# Análisis de datos topológicos

En matemáticas aplicadas, el análisis topológico de los datos (en inglés: topological data analysis) (TDA) es un enfoque el análisis de conjuntos de datos que utiliza técnicas de topología. La extracción de información de conjuntos de datos de alta dimensión, incompletos y ruidosos suele ser un desafío, sin embargo, el análisis topológico de los datos proporciona un marco general para analizar dichos datos de una manera que no es sensible a la métrica particular elegida y proporciona reducción de dimensionalidad y robustez al ruido. Más allá de esto, hereda la funtorialidad, un concepto fundamental de las matemáticas modernas, de su naturaleza topológica, lo que le permite adaptarse a nuevas herramientas matemáticas.
La motivación inicial del análisis topológico de los datos es estudiar la forma de los datos es combinar la topología algebraica y otras herramientas de las matemáticas puras para permitir un estudio matemáticamente riguroso de la "forma". La herramienta principal es la homología persistente, una adaptación de la homología a los datos de la nube de puntos. La homología persistente se ha aplicado a muchos tipos de datos en muchos campos. Además, su fundamento matemático también tiene importancia teórica. Las características únicas del análisis topológico de los datos lo convierten en un puente prometedor entre la topología y la geometría.

## Teoría básica
### Intuición

TDA se basa en la idea de que la forma de los conjuntos de datos contiene información relevante. Los datos reales de alta dimensión suelen ser escasos y tienden a tener características relevantes de baja dimensión. Una tarea del TDA es proporcionar una caracterización precisa de este hecho. Por ejemplo, la trayectoria de un sistema simple depredador-presa regido por las ecuaciones de Lotka-Volterra forma un círculo cerrado en el espacio de estados. TDA proporciona herramientas para detectar y cuantificar dicho movimiento recurrente.
Muchos algoritmos para el análisis de datos, incluidos los utilizados en TDA, requieren la configuración de varios parámetros. Sin un conocimiento previo del dominio, es difícil elegir la recopilación correcta de parámetros para un conjunto de datos. La idea principal de la homología persistente es utilizar la información obtenida de todos los valores de los parámetros codificando esta enorme cantidad de información en una forma comprensible y fácil de representar. Con TDA, existe una interpretación matemática cuando la información es un grupo de homología. En general, se supone que las características que persisten para una amplia gama de parámetros son características "verdaderas". Se supone que las características que persisten solo para un rango estrecho de parámetros son ruido, aunque la justificación teórica para esto no está clara.

### Historia temprana

Los precursores del concepto completo de homología persistente aparecieron gradualmente con el tiempo. En 1990, Patrizio Frosini introdujo una pseudodistancia entre subvariedades, y posteriormente la función de tamaño, que en curvas 1-dim es equivalente a la homología persistente 0. Casi una década después, Vanessa Robins estudió las imágenes de homomorfismos inducidos por inclusión. Finalmente, poco después, Herbert Edelsbrunner et al. introdujeron el concepto de homología persistente junto con un algoritmo eficiente y su visualización como un diagrama de persistencia. Gunnar Carlsson et al. reformularon la definición inicial y dieron un método de visualización equivalente llamado códigos de barras de persistencia, interpretando la persistencia en el lenguaje del álgebra conmutativa.
En topología algebraica, la homología persistente surgió a través del trabajo de Sergey Barannikov sobre la teoría de Morse. El conjunto de valores críticos de la función Morse suave se dividió canónicamente en pares "nacimiento-muerte", los complejos filtrados se clasificaron, sus invariantes, equivalentes al diagrama de persistencia y los códigos de barras de persistencia, junto con el algoritmo eficiente para su cálculo, fueron descritos bajo el nombre de formas canónicas en 1994 por Barannikov.

### Conceptos

A continuación se presentan algunos conceptos ampliamente utilizados. Tenga en cuenta que algunas definiciones pueden variar de un autor a otro.
Una nube de puntos a menudo se define como un conjunto finito de puntos en algún espacio euclidiano, pero puede considerarse cualquier espacio métrico finito.
El complejo de Čech de una nube de puntos es el nervio de la cubierta de bolas de un radio fijo alrededor de cada punto de la nube.
Un módulo de persistencia $\mathbb {U}$ indexado por $\mathbb {Z}$ es un espacio vectorial $U_{t}$ Para cada uno $t\in \mathbb {Z}$, y un mapa lineal $u_{t}^{s}\colon U_{s}\to U_{t}$ cuando sea $s\leq t$, de tal manera que $u_{t}^{t}=1$ a pesar de $t$ y $u_{t}^{s}u_{s}^{r}=u_{t}^{r}$ cuando sea $r\leq s\leq t.$ Una definición equivalente es un funtor de $\mathbb {Z}$ considerado como un conjunto parcialmente ordenado en la categoría de espacios vectoriales.
El grupo de homología persistente $PH$ de una nube de puntos es el módulo de persistencia definido como $PH_{k}(X)=\prod H_{k}(X_{r})$, dónde $X_{r}$ es el complejo de Čech de radio $r$ de la nube de puntos $X$ y $H_{k}$ es el grupo de homología.
Un código de barras de persistencia es un conjunto múltiple de intervalos en $\mathbb {R}$, y un diagrama de persistencia es un conjunto múltiple de puntos en $\Delta$ ($:=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\mid u,v\geq 0,u\leq v\}$).
La distancia de Wasserstein entre dos diagramas de persistencia $X$ y $Y$ se define como $W_{p}[L_{q}](X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\left[\sum _{x\in X}(\Vert x-\varphi (x)\Vert _{q})^{p}\right]^{1/p}$ dónde $1\leq p,q\leq \infty$ y $\varphi$ rangos sobre biyecciones entre $X$ y $Y$. Consulte la figura 3.1 en Munch para obtener una ilustración.
La distancia de cuello de botella entre $X$ y $Y$ es $W_{\infty }[L_{q}](X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\sup _{x\in X}\Vert x-\varphi (x)\Vert _{q}.$ Este es un caso especial de la distancia de Wasserstein, siendo $p=\infty$.

