# Árbol rojo-negro

Un árbol rojo-negro es un árbol binario de búsqueda equilibrado, una estructura de datos utilizada en informática y ciencias de la computación. La estructura original fue creada por Rudolf Bayer en 1972, que le dio el nombre de “árboles-B binarios simétricos”, pero tomó su nombre moderno en un trabajo de Leo J. Guibas y Robert Sedgewick realizado en 1978. Es complejo, pero tiene un buen peor caso de tiempo de ejecución para sus operaciones y es eficiente en la práctica. Puede buscar, insertar y borrar en un tiempo O(log n), donde n es el número de elementos del árbol.

## Terminología

Un árbol rojo-negro es un tipo especial de árbol binario usado en informática para organizar información compuesta por datos comparables (por ejemplo, números). En los árboles rojo-negro las hojas no son relevantes y no contienen datos.
En los árboles rojo-negro, como en todos los árboles binarios de búsqueda, es posible moverse ordenadamente a través de los elementos de forma eficiente si hay forma de localizar el padre de cualquier nodo. El tiempo de desplazarse desde la raíz hasta una hoja a través de un árbol equilibrado que tiene la mínima altura posible es de O(log n).
Al implementar esta estructura es posible utilizar un único nodo centinela. Este cumple la función de hoja para todas las ramas del árbol. Así, todos los nodos internos que finalicen en una hoja tienen referencia a este único nodo centinela. Esto no es necesario, ya que puede hacerse una referencia nula (NIL) en el final de cada rama.

## Propiedades

Un árbol rojo-negro es un árbol binario de búsqueda en el que cada nodo tiene un atributo de color cuyo valor es rojo o negro. En adelante, se dice que un nodo es rojo o negro haciendo referencia a dicho atributo.
Además de los requisitos impuestos a los árboles binarios de búsqueda convencionales, se deben satisfacer las siguientes reglas para tener un árbol rojo-negro válido:
* Todo nodo es o bien rojo o bien negro.
* La raíz es negra.
* Todas las hojas (NULL) son negras.
* Todo nodo rojo debe tener dos nodos hijos negros.
* Cada camino desde un nodo dado a sus hojas descendientes contiene el mismo número de nodos negros.
Estas reglas producen una regla crucial para los árboles rojo-negro: el camino más largo desde la raíz hasta una hoja no es más largo que dos veces el camino más corto desde la raíz a una hoja. El resultado es que dicho árbol está aproximadamente equilibrado.
Dado que las operaciones básicas como insertar, borrar y encontrar valores tienen un peor tiempo de ejecución proporcional a la altura del árbol, esta cota superior de la altura permite a los árboles rojo-negro ser eficientes en el peor caso, a diferencia de los árboles binarios de búsqueda.
Para comprobarlo basta ver que ningún camino puede tener dos nodos rojos seguidos debido a la propiedad 4. El camino más corto posible tiene todos sus nodos negros, y el más largo alterna entre nodos rojos y negros. Dado que todos los caminos máximos tienen el mismo número de nodos negros por la propiedad 5, no hay ningún camino que pueda tener longitud mayor que el doble de la longitud de otro camino.
En muchas presentaciones de estructuras arbóreas de datos, es posible para un nodo tener solo un hijo y las hojas contienen información. Es posible presentar los árboles rojo-negro en este paradigma, pero cambian algunas de las propiedades y se complican los algoritmos. Por esta razón, este artículo utiliza “hojas nulas”.
Una variante que se da al árbol rojo-negro es la de tratarlo como un árbol binario de búsqueda cuyas aristas, en lugar de nodos, son coloreadas de color rojo o negro, pero esto no produce ninguna diferencia. El color de cada nodo en la terminología de este artículo corresponde al color de la arista que une el nodo a su padre, excepto la raíz, que es siempre negra (por la propiedad 2) donde la correspondiente arista no existe.
Al número de nodos negros de un camino se le denomina "altura negra".

