# Teorema de Van Cittert-Zernike

El teorema de van Cittert-Zernike, llamado así en honor a los físicos Pieter Hendrik van Cittert y Frits Zernike, es una fórmula de la teoría de coherencia que establece que, en ciertas condiciones, la transformada de Fourier de la función de distribución de intensidad de una fuente distante e incoherente es igual a su visibilidad interferométrica compleja. Esto implica que el frente de onda de una fuente incoherente parecerá mayoritariamente coherente a grandes distancias. Intuitivamente, esto puede entenderse considerando los frentes de onda creados por dos fuentes incoherentes, ya que si se mide el frente de onda inmediatamente delante de cualquiera de las fuentes, nuestra medición estará dominada por la fuente cercana, mientras que si realizamos la misma medición a grandes distancias de las fuentes, ambas fuentes contribuirán casi por igual al frente de onda.
Este razonamiento se puede visualizar fácilmente considerando dos patos chapoteando en el centro de un estanque en calma. Cerca del centro del estanque, la perturbación creada por los patos será muy compleja, mientras que a medida que la perturbación se propaga hacia el borde del estanque, las ondas se suavizarán y parecerán casi circulares.
El teorema de van Cittert-Zernike tiene implicaciones importantes en radioastronomía. Todas las fuentes astronómicas son espacialmente incoherentes a excepción de los púlsares y máseres, sin embargo, debido a que se observan a distancias lo suficientemente grandes como para satisfacer el teorema de van Cittert-Zernike, estos objetos exhiben un grado de coherencia no nulo en diferentes puntos del plano de imagen. Al medir el grado de coherencia en diferentes puntos del plano de imagen (esto es, la visibilidad) de un objeto astronómico, se puede reconstruir la distribución del brillo de la fuente.

## Formulación del teorema

Considérense un plano fuente y un plano de observación, paralelos, muy distantes y ambos perpendiculares a la línea de visión. Si $\Gamma _{12}(u,v,0)$ es el grado de coherencia mutua entre dos puntos en el plano de observación, entonces
    $\Gamma _{12}(u,v,0)=\iint I(l,m)e^{-2\pi i(ul+vm)}\,dl\,dm,$
dónde $l$ y $m$ son los cosenos directores de un punto en el plano fuente, $u$ y $v$ son las coordenadas cartesianas entre los dos puntos del plano de observación en unidades de longitud de onda e $I$ es la intensidad de la fuente. Este teorema fue derivado por primera vez por Pieter Hendrik van Citterten 1934, mientras que una demostración más simple fue formulada por Frits Zernike en 1938.

## Grado de coherencia de primer orden

El grado de coherencia (o función de correlación) de primer orden para un campo eléctrico $E(t)$ medido en dos puntos en un plano de observación denotados por 1 y 2 viene dada por
    $\Gamma _{12}(\tau )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}E_{1}(t)E_{2}^{*}(t-\tau )dt,$
dónde $\tau$ es el desfase temporal entre la medición de $E(t)$ en 1 y 2. El grado de coherencia puede considerarse como la correlación cruzada promediada en el tiempo entre los campos eléctricos en los dos puntos separados en el tiempo por $\tau$. Si observamos dos fuentes completamente incoherentes, estas interferirán tanto constructiva como destructivamente y deberíamos esperar que el grado de coherencia mutuo sea relativamente pequeño entre nuestros dos puntos aleatorios en el plano de observación. No obstante, lejos de las fuentes, la función de coherencia mutua será relativamente grande porque la suma de los campos observados será casi la misma en cualesquiera dos puntos.
Si se normaliza el grado de coherencia respecto al producto de las raíces cuadradas de las intensidades de los dos campos eléctricos, llegamos al llamado grado complejo de coherencia de segundo orden :
    $\gamma _{12}(\tau )={\frac {\Gamma _{12}(\tau )}{{\sqrt {I_{1}}}{\sqrt {I_{2}}}}}.$