### Propiedad básica
#### Teorema de estructura

El primer teorema de clasificación para homología persistente apareció en 1994 a través de las formas canónicas de Barannikov. El teorema de clasificación que interpreta la persistencia en el lenguaje del álgebra conmutativa apareció en 2005: para un módulo de persistencia generado finitamente $C$ con campo $F$ coeficientes, $H(C;F)\simeq \bigoplus _{i}x^{t_{i}}\cdot F[x]\oplus \left(\bigoplus _{j}x^{r_{j}}\cdot (F[x]/(x^{s_{j}}\cdot F[x]))\right).$ Intuitivamente, las partes libres corresponden a los generadores de homología que aparecen a nivel de filtración. $t_{i}$ y nunca desaparecen, mientras que las partes de torsión corresponden a las que aparecen a nivel de filtración. $r_{j}$ y por último $s_{j}$ pasos de la filtración (o equivalentemente, desaparecen en el nivel de filtración) $s_{j}+r_{j}$).
La homología persistente se visualiza a través de un código de barras o un diagrama de persistencia. El código de barras tiene su raíz en las matemáticas abstractas. Es decir, la categoría de complejos filtrados finitos sobre un campo es semi-simple. Cualquier complejo filtrado es isomorfo a su forma canónica, una suma directa de complejos filtrados simples unidimensionales y bidimensionales.

#### Estabilidad

La estabilidad es deseable porque proporciona robustez frente al ruido. Si $X$ es cualquier espacio que es homeomorfo a un complejo simplicial, y $f,g:X\to \mathbb {R}$ son funciones continuas domesticadas, entonces los espacios vectoriales de persistencia $\{H_{k}(f^{-1}([0,r]))\}$ y $\{H_{k}(g^{-1}([0,r]))\}$ se presentan de forma finita y $W_{\infty }(D(f),D(g))\leq \lVert f-g\rVert _{\infty }$, dónde $W_{\infty }$ se refiere a la distancia del cuello de botella y $D$ ¿El mapa lleva una función domesticada continua al diagrama de persistencia de su $k$ -ésima homología.

### Flujo de trabajo

El flujo de trabajo básico en TDA es:
| nube de puntos | $\to$ | complejos anidados | $\to$ | módulo de persistencia | $\to$ | código de barras o diagrama |
* Si $X$ es una nube de puntos, reemplace $X$ con una familia anidada de complejos simpliciales $X_{r}$ (como el complejo Čech o Vietoris-Rips). Este proceso convierte la nube de puntos en una filtración de complejos simples. Tomando la homología de cada complejo en esta filtración se obtiene un módulo de persistencia. $H_{i}(X_{r_{0}})\to H_{i}(X_{r_{1}})\to H_{i}(X_{r_{2}})\to \cdots$
* Aplicar el teorema de estructura para obtener los números de Betti persistentes, diagrama de persistencia o, equivalentemente, código de barras.
Gráficamente hablando,

## Cálculo

El primer algoritmo sobre todos los campos para homología persistente en un entorno de topología algebraica fue descrito por Barannikov a través de la reducción a la forma canónica mediante matrices triangulares superiores. El algoritmo para la homología persistente sobre $F_{2}$ Fue proporcionado por Edelsbrunner et al. Afra Zomorodian y Carlsson proporcionaron el algoritmo práctico para calcular la homología persistente en todos los campos. El libro de Edelsbrunner y Harer ofrece una guía general sobre topología computacional.
Un problema que surge en la computación es la elección de lo complejo. El complejo Čech y el complejo Vietoris–Rips son los más naturales a primera vista; sin embargo, su tamaño crece rápidamente con el número de puntos de datos. Se prefiere el complejo de Vietoris-Rips al complejo de Čech porque su definición es más simple y el complejo de Čech requiere un esfuerzo adicional para definirlo en un espacio métrico finito general. Se han estudiado formas eficientes de reducir el coste computacional de la homología. Por ejemplo, el complejo α y el complejo testigo se utilizan para reducir la dimensión y el tamaño de los complejos.
Recientemente, la teoría de Morse discreta ha demostrado ser prometedora para la homología computacional porque puede reducir un complejo simplicial dado a un complejo celular mucho más pequeño que es homotópico al original. De hecho, esta reducción se puede realizar a medida que se construye el complejo utilizando la teoría de matroides, lo que conduce a mayores aumentos del rendimiento. Otro algoritmo reciente ahorra tiempo al ignorar las clases de homología con baja persistencia.
Hay varios paquetes de software disponibles, como javaPlex, Dionysus, Perseus, PHAT, DIPHA, GUDHI, Ripser y TDAstats. Otter et al. realizan una comparación entre estas herramientas. Giotto-tda es un paquete de Python dedicado a integrar TDA en el flujo de trabajo de aprendizaje automático mediante una API scikit-learn . Un paquete R TDA es capaz de calcular conceptos recientemente inventados como el paisaje y el estimador de distancia del núcleo. El Topology ToolKit está especializado en datos continuos definidos en variedades de baja dimensión (1, 2 o 3), como los que normalmente se encuentran en la visualización científica. Cubicle está optimizado para datos de imágenes en escala de grises grandes (escala de gigabytes) en dimensión 1, 2 o 3 utilizando complejos cúbicos y teoría de Morse discreta. Otro paquete R, TDAstats, utiliza la biblioteca Ripser para calcular la homología persistente.

