# Magnetostática

La magnetoestática es el estudio de todos los fenómenos físicos en los que intervienen campos magnéticos constantes en el tiempo.
La magnetoestática abarca desde la atracción que ejercen los imanes y los electroimanes sobre los metales ferromagnéticos, como el hierro, hasta los campos magnéticos creados por corrientes eléctricas estacionarias. De hecho ambos fenómenos están estrechamente relacionados, ya que las corrientes eléctricas crean un campo magnético proporcional a la intensidad de corriente y que disminuye con la distancia.
Además todo cuerpo que entra en un campo magnético toma una imantación que depende de su naturaleza, y que generalmente pierde al retirarse de ese campo; algunos aceros conservan parte del magnetismo inducido o magnetismo remanente.
Hay cuerpos paramagnéticos que son atraídos por los imanes (hierro, níquel, cobalto, etc.) y cuerpos diamagnéticos, que son repelidos por ellos.

## Magnetismo

El magnetismo es la propiedad que tienen determinadas sustancias de repeler especialmente algunos minerales como el hierro, cobalto y níquel y cadmio.

## Conceptos básicos

En magnetostática, se investiga la distribución espacial de los campos magnéticos en las proximidades de imanes permanentes y corrientes estacionarias (concepto del hilo de corriente). Una corriente estacionaria, por ejemplo, es una corriente continua en un conductor eléctrico. Además de las propiedades magnéticas individuales de los materiales como el ferromagnetismo, el diamagnetismo, etc., esto también incluye el campo magnético de la Tierra. Además, la magnetostática describe el efecto de fuerza de tales campos generados sobre imanes y corrientes. Esto incluye el comportamiento de un dipolo magnético en un campo magnético temporalmente constante, por ejemplo, el comportamiento de una aguja magnética (libremente móvil) en el campo magnético de la Tierra.
Los términos básicos son análogos a la electrostática. La carga eléctrica positiva y negativa corresponden a los polos norte y sur, cuantitativamente: fuerza positiva y negativa del polo. Sin embargo, a diferencia de las cargas eléctricas, los polos magnéticos no se pueden aislar, sino que siempre ocurren juntos en un cuerpo.

## Usos
### La magnetostática como un caso especial de las ecuaciones de Maxwell

Partiendo de las ecuaciones de Maxwell y asumiendo que las cargas eléctricas son fijas o se mueven como una corriente constante$\scriptstyle \mathbf {J}$, las ecuaciones se separan en dos ecuaciones para el campo eléctrico (ver electrostática) y dos para el campo magnético. Los campos son independientes del tiempo y entre sí. Las ecuaciones magnetostáticas, tanto en forma diferencial como integral, se muestran en la siguiente tabla.
| Nombre | Forma | Forma |
| Nombre | Diferencial parcial | Integral |
| Ley de Gauss para el magnetismo | $\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0$ | $\oint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$ |
| Ley de Ampère | $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J}$ | $\oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =I_{\mathrm {enc} }$ |
Donde ∇ con el punto denota divergencia, y B es la densidad de flujo magnético, la primera integral se realiza sobre una superficie $\scriptstyle S$ con elemento de superficie orientado $\scriptstyle d\mathbf {S}$. Donde ∇ con la cruz denota rotor, J es la densidad de corriente y H es la intensidad de campo magnético, la segunda integral es una integral de línea alrededor de un bucle cerrado $\scriptstyle C$ con elemento de línea $\scriptstyle \mathbf {l}$. La corriente que circula por el bucle es $\scriptstyle I_{\text{enc}}$.
La calidad de esta aproximación se puede adivinar comparando las ecuaciones anteriores con la versión completa de las ecuaciones de Maxwell y considerando la importancia de los términos que se han eliminado. De particular importancia es la comparación del término $\scriptstyle \mathbf {J}$ contra el término $\scriptstyle \partial \mathbf {D} /\partial t$. Si el término $\scriptstyle \mathbf {J}$ es sustancialmente más grande, entonces el término más pequeño puede ignorarse sin una pérdida significativa de precisión.