## Demostración del teorema

Sean $XY$ y $xy$ las coordenadas cartesianas del plano fuente y del plano de observación, respectivamente. Supongamos que el campo eléctrico debido a un punto de la fuente del plano fuente se mide en dos puntos, $P_{1}$ y $P_{2}$ pertenecientes al plano de observación. La posición de un punto en la fuente queda completamente determinada por sus cosenos directores, $l$ y $m$. Ya que el punto fuente es muy distante, la dirección respecto a $P_{1}$ será la misma que respecto a $P_{2}$. El campo eléctrico medido en $P_{1}$ puede entonces escribirse usando fasores:
    $E_{1}(l,m,t)=A\left(l,m,t-{\frac {R_{1}}{c}}\right){\frac {e^{-i\omega \left(t-{\frac {R_{1}}{c}}\right)}}{R_{1}}},$
dónde $R_{1}$ es la distancia desde la fuente hasta $P_{1}$, $\omega$ es la frecuencia angular de la luz, y $A$ es la amplitud compleja del campo eléctrico. De manera similar, el campo eléctrico medido en $P_{2}$ se puede escribir como
    $E_{2}(l,m,t)=A\left(l,m,t-{\frac {R_{2}}{c}}\right){\frac {e^{-i\omega \left(t-{\frac {R_{2}}{c}}\right)}}{R_{2}}}.$
Ahora, calculamos la correlación promediada en el tiempo entre el campo eléctrico en $P_{1}$ y $P_{2}$:
    ${\begin{aligned}{\big \langle }E_{1}(l,m,t)E_{2}^{*}(l,m,t){\big \rangle }={\Bigg \langle }A\left(l,m,t-{\frac {R_{1}}{c}}\right)A^{*}\left(l,m,t-{\frac {R_{2}}{c}}\right){\Bigg \rangle }\\\times {\frac {e^{i\omega {\frac {R_{1}}{c}}}}{R_{1}}}\times {\frac {e^{-i\omega {\frac {R_{2}}{c}}}}{R_{2}}}\end{aligned}}$
Ya que los corchetes denotan promedio temporal, se puede añadir al término temporal de ambas amplitudes un desplazamiento arbitrario (el mismo a ambos), por tanto sumamos ${\frac {R_{1}}{c}}$ a ambos. De este modeo, la correlación cruzada promediada en el tiempo del campo eléctrico en los dos puntos se simplifica a
    ${\big \langle }E_{1}(l,m,t)E_{2}^{*}(l,m,t){\big \rangle }={\Bigg \langle }A(l,m,t)A^{*}\left(l,m,t-{\frac {R_{2}-R_{1}}{c}}\right){\Bigg \rangle }\times {\frac {e^{i\omega \left({\frac {R_{1}-R_{2}}{c}}\right)}}{R_{1}R_{2}}}.$
Como la fuente es distante, podemos tomar la aproximación de campo lejano, de forma que la diferencia entre $R_{1}$ y $R_{2}$ será pequeña en comparación con la distancia que recorre la luz en el tiempo $t$. Es por ello que este término se puede ignorar, simplificando aún más la expresión para la correlación cruzada del campo eléctrico en $P_{1}$ y $P_{2}$ a
    $\langle E_{1}(l,m,t)E_{2}^{*}(l,m,t)\rangle =\langle A(l,m,t)A^{*}(l,m,t)\rangle \times {\frac {e^{i\omega \left({\frac {R_{1}-R_{2}}{c}}\right)}}{R_{1}R_{2}}}.$
Ahora, $\langle A(l,m,t)A^{*}(l,m,t)\rangle$ es la intensidad de la fuente en un punto particular, $I(l,m)$, por tanto la expresión para la correlación cruzada se simplifica a
    $\langle E_{1}(l,m,t)E_{2}^{*}(l,m,t)\rangle =I(l,m){\frac {e^{i\omega \left({\frac {R_{1}-R_{2}}{c}}\right)}}{R_{1}R_{2}}}.$
Para calcular lel grado de coherencia mutuo a partir de esta expresión, integramos sobre toda la fuente.
    $\Gamma _{12}(u,v,0)=\iint _{\textrm {fuente}}I(l,m){\frac {e^{i\omega \left({\frac {R_{1}-R_{2}}{c}}\right)}}{R_{1}R_{2}}}\,dS.$
Nótese que los términos cruzados de la forma $\langle A_{1}(l,m,t)A_{2}^{*}(l,m,t)\rangle$ no se incluyen ya que se supone una fuente incoherente, de manera que su correlación promediada en el tiempo será cero.
A continuación, reescribamos el $R_{2}-R_{1}$ usando $u,v,l$ y $m$ . Para ello, notemos $P_{1}=(x_{1},y_{1})$ y $P_{2}=(x_{2},y_{2})$, de manera que
    $R_{1}={\sqrt {R^{2}+x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}\,,$
    $R_{2}={\sqrt {R^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\,,$
dónde $R$ es la distancia entre el centro del plano de observación al centro de la fuente. La diferencia entre $R_{1}$ y $R_{2}$ es, consecuentemente
    $R_{2}-R_{1}=R{\sqrt {1+{\frac {x_{2}^{2}}{R^{2}}}+{\frac {y_{2}^{2}}{R^{2}}}}}-R{\sqrt {1+{\frac {x_{1}^{2}}{R^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{R^{2}}}}}.$
No obstante, como $x_{1},x_{2},y_{1}$ y $y_{2}$ son mucho menores que $R$, podemos desarrollar en serie de Taylor las raíces cuadradas, obteniéndose, en primer orden,
    $R_{2}-R_{1}=R\left(1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}{R^{2}}}\right)\right)-R\left(1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}{R^{2}}}\right)\right),$
expresión que, tras un poco de álgebra, podemos simplificar a
    $R_{2}-R_{1}={\frac {1}{2R}}\left((x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})+(y_{2}-y_{1})(y_{2}+y_{1})\right).$
Ahora bien, ${\frac {1}{2}}(x_{2}+x_{1})$ es el punto medio a lo largo del eje $x$ entre $P_{1}$ y $P_{2}$, entonces ${\frac {1}{2R}}(x_{2}+x_{1})=l$, uno de los cosenos directores de las fuentes. De manera similar, se tiene $m={\frac {1}{2R}}(y_{2}+y_{1})$. Además, ya que $u$ se define como el número de longitudes de onda a lo largo del eje $x$ entre $P_{1}$ y $P_{2}$, se tiene
    $u={\frac {\omega }{2\pi c}}(x_{1}-x_{2}).$
De manera siminar, $v$ es el número de longitudes de onda entre $P_{1}$ y $P_{2}$ A lo largo del eje $y$, por tanto
    $v={\frac {\omega }{2\pi c}}(y_{1}-y_{2}).$
Juntando estos dos términos, se llega a
    $R_{2}-R_{1}={\frac {2\pi c}{\omega }}(ul+vm).$
Ya que $x_{1},x_{2},y_{1},$ y $y_{2}$ son todos mucho menos que $R$, tenemos que $R_{1}\simeq R_{2}\simeq R$ . El diferencial de área, $dS$, puede escribirse como $R^{2}\,dl\,dm$. Juntando todas estas contribuciones, el grado de coherencia
    $\Gamma _{12}(u,v,0)=\iint _{\textrm {fuente}}I(l,m)e^{-{\frac {i\omega }{c}}{\frac {2\pi c}{\omega }}(ul+vm)}\,dl\,dm,$
el cual se reduce a
    $\Gamma _{12}(u,v,0)=\iint _{\textrm {fuente}}I(l,m)e^{-2\pi i(ul+vm)}\,dl\,dm.$
Los límites de estas dos integrales se pueden extender para cubrir todo el plano de la fuente siempre que tomemos que la función de intensidad sobre el plano sea cero donde no haya fuente, por lo que
    $\Gamma _{12}(u,v,0)=\iint I(l,m)e^{-2\pi i(ul+vm)}\,dl\,dm.$
lo cual es la transformada de Fourier bidimensional de la función de intensidad. Esto completa la demostración