## Usos y ventajas

Los árboles rojo-negro ofrecen un peor caso con tiempo garantizado para la inserción, el borrado y la búsqueda. No es esto únicamente lo que los hace valiosos en aplicaciones sensibles al tiempo como las aplicaciones en tiempo real, sino que además son apreciados para la construcción de bloques en otras estructuras de datos que garantizan un peor caso. Por ejemplo, muchas estructuras de datos usadas en geometría computacional pueden basarse en árboles rojo-negro.
El árbol AVL es otro tipo de estructura con O(log n) tiempo de búsqueda, inserción y borrado. Está equilibrado de forma más rígida que los árboles rojo-negro, lo que provoca que la inserción y el borrado sean más lentos pero la búsqueda y la devolución del resultado de la misma más veloz.
Los árboles rojo-negro son particularmente valiosos en programación funcional, donde son una de las estructuras de datos persistentes más comúnmente utilizadas en la construcción de arrays asociativos y conjuntos que pueden retener versiones previas tras mutaciones. La versión persistente del árbol rojo-negro requiere un espacio O(log n) para cada inserción o borrado, además del tiempo.
Los árboles rojo-negro son isométricos a los árboles 2-3-4. En otras palabras, para cada árbol 2-3-4, existe un árbol correspondiente rojo-negro con los datos en el mismo orden. La inserción y el borrado en árboles 2-3-4 son también equivalentes a los cambios de colores y las rotaciones en los árboles rojo-negro. Esto los hace ser una herramienta útil para la comprensión del funcionamiento de los árboles rojo-negro y por esto muchos textos introductorios sobre algoritmos presentan los árboles 2-3-4 justo antes que los árboles rojo-negro, aunque frecuentemente no sean utilizados en la práctica.

## Operaciones

Las operaciones de sólo lectura en un árbol rojo-negro no requieren modificación alguna con respecto a las utilizadas en los árboles binarios de búsqueda, ya que cada árbol rojo-negro es un caso especial de árbol binario de búsqueda.
Sin embargo, el resultado inmediato de una inserción o la eliminación de un nodo utilizando los algoritmos de un árbol binario de búsqueda normal podría violar las propiedades de un árbol rojo-negro. Restaurar las propiedades rojo-negro requiere un pequeño número (O(log n))de cambios de color (que son muy rápidos en la práctica) y no más de 3 rotaciones (2 por inserción). A pesar de que las operaciones de inserción y borrado son complicadas, sus tiempos de ejecución siguen siendo O(log n).

### Rotación

Para conservar las propiedades que debe cumplir todo árbol rojo-negro, en ciertos casos de la inserción y la eliminación será necesario reestructurar el árbol, si bien no debe perderse la ordenación relativa de los nodos. Para ello, se llevan a cabo una o varias rotaciones, que no son más que reestructuraciones en las relaciones padre-hijo-tío-nieto.
Las rotaciones que se consideran a continuación son simples; sin embargo, también se dan las rotaciones dobles.
En las imágenes pueden verse de forma simplificada cómo se llevan a cabo las rotaciones simples hacia la izquierda y hacia la derecha en cualquier árbol binario de búsqueda, en particular en cualquier árbol rojo-negro. Podemos ver también la implementación en Python de dichas operaciones.

### Búsqueda

La búsqueda consiste acceder a la raíz del árbol y comparar su valor con el valor buscado. Si el elemento a localizar coincide con el de la raíz, la búsqueda ha concluido con éxito. Si el elemento es menor, se busca en el subárbol izquierdo; si es mayor, en el derecho. Si se alcanza un nodo hoja y el elemento no ha sido encontrado se supone que no existe en el árbol. Cabe destacar que la búsqueda en este tipo de árboles es muy eficiente y representa una función logarítmica. La búsqueda de un elemento en un ABB (Árbol Binario de Búsqueda) en general, y en un árbol rojo-negro en particular, se puede realizar de dos formas: iterativa y recursiva.
Ejemplo de versión iterativa en el lenguaje de programación Python, suponiendo que estamos buscando una clave alojada en un nodo donde está el correspondiente dato que precisamos encontrar:
Véase ahora la versión recursiva en ese mismo lenguaje:

