ultrafiltro principal $\{x\}^{\uparrow X}$ en $x.$ Para cualquier $S\subseteq X,$ si ${\mathcal {B}}$ se agrupa en algún $s\in S$, entonces ${\mathcal {B}}$ se acumula en $S.$ No hay acumulaciones de familias en $S:=\varnothing$ y si $\varnothing \in {\mathcal {B}}{\text{ entonces }}\varnothing =\operatorname {cl} {\mathcal {B}}.$ Si ${\mathcal {B}}$ se acumula en un punto o subconjunto, entonces lo mismo se aplica a cualquier familia más gruesa que ${\mathcal {B}}.$ En consecuencia, los puntos del grupo de una familia ${\mathcal {B}}$ son los mismos que los puntos del grupo de su cierre hacia arriba:
    $\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}~=~\operatorname {cl} _{X}\left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right).$
En particular, los puntos de acumulación de un prefiltro son los mismos que los puntos de acumulación del filtro que genera.
Dado $x\in X,$ los siguientes enunciados son equivalentes para un prefiltro ${\mathcal {B}}{\text{ sobre }}X$:
* ${\mathcal {B}}$ se acumula en $x.$
* ${\mathcal {B}}$ se acumula en el conjunto $\{x\}.$
* La familia ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ generada por ${\mathcal {B}}$ se acumula en $x.$
* Existe una familia equivalente a ${\mathcal {B}}$ que se acumula en $x.$
* $x\in {\textstyle \bigcap \limits _{F\in {\mathcal {B}}}}\operatorname {cl} _{X}F.$
* $X\setminus N\not \in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ para cada entorno $N$ de $x.$
** Si ${\mathcal {B}}$ es un filtro en $X$, entonces $x\in \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}{\text{ si y solo si }}X\setminus N\not \in {\mathcal {B}}$ para cada entorno $N{\text{ de }}x.$
* Existe un prefiltro ${\mathcal {F}}$ subordinado a ${\mathcal {B}}$ (es decir, ${\mathcal {F}}\geq {\mathcal {B}}$) que converge a $x.$
** Este es el filtro equivalente a $x$, con un punto de acumulación de una sucesión si y solo si existe una subsecuencia convergente a $x.$
** En particular, si $x$ es un punto de acumulación de un prefiltro ${\mathcal {B}}$, entonces ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {N}}(x)$ es un prefiltro subordinado a ${\mathcal {B}}$ que converge a $x.$
El conjunto $\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}$ de todos los puntos de acumulación de un prefiltro ${\mathcal {B}}$ satisface que
    $\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\operatorname {cl} _{X}B.$
En consecuencia, el conjunto $\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}$ de todos los puntos de acumulación de cualquier prefiltro de ${\mathcal {B}}$ es un subconjunto cerrado de $X.$ Esto también justifica la notación $\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}$ para el conjunto de puntos de acumulación. En particular, si $K\subseteq X$ no está vacío (de modo que ${\mathcal {B}}:=\{K\}$ es un prefiltro), entonces $\operatorname {cl} _{X}\{K\}=\operatorname {cl} _{X}K$, ya que ambos lados son iguales a ${\textstyle \bigcap \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\operatorname {cl} _{X}B.$

### Propiedades y relaciones

Al igual que las sucesiones y las redes, es posible que un prefiltro en un espacio topológico de cardinalidad infinita no tenga ningún punto de acumulación o punto límite.
Si $x$ es un punto límite de ${\mathcal {B}}$, entonces $x$ es necesariamente un punto límite de cualquier familia ${\mathcal {C}}$ más fina que ${\mathcal {B}}$ (es decir, si ${\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}$ entonces ${\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {C}}$). Por el contrario, si $x$ es un punto de acumulación de ${\mathcal {B}}$, entonces $x$ es necesariamente un punto de acumulación de cualquier familia ${\mathcal {C}}$ más gruesa que ${\mathcal {B}}$ (es decir, si ${\mathcal {N}}(x){\text{ y }}{\mathcal {B}}$ concuerdan y ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}$, entonces ${\mathcal {N}}(x){\text{ y }}{\mathcal {C}}$ concuerdan).
Familias equivalentes y subordinación
Cualquiera de las dos familias equivalentes ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {C}}$ se pueden utilizar indistintamente en las definiciones de "límite de" y "acumulación en" porque su equivalencia garantiza que ${\mathcal {N}}\leq {\mathcal {B}}$ si y solo si ${\mathcal {N}}\leq {\mathcal {C}},$ y también que ${\mathcal {N}}\#{\mathcal {B}}$ si y solo si ${\mathcal {N}}\#{\mathcal {C}}.$ En esencia, el preorden $\,\leq \,$ es incapaz de distinguir entre familias equivalentes. Dados dos prefiltros, independientemente de si concuerdan o no, se pueden caracterizar enteramente en términos de subordinación. Por lo tanto, los dos conceptos más fundamentales relacionados con la topología de (pre)filtros (es decir, puntos límite y de acumulación) pueden definirse enteramente en términos de la relación de subordinación. Es por eso que el preorden $\,\leq \,$ es de gran importancia al aplicar (pre)filtros a la topología.
Relaciones entre puntos límite y de acumulación y condiciones suficientes
Cada punto límite de una familia ${\mathcal {B}}$ no degenerada es también un punto de acumulación. En símbolos:
    $\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}.$
Esto se debe a que si $x$ es un punto límite de ${\mathcal {B}}$, entonces ${\mathcal {N}}(x){\text{ y }}{\mathcal {B}}$ concuerdan, lo que convierte a $x$ en un punto de acumulación de ${\mathcal {B}}.$ Pero en general, un punto de acumulación no tiene por qué ser un punto límite. Por ejemplo, cada punto en cualquier subconjunto no vacío $K\subseteq X$ es un punto de acumulación del prefiltro principal ${\mathcal {B}}:=\{K\}$ (sin importar qué topología haya en $X$), pero si $X$ es de Hausdorff y $K$ tiene más de un punto, entonces este prefiltro no tiene puntos límite. Lo mismo ocurre con el filtro $\{K\}^{\uparrow X}$ que genera este prefiltro.
Sin embargo, cada punto de acumulación de un ultra prefiltro es un punto límite. En consecuencia, los puntos límite de un ultra prefiltro ${\mathcal {B}}$ son los mismos que sus puntos de acumulación: $\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}=\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}},$ es decir, un punto dado es un punto de acumulación de un ultra prefiltro ${\mathcal {B}}$ si y solo si ${\mathcal {B}}$ converge a ese punto. Aunque un punto de acumulación de un filtro no tiene por qué ser un punto límite, siempre existirá un filtro más fino que converge hacia él. En particular, si ${\mathcal {B}}$ se agrupa en $x$, entonces ${\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {N}}(x)=\{B\cap N:B\in {\mathcal {B}},N\in {\mathcal {N}}(x)\}$ es una subbase de filtros cuyo filtro generado converge a $x.$
Si $\varnothing \neq {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ y }}{\mathcal {S}}\geq {\mathcal {B}}$ es una subbase de filtros tal que ${\mathcal {S}}\to x{\text{ en }}X$, entonces $x\in \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}.$ En particular, cualquier punto límite de una subbase de filtros subordinada a ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ es necesariamente también un punto de acumulación de ${\mathcal {B}}.$ Si $x$ es un punto de acumulación de un prefiltro ${\mathcal {B}}$, entonces ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {N}}(x)$ es un prefiltro subordinado a ${\mathcal {B}}$ que converge a $x{\text{ en }}X.$
Si $S\subseteq X$ y ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro en $S$, entonces cada punto de acumulación de ${\mathcal {B}}{\text{ en }}X$ pertenece a $\operatorname {cl} _{X}S$, y cualquier punto en $\operatorname {cl} _{X}S$ es un punto límite de un filtro en $S.$
Conjuntos primitivos
Un subconjunto $P\subseteq X$ se denomina primitivo si es el conjunto de puntos límite de algún ultrafiltro (o equivalentemente, de algún ultra prefiltro). Es decir, si existe un ultrafiltro ${\mathcal {B}}{\text{ sobre }}X$ tal que $P$ es igual a $\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}},$ que denota el conjunto de puntos límite de ${\mathcal {B}}{\text{ en }}X.$ Dado que los puntos límite son los mismos que los puntos de acumulación de los ultra prefiltros, un subconjunto es primitivo si y solo si es igual al conjunto $\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}$ de puntos de acumulación de algún ultra prefiltro ${\mathcal {B}}.$ Por ejemplo, todo subconjunto unitario cerrado es primitivo. La imagen de un subconjunto primitivo de $X$ bajo una aplicación continua $f:X\to Y$ está contenida en un subconjunto primitivo de $Y.$
Supóngase que $P,Q\subseteq X$ son dos subconjuntos primitivos de $X.$ Si $U$ es un subconjunto abierto de $X$ que interseca a $P$, entonces $U\in {\mathcal {B}}$ para cualquier ultrafiltro ${\mathcal {B}}{\text{ sobre }}X$ tal que $P=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}.$ Además, si $P{\text{ y }}Q$ son distintos, entonces existen algunos $S\subseteq X$ y algunos ultrafiltros ${\mathcal {B}}_{P}{\text{ y }}{\mathcal {B}}_{Q}{\text{ sobre }}X$ tales que $P=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}_{P},Q=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}_{Q},S\in {\mathcal {B}}_{P},$ y $X\setminus S\in {\mathcal {B}}_{Q}.$
Otros resultados
Si $X$ es un retículo completo, entonces:
* El límite inferior de $B$ es el ínfimo del conjunto de todos los puntos de acumulación de $B.$
* El límite superior de $B$ es el supremo del conjunto de todos los puntos de acumulación de $B.$
* $B$ es un prefiltro convergente si y solo si su límite inferior y su límite superior coinciden. En este caso, el valor en el que coinciden es el límite del prefiltro.