### Reintroduciendo la ley de Faraday

Una técnica común es resolver una serie de problemas magnetostáticos en pasos de tiempo incrementales y luego usar estas soluciones para aproximar el término $\scriptstyle \partial \mathbf {B} /\partial t$. Insertando este resultado en la Ley de Faraday se encuentra un valor para $\scriptstyle \mathbf {E}$ (que previamente se había ignorado). Este método no es una verdadera solución de las ecuaciones de Maxwell, pero puede proporcionar una buena aproximación para campos que cambian lentamente.

## Cálculo del campo magnético
### Fuentes de corriente

Si se conoce todas las corrientes en un sistema (o sea, si una descripción completa de la densidad de corriente $\mathbf {J} (\mathbf {r} )$ se conoce) entonces el campo magnético se puede determinar, en una posición r, a partir de las corrientes mediante la ecuación de Biot–Savart:$^{:174}$ $\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$
Esta técnica funciona bien en problemas en los cuales el medio es el vacío o aire o algún material similar con una permeabilidad relativa de 1. Ello incluye a las bobinas con núcleo de aire y a los transformadores con núcleo de aire. Una ventaja de esta técnica es que, si una espira posee una geometría compleja, se la puede dividir en secciones y se evalúa la integral para cada sección. Dado que esta ecuación es utilizada en mayor medida para resolver problemas lineales, se pueden sumar las diversas contribuciones. Para una geometría muy compleja, se puede utilizar una integración numérica.
Para problemas en los que el material magnético dominante es un núcleo magnético altamente permeable con huecos de aire relativamente pequeños, resulta útil un enfoque de circuito magnético. Cuando los entrehierros son grandes en comparación con la longitud del circuito magnético, los efectos de borde en el entrehierro se vuelven significativos y normalmente requiere un cálculo de elementos finitos. El cálculo de elementos finitos utiliza una forma modificada de las ecuaciones magnetostáticas anteriores para calcular el potencial magnético. El valor de $\mathbf {B}$ se puede encontrar a partir del potencial magnético.
El campo magnético se puede obtener a partir del potencial vectorial. Dado que la divergencia de la densidad de flujo magnético es siempre cero, $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} ,$ y la relación del potencial vectorial a la corriente es:$^{:176}$ $\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J(\mathbf {r} ')} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}.$

### Magnetización

Los materiales fuertemente magnéticos (tales como ferromagnéticos, ferrimagnéticos o paramagnéticos) tienen una magnetización que se debe en gran medida al espín del electrón. En estos materiales la magnetización debe ser incluida explícitamente utilizando la relación $\mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {M} +\mathbf {H} ).$
Excepto en el caso de conductores, se pueden ignorar las corrientes eléctricas. Y en ese caso la ley de Amper es simplemente: $\nabla \times \mathbf {H} =0.$
La solución general es: $\mathbf {H} =-\nabla \Phi _{M},$ donde $\Phi _{M}$ es un potencial escalar.$^{:192}$ Substituyendo esta expresión en la ley de Gauss, se obtiene: $\nabla ^{2}\Phi _{M}=\nabla \cdot \mathbf {M} .$
Por lo tanto, la divergencia de la magnetización, $\nabla \cdot \mathbf {M} ,$ posee un rol análogo al de la carga eléctrica en la electroestática y a menudo es identificada con una densidad de carga efectiva $\rho _{M}$.
El método del potencial vectorial también puede ser utilizado con una densidad de corriente efectiva $\mathbf {J_{M}} =\nabla \times \mathbf {M} .$