## Visualización

Es imposible visualizar datos de alta dimensión directamente. Se han inventado muchos métodos para extraer una estructura de baja dimensión del conjunto de datos, como el análisis de componentes principales y el escalamiento multidimensional. Sin embargo, es importante señalar que el problema en sí está mal planteado, ya que se pueden encontrar muchas características topológicas diferentes en el mismo conjunto de datos. Por lo tanto, el estudio de la visualización de espacios de alta dimensión es de importancia central para TDA, aunque no implica necesariamente el uso de homología persistente. Sin embargo, recientemente se han realizado intentos de utilizar la homología persistente en la visualización de datos.
Carlsson et al. han propuesto un método general llamado MAPPER. Hereda la idea de Jean-Pierre Serre de que una cubierta preserva la homotopía. Una formulación generalizada de MAPPER es la siguiente:
Dejar $X$ y $Z$ sean espacios topológicos y sean $f\colon X\to Z$ ser un mapa continuo. Dejar $\mathbb {U} =\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ ser una cubierta abierta finita de $Z$. La salida de MAPPER es el nervio de la cubierta de retroceso. M(U, f):=N(f$^{−1}$(U)){\textstyle M(\mathbb {U} , f):=N(f^{-1}(\mathbb {U} ))}, donde cada preimagen se divide en sus componentes conectados. Este es un concepto muy general, del cual el gráfico de Reeb y los árboles de fusión son casos especiales.
Esta no es exactamente la definición original. Carlsson et al. eligen $Z$ ser $\mathbb {R}$ o $\mathbb {R} ^{2}$, y cubrirlo con conjuntos abiertos tales que como máximo dos se intersequen. Esta restricción significa que la salida tiene la forma de una red compleja. Debido a que la topología de una nube de puntos finita es trivial, se utilizan métodos de agrupamiento (como el enlace simple) para producir el análogo de conjuntos conectados en la preimagen. $f^{-1}(U)$ cuando MAPPER se aplica a datos reales.
Matemáticamente hablando, MAPPER es una variación del gráfico de Reeb. Si el M(U, f){\textstyle M(\mathbb {U} , f)} es como máximo unidimensional, entonces para cada $i\geq 0$, $H_{i}(X)\simeq H_{0}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i})\oplus H_{1}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i-1}).$ La flexibilidad añadida también tiene desventajas. Un problema es la inestabilidad, ya que cualquier cambio en la elección de la cobertura puede provocar un cambio importante en el resultado del algoritmo. Se ha trabajado para superar este problema.
En Carlsson et al. se pueden encontrar tres aplicaciones exitosas de MAPPER. Un comentario sobre las aplicaciones en este artículo de J. Curry es que "una característica común de interés en las aplicaciones es la presencia de llamaradas o zarcillos".
Una implementación gratuita de MAPPER escrita por Daniel Müllner y Aravindakshan Babu está disponible en línea. MAPPER también forma la base de la plataforma de inteligencia artificial de Ayasdi.