### Inserción

La inserción comienza añadiendo el nodo como lo haríamos en un árbol binario de búsqueda convencional y pintándolo de rojo. Lo que sucede después depende del color de otros nodos cercanos. El término tío nodo será usado para referenciar al hermano del padre de un nodo, como en los árboles familiares humanos. Conviene notar que:
* La propiedad 3 (Todas las hojas nulas, son negras) siempre se cumple.
* La propiedad 4 (Ambos hijos de cada nodo rojo son negros) está amenazada solo por añadir un nodo rojo, por repintar un nodo negro de color rojo o por una rotación.
* La propiedad 5 (Todos los caminos desde un nodo dado hasta sus nodos hojas contiene el mismo número de nodos negros) está amenazada solo por repintar un nodo negro de color rojo o por una rotación.
Al contrario de lo que sucede en otros árboles como puede ser el Árbol AVL, en cada inserción se realiza un máximo de una rotación, ya sea simple o doble. Por otra parte, se asegura un tiempo de recoloración máximo de $O(\log _{2}n)$ por cada inserción.
    Nota: En los esquemas que acompañan a los algoritmos, la etiqueta N será utilizada por el nodo que está siendo insertado, P para los padres del nodo N, G para los abuelos del nodo N, y U para los tíos del nodo N. Notamos que los roles y etiquetas de los nodos están intercambiados entre algunos casos, pero en cada caso, toda etiqueta continúa representando el mismo nodo que representaba al comienzo del caso. Cualquier color mostrado en el diagrama está o bien supuesto en el caso o implicado por dichas suposiciones.
Los nodos tío y abuelo pueden ser encontrados por las siguientes funciones:
Estudiemos ahora cada caso de entre los posibles que nos podemos encontrar al insertar un nuevo nodo.
Caso 1: El nuevo nodo N es la raíz del árbol. En este caso, es repintado en color negro para satisfacer la propiedad 2 (la raíz es negra). Como esto añade un nodo negro a cada camino, la propiedad 5 (todos los caminos desde un nodo dado a sus hojas contiene el mismo número de nodos negros) se mantiene. En C quedaría así:
Caso 2: El padre del nuevo nodo (esto es, el nodo P) es negro, así que la propiedad 4 (ambos hijos de cada nodo rojo son negros) se mantiene. En este caso, el árbol es aun válido. La propiedad 5 (todos los caminos desde cualquier nodo dado a sus hojas contiene igual número de nodos negros) se mantiene, porque el nuevo nodo N tiene dos hojas negras como hijos, pero como N es rojo, los caminos a través de cada uno de sus hijos tienen el mismo número de nodos negros que el camino hasta la hoja que reemplazó, que era negra, y así esta propiedad se mantiene satisfecha. Su implementación:
    Nota: En los siguientes casos se puede asumir que N tiene un abuelo, el nodo G, porque su padre P es rojo, y si fuese la raíz, sería negro. Consecuentemente, N tiene también un nodo tío U a pesar de que podría ser una hoja en los casos 4 y 5.
* Diagrama del caso 3 de inserción
* Caso 3: Si el padre P y el tío U son rojos, entonces ambos nodos pueden ser repintados de negro y el abuelo G se convierte en rojo para mantener la propiedad 5 (todos los caminos desde cualquier nodo dado hasta sus hojas contiene el mismo número de nodos negros). Ahora, el nuevo nodo rojo N tiene un padre negro. Como cualquier camino a través del padre o el tío debe pasar a través del abuelo, el número de nodos negros en esos caminos no ha cambiado. Sin embargo, el abuelo G podría ahora violar la propiedad 2 (la raíz es negra) o la 4 (ambos hijos de cada nodo rojo son negros), en el caso de la 4 porque G podría tener un padre rojo. Para solucionar este problema, el procedimiento completo se realizará de forma recursiva hacia arriba hasta alcanzar el caso 1. El código en C quedaría de la siguiente forma:
    Nota: En los casos restantes, se asume que el nodo padre P es el hijo izquierdo de su padre. Si es el hijo derecho, izquierda y derecha deberían ser invertidas a partir de los casos 4 y 5. El código del ejemplo toma esto en consideración.
* Diagrama del caso 4 de inserción
* Caso 4: El nodo padre P es rojo pero el tío U es negro; también, el nuevo nodo N es el hijo derecho de P, y P es el hijo izquierdo de su padre G. En este caso, una rotación a la izquierda que cambia los roles del nuevo nodo N y su padre P puede ser realizada; entonces, el primer nodo padre P se ve implicado al usar el caso 5 de inserción (re etiquetando N y P ) debido a que la propiedad 4 (ambos hijos de cada nodo rojo son negros) se mantiene aún incumplida. La rotación causa que algunos caminos (en el sub-árbol etiquetado como “1”) pasen a través del nuevo nodo donde no lo hacían antes, pero ambos nodos son rojos, así que la propiedad 5 (todos los caminos desde cualquier nodo dado a sus hojas contiene el mismo número de nodos negros) no es violado por la rotación, después de completado este caso, se puede notar que aún se incumple la propiedad número 4 (ambos hijos de cada nodo rojo son de color negro), esto se resuelve pasando al caso 5. Aquí tenemos una posible implementación:
* Diagrama del caso 5 de inserción
* Caso 5: El padre P es rojo pero el tío U es negro, el nuevo nodo N es el hijo izquierdo de P, y P es el hijo izquierdo de su padre G. En este caso, se realiza una rotación a la derecha sobre el padre P; el resultado es un árbol donde el padre P es ahora el padre del nuevo nodo N y del inicial abuelo G. Este nodo G ha de ser negro, así como su hijo P rojo. Se intercambian los colores de ambos y el resultado satisface la propiedad 4 (ambos hijos de un nodo rojo son negros). La propiedad 5 (todos los caminos desde un nodo dado hasta sus hojas contienen el mismo número de nodos negros) también se mantiene satisfecha, ya que todos los caminos que iban a través de esos tres nodos entraban por G antes, y ahora entran por P. En cada caso, este es el único nodo negro de los tres. Una posible implementación en C es la siguiente:
    Nótese que la inserción se realiza sobre el propio árbol y que los códigos del ejemplo utilizan recursión de cola.