## Fuerza magnetostática
### Fuerza entre dos bucles de corriente cerrados y no superpuestos

La ley de fuerza básica de la magnetostática y, por tanto, del electromagnetismo estacionario es la ley de fuerza de Ampère, que puede enunciarse como sigue:
    ${\vec {F}}_{m}^{1\rightarrow 2}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V_{1}}\int _{V_{2}}{\vec {\jmath }}_{2}({\vec {r}}_{2})\times \left({\vec {\jmath }}_{1}({\vec {r}}_{1})\times {\frac {{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}\right)\mathrm {d} ^{3}r_{2}\mathrm {d} ^{3}r_{1}$,
En esta forma, describe la fuerza que actúa desde el bucle conductor cerrado 1 sobre el bucle conductor cerrado 2. Si las espiras conductoras tienen áreas de sección transversal finitas, se debe utilizar la siguiente forma con las densidades de corriente ${\vec {\jmath }}_{1}$ y ${\vec {\jmath }}_{2}$:
    ${\vec {B}}_{1}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V_{1}}{\vec {\jmath }}_{1}({\vec {r}}')\times {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}r'$
Esta formulación se entiende como que la fuerza originada en el bucle de corriente 1 (con volumen $V_{1}$ y densidad de corriente eléctrica ${\vec {\jmath }}_{1}$) actúa sobre el bucle de corriente 2 (con volumen $V_{2}$ y densidad de corriente eléctrica ${\vec {\jmath }}_{2}$). Los volúmenes $V_{1}$ y $V_{2}$ no se superponen. También se supone que se trata de bucles de corriente cerrados con áreas transversales finitas. Esta suposición implica que la suma de todos los vectores de densidad de corriente a lo largo de un bucle respectivo se cancela:
$int_{V_{i}}{\vec {\jmath }}_{i}({\vec {r}})\;\mathrm {d} ^{3}r_{i}={\vec {0}}$. (Para ilustrar esto, considere un movimiento circular uniforme: La suma de todos los vectores de velocidad en este caso también es igual al vector cero).
Usando la identidad de Graßmann y la propiedad de integral de curva cerrada en el contexto de campo de gradiente se muestra que la contribución efectiva a la fuerza es más fácil de especificar. En primer lugar, con la identidad de Graßmann:
    $\mathrm {d} {\vec {\ell }}_{2}\times \left(\mathrm {d} {\vec {\ell }}_{1}\times {\frac {{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}\right)=-\left(\mathrm {d} {\vec {\ell }}_{2}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}_{1}\right){\frac {{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}+\mathrm {d} {\vec {\ell }}_{2}\left(\mathrm {d} {\vec {\ell }}_{1}\cdot {\frac {{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}\right)$
0
    ${\vec {\jmath }}_{2}\times \left({\vec {\jmath }}_{1}\times {\frac {{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}\right)=-\left({\vec {\jmath }}_{2}\cdot {\vec {\jmath }}_{1}\right){\frac {{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}+{\vec {\jmath }}_{2}\left({\vec {\jmath }}_{1}\cdot {\frac {{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}\right)$
La propiedad de integración a lo largo de curvas cerradas significa que el último término siempre resulta cero. En consecuencia, la fuerza también puede describirse de forma más sencilla mediante:
    ${\vec {F}}_{m}^{1\rightarrow 2}=-{\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\oint _{\ell _{1}}\oint _{\ell _{2}}\left(\mathrm {d} {\vec {\ell }}_{2}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}_{1}\right){\frac {{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}$
o
    ${\vec {F}}_{m}^{1\rightarrow 2}=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V_{1}}\int _{V_{2}}\left({\vec {\jmath }}_{2}({\vec {r}}_{2})\cdot {\vec {\jmath }}_{1}({\vec {r}}_{1})\right){\frac {{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}r_{2}\mathrm {d} ^{3}r_{1}$
Esta forma de la ley de la fuerza muestra claramente que se cumple 3er axioma de Newton (${\vec {F}}_{m}^{1\rightarrow 2}=-{\vec {F}}_{m}^{2\rightarrow 1}$). La formulación con producto cruzado no da esta propiedad explícitamente, sino sólo bajo la condición de líneas de corriente cerradas. Por lo tanto, la forma diferencial no tiene significado físico en este sentido, pero esto no es un problema, ya que los circuitos eléctricos suelen ser cerrados en los sistemas reales. La razón de la formulación aparentemente más complicada con productos cruzados es que la definición de la densidad de flujo magnético por la ley de Biot-Savart puede implementarse de forma más elegante. En tal formulación de la ley de la fuerza magnetostática, existe por tanto el grado de libertad de un campo gradiente que, tras la integración, no hace ninguna contribución efectiva. En la formulación original de Ampere, por ejemplo, se eligió una «calibración» diferente.