## Persistencia multidimensional

La persistencia multidimensional es importante para TDA. El concepto surge tanto en la teoría como en la práctica. La primera investigación sobre la persistencia multidimensional se realizó al comienzo del desarrollo del TDA. Carlsson-Zomorodian introdujo la teoría de la persistencia multidimensional en y en colaboración con Singh introdujo el uso de herramientas del álgebra simbólica (métodos de base de Grobner) para calcular módulos MPH. Su definición presenta la persistencia multidimensional con n parámetros como $\mathbb {Z} ^{n}$ módulo graduado sobre un anillo polinomial en n variables. Se aplican herramientas del álgebra conmutativa y homológica al estudio de la persistencia multidimensional en el trabajo de Harrington-Otter-Schenck-Tillman. La primera aplicación que aparece en la literatura es un método de comparación de formas, similar a la invención del TDA.
La definición de un módulo de persistencia n -dimensional en $\mathbb {R} ^{n}$ es
* espacio vectorial $V_{s}$ se asigna a cada punto en $s=(s_{1},\ldots ,s_{n})$
* mapa $\rho _{s}^{t}\colon V_{s}\to V_{t}$ se asigna si $s\leq t$ ( $s_{i}\leq t_{i},i=1,\ldots ,n)$
* Los mapas satisfacen $\rho _{r}^{t}=\rho _{s}^{t}\circ \rho _{r}^{s}$ a pesar de $r\leq s\leq t$
Tal vez valga la pena señalar que existen controversias sobre la definición de persistencia multidimensional.
Una de las ventajas de la persistencia unidimensional es su representabilidad mediante un diagrama o código de barras. Sin embargo, no existen invariantes completos discretos de módulos de persistencia multidimensionales. La razón principal de esto es que la estructura de la colección de indecomponibles es extremadamente complicada por el teorema de Gabriel en la teoría de representaciones de carcaj, aunque un módulo de persistencia n-dim finitamente generado puede descomponerse de manera única en una suma directa de indecomponibles debido al teorema de Krull-Schmidt.
Sin embargo, se han establecido muchos resultados. Carlsson y Zomorodian introdujeron el invariante de rango $\rho _{M}(u,v)$, definida como la $\rho _{M}(u,v)=\mathrm {rank} (x^{u-v}\colon M_{u}\to M_{v})$, en el cual $M$ es un módulo n-graduado generado finitamente. En una dimensión, es equivalente al código de barras. En la literatura, el invariante de rango se conoce a menudo como números Betti persistentes (PBN). En muchos trabajos teóricos, los autores han utilizado una definición más restringida, análoga a la persistencia de conjuntos de subniveles. En concreto, los números de Betti de persistencia de una función $f:X\to \mathbb {R} ^{k}$ están dados por la función $\beta _{f}\colon \Delta ^{+}\to \mathrm {N}$, tomando cada uno $(u,v)\in \Delta ^{+}$ a $\beta _{f}(u,v):=\mathrm {rank} (H(X(f\leq u)\to H(X(f\leq v)))$, dónde $\Delta ^{+}:=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} ^{k}:u\leq v\}$ y $X(f\leq u):=\{x\in X:f(x)\leq u\}$.
Algunas propiedades básicas incluyen la monotonía y el salto diagonal. Los números persistentes de Betti serán finitos si $X$ es un subespacio compacto y localmente contráctil de $\mathbb {R} ^{n}$.
Utilizando un método de foliación, los PBN k-dim se pueden descomponer en una familia de PBN 1-dim mediante deducción de dimensionalidad. Este método también ha permitido demostrar que las PBN multidimensionales son estables. Las discontinuidades de las PBN solo ocurren en puntos $(u,v)(u\leq v)$ donde ya sea $u$ es un punto discontinuo de $\rho _{M}(\star ,v)$ o $v$ es un punto discontinuo de $\rho (u,\star )$ bajo el supuesto de que $f\in C^{0}(X,\mathbb {R} ^{k})$ y $X$ es un espacio topológico compacto y triangulable.
El espacio persistente, una generalización del diagrama persistente, se define como el multiconjunto de todos los puntos con multiplicidad mayor que 0 y la diagonal. Proporciona una representación estable y completa de las PBN. Un trabajo en curso de Carlsson et al. intenta brindar una interpretación geométrica de la homología persistente, lo que podría brindar información sobre cómo combinar la teoría del aprendizaje automático con el análisis de datos topológicos.
El primer algoritmo práctico para calcular la persistencia multidimensional se inventó muy temprano. Posteriormente se propusieron muchos otros algoritmos basados en conceptos como la teoría morse discreta y la estimación de muestras finitas.

## Otras persistencias

El paradigma estándar en TDA a menudo se denomina persistencia de subnivel. Además de la persistencia multidimensional, se han realizado muchos trabajos para ampliar este caso especial.

### Persistencia en zigzag

Los mapas distintos de cero en el módulo de persistencia están restringidos por la relación de preorden en la categoría. Sin embargo, los matemáticos han descubierto que la unanimidad de dirección no es esencial para muchos resultados. "El punto filosófico es que la teoría de descomposición de las representaciones gráficas es en cierta medida independiente de la orientación de los bordes del gráfico". La persistencia en zigzag es importante para el aspecto teórico. Los ejemplos dados en el artículo de revisión de Carlsson para ilustrar la importancia de la funcionalidad comparten algunas de sus características.

### Persistencia extendida y persistencia de conjunto de niveles

Hay algunos intentos de flexibilizar la restricción más estricta de la función.
Es natural extender la homología de persistencia a otros conceptos básicos en topología algebraica, como la cohomología y la homología/cohomología relativa. Una aplicación interesante es el cálculo de coordenadas circulares para un conjunto de datos a través del primer grupo de cohomología persistente.

### Persistencia circular

La homología de persistencia normal estudia funciones de valor real. El mapa con valores circulares puede ser útil, "la teoría de persistencia para mapas con valores circulares promete desempeñar el papel para algunos campos vectoriales como lo hace la teoría de persistencia estándar para campos escalares", como se comentó en Dan Burghelea et al. La principal diferencia es que las celdas de Jordan (muy similares en formato a los bloque de Jordan en álgebra lineal) no son triviales en funciones con valores circulares, que serían cero en el caso de valores reales, y la combinación con códigos de barras da los invariantes de un mapa domesticado, en condiciones moderadas.
Las dos técnicas que utilizan son la teoría de Morse-Novikov y la teoría de representación gráfica. Se pueden encontrar resultados más recientes en D. Burghelea et al. Por ejemplo, el requisito de mansedumbre puede reemplazarse por la condición mucho más débil, continua.