## Validez del teorema

El teorema de van Cittert-Zernike se basa en una serie de suposiciones, los cuales son ciertos para casi todas las fuentes astronómicas. Aquí se discuten los supuestos más importantes del teorema y su relevancia.

### Incoherencia de la fuente

Una fuente espacialmente coherente no obedece el teorema de van Cittert-Zernike. Para ver por qué es así, supongamos que observamos una fuente que consta de dos puntos, $a$ y $b$ . Calculemos la función de coherencia mutua entre $P_{1}$ y $P_{2}$ en el plano de observación. Usando el principio de superposición, el campo eléctrico en $P_{1}$ es
    $E_{1}=E_{a1}+E_{b1},$
mientras que en $P_{2}$ es
    $E_{2}=E_{a2}+E_{b2}.$
De esta manera, el grado de coherencia mutuo es
    $\langle E_{1}(t)E_{2}^{*}(t-\tau )\rangle =\langle (E_{a1}(t)+E_{b1}(t))(E_{a2}^{*}(t-\tau )+E_{b2}^{*}(t-\tau ))\rangle ,$
lo cual se convierte en
    $\langle E_{1}(t)E_{2}^{*}(t-\tau )\rangle =\langle E_{a1}(t)E_{a2}^{*}(t-\tau )\rangle +\langle E_{a1}(t)E_{b2}^{*}(t-\tau )\rangle +\langle E_{b1}(t)E_{a2}^{*}(t-\tau )\rangle +\langle E_{b1}(t)E_{b2}^{*}(t-\tau )\rangle .$
Si los puntos $a$ y $b$ son coherentes, entonces los términos cruzados en la ecuación anterior no son nulos. Es por ello que, cuando calculamos la función de coherencia mutua para una fuente coherente extendida, no se puede simplemente integrar sobre la función de intensidad de la fuente ya que la presencia de términos cruzados distintos de cero no resulta en la forma simple del grado de coherencia.
Esta suposición es válida para la mayoría de las fuentes astronómicas. Los púlsares y máseres son las únicas fuentes astronómicas que muestran coherencia.