### Límites de funciones definidas como límites de prefiltros

Supóngase que $f:X\to Y$ es una aplicación desde un conjunto a un espacio topológico $Y,$ ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),$ y $y\in Y.$ Si $y$ es un punto límite (respectivamente, un punto de acumulación) de $f({\mathcal {B}}){\text{ en }}Y$, entonces $y$ se llama punto límite o límite' (respectivamente, un punto de acumulación) de $f$ respecto a ${\mathcal {B}}.$ Explícitamente, $y$ es un límite de $f$ con respecto a ${\mathcal {B}}$ si y solo si ${\mathcal {N}}(y)\leq f({\mathcal {B}}),$ lo que puede escribirse como $f({\mathcal {B}})\to y{\text{ o }}\lim f({\mathcal {B}})\to y{\text{ en }}Y$ (por definición de esta notación) y expresarse como $f$ tiende a $y$ a lo largo de ${\mathcal {B}}.$ Si el límite $y$ es único, entonces la flecha $\to$ puede reemplazarse con un signo igual $=.$ El filtro de entornos ${\mathcal {N}}(y)$ se puede reemplazar con cualquier familia equivalente y lo mismo ocurre con ${\mathcal {B}}.$
La definición de red es un caso especial de la definición anterior del límite de una función. Específicamente, si $x\in X{\text{ y }}\chi :(I,\leq )\to X$ es una red, entonces
    $\chi \to x{\text{ en }}X\quad {\text{ si y solo si }}\quad \chi (\operatorname {Colas} (I,\leq ))\to x{\text{ en }}X,$
donde el lado izquierdo indica que $x$ es un límite de la red $\chi$, mientras que el lado derecho indica que $x$ es un límite de la función $\chi$ con respecto a ${\mathcal {B}}:=\operatorname {Colas} (I,\leq )$ (como se acaba de definir anteriormente).
La siguiente tabla muestra cómo se pueden definir varios tipos de límites encontrados en el análisis y la topología en términos de la convergencia de imágenes (bajo $f$) de prefiltros particulares en el dominio $X.$ Esto muestra que los prefiltros proporcionan un marco general en el que encajan muchas de las diversas definiciones de límites. Los límites en la columna de la izquierda se definen en su forma habitual con sus definiciones obvias.
En todo momento, sea $f:X\to Y$ una aplicación entre espacios topológicos, $x_{0}\in X,{\text{ e }}y\in Y.$ Si $Y$ es de Hausdorff, entonces todas las flechas "$\to y$" en la tabla pueden reemplazarse con signos igual "$=y$" y "$\lim f({\mathcal {B}})\to y$" pueden reemplazarse con "$\lim f({\mathcal {B}})=y$".
| Tipo de límite | si y solo si | Definición en términos de prefiltros | Asunciones |
| $\lim _{x\to x_{0}}f(x)\to y$ | ⇔ | $f({\mathcal {B}})\to y{\text{ donde }}{\mathcal {B}}\,:=\,{\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)$ | |
| $\lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x\neq x_{0}}}f(x)\to y$ | ⇔ | $f({\mathcal {B}})\to y{\text{ donde }}{\mathcal {B}}\,:=\,\left\{N\setminus \left\{x_{0}\right\}:N\in {\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right\}$ | |
| $\lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x\in S}}f(x)\to y$ or $\lim _{x\to x_{0}}f{\big \vert }_{S}(x)\to y$ | ⇔ | $f({\mathcal {B}})\to y{\text{ donde }}{\mathcal {B}}\,:=\,{\mathcal {N}}\left(x_{0}\right){\big \vert }_{S}\,:=\,\left\{N\cap S:N\in {\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right\}$ | $S\subseteq X{\text{ y }}x_{0}\in \operatorname {cl} _{X}S$ |
| $\lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x\neq x_{0}}}f(x)\to y$ | ⇔ | $f({\mathcal {B}})\to y{\text{ donde }}{\mathcal {B}}\,:=\,\left\{\left(x_{0}-r,x_{0}\right)\cup \left(x_{0},x_{0}+r\right):0<r\in \mathbb {R} \right\}$ | $x_{0}\in X=\mathbb {R}$ |
| $\lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x<x_{0}}}f(x)\to y$ | ⇔ | $f({\mathcal {B}})\to y{\text{ donde }}{\mathcal {B}}\,:=\,\left\{\left(x,x_{0}\right):x<x_{0}\right\}$ | $x_{0}\in X=\mathbb {R}$ |
| $\lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x\leq x_{0}}}f(x)\to y$ | ⇔ | $f({\mathcal {B}})\to y{\text{ donde }}{\mathcal {B}}\,:=\,\left\{\left(x,x_{0}\right]:x<x_{0}\right\}$ | $x_{0}\in X=\mathbb {R}$ |
| $\lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x>x_{0}}}f(x)\to y$ | ⇔ | $f({\mathcal {B}})\to y{\text{ donde }}{\mathcal {B}}\,:=\,\left\{\left(x_{0},x\right):x_{0}<x\right\}$ | $x_{0}\in X=\mathbb {R}$ |
| $\lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x\geq x_{0}}}f(x)\to y$ | ⇔ | $f({\mathcal {B}})\to y{\text{ donde }}{\mathcal {B}}\,:=\,\left\{\left[x_{0},x\right):x_{0}\leq x\right\}$ | $x_{0}\in X=\mathbb {R}$ |
| $\lim _{n\to \infty }f(n)\to y$ | ⇔ | $f({\mathcal {B}})\to y{\text{ donde }}{\mathcal {B}}\,:=\,\{\{n,n+1,\ldots \}~:~n\in \mathbb {N} \}\$ | $X=\mathbb {N} {\text{ así }}f:\mathbb {N} \to Y$ es una sucesión en $Y$ |
| $\lim _{x\to \infty }f(x)\to y$ | ⇔ | $f({\mathcal {B}})\to y{\text{ donde }}{\mathcal {B}}\,:=\,(\mathbb {R} ,\infty )\,:=\,\{(x,\infty ):x\in \mathbb {R} \}$ | $X=\mathbb {R}$ |
| $\lim _{x\to -\infty }f(x)\to y$ | ⇔ | $f({\mathcal {B}})\to y{\text{ donde }}{\mathcal {B}}\,:=\,(-\infty ,\mathbb {R} )\,:=\,\{(-\infty ,x):x\in \mathbb {R} \}$ | $X=\mathbb {R}$ |
| $\lim _{|x|\to \infty }f(x)\to y$ | ⇔ | $f({\mathcal {B}})\to y{\text{ donde }}{\mathcal {B}}\,:=\,\{X\cap [(-\infty ,x)\cup (x,\infty )]:x\in \mathbb {R} \}$ | $X=\mathbb {R} {\text{ o }}X=\mathbb {Z}$ para una secuencia de doble extremo |
| $\lim _{\|x\|\to \infty }f(x)\to y$ | ⇔ | $f({\mathcal {B}})\to y{\text{ donde }}{\mathcal {B}}\,:=\,\{\{x\in X:\|x\|>r\}~:~0<r\in \mathbb {R} \}$ | $(X,\|\cdot \|){\text{ es }}$ un espacio seminormado; por ejemplo, un espacio de Banach ${\text{ como }}X=\mathbb {C}$ |
Al definir diferentes prefiltros, se pueden establecer muchas otras nociones de límites, como por ejemplo $\lim _{\stackrel {|x|\to |x_{0}|}{|x|\neq |x_{0}|}}f(x)\to y.$
Divergencia al infinito
La divergencia de una función de valor real hasta el infinito se puede definir/caracterizar utilizando los prefiltros
    $(\mathbb {R} ,\infty ):=\{(r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}~~{\text{ y }}~~(-\infty ,\mathbb {R} ):=\{(-\infty ,r):r\in \mathbb {R} \},$
donde $f\to \infty$ junto con ${\mathcal {B}}$ si y solo si $(\mathbb {R} ,\infty )\leq f({\mathcal {B}})$ y de manera similar, $f\to -\infty$ junto con ${\mathcal {B}}$ si y solo si $(-\infty ,\mathbb {R} )\leq f({\mathcal {B}}).$ La familia $(\mathbb {R} ,\infty )$ puede ser reemplazada por cualquier familia equivalente a ella, como por ejemplo $[\mathbb {R} ,\infty ):=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}$ (en análisis real, esto correspondería a reemplazar la desigualdad estricta "$f(x)>r$" en la definición por "$f(x)\geq r$"), y lo mismo ocurre con ${\mathcal {B}}$ y $(-\infty ,\mathbb {R} ).$
Entonces, por ejemplo, si ${\mathcal {B}}\,:=\,{\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)$, entonces $\lim _{x\to x_{0}}f(x)\to \infty$ si y solo si $(\mathbb {R} ,\infty )\leq f({\mathcal {B}})$ se cumple. De manera similar, $\lim _{x\to x_{0}}f(x)\to -\infty$ si y solo si $(-\infty ,\mathbb {R} )\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right),$ o equivalente, si y solo si $(-\infty ,\mathbb {R} ]\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right).$
De manera más general, si $f$ se valora en $Y=\mathbb {R} ^{n}{\text{ o }}Y=\mathbb {C} ^{n}$ (o algún otro espacio vectorial seminormado) y si $B_{\geq r}:=\{y\in Y:|y|\geq r\}=Y\setminus B_{<r}$, entonces $\lim _{x\to x_{0}}|f(x)|\to \infty$ si y solo si $B_{\geq \mathbb {R} }\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right)$ se cumple, donde $B_{\geq \mathbb {R} }:=\left\{B_{\geq r}:r\in \mathbb {R} \right\}.$

## Filtros y redes

Esta sección describirá las relaciones entre prefiltros y redes con gran detalle debido a la importancia que tienen estos detalles al aplicar filtros a la topología, particularmente al pasar de utilizar redes a utilizar filtros y viceversa.

### Redes para prefiltros

En las definiciones siguientes, la primera afirmación es la definición estándar de un punto límite de una red (respectivamente, un punto de acumulación de una red) y se reformula gradualmente hasta alcanzar el concepto de filtro correspondiente.
* Se dice que una red $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ converge en $(X,\tau )$ hacia un punto $x\in X,$ escrito $x_{\bullet }\to x{\text{ en }}X,$ y $x$ se denomina límite o punto límite de $x_{\bullet },$ si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
* Definición: para cada $N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),$ existe algún $i\in I$ tal que si $i\leq j\in I{\text{ entonces }}x_{j}\in N.$
* Para cada $N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),$ existe algún $i\in I$ tal que la cola de $x_{\bullet }$ que comienza en $i$ está contenida en $N$ (es decir, tal que $x_{\geq i}\subseteq N$).
* Para cada $N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),$ existe algún $B\in \operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)$ tal que $B\subseteq N.$
* ${\mathcal {N}}_{\tau }(x)\leq \operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right).$
* $\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)\to x{\text{ en }}X;$ es decir, el prefiltro $\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)$ converge a $x.$
* Como es habitual, $\lim x_{\bullet }=x$ se define en el sentido de que $x_{\bullet }\to x$ y $x$ es el punto límite solamente de $x_{\bullet };$, es decir, si también $x_{\bullet }\to z{\text{ entonces }}z=x.$
* Un punto $x\in X$ se denomina acumulación o punto de acumulación de una red $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}{\text{ en }}(X,\tau )$ si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
* Definición: Para cada $N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)$ y cada $i\in I,$ existe algún $i\leq j\in I$ tal que $x_{j}\in N.$
* Por cada $N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)$ y cada $i\in I,$ la cola de $x_{\bullet }$ comenzando en $i$ interseca a $N$ (es decir, $x_{\geq i}\cap N\neq \varnothing$).
* Por cada $N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)$ y cada $B\in \operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right),B\cap N\neq \varnothing .$
* ${\mathcal {N}}_{\tau }(x){\text{ y }}\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)$ concuerdan (por la definición de concordancia).
* $x$ es un punto de acumulación de $\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right).$
Si $f:X\to Y$ es una aplicación y $x_{\bullet }$ es una red en $X$, entonces $\operatorname {Colas} \left(f\left(x_{\bullet }\right)\right)=f\left(\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)\right).$