### Eliminación

En un árbol binario de búsqueda normal, cuando se borra un nodo con dos nodos internos como hijos, tomamos el máximo elemento del subárbol izquierdo o el mínimo del subárbol derecho, y movemos su valor al nodo que es borrado (como se muestra aquí). Borramos entonces el nodo del que copiábamos el valor que debe tener menos de dos nodos no hojas por hijos. Copiar un valor no viola ninguna de las propiedades rojo-negro y reduce el problema de borrar en general al de borrar un nodo con como mucho un hijo no hoja. No importa si este nodo es el nodo que queríamos originalmente borrar o el nodo del que copiamos el valor.
Resumiendo, podemos asumir que borramos un nodo con como mucho un hijo no hoja (si solo tiene nodos hojas por hijos, tomaremos uno de ellos como su hijo). Si borramos un nodo rojo, podemos simplemente reemplazarlo con su hijo, que debe ser negro. Todos los caminos hasta el nodo borrado simplemente pasarán a través de un nodo rojo menos, y ambos nodos, el padre del borrado y el hijo, han de ser negros, así que las propiedades 3 (todas las hojas, incluyendo las nulas, son negras) y 4 (los dos hijos de cada nodo rojo son negros) se mantienen. Otro caso simple es cuando el nodo borrado es negro y su hijo es rojo. Simplemente eliminar un nodo negro podría romper las propiedades 4 (los dos hijos de cada nodo rojo son negros) y 5 (todos los caminos desde un nodo dado hasta sus hojas contienen el mismo número de nodos negros), pero si repintamos su hijo de negro, ambas propiedades quedan preservadas.
El caso complejo es cuando el nodo que va a ser borrado y su hijo son negros. Empezamos por reemplazar el nodo que va a ser borrado con su hijo. Llamaremos a este hijo (en su nueva posición) N, y su hermano (el otro hijo de su nuevo padre) S. En los diagramas de debajo, usaremos P para el nuevo padre de N, S$_L$ para el hijo izquierdo de S, y S$_R$ para el nuevo hijo derecho de S (se puede mostrar que S no puede ser una hoja).
    Nota: Entre algunos casos cambiamos roles y etiquetas de los nodos, pero en cada caso, toda etiqueta sigue representando al mismo nodo que representaba al comienzo del caso. Cualquier color mostrado en el diagrama es o bien supuesto en su caso o bien implicado por dichas suposiciones. El blanco representa un color desconocido (o bien rojo o bien negro).
El cumplimiento de estas reglas en un árbol con n nodos, asegura un máximo de tres rotaciones y hasta $O(\log _{2}n)$ recoloraciones.
Encontraremos el hermano usando esta función:
    Nota: Con el fin de preservar la buena definición del árbol, necesitamos que toda hoja nula siga siendo una hoja nula tras todas las transformaciones (que toda hoja nula no tendrá ningún hijo). Si el nodo que estamos borrando tiene un hijo no hoja N es fácil ver que la propiedad se satisface. Si, por otra parte N fuese una hoja nula, se verifica por los diagramas o el código que para todos los casos la propiedad se satisface también.
Podemos realizar los pasos resaltados arriba con el siguiente código, donde la función reemplazar_nodo sustituye hijo en el lugar de n en el árbol. Por facilitar la comprensión del ejemplo, en el código de esta sección supondremos que las hojas nulas están representadas por nodos reales en lugar de NULL (el código de la sección inserción trabaja con ambas representaciones).
    Nota: Si N es una hoja nula y no queremos representar hojas nulas como nodos reales, podemos modificar el algoritmo llamando primero a eliminar_caso1 en su padre (el nodo que borramos, n en el código anterior) y borrándolo después. Podemos hacer esto porque el padre es negro, así que se comporta de la misma forma que una hoja nula (y a veces es llamada hoja “fantasma”). Y podemos borrarla con seguridad, de tal forma que n seguirá siendo una hoja tras todas las operaciones, como se muestra arriba.
Si N y su padre original son negros, entonces borrar este padre original causa caminos que pasan por N y tienen un nodo negro menos que los caminos que no. Como esto viola la propiedad 5 (todos los caminos desde un nodo dado hasta su nodos hojas deben contener el mismo número de nodos negros), el árbol debe ser reequilibrado. Hay varios casos a considerar.
Caso 1: N es la nueva raíz. En este caso, hemos acabado. Borramos un nodo negro de cada camino y la nueva raíz es negra, así las propiedades se cumplen. Una posible implementación en el lenguaje de programación C sería la siguiente:
    Nota: En los casos 2, 5 y 6, asumimos que N es el hijo izquierdo de su padre P. Si este fuese el hijo derecho, la izquierda y la derecha deberían ser invertidas en todos estos casos. De nuevo, el código del ejemplo toma ambos casos en cuenta.