### Persistencia con torsión

La prueba del teorema de estructura se basa en que el dominio base es un campo, por lo que no se han realizado muchos intentos de homología de persistencia con torsión. Frosini definió una pseudometría para este módulo específico y demostró su estabilidad. Una de sus novedades es que no depende de alguna teoría de clasificación para definir la métrica.

## Categorización y co-haces

Una ventaja de la teoría de categorías es su capacidad de elevar resultados concretos a un nivel superior, mostrando relaciones entre objetos aparentemente desconectados. Peter Bubenik et al. ofrecen una breve introducción a la teoría de categorías adaptada al TDA.
La teoría de categorías es el lenguaje del álgebra moderna y se ha utilizado ampliamente en el estudio de la geometría algebraica y la topología. Se ha señalado que "la observación clave de es que el diagrama de persistencia producido por depende únicamente de la estructura algebraica que lleva este diagrama". El uso de la teoría de categorías en TDA ha demostrado ser fructífero.
Siguiendo las anotaciones realizadas en Bubenik et al., la categoría de indexación P{\textstyle P} es cualquier conjunto preordenado (no necesariamente $\mathbb {N}$ o $\mathbb {R}$ ), la categoría objetivo $D$ es cualquier categoría (en lugar de la comúnmente utilizada Vect$_F${\textstyle \mathrm {Vect} _{\mathbb {F} }}), y funtores P→D{\textstyle P\to D} se denominan módulos de persistencia generalizados en $D$, encima P{\textstyle P}.
Una ventaja de utilizar la teoría de categorías en el TDA es una comprensión más clara de los conceptos y el descubrimiento de nuevas relaciones entre pruebas. Tomemos dos ejemplos a modo de ilustración. La comprensión de la correspondencia entre entrelazado y coincidencia es de enorme importancia, ya que la coincidencia ha sido el método utilizado en el principio (modificado de la teoría de Morse). Se puede encontrar un resumen de los trabajos en Vin de Silva et al. Muchos teoremas se pueden demostrar mucho más fácilmente en un entorno más intuitivo. Otro ejemplo es la relación entre la construcción de diferentes complejos a partir de nubes de puntos. Desde hace tiempo se ha observado que los complejos de Čech y Vietoris-Rips están relacionados. Específicamente, $V_{r}(X)\subset C_{{\sqrt {2}}r}(X)\subset V_{2r}(X)$. La relación esencial entre los complejos de Cech y Rips se puede ver mucho más claramente en el lenguaje categórico.
El lenguaje de la teoría de categorías también ayuda a expresar los resultados en términos reconocibles para la comunidad matemática más amplia. La distancia de cuello de botella se utiliza ampliamente en TDA debido a los resultados sobre la estabilidad con respecto a la distancia de cuello de botella. De hecho, la distancia de entrelazado es el objeto terminal en una categoría poset de métricas estables en módulos de persistencia multidimensionales en un campo principal.
Las haces, un concepto central en la geometría algebraica moderna, están intrínsecamente relacionadas con la teoría de categorías. En términos generales, los haces son la herramienta matemática para comprender cómo la información local determina la información global. Justin Curry considera la persistencia de conjuntos de niveles como el estudio de las fibras de funciones continuas. Los objetos que estudia son muy similares a los de MAPPER, pero con la teoría de haces como fundamento teórico. Aunque todavía no se ha producido ningún avance en la teoría de TDA que haya utilizado la teoría de haces, es prometedor ya que hay muchos teoremas hermosos en geometría algebraica relacionados con la teoría de haces. Por ejemplo, una pregunta teórica natural es si diferentes métodos de filtración dan como resultado el mismo resultado.