### Prefiltros para redes

Una red puntuada es un par $(S,s)$ que consta de un conjunto $S$ no vacío y un elemento $s\in S.$ Para cualquier familia ${\mathcal {B}},$ sea
    $\operatorname {Conjuntos\,puntuados} ({\mathcal {B}}):=\{(B,b)~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ y }}b\in B\}.$
Defínase un preorden canónico $\,\leq \,$ en conjuntos puntuados declarando que
    $(R,r)\leq (S,s)\quad {\text{ si y solo si }}\quad R\supseteq S.$
Existe una aplicación canónica $\operatorname {Point} _{\mathcal {B}}~:~\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X$ definida por $(B,b)\mapsto b.$ Si $i_{0}=\left(B_{0},b_{0}\right)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})$, entonces la cola de la asignación $\operatorname {Point} _{\mathcal {B}}$ que comienza en $i_{0}$ es $\left\{c~:~(C,c)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}){\text{ y }}\left(B_{0},b_{0}\right)\leq (C,c)\right\}=B_{0}.$
Aunque $(\operatorname {Conjuntos\,puntuados} ({\mathcal {B}}),\leq )$ no es, en general, un conjunto parcialmente ordenado, es un conjunto dirigido si (y solo si) ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro. Entonces, la opción más inmediata para la definición de "la red en $X$ inducida por un prefiltro ${\mathcal {B}}$" es la asignación $(B,b)\mapsto b$ de $\operatorname {Conjuntos\,puntuados} ({\mathcal {B}})$ en $X.$
* Si ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro en $X$, entonces la red asociada con ${\mathcal {B}}$ es el aplicación
* ${\begin{alignedat}{4}\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}:\;&&(\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )&&\,\to \;&X\\&&(B,b)&&\,\mapsto \;&b\\\end{alignedat}}$
* es decir, $\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}(B,b):=b.$
Si ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro en $X{\text{ entonces }}\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}$ es una red en $X$ y el prefiltro asociado con $\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}$ es ${\mathcal {B}}$; es decir:
    $\operatorname {Colas} \left(\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}.$
Esto no sería necesariamente cierto si $\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}$ se hubiera definido en un subconjunto propio de $\operatorname {Conjuntos\,puntuados} ({\mathcal {B}}).$
Si $x_{\bullet }$ es una red en $X$, entonces en general no es cierto que $\operatorname {Red} _{\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)}$ es igual a $x_{\bullet }$ porque, por ejemplo, el dominio de $x_{\bullet }$ puede tener una cardinalidad completamente diferente a la de $\operatorname {Red} _{\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)}$ (ya que a diferencia del dominio de $\operatorname {Red} _{\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)},$ el dominio de una red arbitraria en $X$ podría tener cualquier cardinalidad).
* Proposición
* Si ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro en $X$ y $x\in X$, entonces
* ${\mathcal {B}}\to x{\text{ si y solo si }}\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}\to x.$
* $x$ es un punto de acumulación de ${\mathcal {B}}$ si y solo si $x$ es un punto de acumulación de $\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}.$
* Demostración
* Recuérdese que ${\mathcal {B}}=\operatorname {Colas} \left(\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}\right)$ y que si $x_{\bullet }$ es una red en $X$, entonces (1) $x_{\bullet }\to x{\text{ si y solo si }}\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)\to x,$ y (2) $x$ es un punto de acumulación de $x_{\bullet }$ si y solo si $x$ es un punto de acumulación de $\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right).$
* Al usar $x_{\bullet }:=\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {B}}=\operatorname {Colas} \left(\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}\right),$ se deduce que
* ${\mathcal {B}}\to x\quad {\text{ si y solo si }}\quad \operatorname {Colas} \left(\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}\right)\to x\quad {\text{ si y solo si }}\quad \operatorname {Red} _{\mathcal {B}}\to x.$
* También se deduce que $x$ es un punto de acumulación de ${\mathcal {B}}$ si y solo si $x$ es un punto de acumulación de $\operatorname {Colas} \left(\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}\right)$ si y solo si $x$ es un punto de acumulación de $\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}.$
Red parcialmente ordenada
El dominio de la red canónica $\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}$ en general no está parcialmente ordenado. Sin embargo, en 1955 Bruns y Schmidt descubrieron una construcción (detallada en el artículo filtro (teoría de conjuntos)) que permite que la red canónica tenga un dominio parcialmente ordenado y dirigido; esto fue redescubierto de forma independiente por Albert Wilansky en 1970. Debido a que las colas de esta red parcialmente ordenada son idénticas a las colas de $\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}$ (dado que ambas son iguales al prefiltro ${\mathcal {B}}$), normalmente no se pierde nada al suponer que el dominio de la red asociado con un prefiltro está parcialmente ordenado y dirigido. Y se puede suponer además que el dominio parcialmente ordenado también es un orden denso.

### Filtros subordinados y subredes

La noción de "${\mathcal {B}}$ está subordinada a ${\mathcal {C}}$" (escrito ${\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}$) es para filtros y prefiltros lo que "$x_{n_{\bullet }}=\left(x_{n_{i}}\right)_{i=1}^{\infty }$ es lo que una subsucesión de $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$" es para las sucesiones. Por ejemplo, si $\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)=\left\{x_{\geq i}:i\in \mathbb {N} \right\}$ denota el conjunto de colas de $x_{\bullet }$ y si $\operatorname {Colas} \left(x_{n_{\bullet }}\right)=\left\{x_{n_{\geq i}}:i\in \mathbb {N} \right\}$ denota el conjunto de colas de la subsucesión $x_{n_{\bullet }}$ (donde $x_{n_{\geq i}}:=\left\{x_{n_{j}}~:~j\geq i{\text{ y }}j\in \mathbb {N} \right\}$), entonces $\operatorname {Colas} \left(x_{n_{\bullet }}\right)~\vdash ~\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)$ (que por definición significa $\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Colas} \left(x_{n_{\bullet }}\right)$) es verdadero, pero $\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)~\vdash ~\operatorname {Colas} \left(x_{n_{\bullet }}\right)$ es en general falso. Si $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ es una red en un espacio topológico $X$ y si ${\mathcal {N}}(x)$ es una base de entornos en un punto $x\in X,$ entonces $x_{\bullet }\to x{\text{ si y solo si }}{\mathcal {N}}(x)\leq \operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right).$
Si $f:X\to Y$ es una aplicación abierta y sobreyectiva, y además $x\in X,$ y ${\mathcal {C}}$ es un prefiltro en $Y$ que converge a $f(x),$ entonces existe un prefiltro ${\mathcal {B}}$ en $X$ tal que ${\mathcal {B}}\to x$ y $f({\mathcal {B}})$ son equivalentes a ${\mathcal {C}}$ (es decir, ${\mathcal {C}}\leq f({\mathcal {B}})\leq {\mathcal {C}}$).

#### Análogos de subordinación de resultados que involucran subsucesiones

Los siguientes resultados son los análogos con prefiltros de declaraciones que involucran subsucesiones. La condición "${\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}},$" que también se escribe ${\mathcal {C}}\vdash {\mathcal {B}},$ es el análogo de "${\mathcal {C}}$ es una subsucesión de ${\mathcal {B}}.$" Por lo tanto, "más fino que" y "subordinado a" es el análogo en prefiltros de "subsucesión de". Algunas personas prefieren decir "subordinado a" en lugar de "más fino que" porque recuerda más a "subsucesión de".
* Proposición
* Considérese que ${\mathcal {B}}$ sea un prefiltro en $X,$ y que $x\in X.$
* Supóngase que ${\mathcal {C}}$ es un prefiltro tal que ${\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}.$
* Si ${\mathcal {B}}\to x{\text{ entonces }}{\mathcal {C}}\to x.$
* Este es el análogo de "si una sucesión converge a $x$, entonces también lo hace cada subsucesión".
* Si $x$ es un punto de acumulación de ${\mathcal {C}}$, entonces $x$ es un punto de acumulación de ${\mathcal {B}}.$
* Este es el análogo de "si $x$ es un punto de acumulación de alguna subsucesión, entonces $x$ es un punto de acumulación de la sucesión original".
* ${\mathcal {B}}\to x$ si y solo si para cualquier prefiltro más fino ${\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}$ existe algún prefiltro aún más fino ${\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}$ tal que ${\mathcal {F}}\to x.$
* Este es el análogo de "una sucesión converge a $x$ si y solo si cada subsucesión tiene una subsubsucesión que converge a $x.$"
* $x$ es un punto de acumulación de ${\mathcal {B}}$ si y solo si existe algún prefiltro ${\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}$ más fino tal que ${\mathcal {C}}\to x.$
* Este es el análogo de la siguiente declaración falsa: "$x$ es un punto de acumulación de una sucesión si y solo si tiene una subsucesión que converge a $x$" (es decir, si y solo si $x$ es un límite de una subsucesión).
* El análogo para sucesiones es falso, ya que hay una topología de Hausdorff en $X:=[\mathbb {N} \times \mathbb {N} ]\cup \{(0,0)\}$ y una sucesión en este espacio (ambas definidas aquí) que se acumula en $(0,0)$ pero que tampoco tiene ninguna subsucesión que converja a $(0,0).$

#### No equivalencia de subredes y filtros subordinados

Las subredes en el sentido de Willard y en el sentido de Kelley son las definiciones más utilizadas de "subred". La primera definición de subred ("subred de Kelley") fue introducida por John L. Kelley en 1955. Stephen Willard introdujo en 1970 su propia variante de la definición de subred de Kelley (conocida como "subred de Willard"). Las subredes AA fueron introducidas de forma independiente por Smiley (1957), Aarnes y Andenaes (1972), y Murdeshwar (1983). Aarnes y Andenaes estudiaron con gran detalle las subredes AA, pero no se utilizan con frecuencia.
Un subconjunto $R\subseteq I$ de un espacio preordenado $(I,\leq )$ es frecuente o cofinal en $I$ si para cada $i\in I$ existe algún $r\in R$ tal que $i\leq r.$ Si $R\subseteq I$ contiene una cola de $I$, entonces se dice que $R$ está finalmente en $I$; explícitamente, esto significa que existe algún $i\in I$ tal que $I_{\geq i}\subseteq R$ (es decir, $j\in R$ para todos los $j\in I$ que satisfacen $i\leq j$). Un subconjunto es eventual si y solo si su complemento no es frecuente (lo que se denomina infrecuente). Una aplicación $h:A\to I$ entre dos conjuntos preordenados conserva el orden si siempre que $a,b\in A$ satisface $a\leq b,$ entonces $h(a)\leq h(b).$
* Definiciones: Sean $S=S_{\bullet }~:~(A,\leq )\to X{\text{ y }}N=N_{\bullet }~:~(I,\leq )\to X$ redes. Entonces
* $S_{\bullet }$ es un subred de Willard de $N_{\bullet }$ o una subred en el sentido de Willard si existe una aplicación $h:A\to I$ que preserva el orden tal que $S=N\circ h{\text{ y }}h(A)$ sea cofinal en $I.$
* $S_{\bullet }$ es una subred de Kelley de $N_{\bullet }$ o una subred en el sentido de Kelley si existe una aplicación $h~:~A\to I$ tal que $S=N\circ h$ y siempre que $E\subseteq I$ sea final en $I$, entonces $h^{-1}(E)$ es final en $A.$
* $S_{\bullet }$ es una de $N_{\bullet }$ o una subred en el sentido de Aarnes y Andenaes si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
* $\operatorname {Colas} \left(N_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Colas} \left(S_{\bullet }\right).$
* $\operatorname {Filtro\,de\,colas} \left(N_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {Filtro\,de\,colas} \left(S_{\bullet }\right).$
* Si $J$ es final en $I{\text{ entonces }}S^{-1}(N(J))$ es final en $A.$
* Para cualquier subconjunto concordante $R\subseteq X,{\text{ si }}\operatorname {Colas} \left(S_{\bullet }\right){\text{ y }}\{R\}$, también lo hace $\operatorname {Colas} \left(N_{\bullet }\right){\text{ y }}\{R\}.$
* Para cualquier subconjunto $R\subseteq X,{\text{ si }}\operatorname {Colas} \left(S_{\bullet }\right)\leq \{R\}{\text{ entonces }}\operatorname {Colas} \left(N_{\bullet }\right)\leq \{R\}.$
Kelley no requirió que la aplicación $h$ preservara el orden, mientras que la definición de una subred AA elimina por completo cualquier aplicación entre los dominios de las dos redes y en su lugar se centra completamente en $X$, el codominio común de las redes. Cada subred de Willard es una subred de Kelley; y ambas son subredes AA. En particular, si $y_{\bullet }=\left(y_{a}\right)_{a\in A}$ es una subred de Willard o una subred de Kelley de $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$, entonces $\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Colas} \left(y_{\bullet }\right).$
    Ejemplo: Si $I=\mathbb {N}$ y $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ es una sucesión constante y si $A=\{1\}$ y $s_{1}:=x_{1}$, entonces $\left(s_{a}\right)_{a\in A}$ es una subred AA de $x_{\bullet }$ pero no es una subred de Willard ni una subred de Kelley de $x_{\bullet }.$
Las subredes AA tienen una caracterización definitoria que muestra inmediatamente que son totalmente intercambiables con los filtros subordinados. Explícitamente, lo que se quiere decir es que la siguiente afirmación es cierta para las subredes AA:
Si ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}$ son prefiltros, entonces ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}$ si y solo si $\operatorname {Red} _{\mathcal {F}}$ es una subred AA de $\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}.$
Si "subred AA" se reemplaza por "subred de Willard" o por "subred de Kelley", la declaración anterior se convierte en falsa. En particular, como demuestra este contra ejemplo, el problema es que la siguiente afirmación es, en general, falsa:
Declaración falsa: si ${\mathcal {B}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}$ son prefiltros de modo que ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ entonces }}\operatorname {Red} _{\mathcal {F}}$ será una subred de Kelley de $\operatorname {Red} _{\mathcal {B}}.$
Dado que cada subred de Willard es una subred de Kelley, esta afirmación sigue siendo falsa si la palabra "subred de Kelley" se reemplaza por "subred de Willard".
Si "subred" se define como subred de Willard o como subred de Kelley, entonces las redes y los filtros no son completamente intercambiables, porque existen relaciones filtro-filtro subordinado que no se pueden expresar en términos de una relación red-subred entre las dos redes inducidas. En particular, el problema es que las subredes de Kelley y de Willard no son completamente intercambiables con los filtros subordinados. Si no se utiliza la noción de "subred" o si "subred" se define como subred AA, entonces esto deja de ser un problema y, por lo tanto, resulta correcto decir que las redes y los filtros son intercambiables. A pesar de que las subredes AA no tienen el problema que tienen las subredes de Willard y de Kelley, no se utilizan ni se conocen ampliamente.

