# Prueba de Hadamard (computación cuántica)

En computación cuántica, la prueba de Hadamard es un método utilizado para crear una variable aleatoria cuyo valor esperado es la parte real esperada. $\mathrm {Re} \langle \psi |U|\psi \rangle$, donde $|\psi \rangle$ es un estado cuántico y $U$ es una compuerta unitaria que actúa sobre el espacio de $|\psi \rangle$ . La prueba de Hadamard produce una variable aleatoria cuya imagen está en $\{\pm 1\}$ y cuyo valor esperado es exactamente $\mathrm {Re} \langle \psi |U|\psi \rangle$ . Es posible modificar el circuito para producir una variable aleatoria cuyo valor esperado sea la parte imaginaria esperada $\mathrm {Im} \langle \psi |U|\psi \rangle$.

## Descripción del circuito

Para realizar la prueba de Hadamard primero calculamos el estado ${\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle \right)\otimes \left|\psi \right\rangle$ mediante la aplicación de la compuerta de Hadamard al qubit auxiliar $\left|0\right\rangle$. Posteriormente aplicamos el operador unitario en $\left|\psi \right\rangle$ condicionado al primer qubit para obtener el estado ${\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle \otimes \left|\psi \right\rangle +\left|1\right\rangle \otimes U\left|\psi \right\rangle \right)$. Después aplicamos nuevamente la compuerta de Hadamard al primer qubit, obteniendo finalmente ${\frac {1}{2}}\left(\left|0\right\rangle \otimes (I+U)\left|\psi \right\rangle +\left|1\right\rangle \otimes (I-U)\left|\psi \right\rangle \right)$.
La medición del primer qubit, tendrá el resultado $\left|0\right\rangle$ con probabilidad ${\frac {1}{4}}\langle \psi |(I+U^{\dagger })(I+U)|\psi \rangle$, en cuyo caso la salida tendrá valor de $1$. El resultado es $\left|1\right\rangle$ con probabilidad ${\frac {1}{4}}\langle \psi |(I-U^{\dagger })(I-U)|\psi \rangle$, en cuyo caso el resultado tiene valor de $-1$. El valor esperado de la salida será entonces la diferencia entre las dos probabilidades, la cual es ${\frac {1}{2}}\langle \psi |(U^{\dagger }+U)|\psi \rangle =\mathrm {Re} \langle \psi |U|\psi \rangle$.
Para obtener una variable aleatoria cuyo valor esperado sea $\mathrm {Im} \langle \psi |U|\psi \rangle$ se sigue exactamente el mismo procedimiento pero iniciando con ${\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle -i\left|1\right\rangle \right)\otimes \left|\psi \right\rangle$.
La prueba de Hadamard tiene muchas aplicaciones en algoritmos cuánticos, como por ejemplo en el algoritmo Aharonov-Jones-Landau. A través de una modificación muy simple, se puede usar para calcular el producto interno entre dos estados $|\phi _{1}\rangle$ y $|\phi _{2}\rangle$: en lugar de comenzar desde un estado $|\psi \rangle$ es suficiente comenzar desde el estado fundamental $|0\rangle$ y realizar dos operaciones controladas en el qubit auxiliar. Controlando que el registro auxiliar sea $|0\rangle$, aplicamos el unitario que produce $|\phi _{1}\rangle$ en el segundo registro, y controlando que el registro auxiliar esté en el estado $|1\rangle$, obtendremos $|\phi _{2}\rangle$ en el segundo registro. El valor esperado de las mediciones de los qubits auxiliares conduce a una estimación de $\langle \phi _{1}|\phi _{2}\rangle$. El número de muestras necesarias para estimar el valor esperado con error absoluto $\epsilon$ es $O\left({\frac {1}{\epsilon ^{2}}}\right)$, debido a un límite de Chernoff. Este valor se puede mejorar a $O\left({\frac {1}{\epsilon }}\right)$ utilizando técnicas de estimación de amplitud.