### Distancia a la fuente

En la demostración del teorema suponemos que $R\gg x_{1}-x_{2}$ y $R\gg y_{1}-y_{2}$, es decir, asumimos que la distancia a la fuente es mucho mayor que el tamaño del área de observación. Más precisamente, el teorema de van Cittert-Zernike requiere que observemos la fuente en el llamado campo lejano. Por lo tanto, si $D$ es el tamaño característico del área de observación (por ejemplo, en el caso de un radiotelescopio de dos platos, la longitud de la línea de base entre los dos telescopios) entonces
    $R\gg {\frac {D^{2}}{\lambda }}.$

### Tamaño angular de la fuente

En la derivación del teorema de van Cittert-Zernike escribimos los cosenos directores $l$ y $m$ como ${\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{2})/R$ y ${\frac {1}{2}}(y_{1}+y_{2})/R$ . Sin embargo, hay un tercer coseno director que se desprecia ya que $R\gg {\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{2})$ y $R\gg {\frac {1}{2}}(y_{1}+y_{2})$ ya que bajo las suposiciones hechas, este está muy cerca de 1. No obstante, si la fuente tiene una gran extensión angular, no podemos despreciar el tercer coseno director y el teorema de van Cittert-Zernike ya no se cumple.
Dado que la mayoría de las fuentes astronómicas subtienden ángulos muy pequeños en el cielo (normalmente mucho menores a un grado), esta suposición del teorema se cumple fácilmente en el ámbito de la radioastronomía.

### Ondas cuasi-monocromáticas

El teorema de van Cittert-Zernike supone que la fuente es cuasi monocromática. Es decir, si la fuente emite luz en un rango de frecuencias, $\Delta \nu$, con frecuencia media $\nu$, entonces satisface
    ${\frac {\Delta \nu }{\nu }}\lesssim 1.$
Además, el ancho de banda debe ser lo suficientemente estrecho como para que
    ${\frac {\Delta \nu }{\nu }}\ll {\frac {1}{lu}}.$
dónde $l$ es nuevamente el coseno direccional que indica el tamaño de la fuente y $u$ es el número de longitudes de onda entre un extremo de la apertura y el otro. Sin esta suposición, no se cumple $(R_{2}-R_{1})/c\ll t$, por tanto no se puede despreciar el término $(R_{2}-R_{1})/c$.
Este requisito implica que en radioastronomía, se debe restringir las señales a través de un filtro paso banda.

### Fuentes bidimensionales

Suponemos que nuestra fuente se encuentra en un plano bidimensional. En realidad, las fuentes son tridimensionales. Sin embargo, debido a que están en el campo lejano, su distribución angular no cambia con la distancia. Por lo tanto, cuando medimos una fuente astronómica, su estructura tridimensional se proyecta sobre un plano bidimensional. Esto significa que el teorema de van Cittert-Zernike puede aplicarse a mediciones de fuentes astronómicas, pero no podemos determinar la estructura a lo largo de la línea de visión con dichas mediciones.

### Homogeneidad del medio

El teorema de van Cittert-Zernike supone que el medio entre la fuente y el plano de imagen es homogéneo. Si el medio no es homogéneo, la luz de una región de la fuente se refractará de con respecto a otras regiones de la fuente debido a la diferencia en el tiempo que tarda la luz en recorrer cada medio. En el caso de un medio heterogéneo se debe utilizar una generalización del teorema de van Cittert-Zernike, llamada fórmula de Hopkins.
Debido a que el frente de onda no pasa a través de un medio perfectamente uniforme a medida que viaja a través del medio interestelar (y posiblemente intergaláctico ) y hacia la atmósfera de la Tierra, el teorema de van Cittert-Zernike no es exactamente cierto para las fuentes astronómicas. En la práctica, sin embargo, las variaciones en el índice de refracción de los medios interestelares e intergalácticos y de la atmósfera de la Tierra son lo suficientemente pequeñas como para que el teorema sea aproximadamente cierto dentro de cualquier error experimental razonable. Estas variaciones en el índice de refracción del medio sólo dan lugar a ligeras perturbaciones respecto del caso de un frente de onda que viaja a través de un medio homogéneo.

