# Parametrización de Weierstrass-Enneper

En matemáticas, la parametrización de Weierstrass-Enneper de superficies mínimas es una pieza clásica de la geometría diferencial.
Alfred Enneper y Karl Weierstraß estudiaron superficies mínimas ya en 1863.

## Propiedades

Sean $f$ y $g$ dos funciones en todo el plano complejo o en el disco unitario, donde $g$ es meromorfa y $f$ es analítica, de modo que dondequiera que $g$ tenga un polo de orden $m$, $f$ tenga un cero de orden $2m$ (o equivalentemente, tal que el producto $fg^{2}$ es holomorfo), y sean $c_{1},c_{2},c_{3}$ constantes. Entonces, la superficie con coordenadas $(x_{1},x_{2},x_{3})$ es mínima, donde las $x_{k}$ se definen usando la parte real de una integral compleja, de la siguiente manera:
    ${\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2}&=\mathbf {i} f(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&=fg\end{aligned}}$
Lo contrario también es cierto: a cada superficie mínima no plana definida sobre un dominio simplemente conexo se le puede dar una parametrización de este tipo.
Por ejemplo, la superficie de Enneper tiene f(z)= 1, g(z)= z$^m$.

## Superficie paramétrica de variables complejas

El modelo de Weierstrass-Enneper define una superficie mínima $X$ ($\mathbb {R} ^{3}$) en un plano complejo ($\mathbb {C}$). Sea $\omega =u+vi$ (el plano complejo como el espacio $uv$), la matriz jacobiana de la superficie se puede escribir como una columna de entradas complejas:
    $\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}\left(1-g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\i\left(1+g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\2g(\omega )f(\omega )\end{bmatrix}}$
donde $f(\omega )$ y $g(\omega )$ son funciones holomorfas de $\omega$.
El jacobiano $\mathbf {J}$ representa los dos vectores tangentes ortogonales de la superficie:
    $\mathbf {X_{u}} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \mathbf {J} _{1}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{2}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}\;\;\;\;\mathbf {X_{v}} ={\begin{bmatrix}-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{1}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{2}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}$
La superficie normal está dada por
    $\mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} }{|\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} |}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}2\operatorname {Re} g\\2\operatorname {Im} g\\|g|^{2}-1\end{bmatrix}}$
El jacobiano $\mathbf {J}$ conduce a una serie de propiedades importantes: $\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} =0$, $\mathbf {X_{u}} ^{2}=\operatorname {Re} (\mathbf {J} ^{2})$, $\mathbf {X_{v}} ^{2}=\operatorname {Im} (\mathbf {J} ^{2})$, $\mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0$. Las demostraciones se pueden encontrar en el ensayo de Sharma: la representación de Weierstrass siempre da una superficie mínima. Las derivadas se pueden utilizar para construir la matriz de la primera forma fundamental:
    ${\begin{bmatrix}\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} \\\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{v}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$
y la matriz de la segunda forma fundamental
    ${\begin{bmatrix}\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{uv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \\\mathbf {X_{vu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{vv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \end{bmatrix}}$
Finalmente, un punto $\omega _{t}$ en el plano complejo se asigna a un punto $\mathbf {X}$ en la superficie mínima en $\mathbb {R} ^{3}$ mediante
    $\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{1}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{2}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{3}d\omega \end{bmatrix}}$
donde $\omega _{0}=0$ para todas las superficies mínimas del documento, excepto en la superficie mínima de Costa, en la que $\omega _{0}=(1+i)/2$.

## Superficies mínimas embebidas y ejemplos

Los ejemplos clásicos de superficies mínimas completas embebidas en $\mathbb {R} ^{3}$ con topología finita incluyen el plano, la catenoide, el helicoide y la superficie mínima de Costa. La superficie de Costa involucra a las funciones elípticas de Weierstraß $\wp$:
    $g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )}}$
    $f(\omega )=\wp (\omega )$
donde $A$ es una constante.

### Helicatenoide

Eligiendo las funciones $f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}$ y $g(\omega )=e^{-\omega /A}$ se obtiene una familia de superficies mínimas de un parámetro
    $\varphi _{1}=e^{-i\alpha }\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)$
    $\varphi _{2}=ie^{-i\alpha }\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)$
    $\varphi _{3}=e^{-i\alpha }$
    $\mathbf {X} (\omega )=\operatorname {Re} {\begin{bmatrix}e^{-i\alpha }A\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\ie^{-i\alpha }A\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\e^{-i\alpha }\omega \\\end{bmatrix}}=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\-A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Re} (\omega )\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Im} (\omega )\\\end{bmatrix}}$
Eligiendo los parámetros de la superficie como $\omega =s+i(A\phi )$:
    $\mathbf {X} (s,\phi )=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\-A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\s\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\A\phi \\\end{bmatrix}}$
En los extremos, la superficie es una catenoide $(\alpha =0)$ o un helicoide $(\alpha =\pi /2)$. De lo contrario, $\alpha$ representa un ángulo de la mezcla. La superficie resultante, con un dominio elegido para evitar la autointersección, es una catenaria que gira alrededor del eje $\mathbf {X} _{3}$ de forma helicoidal.

## Líneas de curvatura

Se puede reescribir cada elemento de la segunda matriz fundamental en función de $f$ y $g$, por ejemplo
    $\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left((1-g^{2})f'-2gfg'\right)\\\operatorname {Re} \left((1+g^{2})f'i+2gfg'i\right)\\\operatorname {Re} \left(2gf'+2fg'\right)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left(2g\right)\\\operatorname {Re} \left(-2gi\right)\\\operatorname {Re} \left(|g|^{2}-1\right)\\\end{bmatrix}}=-2\operatorname {Re} (fg')$
Y en consecuencia, la segunda matriz de forma fundamental se puede simplificar como
    ${\begin{bmatrix}-\operatorname {Re} fg'&\;\;\operatorname {Im} fg'\\\operatorname {Im} fg'&\;\;\operatorname {Re} fg'\end{bmatrix}}$
Uno de sus vectores propios es ${\overline {\sqrt {fg'}}}$, que representa la dirección principal en el dominio complejo. Por lo tanto, las dos direcciones principales en el espacio $uv$ resultan ser
    $\phi =-{\frac {1}{2}}\operatorname {Arg} (fg')\pm k\pi /2$