# Ecuación de Ritz

La teoría balística de Ritz fue propuesta en 1908 por el físico suizo Walther Ritz, cuando se publicó "Recherches critiques sur l'Électrodynamique générale", una extensa crítica de la teoría electromagnética de Maxwell-Lorentz en la que sostenía que la conexión de la teoría con el éter (véase teoría del éter de Lorentz) hacía "esencialmente inapropiada la expresión de las leyes integrales de la propagación de las acciones electrodinámicas".
Ritz propuso una nueva ecuación, derivada de los principios de la teoría balística de las ondas electromagnéticas, una teoría que competía con la teoría de la relatividad especial. La ecuación relaciona la fuerza entre dos partículas cargadas con separación radial r, velocidad relativa v y aceleración relativa a, donde k es un parámetro indeterminado de la forma general de la ley de la fuerza de Ampère propuesta por Maxwell. La ecuación obedece la tercera ley de Newton y forma la base de la electrodinámica de Ritz:
    $\mathbf {F} ={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\left[\left[1+{\frac {3-k}{4}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}-{\frac {3(1-k)}{4}}\left({\frac {\mathbf {v\cdot r} }{c^{2}}}\right)^{2}-{\frac {r}{2c^{2}}}(\mathbf {a\cdot r} )\right]{\frac {\mathbf {r} }{r}}-{\frac {k+1}{2c^{2}}}(\mathbf {v\cdot r} )\mathbf {v} -{\frac {r}{c^{2}}}(\mathbf {a} )\right]$