También hay que mencionar que la formulación de la ley de la fuerza con densidades de corriente debe considerarse como más general. Esta formulación cierra la brecha entre la ley de fuerza de Graßmann-Ampère y las ecuaciones magnetostáticas de Maxwell. La ley de Biot-Savart puede derivarse de la ley de potencia y, finalmente, la ley de Biot-Savart puede utilizarse para derivar las ecuaciones magnetostáticas de Maxwell para la densidad de flujo magnético, que contienen la densidad de corriente eléctrica y no una corriente de línea.
Esta última formulación de la fuerza magnética muestra que el efecto de la fuerza es atractivo para densidades de corriente paralelas, mientras que para densidades de corriente antiparalelas actúa una fuerza repulsiva. En comparación con la ley de la fuerza de Coulomb de la electrostática, se trata de un principio de acción inverso. En electrostática, las cargas diferentes se atraen y las similares se repelen.
Se puede ver que la ley de fuerza de Ampère es conservativa, lo que significa que se puede definir una energía potencial asociada. Para derivarla, primero se convierte de la siguiente manera:
    ${\begin{aligned}{\vec {F}}_{m}^{1\rightarrow 2}&=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V_{1}}\int _{V_{2}}\left({\vec {\jmath }}_{2}({\vec {r}}_{2})\cdot {\vec {\jmath }}_{1}({\vec {r}}_{1})\right){\frac {{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}r_{2}\mathrm {d} ^{3}r_{1}\\&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V_{1}}\int _{V_{2}}\left({\vec {\jmath }}_{2}({\vec {r}}_{2})\cdot {\vec {\jmath }}_{1}({\vec {r}}_{1})\right)\nabla _{{\vec {r}}_{2}}\left({\frac {1}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|}}\right)\mathrm {d} ^{3}r_{2}\mathrm {d} ^{3}r_{1}\\&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V_{1}}\int _{V_{2}}{\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}_{2}^{T}}}\left({\frac {{\vec {\jmath }}_{1}({\vec {r}}_{1})}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|}}\right)\cdot {\vec {\jmath }}_{2}({\vec {r}}_{2})\mathrm {d} ^{3}r_{2}\mathrm {d} ^{3}r_{1}\\&=\int _{V_{2}}{\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}_{2}^{T}}}\left({\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V_{1}}{\frac {{\vec {\jmath }}_{1}({\vec {r}}_{1})}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|}}\mathrm {d} ^{3}r_{1}\right)\cdot {\vec {\jmath }}_{2}({\vec {r}}_{2})\mathrm {d} ^{3}r_{2}\\&=\int _{V_{2}}\left.{\frac {\partial {\vec {A}}_{1}}{\partial {\vec {r}}^{T}}}\right|_{{\vec {r}}={\vec {r}}_{2}}\cdot {\vec {\jmath }}_{2}({\vec {r}}_{2})\mathrm {d} ^{3}r_{2}\end{aligned}}$
Aquí se introduce el potencial vectorial magnético ${\vec {A}}_{1}$:
    ${\vec {A}}_{1}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V_{1}}{\frac {{\vec {\jmath }}_{1}({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}r'$
Donde la notación $\partial {\vec {A}}_{1}/\partial {\vec {r}}^{T}$ corresponde a la matriz de Jacobi. Para medir la fuerza magnética en distintos puntos, se introduce el vector desplazamiento ${\vec {\xi }}$de la siguiente forma para poder trazar la derivada delante de la integral:
    ${\begin{aligned}{\vec {F}}_{m}^{1\rightarrow 2}({\vec {\xi }})&=\int _{V_{2}}\left.{\frac {\partial {\vec {A}}_{1}}{\partial {\vec {r}}^{T}}}\right|_{{\vec {r}}={\vec {r}}_{2}+{\vec {\xi }}}\cdot {\vec {\jmath }}_{2}({\vec {r}}_{2})\mathrm {d} ^{3}r_{2}\\&=\nabla _{\vec {\xi }}\int _{V_{2}}{\vec {A}}_{1}({\vec {r}}_{2}+{\vec {\xi }})\cdot {\vec {\jmath }}_{2}({\vec {r}}_{2})\mathrm {d} ^{3}r_{2}\end{aligned}}$
Según la relación de gradiente entre fuerza y energía potencial ${\vec {F}}_{m}^{1\rightarrow 2}({\vec {\xi }})=-\nabla _{\vec {\xi }}E_{\mathrm {pot} }^{12}({\vec {\xi }})$, la energía potencial se deduce finalmente de esto:
    ${\begin{aligned}E_{\mathrm {pot} }^{12}({\vec {\xi }})&=-\int _{V_{2}}{\vec {A}}_{1}({\vec {r}}_{2}+{\vec {\xi }})\cdot {\vec {\jmath }}_{2}({\vec {r}}_{2})\mathrm {d} ^{3}r_{2}\end{aligned}}$
o independientemente de ${\vec {\xi }}$:
    ${\begin{aligned}E_{\mathrm {pot} }^{12}&=-\int _{V_{2}}{\vec {\jmath }}_{2}({\vec {r}}_{2})\cdot {\vec {A}}_{1}({\vec {r}}_{2})\mathrm {d} ^{3}r_{2}=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V_{2}}\int _{V_{1}}{\frac {{\vec {\jmath }}_{1}({\vec {r}}_{1}){\vec {\jmath }}_{2}({\vec {r}}_{2})}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|}}\mathrm {d} ^{3}r_{2}\mathrm {d} ^{3}r_{1}\end{aligned}}$
Aquí también se reconoce la analogía con la energía potencial en electrostática, excepto por el signo negativo.

