# Coordenadas elípticas cilíndricas

Las coordenadas elípticas cilíndricas (también denominadas coordenadas cilíndricas elípticas) son un sistema de referencia tridimensional ortogonal que resulta de proyectar un sistema de coordenadas elípticas bidimensional en la dirección perpendicular $z$. Por lo tanto, las superficies coordenadas son prismas rectos cuyas bases son elipses e hipérbolas confocales. Los dos focos $F_{1}$ y $F_{2}$ se toman generalmente como fijos en $-a$ y $+a$, respectivamente, en el eje $x$ de las coordenadas cartesianas.

## Definición básica

La definición más común de las coordenadas elípticas cilíndricas $(\mu ,\nu ,z)$ es
    $x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu$
    $y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu$
    $z=z$
donde $\mu$ es un número real no negativo y $\nu \in [0,2\pi ]$.
Estas definiciones corresponden a elipses e hipérbolas. La identidad trigonométrica
    ${\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$
muestra que las curvas de $\mu$ constante forman elipses, mientras que la identidad trigonométrica hiperbólica
    ${\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1$
muestra que las curvas de $\nu$ constante forman hipérbolas.

## Factores de escala

Los factores de escala para las coordenadas elípticas cilíndricas $\mu$ y $\nu$ son iguales
    $h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}$
mientras que el factor de escala restante es $h_{z}=1$.
En consecuencia, un elemento de volumen infinitesimal es igual a
    $dV=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu dz$
y el laplaciano es igual a
    $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$
Otros operadores diferenciales como $\nabla \cdot \mathbf {F}$ y $\nabla \times \mathbf {F}$ se pueden expresar en las coordenadas $(\mu ,\nu ,z)$ sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en el artículo dedicado a las coordenadas ortogonales.

## Definición alternativa

A veces se utiliza un conjunto alternativo y geométricamente intuitivo de coordenadas elípticas $(\sigma ,\tau ,z)$, donde $\sigma =\cosh \mu$ y $\tau =\cos \nu$. Por lo tanto, las curvas de $\sigma$ constante son elipses, mientras que las curvas de $\tau$ constante son hipérbolas. La coordenada $\tau$ debe pertenecer al intervalo [-1, 1], mientras que la coordenada $\sigma$ debe ser mayor o igual a uno.
Las coordenadas $(\sigma ,\tau ,z)$ tienen una relación simple con las distancias a los focos $F_{1}$ y $F_{2}$. Para cualquier punto en el plano (x,y), la suma $d_{1}+d_{2}$ de sus distancias a los focos es igual a $2a\sigma$, mientras que su diferencia $d_{1}-d_{2}$ es igual a $2a\tau$. Por lo tanto, la distancia a $F_{1}$ es $a(\sigma +\tau )$, mientras que la distancia a $F_{2}$ es $a(\sigma -\tau )$ (debe recordarse que $F_{1}$ y $F_{2}$ se encuentran en $x=-a$ y $x=+a$, respectivamente).
Un inconveniente de estas coordenadas es que no tienen una transformación 1 a 1 con respecto a las coordenadas cartesianas
    $x=a\sigma \tau$
    $y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)$

## Factores de escala alternativos

Los factores de escala para las coordenadas elípticas alternativas $(\sigma ,\tau ,z)$ son
    $h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}$
    $h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}$
y, por supuesto, $h_{z}=1$. Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal se convierte en
    $dV=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau dz$
y el laplaciano es igual a
    $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$
Otros operadores diferenciales como $\nabla \cdot \mathbf {F}$ y $\nabla \times \mathbf {F}$ se pueden expresar en las coordenadas $(\sigma ,\tau )$ sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en el artículo dedicado a las coordenadas ortogonales.

## Aplicaciones

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas elípticas cilíndricas son la resolución de ecuaciones en derivadas parciales, por ejemplo, la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz, para las que las coordenadas elípticas cilíndricas permiten emplear el método de separación de variables. Un ejemplo típico sería el campo eléctrico que rodea una placa conductora plana de ancho $2a$.
La ecuación de onda tridimensional, cuando se expresa en coordenadas elípticas cilíndricas, se puede resolver mediante la separación de variables, lo que da lugar a la ecuación diferencial de Mathieu.
Las propiedades geométricas de las coordenadas elípticas también pueden ser útiles. Un ejemplo típico podría ser una integración sobre todos los pares de vectores $\mathbf {p}$ y $\mathbf {q}$ que sumen un vector fijo $\mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q}$, donde el integrando fuera una función de las longitudes de los vectores $\left|\mathbf {p} \right|$ y $\left|\mathbf {q} \right|$. En tal caso, se colocaría $\mathbf {r}$ entre los dos focos y se alinearía con el eje $x$, es decir, $\mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}}$. Para ser más concretos, $\mathbf {r}$, $\mathbf {p}$ y $\mathbf {q}$ podrían representar la cantidad de movimiento de una partícula y sus productos de descomposición, respectivamente, y el integrando podría implicar las energías cinéticas de los productos (que son proporcionales a las longitudes al cuadrado de los momentos.