* Diagrama del caso 2 de eliminación
* Caso 2: S es rojo. En este caso invertimos los colores de P y S, por lo que rotamos a la izquierda P, pasando S a ser el abuelo de N. Nótese que P tiene que ser negro al tener un hijo rojo. Aunque todos los caminos tienen todavía el mismo número de nodos negros, ahora N tiene un hermano negro y un padre rojo, así que podemos proceder a al paso 4, 5 o 6 (este nuevo hermano es negro porque este era uno de los hijos de S, que es rojo). En casos posteriores, reetiquetaremos el nuevo hermano de N como S. Aquí podemos ver una implementación:
* Diagrama del caso 3 de eliminación
* Caso 3: P, S y los hijos de S son negros. En este caso, simplemente cambiamos S a rojo. El resultado es que todos los caminos a través de S, precisamente aquellos que no pasan por N, tienen un nodo negro menos. El hecho de borrar el padre original de N haciendo que todos los caminos que pasan por N tengan un nodo negro menos nivela el árbol. Sin embargo, todos los caminos a través de P tienen ahora un nodo negro menos que los caminos que no pasan por P, así que la propiedad 5 aún no se cumple (todos los caminos desde cualquier nodo a su nodo hijo contienen el mismo número de nodos negros). Para corregir esto, hacemos el proceso de reequilibrio en P, empezando en el caso 1. Su implementación en C:
* Diagrama del caso 4 de eliminación
* Caso 4: S y los hijos de este son negros, pero P es rojo. En este caso, simplemente intercambiamos los colores de S y P. Esto no afecta al número de nodos negros en los caminos que no van a través de S, pero añade uno al número de nodos negros a los caminos que van a través de N, compensando así el borrado del nodo negro en dichos caminos. Si lo implementamos en C, quedaría:
* Diagrama del caso 5 de eliminación
* Caso 5: S es negro, su hijo izquierdo es rojo, el derecho es negro, y N es el hijo izquierdo de su padre. En este caso rotamos a la derecha S, así su hijo izquierdo se convierte en su padre y en el hermano de N. Entonces intercambiamos los colores de S y su nuevo padre. Todos los caminos tienen aún el mismo número de nodos negros, pero ahora N tiene un hermano negro cuyo hijo derecho es rojo, así que caemos en el caso 6. Ni N ni su padre son afectados por esta transformación (de nuevo, por el caso 6, reetiquetamos el nuevo hermano de N como S). He aquí la implementación en C:
* Diagrama del caso 6 de eliminación
* Caso 6: S es negro, su hijo derecho es rojo, y N es el hijo izquierdo de P, su padre. En este caso rotamos a la izquierda P, así que S se convierte en el padre de P y este en el hijo derecho de S. Entonces intercambiamos los colores de P y S, y ponemos el hijo derecho de S en negro. El subárbol aún tiene el mismo color que su raíz, así que las propiedades 4 (los hijos de todo nodo rojo son negros) y 5 (todos los caminos desde cualquier nodo a sus nodos hoja contienen el mismo número de nodos negros) se verifican. Sin embargo, N tiene ahora un antecesor negro más: o bien P se ha convertido en negro, o bien era negro y S se ha añadido como un abuelo negro. De este modo, los caminos que pasan por N pasan por un nodo negro más.
* Mientras tanto, si un camino no pasa por N, entonces hay dos posibilidades:
* Este pasa a través del nuevo hermano de N. Entonces, este debe pasar por S y P, al igual que antes, y tienen sólo que intercambiar los colores. Así los caminos contienen el mismo número de nodos negros.
* Este pasa por el nuevo tío de N, el hijo derecho de S. Este anteriormente pasaba por S, su padre y su hijo derecho, pero ahora sólo pasa por S, el cual ha tomado el color de su anterior padre, y por su hijo derecho, el cual ha cambiado de rojo a negro. El efecto final es que este camino va por el mismo número de nodos negros.
* De cualquier forma, el número de nodos negros en dichos caminos no cambia. De este modo, hemos restablecido las propiedades 4 (los hijos de todo nodo rojo son negros) y 5 (todos los caminos desde cualquier nodo a sus nodos hoja contienen el mismo número de nodos negros). El nodo blanco en diagrama puede ser rojo o negro, pero debe tener el mismo color tanto antes como después de la transformación. Adjuntamos el último algoritmo:
De nuevo, todas las llamadas de la función usan recursión de cola así que el algoritmo realiza sus operaciones sobre el propio árbol. Además, las llamadas no recursivas se harán después de una rotación, luego se harán un número de rotaciones (más de 3) que será constante.