## Estabilidad

La estabilidad es de importancia central para el análisis de datos, ya que los datos reales contienen ruido. Mediante el uso de la teoría de categorías, Bubenik et al. han distinguido entre teoremas de estabilidad blandos y duros, y han demostrado que los casos blandos son formales. En concreto, el flujo de trabajo general de TDA es
| datos | ${\stackrel {F}{\longrightarrow }}$ | módulo de persistencia topológica | ${\stackrel {H}{\longrightarrow }}$ | módulo de persistencia algebraica | ${\stackrel {J}{\longrightarrow }}$ | invariante discreto |
El teorema de estabilidad blanda afirma que $HF$ es Lipschitz continua, y el teorema de estabilidad dura afirma que $J$ ¿Lipschitz es continuo?
La distancia de cuello de botella se utiliza ampliamente en TDA. El teorema de isometría afirma que la distancia de entrelazado $d_{I}$ es igual a la distancia del cuello de botella. Bubenik et al. han abstraído la definición a la que existe entre funtores. $F,G\colon P\to D$ cuando P{\textstyle P} está dotado de una proyección sublineal o familia superlineal, en la que aún subsiste una pseudometría. Considerando los magníficos caracteres de la distancia de entrelazado, aquí introducimos la definición general de la distancia de entrelazado (en lugar de la primera introducida): Sea $\Gamma ,K\in \mathrm {Trans_{P}}$ (una función de P{\textstyle P} a P{\textstyle P} que es monótona y satisface $x\leq \Gamma (x)$ a pesar de x∈P{\textstyle x\in P} ). A $(\Gamma ,K)$ -El entrelazado entre F y G consiste en transformaciones naturales $\varphi \colon F\Rightarrow G\Gamma$ y $\psi \colon G\Rightarrow FK$, de tal manera que $(\psi \Gamma )=\varphi F\eta _{K\Gamma }$ y $(\varphi \Gamma )=\psi G\eta _{\Gamma K}$.
Los dos resultados principales son:
* Dejar P{\textstyle P} ser un conjunto preordenado con una proyección sublineal o una familia superlineal. Dejar H:D→E{\textstyle H:D\to E} ser un funtor entre categorías arbitrarias D, E{\textstyle D, E} . Entonces, para cualesquiera dos funtores F, G:P→D{\textstyle F, G\colon P\to D}, tenemos d$_I$(HF, HG)≤d$_I$(F, G){\textstyle d_{I}(HF, HG)\leq d_{I}(F, G)}.
* Dejar P{\textstyle P} ser un conjunto parcial de un espacio métrico Y{\textstyle Y}, X{\textstyle X} ser un espacio topológico. Y sea f, g:X→Y{\textstyle f, g\colon X\to Y} (no necesariamente continuas) sean funciones, y F, G{\textstyle F, G} para ser el diagrama de persistencia correspondiente. Entonces $d_{I}(F,G)\leq d_{\infty }(f,g):=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))$.
Estos dos resultados resumen muchos resultados sobre la estabilidad de diferentes modelos de persistencia.
Para el teorema de estabilidad de la persistencia multidimensional, consulte la subsección de persistencia.

## Teorema de estructura

El teorema de estructura es de importancia central para el TDA; como comentó G. Carlsson, "lo que hace que la homología sea útil como discriminador entre espacios topológicos es el hecho de que existe un teorema de clasificación para grupos abelianos finitamente generados".
El argumento principal utilizado en la prueba del teorema de estructura original es el teorema de estructura estándar para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal. Sin embargo, este argumento falla si el conjunto de indexación es $(\mathbb {R} ,\leq )$.
En general, no todos los módulos de persistencia se pueden descomponer en intervalos. Se han realizado muchos intentos para relajar las restricciones del teorema de estructura original. El caso de los módulos de persistencia de dimensión finita puntuales indexados por un subconjunto localmente finito de $\mathbb {R}$ Se resuelve basándose en el trabajo de Webb. El resultado más notable lo realizó Crawley-Boevey, que resolvió el caso de $\mathbb {R}$ . El teorema de Crawley-Boevey establece que cualquier módulo de persistencia de dimensión finita puntual es una suma directa de módulos de intervalo.
Para comprender la definición de su teorema es necesario introducir algunos conceptos. Un intervalo en $(\mathbb {R} ,\leq )$ se define como un subconjunto $I\subset \mathbb {R}$ que tiene la propiedad de que si $r,t\in I$ Y si hay una $s\in \mathbb {R}$ de tal manera que $r\leq s\leq t$, entonces $s\in I$ también. Un módulo de intervalo $k_{I}$ asigna a cada elemento $s\in I$ El espacio vectorial $k$ y asigna el espacio vectorial cero a los elementos en $\mathbb {R} \setminus I$. Todos los mapas $\rho _{s}^{t}$ son el mapa cero, a menos que $s,t\in I$ y $s\leq t$, en cuyo caso $\rho _{s}^{t}$ es el mapa de identidad. Los módulos de intervalo son indescomponibles.
Aunque el resultado de Crawley-Boevey es un teorema muy poderoso, todavía no se extiende al caso q-tame. Un módulo de persistencia es q-tame si el rango de $\rho _{s}^{t}$ es finito para todos $s<t$. Hay ejemplos de módulos de persistencia q-tame que no logran ser finitos puntualmente. Sin embargo, resulta que un teorema de estructura similar todavía se mantiene si se eliminan las características que existen solo en un valor de índice. Esto es así porque las partes de dimensión infinita en cada valor de índice no persisten, debido a la condición de rango finito. Formalmente, la categoría observable $\mathrm {Ob}$ se define como $\mathrm {Pers} /\mathrm {Eph}$, en el cual $\mathrm {Eph}$ denota la subcategoría completa de $\mathrm {Pers}$ cuyos objetos son los módulos efímeros ($\rho _{s}^{t}=0$ cuando sea $s<t$).
Tenga en cuenta que los resultados extendidos que se enumeran aquí no se aplican a la persistencia en zigzag, ya que el análogo de un módulo de persistencia en zigzag $\mathbb {R}$ No es inmediatamente obvio.