## Formulación mediante el Lagrangiano

La magnetostática puede ser formulada mediante el siguiente Lagrangiano:
    ${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2\mu _{0}}}\sum _{k\in \{x,y,z\}}(\nabla A_{k})^{2}+{\vec {\jmath }}\cdot {\vec {A}}$
El primer término corresponde a la energía propia y el segundo término a la energía potencial negada. A través de la aplicación de la igualdad de Euler-Lagrange
    ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {A}}}}-\sum _{k\in \{x,y,z\}}{\frac {\partial }{\partial k}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{k}{\vec {A}})}}=\mathbf {0}$
Por lo tanto, se puede obtener la ecuación de Poisson para el potencial del vector magnético $\Delta {\vec {A}}=-\mu _{0}{\vec {\jmath }}$ . En estas ecuaciones de Euler-Lagrange el término de la primera derivada se entiende como un gradiente, de modo que
    ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {A}}}}={\vec {\jmath }}$.
Las derivadas parciales en el segundo término se dan inicialmente de la siguiente manera:
    ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x}{\vec {A}})}}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial x}},\quad {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{y}{\vec {A}})}}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial y}},\quad {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{z}{\vec {A}})}}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial z}}$,
y en consecuencia:
    $\sum _{k\in \{x,y,z\}}{\frac {\partial }{\partial k}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{k}{\vec {A}})}}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial y^{2}}}-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial z^{2}}}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\Delta {\vec {A}}$.
Esto da como resultado la ecuación de Poisson a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange:
    ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {A}}}}-\sum _{k\in \{x,y,z\}}{\frac {\partial }{\partial k}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{k}{\vec {A}})}}={\vec {\jmath }}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\Delta {\vec {A}}=\mathbf {0} \quad \rightarrow \quad \Delta {\vec {A}}=-\mu _{0}{\vec {\jmath }}$
Un lagrangiano equivalente viene dada por:
    ${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2\mu _{0}}}|\nabla \times {\vec {A}}|^{2}+{\vec {\jmath }}\cdot {\vec {A}}=-{\frac {1}{2\mu _{0}}}|{\vec {B}}|^{2}+{\vec {\jmath }}\cdot {\vec {A}}$