## Topologías y prefiltros

En todo momento, $(X,\tau )$ es un espacio topológico.

### Ejemplos de relaciones entre filtros y topologías

Bases y prefiltros
Sea ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ una familia de conjuntos que cubre $X$ y se define ${\mathcal {B}}_{x}=\{B\in {\mathcal {B}}~:~x\in B\}$ para cada $x\in X.$ La definición de base para alguna topología se puede reformular inmediatamente como: ${\mathcal {B}}$ es una base para alguna topología en $X$ si y solo si ${\mathcal {B}}_{x}$ es una base de filtros para cada $x\in X.$ Si $\tau$ es una topología en $X$ y ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$, entonces las definiciones de ${\mathcal {B}}$ es una base (respectivamente, subbase) para $\tau$ se pueden reformular como:
${\mathcal {B}}$ es una base (respectivamente, subbase) para $\tau$ si y solo si para cada $x\in X,{\mathcal {B}}_{x}$ hay una base de filtros (respectivamente, subbase de filtros) que genera el filtro de entornos de $(X,\tau )$ en $x.$
Filtros de entornos
El ejemplo arquetípico de filtro es el conjunto de todos los entornos de un punto en un espacio topológico. Cualquier base de entornos de un punto (o de un subconjunto de) un espacio topológico es un prefiltro. De hecho, la definición de base de entornos se puede reformular de manera equivalente como: "una base de entornos es cualquier prefiltro que sea equivalente al filtro de entornos".
Las bases de entornos en puntos son ejemplos de prefiltros que son fijos, pero que pueden ser principales o no. Si $X=\mathbb {R}$ tiene su topología habitual y si $x\in X,$ entonces cualquier base de filtros de entornos ${\mathcal {B}}$ de $x$ está fijada por $x$ (de hecho, es incluso cierto que $\ker {\mathcal {B}}=\{x\}$) pero ${\mathcal {B}}$ no es principal, ya que $\{x\}\not \in {\mathcal {B}}.$ Por el contrario, un espacio topológico tiene una topología discreta si y solo si el filtro de entornos de cada punto es un filtro principal generado exactamente por un punto. Esto muestra que un filtro no principal en un conjunto infinito no es necesariamente libre.
El filtro de entornos de cada punto $x$ en el espacio topológico $X$ es fijo, ya que su núcleo contiene $x$ (y posiblemente otros puntos si, por ejemplo, $X$ no es un espacio T$_1$). Esto también se aplica a cualquier entorno en $x.$ Para cualquier punto $x$ en un espacio T$_1$ (por ejemplo, un espacio de Hausdorff), el núcleo del filtro de entornos de $x$ es igual al conjunto unitario $\{x\}.$
Sin embargo, es posible que un filtro de entornos en un punto sea principal pero no discreto (es decir, no principal en un único punto). Una base de entornos ${\mathcal {B}}$ de un punto $x$ en un espacio topológico es principal si y solo si el núcleo de ${\mathcal {B}}$ es un conjunto abierto. Si además se trata de un espacio T$_1$, entonces $\ker {\mathcal {B}}=\{x\}$, de modo que esta base ${\mathcal {B}}$ es principal si y solo si $\{x\}$ es un conjunto abierto.
Generación de topologías a partir de filtros y prefiltros
Supóngase que ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ no está vacío (y que $X\neq \varnothing$). Si ${\mathcal {B}}$ es un filtro en $X$, entonces $\{\varnothing \}\cup {\mathcal {B}}$ es una topología en $X$ pero lo contrario es, en general, falso. Esto muestra que, en cierto sentido, los filtros son casi topologías. Las topologías de la forma $\{\varnothing \}\cup {\mathcal {B}}$ donde ${\mathcal {B}}$ es un ultra filtro en $X$ son una subclase aún más especializada de tales topologías. Tienen la propiedad de que cada subconjunto propio de $\varnothing \neq S\subseteq X$ es abierto o es cerrado, pero (a diferencia de lo que sucede en la topología discreta) nunca ambas cosas. Estos espacios son, en particular, ejemplos de un espacio puerta.
Si ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro (respectivamente, subbase de filtros, sistema Π, propio) en $X$, entonces lo mismo es cierto tanto para $\{X\}\cup {\mathcal {B}}$ como para el conjunto ${\mathcal {B}}_{\cup }$ de todas las uniones posibles de uno o más elementos de ${\mathcal {B}}.$ Si ${\mathcal {B}}$ está cerrado bajo intersecciones finitas, entonces el conjunto $\tau _{\mathcal {B}}=\{\varnothing ,X\}\cup {\mathcal {B}}_{\cup }$ es una topología en $X$ y ambos $\{X\}\cup {\mathcal {B}}_{\cup }{\text{ y }}\{X\}\cup {\mathcal {B}}$ son bases. Si el sistema Π ${\mathcal {B}}$ cubre $X$, entonces ambos ${\mathcal {B}}_{\cup }{\text{ y }}{\mathcal {B}}$ también son bases para $\tau _{\mathcal {B}}.$ Si $\tau$ es una topología en $X$, entonces $\tau \setminus \{\varnothing \}$ es un prefiltro (o equivalentemente, un sistema Π) si y solo si tiene la propiedad de intersección finita (es decir, es una subbase de filtros), en cuyo caso un subconjunto ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ será una base para $\tau$ si y solo si ${\mathcal {B}}\setminus \{\varnothing \}$ es equivalente a $\tau \setminus \{\varnothing \},$ en cuyo caso ${\mathcal {B}}\setminus \{\varnothing \}$ será un prefiltro.
Topologías sobre conjuntos dirigidos y convergencia de redes
Sea $(I,\leq )$ un conjunto dirigido no vacío y sea $\operatorname {Colas} (I)=\left\{I_{\geq i}~:~i\in I\right\},$ donde $I_{\geq i}=\{j\in I~:~i\leq j\}.$ Entonces $\operatorname {Colas} (I)$ es un prefiltro que recubre $I$ y si $I$ está totalmente ordenado, entonces $\operatorname {Colas} (I)$ también está cerrado bajo intersecciones finitas. Este prefiltro particular $\operatorname {Colas} (I)$ forma una base para una topología en $I$ en la que todos los conjuntos de la forma $I_{>i}=\{j\in I~:~i<j\}$ también son abiertos. Lo mismo ocurre con la topología $\tau _{I}:=\{\varnothing \}\cup \operatorname {Filtros-de-colas} (I){\text{ sobre }}I,$ donde $\operatorname {Filtros-de-colas} (I)$ es el filtro en $I$ generado por $\operatorname {Colas} (I).$ Con esta topología, las redes convergentes se pueden ver como funciones continuas de la siguiente manera:
Sea $(X,\tau )$ un espacio topológico, sea $x\in X,$ sea $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}~:~I\to X$ una red en $X,$ y denótese por $\tau (x)\subseteq \tau$ el conjunto de todos los entornos abiertos de $x.$ Si la red $x_{\bullet }$ converge a $x{\text{ en }}(X,\tau )$, entonces $x_{\bullet }~:~\left(I,\tau _{I}\right)\to \left(X,\{\varnothing \}\cup \tau (x)\right)$ es necesariamente continuo aunque, en general, lo contrario es falso (por ejemplo, considérese si $x_{\bullet }$ es constante y no igual a $x$). Pero si además de la continuidad, la preimagen bajo $x_{\bullet }$ de cada $N\in \tau (x)$ no está vacía, entonces la $x_{\bullet }$ neta necesariamente convergerá a $x{\text{ en }}(X,\tau ).$ De esta manera, el conjunto vacío es todo lo que separa la convergencia y la continuidad de una red.
Otra forma en que se pueden ver las redes convergentes como funciones continuas es, para cualesquiera redes dadas $x\in X$ y $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}~:~I\to X,$, primero extender la red a una nueva red ${\hat {x}}_{\bullet }:=\left({\hat {x}}_{i}\right)_{i\in I}:I\cup \{\infty \}\to X,$ donde $\infty \not \in I$ es un nuevo símbolo, definiendo ${\hat {x}}_{\infty }:=x{\text{ y }}{\hat {x}}_{i}:=x_{i}$ para cada $i\in I.$ Si $I\cup \{\infty \}$ está dotado de la topología :$\tau _{I\cup \{\infty \}}~:=~\wp (I)~\cup ~\left\{\,\{\infty \}\cup S~:~S\in \operatorname {Filtros-de-colas} (I)\right\}~=~\wp (I)~\cup ~\left(\,\{\infty \}\,(\cup )\,\operatorname {Filtros-de-colas} (I)\,\right)$ entonces $x_{\bullet }\to x{\text{ en }}X$ (esto es, la red $x_{\bullet }$ entonces $x_{\bullet }\to x{\text{ en }}X$ (es decir, la red $x_{\bullet }$ converge a $x$) si y solo si ${\hat {x}}_{\bullet }:\left(I\cup \{\infty \},\tau _{I\cup \{\infty \}}\right)\to (X,\tau )$ es una función continua. Además, $I$ es siempre un subconjunto denso de $I\cup \{\infty \}.$