## Estadística

Los datos reales son siempre finitos, por lo que su estudio requiere tener en cuenta la estocasticidad. El análisis estadístico nos brinda la capacidad de separar las características reales de los datos de los artefactos introducidos por el ruido aleatorio. La homología persistente no tiene un mecanismo inherente para distinguir entre características de baja probabilidad y características de alta probabilidad.
Una forma de aplicar la estadística al análisis de datos topológicos es estudiar las propiedades estadísticas de las características topológicas de las nubes de puntos. El estudio de complejos simpliciales aleatorios ofrece cierta perspectiva sobre la topología estadística. Katharine Turner et al. ofrecen un resumen del trabajo en este sentido.
Una segunda forma es estudiar las distribuciones de probabilidad en el espacio de persistencia. El espacio de persistencia $B_{\infty }$ es $\coprod _{n}B_{n}/{\backsim }$, dónde $B_{n}$ es el espacio de todos los códigos de barras que contienen exactamente $n$ Los intervalos y las equivalencias son $\{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n},y_{n}]\}\backsim \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n-1},y_{n-1}]\}$ si $x_{n}=y_{n}$. Este espacio es bastante complicado; por ejemplo, no está completo bajo la métrica de cuello de botella. El primer intento de estudiarlo fue realizado por Yuriy Mileyko et al. El espacio de diagramas de persistencia $D_{p}$ En su artículo se define como $D_{p}:=\left\{d\mid \sum _{x\in d}\left(2\inf _{y\in \Delta }\lVert x-y\rVert \right)^{p}<\infty \right\}$ dónde $\Delta$ ¿es la línea diagonal en $\mathbb {R} ^{2}$ . Una bonita propiedad es que $D_{p}$ es completa y separable en la métrica de Wasserstein $W_{p}(u,v)=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (u,v)}\int _{\mathbb {X} \times \mathbb {X} }\rho ^{p}(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p}$. La expectativa, la varianza y la probabilidad condicional se pueden definir en el sentido de Fréchet. Esto permite que muchas herramientas estadísticas se puedan trasladar a TDA. Los trabajos sobre pruebas de significación de hipótesis nula, intervalos de confianza, y estimaciones robustas son pasos notables.
Una tercera vía es considerar directamente la cohomología del espacio probabilístico o de los sistemas estadísticos, llamadas estructuras de información y que consisten básicamente en la triple ( $\Omega ,\Pi ,P$ ), espacio muestral, variables aleatorias y leyes de probabilidad. Las variables aleatorias se consideran como particiones de las n probabilidades atómicas (vistas como una probabilidad (n-1)-simplex, $|\Omega |=n$ ) sobre el entramado de tabiques ( $\Pi _{n}$ ). Las variables aleatorias o módulos de funciones mensurables proporcionan los complejos de cocadena mientras que el colímite se considera como el álgebra homológica general descubierta por primera vez por Gerhard Hochschild con una acción izquierda que implementa la acción del condicionamiento. La primera condición de cociclo corresponde a la regla de la cadena de la entropía, permitiendo derivar de forma única hasta la constante multiplicativa, la entropía de Shannon como la primera clase de cohomología. La consideración de una acción izquierda deformada generaliza el marco a las entropías de Tsallis. La cohomología de la información es un ejemplo de topos anillados. La información mutua multivariada k aparece en expresiones de colímites, y su desaparición, relacionada con la condición de cociclo, proporciona condiciones equivalentes para la independencia estadística. Los mínimos de información mutua, también llamados sinergia, dan lugar a interesantes configuraciones de independencia análogas a los enlaces homotópicos. Debido a su complejidad combinatoria, sólo se ha investigado en los datos el subcaso simplicial de la cohomología y de la estructura de la información. Aplicadas a los datos, estas herramientas cohomológicas cuantifican las dependencias e independencias estadísticas, incluidas las cadenas de Markov y la independencia condicional, en el caso multivariado. En particular, las informaciones mutuas generalizan el coeficiente de correlación y la covarianza a dependencias estadísticas no lineales. Estos enfoques se desarrollaron de forma independiente y solo se relacionaron indirectamente con los métodos de persistencia, pero se pueden entender de forma aproximada en el caso simple utilizando el Teorema de Hu Kuo Tin que establece una correspondencia uno a uno entre las funciones de información mutua y la función medible finita de un conjunto con operador de intersección, para construir el esqueleto complejo de Čech. La cohomología de la información ofrece cierta interpretación y aplicación directa en términos de neurociencia (teoría del ensamblaje neuronal y cognición cualitativa), física estadística y redes neuronales profundas para las cuales la estructura y el algoritmo de aprendizaje están impuestos por el complejo de variables aleatorias y la regla de la cadena de información.
Los paisajes de persistencia, introducidos por Peter Bubenik, son una forma diferente de representar códigos de barras, más susceptibles de análisis estadístico. El panorama de persistencia de un módulo persistente $M$ se define como una función $\lambda :\mathbb {N} \times \mathbb {R} \to {\bar {\mathbb {R} }}$, $\lambda (k,t):=\sup(m\geq 0\mid \beta ^{t-m,t-m}\geq k)$, dónde ${\bar {\mathbb {R} }}$ denota la línea real extendida y $\beta ^{a,b}=\mathrm {dim} (\mathrm {im} (M(a\leq b)))$. El espacio de paisajes de persistencia es muy bueno: hereda todas las buenas propiedades de la representación de códigos de barras (estabilidad, fácil representación, etc.), pero las cantidades estadísticas se pueden definir fácilmente y se pueden superar algunos problemas en el trabajo de Y. Mileyko et al., como la no unicidad de las expectativas. Existen algoritmos eficaces para la computación con paisajes de persistencia. Otro enfoque es utilizar la persistencia revisada, que es la persistencia de imagen, kernel y cokernel.