## Demostración de cotas

Un árbol rojo-negro que contiene n nodos internos tiene una altura de O(log(n)).
Hagamos los siguientes apuntes sobre notación:
* H(v) = altura del árbol cuya raíz es el nodo v.
* bh(v) = número de nodos negros (sin contar v si es negro) desde v hasta cualquier hoja del subárbol (llamado altura-negra).
Lema: Un subárbol enraizado al nodo v tiene al menos $2^{bh(v)}-1$ nodos internos.
Demostración del lema (por inducción sobre la altura):
Caso base: h(v)=0 Si v tiene altura cero entonces debe ser árbol vacío, por tanto bh(v)=0. Luego:
    $2^{bh(''v'')}-1=2^{0}-1=1-1=0$
Hipótesis de Inducción: si v es tal que h(v) = k y contiene $2^{bh(v)}-1$ nodos internos, veamos que esto implica que $v'$ tal que h($v'$) = k+1 contiene $2^{bh(v')}-1$ nodos internos.
Si $v'$ tiene h($v'$) > 0 entonces es un nodo interno. Como este tiene dos hijos que tienen altura-negra, o bh($v'$) o bh($v'$)-1 (dependiendo si es rojo o negro). Por la hipótesis de inducción cada hijo tiene al menos $2^{bh(v')-1}-1$ nodos internos, así que $v'$ tiene :$2^{bh(v')-1}-1+2^{bh(v')-1}-1+1=2^{bh(v')}-1$ nodos internos.
Usando este lema podemos mostrar que la altura del árbol es algorítmica. Puesto que al menos la mitad de los nodos en cualquier camino desde la raíz hasta una hoja negra (propiedad 4 de un árbol rojo-negro), la altura-negra de la raíz es al menos h(raíz)/2. Por el lema tenemos que:
    $n\geq 2^{h({\text{raiz}}) \over 2}-1\leftrightarrow \;\log _{2}{(n+1)}\geq {h({\text{raiz}}) \over 2}\leftrightarrow \;h({\text{raiz}})\leq 2\log _{2}{(n+1)}.$
Por tanto, la altura de la raíz es O(log(n)).

## Complejidad

En el código del árbol hay un bucle donde la raíz de la propiedad rojo-negro que hemos querido devolver a su lugar, x, puede ascender por el árbol un nivel en cada iteración Como la altura original del árbol es O(log n), hay O(log n) iteraciones. Así que en general la inserción tiene una complejidad de O(log n).