### Propiedades topológicas y prefiltros

Entornos y topologías
El filtro de entornos de un subconjunto no vacío $S\subseteq X$ en un espacio topológico $X$ es igual a la intersección de todos los filtros de entornos de todos los puntos en $S.$ Un subconjunto $S\subseteq X$ está abierto en $X$ si y solo si siempre que ${\mathcal {F}}$ sea un filtro en $X$ y $s\in S,$ entonces ${\mathcal {F}}\to s{\text{ en }}X{\text{ implica que }}S\in {\mathcal {F}}.$
Supóngase que $\sigma {\text{ y }}\tau$ son topologías en $X.$ Entonces, $\tau$ es más fina que $\sigma$ (es decir, $\sigma \subseteq \tau$) si y solo si siempre que $x\in X{\text{ y }}{\mathcal {B}}$ sea un filtro en $X,$ si ${\mathcal {B}}\to x{\text{ en }}(X,\tau )$ entonces ${\mathcal {B}}\to x{\text{ en }}(X,\sigma ).$ En consecuencia, $\sigma =\tau$ si y solo si para cada filtro ${\mathcal {B}}{\text{ sobre }}X$ y cada $x\in X,{\mathcal {B}}\to x{\text{ en }}(X,\sigma )$ si y solo si ${\mathcal {B}}\to x{\text{ en }}(X,\tau ).$ Sin embargo, es posible que $\sigma \neq \tau$, mientras que también para cada filtro ${\mathcal {B}}{\text{ sobre }}X,{\mathcal {B}}$ converja a algún punto de $X{\text{ en }}(X,\sigma )$ si y solo si ${\mathcal {B}}$ converge a algún punto de $X{\text{ en }}(X,\tau ).$
Cierre
Si ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro en un subconjunto $S\subseteq X$, entonces cada punto de acumulación de ${\mathcal {B}}{\text{ en }}X$ pertenece a $\operatorname {cl} _{X}S.$
Si $x\in X{\text{ y }}S\subseteq X$ es un subconjunto no vacío, entonces las siguientes expresiones son equivalentes:
* $x\in \operatorname {cl} _{X}S$
* $x$ es un punto límite de un prefiltro en $S.$ Explícitamente: existe un prefiltro ${\mathcal {F}}\subseteq \wp (S){\text{ sobre }}S$ tal que ${\mathcal {F}}\to x{\text{ en }}X.$
* $x$ es un punto límite de un filtro en $S.$
* Existe un prefiltro ${\mathcal {F}}{\text{ sobre }}X$ tal que $S\in {\mathcal {F}}{\text{ y }}{\mathcal {F}}\to x{\text{ en }}X.$
* El prefiltro $\{S\}$ concuerda con el filtro de entornos ${\mathcal {N}}(x).$ Dicho de otra manera, $x$ es un punto de acumulación del prefiltro $\{S\}.$
* El prefiltro $\{S\}$ concuerda con alguna (o equivalentemente, con cada) base de filtros para ${\mathcal {N}}(x)$ (es decir, con cada base de entornos en $x$).
Los siguientes enunciados son equivalentes:
* $x$ es un punto límite de $S{\text{ en }}X.$
* Existe un prefiltro ${\mathcal {F}}\subseteq \wp (S){\text{ sobre }}\{S\}\setminus \{x\}$ tal que ${\mathcal {F}}\to x{\text{ en }}X.$
Conjuntos cerrados
Si $S\subseteq X$ no está vacío, las siguientes expresiones son equivalentes:
* $S$ es un subconjunto cerrado de $X.$
* Si $x\in X{\text{ y }}{\mathcal {F}}\subseteq \wp (S)$ es un prefiltro en $S$ tal que ${\mathcal {F}}\to x{\text{ en }}X,$ entonces $x\in S.$
* Si $x\in X{\text{ y }}{\mathcal {F}}\subseteq \wp (S)$ es un prefiltro en $S$ de modo que $x$ es un punto de acumulación de ${\mathcal {F}}{\text{ en }}X,$ entonces $x\in S.$
* Si $x\in X$ es tal que el filtro de entornos ${\mathcal {N}}(x)$ concuerda con $\{S\}$, entonces $x\in S.$
Condición de Hausdorff
Los siguientes enunciados son equivalentes:
* $X$ es un espacio de Hausdorff.
* Cada prefiltro en $X$ converge como máximo a un punto en $X.$
* La declaración anterior, pero con la palabra "prefiltro" reemplazada por cualquiera de las siguientes: filtro, ultra prefiltro, ultrafiltro.
Compacidad
Como ya ha sido analizado, el lema del ultrafiltro está estrechamente relacionado con muchos teoremas importantes relacionados con la compacidad.
Los siguientes enunciados son equivalentes:
* $(X,\tau )$ es un espacio compacto.
* Cada ultrafiltro en $X$ converge al menos a un punto en $X.$
** Que esta condición implica compacidad se puede demostrar utilizando únicamente el lema del ultrafiltro. Esa compacidad implica que esta condición se puede probar sin el lema del ultrafiltro (o incluso sin el axioma de elección).
* La declaración anterior pero con la palabra "ultrafiltro" reemplazada por "ultra prefiltro".
* Para cada filtro ${\mathcal {C}}{\text{ sobre }}X$ existe un filtro ${\mathcal {F}}{\text{ sobre }}X$ tal que ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ y ${\mathcal {F}}$ convergen a algún punto de $X.$
* La declaración anterior pero con cada instancia de la palabra "filtro" reemplazada por "prefiltro".
* Cada filtro en $X$ tiene al menos un punto de acumulación en $X.$
** Que esta condición es equivalente a la compacidad se puede demostrar utilizando únicamente el lema del ultrafiltro.
* La declaración anterior pero con la palabra "filtro" reemplazada por "prefiltro".
* Teorema de la subbase de Alexander: existe una subbase ${\mathcal {S}}{\text{ para }}\tau$ tal que cada recubrimiento de $X$ por conjuntos en ${\mathcal {S}}$ tiene un subrecubrimiento finito.
** Que esta condición es equivalente a la compacidad se puede demostrar utilizando únicamente el lema del ultrafiltro.
Si ${\mathcal {F}}$ es el conjunto de todos los complementos de subconjuntos compactos de un espacio topológico dado $X,$ entonces ${\mathcal {F}}$ es un filtro en $X$ si y solo si $X$ no es compacto.
* Teorema
* Si ${\mathcal {B}}$ es un filtro en un espacio compacto y $C$ es el conjunto de puntos de acumulación de ${\mathcal {B}},$ entonces cada entorno de $C$ pertenece a ${\mathcal {B}}.$
* Por lo tanto, un filtro en un espacio compacto de Hausdorff converge si y solo si tiene un único punto de acumulación.
Continuidad
Sea $f:X\to Y$ una aplicación entre espacios topológicos $(X,\tau ){\text{ y }}(Y,\upsilon ).$
Dado $x\in X,$ los siguientes enunciados son equivalentes:
* $f:X\to Y$ es continua en $x.$
* Definición: Para cada entorno $V$ de $f(x){\text{ en }}Y$ existe algún entorno $N$ de $x{\text{ en }}X$ tal que $f(N)\subseteq V.$
* $f({\mathcal {N}}(x))\to f(x){\text{ en }}Y.$
* Si ${\mathcal {B}}$ es un filtro en $X$ tal que ${\mathcal {B}}\to x{\text{ en }}X$, entonces $f({\mathcal {B}})\to f(x){\text{ en }}Y.$
* La declaración anterior pero con la palabra "filtro" reemplazada por "prefiltro".
Los siguientes enunciados son equivalentes:
* $f:X\to Y$ es continua.
* Si $x\in X{\text{ y }}{\mathcal {B}}$ es un prefiltro en $X$ tal que ${\mathcal {B}}\to x{\text{ en }}X$, entonces $f({\mathcal {B}})\to f(x){\text{ en }}Y.$
* Si $x\in X$ es un punto límite de un prefiltro ${\mathcal {B}}{\text{ sobre }}X$, entonces $f(x)$ es un punto límite de $f({\mathcal {B}}){\text{ en }}Y.$
* Cualquiera de las dos declaraciones anteriores, pero con la palabra "prefiltro" reemplazada por "filtro".
Si ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro en $X,x\in X$ es un punto de acumulación de ${\mathcal {B}},{\text{ y }}f:X\to Y$ es continua, entonces $f(x)$ es un punto de acumulación en $Y$ del prefiltro $f({\mathcal {B}}).$
Un subconjunto $D$ de un espacio topológico $X$ es denso en $X$ si y solo si para cada $x\in X,$ la traza ${\mathcal {N}}_{X}(x){\big \vert }_{D}$ del filtro de entornos ${\mathcal {N}}_{X}(x)$ en $D$ no contiene el conjunto vacío (en cuyo caso, será un filtro sobre $D$).
Supóngase que $f:D\to Y$ es una aplicación continua en un espacio regular de Hausdorff $Y$ y que $D$ es un subconjunto denso de un espacio topológico $X.$ Entonces, $f$ tiene una extensión continua $F:X\to Y$ si y solo si para cada $x\in X,$ el prefiltro $f\left({\mathcal {N}}_{X}(x){\big \vert }_{D}\right)$ converge a algún punto en $Y.$ Además, esta extensión continua será única siempre que exista.
Productos
Supóngase que $X_{\bullet }:=\left(X_{i}\right)_{i\in I}$ es una familia no vacía de espacios topológicos no vacíos y que es una familia de prefiltros donde cada ${\mathcal {B}}_{i}$ es un prefiltro en $X_{i}.$ Entonces, el producto ${\mathcal {B}}_{\bullet }$ de estos prefiltros (definidos anteriormente) es un prefiltro en el espacio producto ${\textstyle \prod }X_{\bullet },$ que, como es habitual, está dotado de la topología producto.
Si $x_{\bullet }:=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod }X_{\bullet },$ entonces ${\mathcal {B}}_{\bullet }\to x_{\bullet }{\text{ en }}{\textstyle \prod }X_{\bullet }$ si y solo si ${\mathcal {B}}_{i}\to x_{i}{\text{ en }}X_{i}{\text{ para todo }}i\in I.$
Supóngase que $X{\text{ y }}Y$ son espacios topológicos, ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro en $X$ que tiene $x\in X$ como punto de acumulación y ${\mathcal {C}}$ es un prefiltro en $Y$ que tiene $y\in Y$ como punto de acumulación. Entonces $(x,y)$ es un punto de acumulación de ${\mathcal {B}}\times {\mathcal {C}}$ en el espacio producto $X\times Y.$ Sin embargo, si $X=Y=\mathbb {Q}$, entonces existen sucesiones $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq X{\text{ y }}\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq Y$ tales que ambas sucesiones tienen un punto de acumulación en $\mathbb {Q}$, pero la sucesión $\left(x_{i},y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq X\times Y$ no tiene un punto de acumulación en $X\times Y.$
Aplicación de ejemplo: el lema del ultrafiltro junto con los axiomas de axiomas de Zermelo-Fraenkel implican el teorema de Tíjonov para espacios compactos de Hausdorff:
* Demostración
* Sea $X_{\bullet }:=\left(X_{i}\right)_{i\in I}$ un conjunto de espacios topológicos de Hausdorff compactos.
* Supóngase que el lema del ultrafiltro se cumple (debido a que son espacios de Hausdorff, esta prueba no necesita toda la fuerza del axioma de elección; el lema del ultrafiltro es suficiente).
* Sea $X:={\textstyle \prod }X_{\bullet }$ la topología del producto (lo que hace que $X$ sea un espacio de Hausdorff) y para cada $i,$ denótense por $\Pr_{i}:X\to X_{i}$ las proyecciones de este producto.
* Si $X=\varnothing$, entonces $X$ es compacto y la prueba está completa, así que se asume que $X\neq \varnothing .$
* A pesar de que $X\neq \varnothing ,$ no se asume el axioma de elección, no se garantiza que los aplicaciones de proyección $\Pr_{i}:X\to X_{i}$ sean sobreyectivas.
* Sea ${\mathcal {B}}$ un ultrafiltro en $X$ y para cada $i,$ sea ${\mathcal {B}}_{i}$ el ultrafiltro en $X_{i}$ generado por el ultra prefiltro $\Pr_{i}({\mathcal {B}}).$
* Debido a que $X_{i}$ es compacto y de Hausdorff, el ultrafiltro ${\mathcal {B}}_{i}$ converge a un punto límite único $x_{i}\in X_{i}$ (debido a la unicidad de $x_{i}$, esta definición no requiere el axioma de elección).
* Sea $x:=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ donde $x$ satisface $\Pr_{i}(x)=x_{i}$ para cada $i.$
* La caracterización de la convergencia en la topología del producto que se dio anteriormente implica que ${\mathcal {B}}\to x{\text{ en }}X.$
* Por lo tanto, cada ultrafiltro en $X$ converge a algún punto de $X,$ lo que implica que $X$ es compacto (recuérdese que la prueba de esta implicación solo requería el lema del ultrafiltro). $\blacksquare$