## Generalizaciones

La mayoría de las técnicas TDA están diseñadas para datos de nubes de puntos. Sin embargo, los datos pueden existir en otros formatos, como variedades diferenciables, curvas 1D incrustadas en un espacio 3D o incluso espacios de alta dimensión. Además, si bien la homología persistente es la herramienta principal en TDA, otras formulaciones matemáticas, como los laplacianos topológicos y los operadores de Dirac topológicos, también proporcionan enfoques valiosos para realizar análisis topológicos en varios formatos de datos.
Los laplacianos topológicos, como los laplacianos de Hodge en variedades diferenciables, los laplacianos combinatorios para nubes de puntos, y los laplacianos de Khovanov para nudos y enlaces, son herramientas útiles para extraer información topológica adaptada a sus respectivos dominios de datos. Aunque se definen en contextos diferentes, estos laplacianos comparten un marco algebraico unificado. Se construyen utilizando el operador de (co-)límite y su adjunto, siendo sus núcleos isomorfos a los grupos de homología. Esto implica que el número de valores propios cero corresponde a los números de Betti de los grupos de homología asociados. Además, los valores propios distintos de cero ofrecen conocimientos más profundos sobre la estructura de los datos, particularmente a través de la lente de la teoría espectral.
Los laplacianos de Hodge, los laplacianos combinatorios y los laplacianos de Khovanov utilizan marcos matemáticos de la geometría diferencial, la teoría de grafos y la topología geométrica, respectivamente, para expandir la teoría clásica de la homología más allá de la topología algebraica. Cada uno sirve como un puente, conectando la topología algebraica con su campo matemático correspondiente.
Los laplacianos de Hodge persistentes se introdujeron en 2019 para analizar datos sobre variedades diferenciables con límite. Además, se desarrollaron laplacianos combinatorios persistentes, también conocidos como laplacianos persistentes, para datos de nubes de puntos. Estos marcos extienden la homología persistente clásica y han generado un interés significativo, impulsando avances tanto en la investigación teórica como en aplicaciones prácticas. Se han desarrollado laplacianos topológicos persistentes en varios objetos matemáticos, incluidos complejos simpliciales, complejos de banderas dirigidas, complejos de trayectorias, haces celulares, hipergrafos, hiperdígrafos y variedades diferenciables.
El Dirac persistente se construyó en varios espacios topológicos, incluidos el complejo simplicial, el complejo de trayectorias y el hipergrafo Estos nuevos enfoques amplían el alcance y la aplicabilidad del TDA.

## Aplicaciones
### Clasificación de aplicaciones

Existe más de una forma de clasificar las aplicaciones de TDA. Quizás la forma más natural sea por campo. Una lista muy incompleta de aplicaciones exitosas incluye esqueletización de datos, estudio de formas, reconstrucción de gráficos, análisis de imágenes, materiales, análisis de progresión de enfermedades, redes de sensores, análisis de señales, red cósmica, redes complejas, geometría fractal, evolución viral, propagación de contagios en redes, clasificación de bacterias mediante espectroscopia molecular, microscopía de súper resolución, imágenes hiperespectrales en fisicoquímica, teledetección, selección de características, y señales de alerta temprana de crisis financieras.
Otra forma es distinguiendo las técnicas de G. Carlsson,

### Impacto en las matemáticas

El análisis de datos topológicos y la homología persistente han tenido impactos en la teoría de Morse. La teoría de Morse ha jugado un papel muy importante en la teoría de TDA, incluso en la computación. Algunos trabajos en homología persistente han extendido los resultados sobre las funciones de Morse a funciones domesticadas o, incluso, a funciones continuas. Un resultado olvidado de R. Deheuvels mucho antes de la invención de la homología persistente extiende la teoría de Morse a todas las funciones continuas.
Un resultado reciente es que la categoría de gráficos de Reeb es equivalente a una clase particular de cohaz. Esto está motivado por el trabajo teórico en TDA, ya que el gráfico de Reeb está relacionado con la teoría de Morse y MAPPER se deriva de él. La prueba de este teorema se basa en la distancia de entrelazado.
La homología persistente está estrechamente relacionada con las secuencias espectrales. En particular, el algoritmo que lleva un complejo filtrado a su forma canónica permite un cálculo mucho más rápido de secuencias espectrales que el procedimiento estándar de cálculo. $E_{p,q}^{r}$ grupos página por página. La persistencia en zigzag puede resultar de importancia teórica para las secuencias espectrales.

### DONUT: Una base de datos de aplicaciones TDA

La base de datos de usos originales y no teóricos de la topología (DONUT) es una base de datos de artículos académicos que presentan aplicaciones prácticas del análisis de datos topológicos en diversas áreas de la ciencia. DONUT fue fundada en 2017 por Barbara Giunti, Janis Lazovskis y Bastian Rieck, y a octubre de 2023 contiene actualmente 447 artículos. DONUT apareció en la edición de noviembre de 2023 de Notices of the American Mathematical Society.