# Grupo poliédrico

Grupos de puntos en tres dimensiones :
| Simetría involutiva C$_s$, (*) [ ] = | Simetría cíclica C$_{nv}$, (*nn) [n] = | Simetría diédrica D$_{nh}$, (*n22) [n,2] = |
| Grupo poliédrico, [n,3], (*n32) |||
| Simetría tetraédrica T$_d$, (*332) [3,3] = | Simetría octaédrica O$_h$, (*432) [4,3] = | Simetría icosaédrica I$_h$, (*532) [5,3] = |
En geometría, un grupo poliédrico (o también grupo poliedral) es cualquiera de los grupos de simetría correspondiente a alguno de los sólidos platónicos.

## Grupos

Hay tres grupos poliédricos:
* El grupo tetraédrico de orden 12, el grupo de simetría rotacional del tetraedro regular. Es isomorfo a A$_4$.
** Los conjugados de T son:
*** La identidad
*** 4 × rotación de 120°, orden 3, en sentido horario
*** 4 × rotación de 120°, orden 3, en sentido antihorario
*** 3 × rotación de 180°, orden 2
* El grupo octaédrico de orden 24, grupo de simetría rotacional del cubo y el octaedro regular. Es isomorfo a S$_4$.
** Las clases de conjugación de O son:
*** La identidad
*** 6 × rotación de ±90° alrededor de los vértices, orden 4
*** 8 × rotación de ±120° alrededor de los centros de los triángulos, orden 3
*** 3 × rotación de 180° alrededor de los vértices, orden 2
*** 6 × rotación de 180° alrededor de los puntos medios de las aristas, orden 2
* El grupo icosaédrico de orden 60, grupo de simetría rotacional del dodecaedro regular y el icosaedro regular. Es isomorfo a A$_5$.
** Las clases de conjugación de I son:
*** La identidad
*** 12 × rotación de ±72°, orden 5
*** 12 × rotación de ±144°, orden 5
*** 20 × rotación de ±120°, orden 3
*** 15 × rotación de 180°, orden 2
Estas simetrías se duplican a 24, 48 y 120 respectivamente para los grupos reflexivos completos. Las simetrías de reflexión tienen 6, 9 y 15 planos de reflexión respectivamente. La simetría octaédrica, [4,3] puede verse como la unión de 6 planos de reflexión de simetría tetraédrica [3,3] con 3 otros planos de reflexión del grupo diédrico Dih$_2$, [2,2]. La simetría tetraédrica es otra duplicación de la simetría tetraédrica.
Las clases de conjugación de la simetría tetraédrica completa, T$_d$≅S$_4$, son:
* La identidad
* 8 × rotación de 120°
* 3 × rotación de 180°
* 6 × reflexión en un plano a través de dos ejes de rotación
* 6 × rotorreflexión de 90°
Las clases de conjugación de simetría piritoédrica, T$_h$, incluyen las de T, con las dos clases de 4 combinadas, y cada una con inversión:
* La identidad
* 8 × rotación de 120°
* 3 × rotación de 180°
* La inversión
* 8 × rotorreflexión 60°
* 3 × reflexión en un plano
Las clases de conjugación del grupo octaédrico completo, O$_h$≅S$_4$ × C$_2$, son:
* La inversión
* 6 × rotorreflexión de 90°
* 8 × rotorreflexión de 60°
* 3 × reflexión en un plano perpendicular a un eje cuádruple
* 6 × reflexión en un plano perpendicular a un eje doble
Las clases de conjugación de simetría icosaédrica completa, I$_h$≅A$_5$ × C$_2$, incluyen también cada una con su inversión:
* La inversión
* 12 × rotorreflexión de 108°, orden 10
* 12 × rotorreflexión de 36°, orden 10
* 20 × rotorreflexión de 60°, orden 6
* 15 × reflexión, orden 2

## Grupos poliédricos quirales

Grupos poliédricos quirales :
| Nombre (Orb.) | Notación de Coxeter | Orden | Estructura abstracta | Puntos de rotación #$_{valencia}$ | Diagramas | Diagramas | Diagramas | Diagramas |
| Nombre (Orb.) | Notación de Coxeter | Orden | Estructura abstracta | Puntos de rotación #$_{valencia}$ | Ortogonal | Estereográfico | Estereográfico | Estereográfico |
| T (332) | [3,3]$^+$ | 12 | A$_4$ | 4$_3$ 3$_2$ | | | | |
| T$_h$ (3*2) | [4,3$^+$] | 24 | A$_4$×2 | 4$_3$ 3$_{*2}$ | | | | |
| O (432) | [4,3]$^+$ | 24 | S$_4$ | 3$_4$ 4$_3$ 6$_2$ | | | | |
| I (532) | [5,3]$^+$ | 60 | A$_5$ | 6$_5$ 10$_3$ 15$_2$ | | | | |

## Grupos poliédricos completos

Grupos poliédricos completos :
| Weyl Schoe. (Orb.) | Notación de Coxeter | Orden | Estructura abstracta | Número de Coxeter (h) | Planos especulares (m) | Diagramas especulares | Diagramas especulares | Diagramas especulares | Diagramas especulares |
| Weyl Schoe. (Orb.) | Notación de Coxeter | Orden | Estructura abstracta | Número de Coxeter (h) | Planos especulares (m) | Ortogonal | Estereográfico | Estereográfico | Estereográfico |
| A$_3$ T$_d$ (*332) | [3,3] | 24 | S$_4$ | 4 | 6 | | | | |
| B$_3$ O$_h$ (*432) | [4,3] | 48 | S$_4$×2 | 8 | 3 6 | | | | |
| H$_3$ I$_h$ (*532) | [5,3] | 120 | A$_5$×2 | 10 | 15 | | | | |