## Ejemplos de aplicaciones de prefiltros
### Uniformidades y prefiltros de Cauchy

Un espacio uniforme es un conjunto $X$ equipado con un filtro en $X\times X$ que tiene ciertas propiedades. Una base o sistema fundamental de entornos es un prefiltro en $X\times X$ cuyo cierre hacia arriba es un espacio uniforme. Un prefiltro ${\mathcal {B}}$ en un espacio uniforme $X$ con uniformidad ${\mathcal {F}}$ se llama prefiltro de Cauchy si para cada entorno $N\in {\mathcal {F}},$ existe algún $B\in {\mathcal {B}}$ que es $N$ –pequeño, lo que significa que $B\times B\subseteq N.$ Un filtro de Cauchy mínimo es un elemento mínimo (con respecto a $\,\leq \,$ o, equivalentemente, a $\,\subseteq$) del conjunto de todos los filtros de Cauchy en $X.$ Ejemplos de filtros Cauchy mínimos incluyen el filtro de entornos ${\mathcal {N}}_{X}(x)$ de cualquier punto $x\in X.$ Todo filtro convergente en un espacio uniforme es de Cauchy. Además, cada punto de acumulación de un filtro de Cauchy es un punto límite.
Un espacio uniforme $(X,{\mathcal {F}})$ se llama completo (respectivamente, secuencialmente completo) si cada prefiltro de Cauchy (respectivamente, cada prefiltro de Cauchy elemental) en $X$ converge al menos a un punto de $X$ (reemplazando todas las instancias de la palabra "prefiltro" con "filtro" da como resultado una declaración equivalente). Todo espacio uniforme compacto es completo porque cualquier filtro de Cauchy tiene un punto de acumulación (por compacidad), que necesariamente es también un punto límite (ya que el filtro es de Cauchy).
Los espacios uniformes fueron el resultado de intentos de generalizar nociones como "continuidad uniforme" y "convergencia uniforme" que están presentes en los espacios métricos. Cada espacio vectorial topológico, y más en general, cada grupo topológico se puede convertir en un espacio uniforme de forma canónica. Cada uniformidad también genera una topología canónica inducida. Los filtros y prefiltros juegan un papel importante en la teoría de espacios uniformes. Por ejemplo, la finalización de un espacio uniforme de Hausdorff (incluso si no es metrizable) normalmente se construye utilizando filtros mínimos de Cauchy. Las redes son menos adecuadas para esta construcción porque sus dominios son extremadamente variados (por ejemplo, la clase de todas las redes de Cauchy no es un conjunto). Las sucesiones no se pueden utilizar en el caso general porque la topología puede no ser metrizable, no ajustarse al primer axioma de numerabilidad o incluso no ser secuencial. El conjunto de todos los filtros mínimos de Cauchy en un espacio vectorial topológico de Hausdorff (EVT) $X$ se puede convertir en un espacio vectorial y topologizarse de tal manera que se convierta en una completación de $X$ (con la asignación $x\mapsto {\mathcal {N}}_{X}(x)$ convirtiéndose en una inclusión lineal topológica que identifica a $X$ como un subespacio vectorial denso de este completación).
De manera más general, un espacio de Cauchy es un par $(X,{\mathfrak {C}})$ que consta de un conjunto $X$ junto con una familia ${\mathfrak {C}}\subseteq \wp (\wp (X))$ de filtros (propios), cuyos miembros se declaran como "filtros de Cauchy", que tienen todas las propiedades siguientes:
* Para cada $x\in X,$ el ultrafiltro discreto en $x$ es un elemento de ${\mathfrak {C}}.$
* Si $F\in {\mathfrak {C}}$ es un subconjunto de un filtro propio $G,$ entonces $G\in {\mathfrak {C}}.$
* Si $F,G\in {\mathfrak {C}}$ y si cada miembro de $F$ interseca a cada miembro de $G,$ entonces $F\cap G\in {\mathfrak {C}}.$
El conjunto de todos los filtros de Cauchy en un espacio uniforme forma un espacio de Cauchy. Cada espacio de Cauchy es también un espacio de convergencia. Una aplicación $f:X\to Y$ entre dos espacios de Cauchy se llama continua de Cauchy si la imagen de cada filtro de Cauchy en $X$ es un filtro de Cauchy en $Y.$ A diferencia de la categoría de espacios topológicos, la categoría de los espacios de Cauchy y las aplicaciones continuas de Cauchy es cartesiana cerrada y contiene la categoría de los espacios de proximidad.

