# Coordenadas toroidales

Las coordenadas toroidales son un sistema de coordenadas tridimensionales ortogonales que resulta de girar la un sistema de coordenadas bipolares bidimensional alrededor del eje que separa sus dos focos. Por lo tanto, los dos focos, $F_{1}$ y $F_{2}$ en coordenadas bipolares se convierten en un anillo de radio $a$ en el plano $xy$ del sistema de coordenadas toroidales; siendo el eje $z$ el eje de rotación. El anillo focal también se conoce como círculo de referencia.

## Definición

La definición más común de las coordenadas toroidales $(\tau ,\sigma ,\phi )$ es
    $x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi$
    $y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi$
    $z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$
junto con $\mathrm {sign} (\sigma )=\mathrm {sign} (z$). La coordenada $\sigma$ de un punto $P$ es igual al ángulo $F_{1}PF_{2}$ y la coordenada $\tau$ es igual al logaritmo de la relación de las distancias $d_{1}$ y $d_{2}$ a lados opuestos del anillo focal.
    $\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.$
Los rangos de coordenadas son $-\pi <\sigma \leq \pi$, $\tau \geq 0$ y $0\leq \phi <2\pi .$.

### Superficies de coordenadas

Superficies de $\sigma$ constante corresponden a esferas de diferentes radios
    $\left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(z-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}$
de manera que todas pasan a través del anillo focal, pero no son concéntricas. Las superficies de $\tau$ constante son toros que no se cruzan y de diferentes radios
    $z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}$
de manera que rodean el anillo focal. Los centros de las esferas $\sigma$ constante se encuentran en el eje $z$, mientras que los toros de $\tau$ constante están centrados en el plano $xy$.

### Transformación inversa

Las coordenadas $(\sigma ,\tau ,\phi )$ se pueden calcular a partir de las coordenadas cartesianas (x, y, z) de la siguiente manera. El ángulo azimutal $\phi$ viene dado por la fórmula
    $\tan \phi ={\frac {y}{x}}$
El radio cilíndrico $\rho$ del punto P viene dado por
    $\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}=\left(a{\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\right)^{2}$
y sus distancias a los focos en el plano definido por $\phi$ están dadas por
    $d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}$
    $d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}$
La coordenada $\tau$ es igual al logaritmo del cociente de las distancias focales
    $\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$
mientras que $|\sigma |$ es igual al ángulo entre los rayos y los focos, que puede determinarse a partir del teorema del coseno
    $\cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}.$
O explícitamente, incluido el signo,
    $\sigma =\mathrm {sign} (z)\arccos {\frac {r^{2}-a^{2}}{\sqrt {(r^{2}-a^{2})^{2}+4a^{2}z^{2}}}}$
donde $r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}$.
Las transformaciones entre coordenadas cilíndricas y toroidales se pueden expresar en notación compleja como
    $z+i\rho \ =ia\coth {\frac {\tau +i\sigma }{2}},$
    $\tau +i\sigma \ =\ln {\frac {z+i(\rho +a)}{z+i(\rho -a)}}.$

### Factores de escala

Los factores de escala para las coordenadas toroidales $\sigma$ y $\tau$ son iguales entre sí
    $h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}$
mientras que el factor de escala azimutal es igual a
    $h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$
Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual a
    $dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi$

### Operadores diferenciales

El laplaciano viene dado por
    ${\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}&\left[\sinh \tau {\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&\quad +\left.{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}$
Para un campo vectorial
    ${\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )=n_{\tau }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\tau }+n_{\sigma }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\sigma }+n_{\phi }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\phi },$
el vector laplaciano viene dado por
    ${\begin{aligned}\Delta {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )&=\nabla (\nabla \cdot {\vec {n}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {n}})\\&={\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\tau }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {\sinh ^{4}\tau +(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+n_{\sigma }(-\sinh \tau \sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad +{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sinh \tau )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}(-2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \\&\qquad +{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left({\frac {-2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \sigma }^{2}}}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2})+\cdots \\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \phi }^{2}}}{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\sigma }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {(\cosh ^{2}\tau +1-2\cosh \tau \cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+n_{\sigma }\left(-\sinh ^{2}\tau -2\sin ^{2}\sigma \right)+\ldots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}(2\sin \sigma (\cosh \tau -\cos \sigma ))+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}\left(-2\sinh \tau (\cosh \tau -\cos \sigma )\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left(2{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\phi }\left\{n_{\phi }\left(-{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \phi }}\left({\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \phi }}\left(-{\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)\right\}\end{aligned}}$
Otros operadores diferenciales como $\nabla \cdot \mathbf {F}$ y $\nabla \times \mathbf {F}$ se puede expresar en las coordenadas $(\sigma ,\tau ,\phi )$ sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales para las coordenadas ortogonales.

## Armónicos toroidales
### Separación estándar

La ecuación de Laplace con tres variables
    $\nabla ^{2}\Phi =0$
admite solución mediante el método de separación de variables en coordenadas toroidales. Haciendo la sustitución
    $\Phi =U{\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}$
se obtiene una ecuación separable. Una solución particular obtenida por el método de separación de variables es:
    $\Phi ={\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )$
donde cada función es una combinación lineal de:
    $S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }$
    $T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )$
    $V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }$
donde P y Q son las funciones de Legendre asociadas del primer y segundo tipo. Estas funciones de Legendre a menudo se denominan armónicos toroidales.
Los armónicos toroidales tienen muchas propiedades interesantes. Si se realiza una sustitución de variable $z=\cosh \tau >1$ entonces, por ejemplo, anulando el orden $\mu =0$ (la convención es no escribir el orden cuando desaparece) y $\nu =0$
    $Q_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {2}{1+z}}}\right)$
y
    $P_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\frac {2}{\pi }}{\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {z-1}{z+1}}}\right)$
donde $\,\!K$ y $\,\!E$ son las integrales elípticas completas de primer tipo y de segundo tipo respectivamente. El resto de los armónicos toroidales se pueden obtener, por ejemplo, en términos de integrales elípticas completas, utilizando relaciones de recurrencia para las funciones de Legendre asociadas.
Las aplicaciones clásicas de las coordenadas toroidales son la resolución de ecuaciones en derivadas parciales, como por ejemplo, la ecuación de Laplace para la que las coordenadas toroidales permiten disponer de un método de separación de variables o la ecuación de Helmholtz, para la que las coordenadas toroidales no permiten una separación de variables. Ejemplos típicos serían el potencial eléctrico y el campo eléctrico de un toro conductor o, en el caso degenerado, un anillo de corriente eléctrica (Hulme 1982).

### Separación alternativa

Alternativamente, se puede hacer una sustitución diferente (Andrews 2006)
    $\Phi ={\frac {U}{\sqrt {\rho }}}$
donde
    $\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}.$
Nuevamente se obtiene una ecuación separable. Una solución particular obtenida por el método de separación de variables es entonces
    $\Phi ={\frac {a}{\sqrt {\rho }}}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )$
donde cada función es una combinación lineal de
    $S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }$
    $T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )$
    $V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }.$
Téngase en cuenta que aunque los armónicos toroidales se utilizan nuevamente para la función T , el argumento es $\coth \tau$ en lugar de $\cosh \tau$ y los índices $\mu$ y $\nu$ se intercambian. Este método es útil para situaciones en las que las condiciones de contorno son independientes del ángulo esférico $\theta$, como el anillo cargado, un semiplano infinito o dos planos paralelos. Para identidades que relacionan los armónicos toroidales con el argumento del coseno hiperbólico con los del argumento de la cotangente hiperbólica, véanse las fórmulas de Whipple.