## Fórmula de Hopkins

Supongamos que tenemos una situación idéntica a la considerada cuando se derivó el teorema de van Cittert-Zernike, excepto que ahora el medio es heterogéneo, por tanto se introduce la función de transmisión del medio, $K(l,m,P,\nu )$. Siguiendo una derivación similar a la anterior, se llega a
    $\Gamma _{12}(l,m,0)=\lambda ^{2}\iint I(l,m)K(l,m,P_{1},\nu )K^{*}(l,m,P_{2},\nu )\,dS.$
Si definimos
    $U(l,m,P_{1})\equiv i\lambda K(l,m,P_{1},\nu ){\sqrt {I(l,m)}},$
entonces el grado de coherencia mutuo es
    $\Gamma _{12}(l,m,0)=\iint U(l,m,P_{1})U^{*}(l,m,P_{2})\,dS,$
lo cual eses la generalización de Hopkins del teorema de van Cittert-Zernike. En el caso especial de un medio homogéneo, la función de transmisión se convierte en
    $K(l,m,P,\nu )=-{\frac {ie^{ikR}}{\lambda R}},$
en cuyo caso la función de coherencia mutua se reduce a la transformada de Fourier de la distribución de brillo de la fuente. La principal ventaja de la fórmula de Hopkins es que se puede calcular la función de coherencia mutua de una fuente indirectamente midiendo su distribución de brillo.

## Aplicaciones del teorema
### Síntesis de apertura

El teorema de van Cittert-Zernike es crucial para la medición de la distribución del brillo de una fuente. Con dos telescopios, un radioastrónomo (o un astrónomo infrarrojo o submilimétrico) puede medir la correlación entre el campo eléctrico en las dos antenas debido a algún punto de la fuente. Midiendo esta correlación para muchos puntos de la fuente, el astrónomo puede reconstruir la función de visibilidad de la fuente. Aplicando el teorema de van Cittert-Zernike, el astrónomo puede entonces realizar la transformada de Fourier inversa de la función de visibilidad para descubrir la distribución del brillo de la fuente. Esta técnica se conoce como síntesis de apertura.
En la práctica, en radioastronomía rara vez se recupera la distribución de brillo de una fuente tomando directamente la transformada de Fourier inversa de una función de visibilidad medida. Un proceso de este tipo requeriría un número suficiente de muestras para satisfacer el teorema de muestreo de Nyquist; esto supone muchas más observaciones de las que se necesitan para reconstruir aproximadamente la distribución del brillo de la fuente. Es por ello que los astrónomos aprovechan las limitaciones físicas en la distribución del brillo de las fuentes astronómicas para reducir el número de observaciones que deben realizar. Debido a que la distribución del brillo debe ser real y positiva en todas partes, la función de visibilidad no puede tomar valores arbitrarios en regiones no muestreadas. Por lo tanto, se puede utilizar un algoritmo de deconvolución no lineal como CLEAN o Maximum Entropy para reconstruir aproximadamente la distribución de brillo de la fuente a partir de un número limitado de observaciones.

### Óptica adaptativa

El teorema de van Cittert-Zernike también impone restricciones a la sensibilidad de un sistema de óptica adaptativa. En un sistema de óptica adaptativa (OA), se proporciona un frente de onda distorsionado y debe transformarse en un frente de onda libre de distorsión. Un sistema de OA debe realizar una serie de correcciones diferentes para eliminar las distorsiones del frente de onda. Una de esas correcciones consiste en dividir el frente de onda en dos frentes de onda idénticos y desplazar uno de ellos una cierta distancia física $s$ en el plano del frente de onda. Los dos frentes de onda son superpuestos, creando un patrón de franjas. Al medir el tamaño y la separación de las franjas, el sistema de OA puede determinar diferencias de fase a lo largo del frente de onda.
La sensibilidad de esta técnica está limitada por el teorema de van Cittert-Zernike. Si se obtiene una imagen de una fuente extendida, el contraste entre las franjas se reducirá en un factor proporcional a la transformada de Fourier de la distribución de brillo de la fuente. El teorema de van Cittert-Zernike implica que la coherencia mutua de una fuente extendida captada por un sistema de OA será la transformada de Fourier de su distribución de brillo. De esta manera, una fuente extendida cambiará la coherencia mutua de las franjas, reduciendo su contraste.

### Láser de electrones libres

El teorema de van Cittert-Zernike se puede utilizar para calcular la coherencia espacial parcial de la radiación de un láser de electrones libres.