### Convergencia de redes de conjuntos

A menudo existe una determinada preferencia por las redes sobre los filtros o de los filtros sobre las redes. Este ejemplo muestra que la elección entre redes y filtros no es una dicotomía si se combinan.
Una red de conjuntos en $X$ o una red de subconjuntos de $X$ se refiere a un red en el conjunto potencia $\wp (X)$ de $X,$ es decir, una red de conjuntos en $X$ es una función desde un conjunto dirigido no vacío hacia $\wp (X).$ Sin embargo, una "red en $X$" siempre se referirá a un red valorada en $X$ y nunca a un red valorada en $\wp (X)$, aunque para dar énfasis o contraste, una red en $X$ también puede denominarse una red de puntos en $X$. Una red de conjuntos $S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i\in I}$ en $X$ se llama red de conjuntos unitarios (respectivamente, no vacía, finita, compacta, etc.) en $X$ si cada $S_{i}$ tiene esta propiedad. De manera similar, $S_{\bullet }$ se llama finalmente vacío (respectivamente, no vacío, finito, compacto, etc.) si existe algún índice $i$ tal que esto sea cierto para $S_{j}$ para cada índice $j\geq i.$
Por definición, una red de conjuntos $S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i\in I}$ converge a (respectivamente, se acumula en) un punto o subconjunto si y solo si lo mismo ocurre con su conjunto/familia de colas.
    $\operatorname {Colas} \left(S_{\bullet }\right):=\left\{S_{\geq i}:i\in I\right\}$
donde para cada índice $i$ el conjunto
    $S_{\geq i}:=\bigcup _{i\,\leq \,j\,\in \,I}S_{j}.$
se llama cola de $S_{\bullet }$ empezando en $i$ (una definición que generaliza la de una cola de una red de puntos).
Los siguientes ejemplos muestran algunas de las muchas formas en que las redes de conjuntos surgen de forma natural.
Ejemplo: Prefiltros como redes de conjuntos
Si ${\mathcal {B}}$ es un prefiltro en $X$, entonces $({\mathcal {B}},\supseteq )$ es un conjunto dirigido (parcialmente ordenado), de modo que la función identidad $\operatorname {id} _{\mathcal {B}}:({\mathcal {B}},\supseteq )\to {\mathcal {B}}$ es una red de conjuntos en $X.$ Cada prefiltro puede identificarse canónicamente con esta red de conjuntos (es decir, con su aplicación de identidad cuando el prefiltro/dominio está dirigido por $\supseteq$). Por lo tanto, es significativamente más fácil asociar canónicamente cada prefiltro con una red de conjuntos que con una red de puntos (como se ha hecho antes), y debido a que la relación también es mucho más simple, es más fácil de utilizar. Por ejemplo, se ve fácilmente que la cola de la red $\operatorname {id} _{\mathcal {B}}$ que comienza en un índice dado $B\in {\mathcal {B}}$ es igual a $B$ (en otras palabras, la cola que comienza en un índice es el índice mismo), de modo que $\operatorname {Colas} \left(\operatorname {id} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}$ (es decir, las colas de esta red son sus índices), y por lo tanto el prefiltro ${\mathcal {B}}$ converge a (respectivamente, se acumula en) un punto o subconjunto dado si y solo si lo mismo es cierto para su red canónica de conjuntos $\operatorname {id} _{\mathcal {B}}.$ En particular, la información (incluidas la intuición y las visualizaciones) sobre cómo o por qué un prefiltro ${\mathcal {B}}$ converge (o no converge, o se acumula en, etc.) a un punto o conjunto se puede obtener casi inmediatamente a partir de la información sobre cómo/por qué la red de conjuntos $\operatorname {id} _{\mathcal {B}}$ hace lo mismo (o viceversa).
Ejemplo: Redes de puntos como redes de conjuntos
La consideración de la siguiente correspondencia biyectiva conduce naturalmente a las definiciones anteriores de convergencia y acumulación para una red de conjuntos, que se definen de manera análoga a las definiciones originales dadas para una red de puntos.
(Redes de puntos $\leftrightarrow$ Redes de conjuntos unitarios): cada red $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ de puntos puede asociarse de forma única con la red canónica de conjuntos unitarios $\left(\left\{x_{i}\right\}\right)_{i\in I}$ y, a la inversa, cada red de conjuntos unitarios está asociada de forma única con una red canónica de puntos (definida de manera obvia). La cola de $\left(\left\{x_{i}\right\}\right)_{i\in I}$ que comienza en un índice $i$ es igual a la de $x_{\bullet }$ (es decir, igual a $x_{\geq i}$); en consecuencia, $\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)=\operatorname {Colas} \left(\left(\left\{x_{i}\right\}\right)_{i\in I}\right).$ Esto hace evidente que la definición de "convergencia de una red de conjuntos" en $X$ es de hecho una generalización de la definición original de "convergencia de una red de puntos" en $X$ (porque $x_{\bullet }\to R$ si y solo si $\left(\left\{x_{i}\right\}\right)_{i\in I}\to R$). Lo mismo ocurre con la definición de "acumulación de una red de conjuntos", dado que una red de puntos se acumula en un punto o subconjunto dado (según la definición original) si y solo si esto es cierto para su red asociada de conjuntos unitarios.
Ejemplo: Colas de redes como redes de conjuntos
Si $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ es una red de puntos o conjuntos, entonces la asignación $i\mapsto x_{\geq i}$ que hace corresponder un índice a la cola comenzando en ese índice, da lugar a la red de colas $x_{\geq \bullet }=\left(x_{\geq i}\right)_{i\in I}.$ La cola de $x_{\geq \bullet }$ que comienza en un índice dado $i\in I$ es igual a la de $x_{\bullet }$ (ambas son iguales a $x_{\geq i};$ y, en consecuencia, $x_{\geq \bullet }$ es su propia red de colas). Debido a que $\operatorname {Colas} \left(x_{\bullet }\right)=\operatorname {Colas} \left(x_{\geq \bullet }\right),$ la red $x_{\bullet }$ converge a (respectivamente, se acumula en) algún punto o subconjunto dado si y solo si lo mismo es cierto para su red de colas $x_{\geq \bullet }.$
Ejemplo: Retrocesos y avances de redes como redes de conjuntos
Las redes de conjuntos surgen naturalmente cuando se hacen retroceder las redes en el codominio de una función y cuando se empuja hacia adelante una red de conjuntos en su dominio. Si $f:X\to Y$ es una aplicación y $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}$ es una red de conjuntos o puntos, entonces considérese que :$f^{-1}\left(y_{\bullet }\right):=\left(f^{-1}\left(y_{i}\right)\right)_{i\in I}\quad {\text{ y }}\quad f\left(y_{\bullet }\right):=\left(f\left(y_{i}\right)\right)_{i\in I}$ de modo que $f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)$ denota la red de conjuntos $I\to \wp (X)$ definidos por $i\mapsto f^{-1}\left(y_{i}\right).$ En particular, $y_{\bullet }$ finalmente contenida en $f(X)$ (lo que significa que $y_{\geq i}\subseteq f(X)$ para algunos $i$) no es una condición necesaria para que $f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)$ sea una red de conjuntos. Entonces, incluso si una red $\left(y_{i}\right)_{i\in I}$ de puntos en $Y$ no puede ser llevada hacia atrás por $f$ a una red de puntos $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ en $X$ (por ejemplo, porque no está total o finalmente en la imagen de $f$), todavía es posible hablar de la red de conjuntos $f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)$ y de sus propiedades (como convergencia o acumulación).
Propiedades de las colas de redes de conjuntos
Supóngase que $S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i\in I}$ es una red de conjuntos en $X.$ La familia $\operatorname {Colas} \left(S_{\bullet }\right)$ es un prefiltro si y solo si no contiene el conjunto vacío, lo que equivale a que $S_{\bullet }$ no quede finalmente vacío. En este caso, el cierre hacia arriba en $X$ de este prefiltro de colas se llama filtro de colas o filtro final en $X$ generado por $S_{\bullet }.$ Una red $y_{\bullet }$ (de conjuntos o de puntos) finalmente está contenida en un conjunto $C$ si y solo si $\{C\}\leq \operatorname {Colas} \left(y_{\bullet }\right),$ por lo que $S_{\bullet }$ finalmente está vacío si y solo si $\{\varnothing \}\leq \operatorname {Colas} \left(S_{\bullet }\right).$
Supóngase que $f:X\to Y$ es una aplicación y que $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}$ es una red de conjuntos (o puntos). La cola de $f\left(y_{\bullet }\right)$ que comienza en un índice $i$ es igual a $f\left(y_{\geq i}\right)$ y de manera similar, la cola de $f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)$ que comienza en $i$ es $f^{-1}\left(y_{\geq i}\right).$ En consecuencia, $\operatorname {Colas} \left(f\left(y_{\bullet }\right)\right)=f\left(\operatorname {Colas} \left(y_{\bullet }\right)\right)$, donde esta familia es un prefiltro si y solo si $\operatorname {Colas} \left(y_{\bullet }\right)$ es un prefiltro. De manera similar, $\operatorname {Colas} \left(f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)\right)=f^{-1}\left(\operatorname {Colas} \left(y_{\bullet }\right)\right).$ Una consecuencia útil de esta definición es que $\operatorname {Colas} \left(f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)\right)$ es un prefiltro si y solo si $y_{\bullet }$ se interseca cofinalmente con (o para puntos, es cofinal en) $f(X),$ significa que para cada índice $i,$ hay algún $j\geq i$ tal que $y_{j}\cap f(X)\neq \varnothing$ (donde esta intersección significa que $y_{j}\in f(X)$ si $y_{j}$ es un punto en lugar de un conjunto).
Convergencia y acumulación
Se dice que una red de conjuntos $S_{\bullet }$ converge en $(X,\tau )$ a un punto o subconjunto dado $x$ de $X,$ escrito $S_{\bullet }\to x{\text{ en }}(X,\tau ),$ si $\,\operatorname {Colas} \left(S_{\bullet }\right)\to x{\text{ en }}(X,\tau ),$ cuya llamada se definió para significar que ${\mathcal {N}}_{\tau }(x)\leq \operatorname {Colas} \left(S_{\bullet }\right).$ Explícitamente, esto sucede si y solo si para cada entorno $U$ de $x,$ existe algún índice $i$ tal que $S_{\geq i}\subseteq U.$ De manera similar, se dice que $S_{\bullet }$ es una acumulación en un punto o subconjunto dado $x$ de $X$ si $\operatorname {Colas} \left(S_{\bullet }\right)$ concuerda con ${\mathcal {N}}_{\tau }(x)$ (escrito ${\mathcal {N}}_{\tau }(x)\;\#\;\operatorname {Colas} \left(S_{\bullet }\right)$); explícitamente, esto significa que $\varnothing \neq N\cap S_{\geq i}$ para cada índice $i\in I$ y entorno $N$ de $x.$
Cada red de conjuntos que finalmente está vacía converge a cada punto/subconjunto. Sin embargo, una red de conjuntos converge a $\varnothing$ si y solo si finalmente está vacía. Ninguna red de conjuntos se acumula en $\varnothing .$ Si una red de conjuntos converge a $x$, entonces se acumulará en $x$ si y solo si finalmente no está vacía (lo que implica que $x\neq \varnothing$).
Si $f:X\to Y$ es una aplicación y $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}$ es una red (de puntos o de conjuntos), entonces $f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)$ converge a (respectivamente, grupos en) algún punto o subconjunto dado de $X$ si y solo si cada entorno del mismo contiene (respectivamente, se interseca con) algún conjunto de la forma $f^{-1}\left(y_{\geq i}\right).$ Además, la red $f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)$ converge en $X$ a algún punto o subconjunto dado si y solo si esto es cierto para $f^{-1}\left(\operatorname {Colas} \left(y_{\bullet }\right)\right).$
Aplicaciones
A continuación se incluyen algunas aplicaciones que muestran cómo se pueden utilizar redes de conjuntos para caracterizar diversas propiedades. En las declaraciones siguientes, a menos que se indique lo contrario, $y$ y la red $y_{\bullet }$ son puntos en $Y$ (no conjuntos), y la aplicación $f:X\to Y$ no es necesariamente sobreyectiva.
* Una aplicación $f:X\to Y$ es cerrada (lo que significa que envía conjuntos cerrados a un subconjunto cerrado de $Y$) si y solo si siempre que $y_{\bullet }\to y{\text{ en }}Y$, entonces $f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)\to f^{-1}(y){\text{ en }}X.$ Esta caracterización sigue siendo cierta si se permite que $y_{\bullet }{\text{ y }}y$ sean conjuntos (en lugar de restringirse a puntos), tales que $y_{\bullet }\to y{\text{ en }}Y.$ Demostración Supóngase que $f:X\to Y$ está cerrada y que $y_{\bullet }\to y{\text{ en }}Y.$ Si $y\not \in f(X)$, entonces $y$ está en el conjunto abierto $Y\setminus f(X)$, de modo que $y_{\bullet }\to y{\text{ en }}Y$ implica que $f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)$ finalmente está vacío y, por lo tanto, que $f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)\to \varnothing =f^{-1}(y)$ en $X.$ Entonces, supóngase que $f^{-1}(y)\neq \varnothing$ y considérese que $U$ sea una entorno abierto de $f^{-1}(y)$ en $X.$ Queda por demostrar que $f^{-1}\left(y_{\geq i}\right)\subseteq U$ para algún índice $i.$ Dado que $f$ es cerrada, $Y\setminus f(X\setminus U)$ es un entorno abierto de $y$ en $Y$, por lo que debe existir algún índice $i$ tal que $y_{\geq i}\subseteq Y\setminus f(X\setminus U).$ Esto implica que $f^{-1}\left(y_{\geq i}\right)\subseteq f^{-1}(Y\setminus f(X\setminus U)),$ donde el lado derecho es un subconjunto de $U,$ tal como se buscaba. Por el contrario, supóngase que $y_{\bullet }\to y{\text{ en }}Y$ implica que $f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)\to f^{-1}(y){\text{ en }}X.$ Considérese ahora que $C\subseteq X$ es cerrado y supóngase que no está vacío. Sea $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}$ una red en $f(C)$ (es decir, $y_{i}\in f(C)$ para todos los $i$) y sea $y\in Y$ tal que $y_{\bullet }\to y{\text{ en }}Y.$ Queda por demostrar que $y\in f(C).$ Las hipótesis garantizan que $f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)\to f^{-1}(y){\text{ en }}X.$ El hecho de que cada fibra $f^{-1}\left(y_{i}\right)$ no esté vacía y que estas fibras converjan a $f^{-1}(y)$ implica que $f^{-1}(y)\neq \varnothing .$ Dado que $X\setminus C$ está abierto, si fuera cierto que $f^{-1}(y)\subseteq X\setminus C$, entonces existiría algún índice $i$ tal que $f^{-1}\left(y_{\geq i}\right)\subseteq X\setminus C,$ lo cual es imposible, ya que $y_{j}\in f(C)$ para cada índice $j.$ Por lo tanto $f^{-1}(y)\not \subseteq X\setminus C$, y entonces hay algo de $c\in C\cap f^{-1}(y),$ lo que prueba que $y=f(c)\in f(C).$ $\blacksquare$
** En comparación, $f:X\to Y$ es continua si y solo si siempre que $x_{\bullet }\to x{\text{ en }}X$, entonces $f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x){\text{ en }}Y.$
* Una aplicación $f:X\to Y$ es abierta (lo que significa que envía conjuntos abiertos a un subconjunto abierto de $Y$) si y solo si siempre que $x$ sea un punto en $X$ e $y_{\bullet }$ sea una red que se acumula en $f(x){\text{ en }}Y,$ entonces $f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)$ se acumula en $x{\text{ en }}X.$ Esta caracterización sigue siendo cierta si se permite que $y_{\bullet }{\text{ y }}x$ sean conjuntos. Demostración Para la dirección no trivial, supóngase que $f:X\to Y$ no es una aplicación abierta. Elíjase un subconjunto abierto $U\subseteq X$ tal que $f(U)$ no esté abierto en $Y,$ donde la falta de apertura significa que hay algún punto $y\in f(U)$ tal que $f(U)$ no sea un entorno de $y$ en $Y.$ Explícitamente, esto significa que $N\not \subseteq f(U)$ para cada entorno $N$ de $y$ en $Y,$ lo que garantiza la existencia de algún $y_{N}\in N\setminus f(U).$ Sea $I:={\mathcal {N}}_{Y}(y)$ el filtro de entornos de $y$ en $Y$ y dirigido por $\,\supseteq \,$ para convertir a $y_{\bullet }:=\left(y_{N}\right)_{N\in I}$ en una red que converja a $y$ en $Y,$ lo que implica que $y_{\bullet }$ se acumula en $y$ en $Y.$ Dado que $y\in f(U),$ existe $x\in U\cap f^{-1}(y).$ Pero $f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)$ no se acumula en $x$, ya que $f^{-1}\left(y_{N}\right)\cap U=\varnothing$ para cada $N\in I.$ $\blacksquare$ La demostración alternativa que figura a continuación permite comprobar cómo se puede usar un prefiltro para construir una red de conjuntos, que a su vez se puede usar para construir una red de puntos. Debido a que $f(U)$ no es un entorno de $y,$ la familia ${\mathcal {I}}:=\{N\setminus f(U):N\in {\mathcal {N}}(y)\}$ no contiene el conjunto vacío. Si $N$ y $N_{2}$ son entornos de $y$, entonces las intersecciones $(N_{2}\setminus f(U))\cap (N\setminus f(U))$ y $N_{2}\cap (N\setminus f(U))$ son iguales a $(N_{2}\cap N)\setminus f(U),$ que pertenece a ${\mathcal {I}}$ (desde $N_{2}\cap N\in {\mathcal {N}}(y)$) y, por lo tanto, no están vacías. Esto muestra que ${\mathcal {I}}$ es un sistema Π y que concuerda con el filtro de entornos ${\mathcal {N}}(y).$ En particular, ${\mathcal {I}}$ es un prefiltro que se acumula en $y.$ Además, ${\mathcal {N}}(y)\leq {\mathcal {I}}$ porque cada $N\in {\mathcal {N}}(y)$ contiene a $N\setminus f(U)\in {\mathcal {I}}$ como un subconjunto, lo que demuestra que ${\mathcal {I}}\to y.$ Elíjase $x\in U\cap f^{-1}(y)$ como antes. El conjunto $U$ es, por tanto, un entorno de $x$ que es disjunto de $f^{-1}(N\setminus f(U))$ para cada entorno $N\in {\mathcal {N}}(y).$ Por lo tanto, $f^{-1}({\mathcal {I}})$ no se acumula en $x$, a pesar de que el prefiltro ${\mathcal {I}}$ se acumula en $y.$ Conclusión utilizando redes de conjuntos: Diríjase el prefiltro ${\mathcal {I}}$ anterior por $\,\supseteq \,$ de modo que la aplicación identidad $\operatorname {id} _{\mathcal {I}}:({\mathcal {I}},\supseteq )\to {\mathcal {I}}$ se convierta en una red de conjuntos. Esta red se acumula en (respectivamente, converge a) $y$ porque esto es cierto para ${\mathcal {I}}.$ Pero debido a que $f^{-1}({\mathcal {I}})$ no se acumula en $x,$ tampoco lo hace la red de preimágenes $(f^{-1}(I))_{I\in {\mathcal {I}}}.$ Conclusión utilizando redes de puntos: Por cada $I\in {\mathcal {I}},$ se elige un punto $y_{I}\in I.$ Entonces, $y_{\bullet }:=\left(y_{I}\right)_{I\in {\mathcal {I}}}$ es una red que converge a $y$ en $Y$ (porque esto es cierto para la red de conjuntos $\operatorname {id} _{\mathcal {I}}:({\mathcal {I}},\supseteq )\to {\mathcal {I}}$), lo que implica que $y_{\bullet }$ se acumula en $y$ en $Y.$ Pero $f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)$ no se acumula en $x$, ya que $f^{-1}\left(y_{I}\right)\cap U\subseteq f^{-1}(I)\cap U=\varnothing$ para cada $I\in {\mathcal {I}}.$ $\blacksquare$
** En comparación, $f:X\to Y$ es continua si y solo si siempre que $x_{\bullet }$ sea una red que se acumula en un punto $x{\text{ en }}X,$ y entonces $f\left(x_{\bullet }\right)$ se acumula en $f(x){\text{ en }}Y.$
* Una aplicación $f:X\to Y$ es abierta si y solo si siempre que $y_{\bullet }\to y{\text{ en }}Y.$ Entonces, cualquier subconjunto cerrado de $X$ que contenga a $f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)$ necesariamente también contendrá a $f^{-1}(y).$ Esta caracterización sigue siendo cierta si se permite que $y_{\bullet }$ sea una red de conjuntos que finalmente no esté vacía (en lugar de ser una red de puntos), mientras que $y\in Y$ continúa siendo un punto (de modo que $y_{\bullet }\to y{\text{ en }}Y$). Lo mismo ocurre con la caracterización de la aplicación de cocientes que aparece a continuación. Demostración Si $R\subseteq X$ es cualquier subconjunto, entonces se verifica fácilmente que $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\}.$ Esto implica que una aplicación $f:X\to Y$ está abierta si y solo si siempre que $C\subseteq X$ esté cerrada en $X$, entonces $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ esté cerrada en $Y.$ Esta caracterización de "aplicación abierta" combinada con la caracterización con redes convergentes de conjuntos cerrados produce la conclusión deseada: $f:X\to Y$ es abierto si y solo si siempre que $y_{\bullet }\to y{\text{ en }}Y$ y $C\subseteq X$ sean un subconjunto cerrado de $X$ que contenga a $f^{-1}\left(y_{\bullet }\right),$ entonces necesariamente $f^{-1}(y)\subseteq C.$ $\blacksquare$
** En comparación, según la caracterización del cierre de continuidad, $f:X\to Y$ es continua si y solo si siempre que $x_{\bullet }\to x{\text{ en }}X$, cualquier subconjunto cerrado de $Y$ que contenga a $f\left(x_{\bullet }\right)$ necesariamente también contendrá a $f(x).$
* Una sobreyección continua $f:X\to Y$ es una aplicación cociente si y solo si siempre que $y_{\bullet }\to y{\text{ en }}Y$ entonces cualquier subconjunto cerrado saturado de $X$ que contiene a $f^{-1}\left(y_{\bullet }\right)$, necesariamente también contendrá a $f^{-1}(y)$ (un conjunto $C\subseteq X$ está saturado si $f^{-1}(f(C))=C$).
* Un subconjunto $C\subseteq X$ está cerrado en $X$ si y solo si para cada punto $x\in X$ y para cada red de subconjuntos $c_{\bullet }$ de $C$ que finalmente no esté vacía, si $c_{\bullet }\to x{\text{ en }}X$ cuando $x\in C.$
* Una aplicación $f:X\to Y$ es continua si y solo si siempre que $S$ y $S_{\bullet }$ sean conjuntos o puntos en $X$ tales que $S_{\bullet }\to S{\text{ en }}X,$ y entonces $f\left(S_{\bullet }\right)\to f(S){\text{ en }}Y.$ Demostración La prueba es esencialmente idéntica a la prueba habitual que implica únicamente redes de puntos. Una de las direcciones (aquella cuya conclusión es que $f$ es continua) solo requiere considerar redes de puntos, y por este motivo se omite. Entonces, supóngase que la aplicación es continua y que $S_{\bullet }\to S{\text{ en }}X.$ Sea $V\subseteq Y$ un entorno abierto de $f(S)$ en $Y.$ Entonces, $f^{-1}(V)$ es un entorno abierto de $S$ en $X$, por lo que existe algún índice $i$ tal que $S_{\geq i}\subseteq f^{-1}(V).$ Así, $f\left(S_{\geq i}\right)\subseteq V,$ tal como se buscaba. $\blacksquare$
* Una aplicación $f:X\to Y$ es continua si y solo si siempre que $S_{\bullet }$ sea una red de conjuntos o puntos en $X$ que se acumula en (respectivamente, converge a) algún punto o subconjunto dado $S$ de $X,$ entonces $f\left(S_{\bullet }\right):=\left(f\left(S_{i}\right)\right)_{i\in I}$ se acumula en (respectivamente, converge a) $f(S)$ en $Y.$

### Topología del conjunto de prefiltros

A partir de nada más que un conjunto $X,$ es posible establecer la topología del conjunto
    $\mathbb {P} :=\operatorname {Prefiltros} (X)$
de todas las bases de filtros en $X$ con la topología de Stone, que lleva el nombre de Marshall Harvey Stone.
Para evitar ambigüedades, en este artículo se emplea la siguiente convención de notaciones:
* Letras minúsculas para elementos $x\in X.$
* Letras mayúsculas para subconjuntos $S\subseteq X.$
* Letras de caligrafía en mayúsculas para subconjuntos ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ (o de manera equivalente, para elementos ${\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X)),$ como prefiltros).
* Letras mayúsculas de doble trazo para subconjuntos $\mathbb {P} \subseteq \wp (\wp (X)).$
Por cada $S\subseteq X,$ sea
    $\mathbb {O} (S):=\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ~:~S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}$
donde $\mathbb {O} (X)=\mathbb {P} {\text{ y }}\mathbb {O} (\varnothing )=\varnothing .$ Estos conjuntos serán los subconjuntos abiertos básicos de la topología de Stone. Si $R\subseteq S\subseteq X$, entonces
    $\left\{{\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X))~:~R\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}~\subseteq ~\left\{{\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X))~:~S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}.$
De esta inclusión, es posible deducir todas las inclusiones de subconjuntos que se muestran a continuación, con la excepción de $\mathbb {O} (R\cap S)~\supseteq ~\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S).$ Para todos los $R\subseteq S\subseteq X,$
    $\mathbb {O} (R\cap S)~=~\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S)~\subseteq ~\mathbb {O} (R)\cup \mathbb {O} (S)~\subseteq ~\mathbb {O} (R\cup S)$
donde en particular, la igualdad $\mathbb {O} (R\cap S)=\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S)$ muestra que la familia $\{\mathbb {O} (S)~:~S\subseteq X\}$ es un sistema $\pi$ que forma una base para una topología en $\mathbb {P}$ llamada topología de Stone. De ahora en adelante, se supondrá que $\mathbb {P}$ conlleva esta topología, y que cualquier subconjunto de $\mathbb {P}$ porta la topología del subespacio inducida.
A diferencia de la mayoría de las otras construcciones generales de topologías (por ejemplo, las topologías producto, cociente, o subespacial entre otras), esta topología en $\mathbb {P}$ se definió con sin usar cualquier otra cosa que no sea el conjunto $X;$; sin estructuras o suposiciones preexistentes en $X$, por lo que esta topología es completamente independiente de todo lo que no sea $X$ (y sus subconjuntos).
Los siguientes criterios se pueden utilizar para verificar puntos de cierre y entornos. Si $\mathbb {B} \subseteq \mathbb {P} {\text{ y }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {P}$ entonces:
* Cierre en $\mathbb {P}$: $\ {\mathcal {F}}$ pertenece al cierre de $\mathbb {B} {\text{ en }}\mathbb {P}$ si y solo si ${\mathcal {F}}\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {B}}\in \mathbb {B} }}{\mathcal {B}}^{\uparrow X}.$
* Entornos en $\mathbb {P}$: $\ \mathbb {B}$ es un entorno de ${\mathcal {F}}{\text{ en }}\mathbb {P}$ si y solo si existe algún $F\in {\mathcal {F}}$ tal que $\mathbb {O} (F)=\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ~:~F\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}\subseteq \mathbb {B}$ (es decir, tal que para todos los ${\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ,{\text{ si }}F\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}{\text{ entonces }}{\mathcal {B}}\in \mathbb {B}$).
De ahora en adelante se asumirá que $X\neq \varnothing$ porque de lo contrario $\mathbb {P} =\varnothing$, y la topología es $\{\varnothing \},$ lo que no es interesante.
Subespacio de ultrafiltros
El conjunto de ultrafiltros en $X$ (con topología subespacial) es un espacio de Stone, lo que significa que es compacto, de Hausdorff y totalmente desconectado. Si $X$ tiene una topología discreta, entonces la aplicación $\beta :X\to \operatorname {Ultra\,Filtros} (X),$ definida enviando $x\in X$ al ultrafiltro principal en $x,$ es una inclusión topológica cuya imagen es un subconjunto denso de $\operatorname {Ultra\,Filtros} (X)$ (consúltese el artículo sobre la compactación de Stone-Čech para obtener más detalles).
Relaciones entre topologías en $X$ y la topología de Stone en $\mathbb {P}$
Cada $\tau \in \operatorname {Top} (X)$ induce una aplicación canónica ${\mathcal {N}}_{\tau }:X\to \operatorname {Filtros} (X)$ definida por $x\mapsto {\mathcal {N}}_{\tau }(x),$ que envía $x\in X$ al filtro de entornos de $x{\text{ en }}(X,\tau ).$ Si $\tau ,\sigma \in \operatorname {Top} (X)$, entonces $\tau =\sigma$ si y solo si ${\mathcal {N}}_{\tau }={\mathcal {N}}_{\sigma }.$ Por lo tanto, cada topología $\tau \in \operatorname {Top} (X)$ se puede identificar con la aplicación canónica ${\mathcal {N}}_{\tau }\in \operatorname {Func} (X;\mathbb {P} ),$ lo que permite identificar canónicamente a $\operatorname {Top} (X)$ como un subconjunto de $\operatorname {Func} (X;\mathbb {P} )$ (como nota al margen, ahora es posible colocar en $\operatorname {Func} (X;\mathbb {P} ),$ y, por lo tanto, también en $\operatorname {Top} (X),$ la topología de convergencia puntual en $X$, por lo que ahora tiene sentido hablar de cosas como sucesiones de topologías en $X$ que convergen puntualmente). Para cada $\tau \in \operatorname {Top} (X),$ la sobreyección ${\mathcal {N}}_{\tau }:(X,\tau )\to \operatorname {imagen} {\mathcal {N}}_{\tau }$ es siempre continua, cerrada, y abierta, pero es inyectiva si y solo si $\tau {\text{ es }}T_{0}$ (es decir, es un espacio de Kolmogórov). En particular, para cada topología $T_{0}$ $\tau {\text{ sobre }}X,$ la aplicación ${\mathcal {N}}_{\tau }:(X,\tau )\to \mathbb {P}$ es una inclusión topológica (dicho de otra manera, cada espacio de Kolmogórov es un subespacio topológico del espacio de prefiltros).
Además, si ${\mathfrak {F}}:X\to \operatorname {Filtros} (X)$ es una aplicación tal que $x\in \ker {\mathfrak {F}}(x):={\textstyle \bigcap \limits _{F\in {\mathfrak {F}}(x)}}F{\text{ para todo }}x\in X$ (lo cual es cierto para ${\mathfrak {F}}:={\mathcal {N}}_{\tau },$ por ejemplo), entonces, para cada $x\in X{\text{ y }}F\in {\mathfrak {F}}(x),$ el conjunto ${\mathfrak {F}}(F)=\{{\mathfrak {F}}(f):f\in F\}$ es un entorno (en la topología subespacial) de ${\mathfrak {F}}(x){\text{ en }}\operatorname {imagen} {\mathfrak {F}}.$