## Deducción de la ecuación de Ritz

Bajo el supuesto de una teoría de emisión, la fuerza que actúa entre dos cargas en movimiento debería depender de la densidad de las partículas mensajeras emitidas por las cargas ($D$), la distancia radial entre las cargas (ρ), la velocidad de la emisión relativa al receptor, ($U_{x}$ y $U_{r}$ para las componentes x y r, respectivamente), y la aceleración de las partículas entre sí ($a_{x}$). Esto genera una ecuación de la forma:
       $F_{x}=eD\left[A_{1}cos(\rho x)+B_{1}{\frac {U_{x}U_{r}}{c^{2}}}+C_{1}{\frac {\rho a_{x}}{c^{2}}}\right]$.
donde los coeficientes $A_{1}$, $B_{1}$ y $C_{1}$ son independientes del sistema de coordenadas y son funciones de $u^{2}/c^{2}$ y $u_{\rho }^{2}/c^{2}$. Las coordenadas estacionarias del observador se relacionan con el marco móvil de la carga de la siguiente manera:
       $X+x(t')=X'+x'(t')-(t-t')v'_{x}$
Desarrollando los términos en la ecuación de fuerza, se tiene que la densidad de partículas está dada por:
       $D\alpha {\frac {dt'e'dS}{\rho ^{2}}}=-{\frac {e'\partial \rho }{c\rho ^{2}\partial n}}dSdn$
El plano tangente de la capa de partículas emitidas en la coordenada estacionaria viene dado por el jacobiano de la transformación de $X'$ a $X$:
       ${\frac {\partial \rho }{\partial n}}={\frac {\partial (XYZ)}{\partial (X'Y'Z')}}={\frac {ae'}{\rho ^{2}}}\left(1+{\frac {\rho a'_{\rho }}{c^{2}}}\right)$
También se pueden desarrollar expresiones para el radio $\rho$ y la velocidad $U_{\rho }<\rho >$ utilizando la expansión en series de Taylor
       $\rho =r\left(1+{\frac {ra'_{r}}{c^{2}}}\right)^{1/2}$
       $\rho _{x}=r_{x}+{\frac {r^{2}a'_{x}}{2c^{2}}}$
       $U_{\rho }=v_{r}-v'_{r}+{\frac {ra'_{r}}{c}}$
Con estas sustituciones, la ecuación de fuerza ahora es
       $F_{x}={\frac {ee'}{r^{2}}}\left(1+{\frac {ra'_{r}}{c^{2}}}\right)\left[Acos(rx)\left(1-{\frac {3ra'_{r}}{2c^{2}}}\right)+A\left({\frac {ra'_{x}}{2c^{2}}}\right)-B\left({\frac {u_{x}u_{r}}{c^{2}}}\right)-C\left({\frac {ra'_{x}}{c^{2}}}\right)\right]$
A continuación se desarrollan las representaciones en serie de los coeficientes
       $A=\alpha _{0}+\alpha _{1}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}+\alpha _{2}{\frac {u_{r}^{2}}{c^{2}}}+...$
       $B=\beta _{0}+\beta _{1}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}+\beta _{2}{\frac {u_{r}^{2}}{c^{2}}}+...$
       $C=\gamma _{0}+\gamma _{1}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}+\gamma _{2}{\frac {u_{r}^{2}}{c^{2}}}+...$
Con estas sustituciones, la ecuación de fuerza se convierte en
       $F_{x}={\frac {ee'}{r^{2}}}\left[\left(\alpha _{0}+\alpha _{1}{\frac {u_{x}^{2}}{c^{2}}}+\alpha _{2}{\frac {u_{r}^{2}}{c^{2}}}\right)cos(rx)-\beta _{0}{\frac {u_{x}u_{r}}{c^{2}}}-\alpha _{0}{\frac {ra'_{r}}{2c^{2}}}+\left({\frac {ra'_{x}}{2c^{2}}}\right)(\alpha _{0}-2\gamma _{0})\right]$
Dado que la ecuación debe reducirse a la ley de fuerza de Coulomb cuando las velocidades relativas son cero, inmediatamente se sabe que $\alpha _{0}=1$. Además, para obtener la expresión correcta de la masa electromagnética, se puede deducir que $2\gamma _{0}-1=1$ o $\gamma _{0}=1$.
Para determinar los otros coeficientes, se considera la fuerza en un circuito lineal usando la expresión de Ritz y se comparan los términos con la ley de la fuerza de Ampère. La segunda derivada de la ecuación de Ritz es
       $d^{2}F_{x}=\sum _{i,j}{\frac {de_{i}de_{j}'}{r^{2}}}\left[\left(1+\alpha _{1}{\frac {u_{x}^{2}}{c^{2}}}+\alpha _{2}{\frac {u_{r}^{2}}{c^{2}}}\right)cos(rx)-\beta _{0}{\frac {u_{x}u_{r}}{c^{2}}}-\alpha _{0}{\frac {ra'_{r}}{2c^{2}}}+{\frac {ra'_{x}}{2c^{2}}}\right]$
Considérese el diagrama de la derecha y obsérvese que $dqv=Idl$,
    $\sum _{i,j}de_{i}de_{j}'=0$
    $\sum _{i,j}de_{i}de_{j}'u_{x}^{2}=-2dqdq'w_{x}w'_{x}$
                   $=-2II'dsds'cos\epsilon$
    $\sum _{i,j}de_{i}de_{j}'u_{r}^{2}=-2dqdq'w_{r}w'_{r}$
                   $=-2II'dsds'cos(rds)cos(rds)$
    $\sum _{i,j}de_{i}de_{j}'u_{x}u_{r}=-dqdq'(w_{x}w'_{r}+w'_{x}w_{r})$
                   $=-II'dsds'\left[cos(xds)cos(rds)+cos(rds)cos(xds')\right]$
    $\sum _{i,j}de_{i}de_{j}'a'_{r}=0$
    $\sum _{i,j}de_{i}de_{j}'a'_{x}=0$
Reemplazando estas expresiones en la ecuación de Ritz, se obtiene lo siguiente
       $d^{2}F_{x}={\frac {II'dsds'}{r^{2}}}\left[\left[2\alpha _{1}cos\epsilon +2\alpha _{2}cos(rds)cos(rds')\right]cos(rx)-\beta _{0}cos(rds')cos(xds)-\beta _{0}cos(rds)cos(xds')\right]$
Comparando con la expresión original para la ley de la fuerza de Ampère
       $d^{2}F_{x}=-{\frac {II'dsds'}{2r^{2}}}\left[\left[(3-k)cos\epsilon -3(1-k)cos(rds)cos(rds')\right]cos(rx)-(1+k)cos(rds')cos(xds)-(1+k)cos(rds)cos(xds')\right]$
se obtienen los coeficientes en la ecuación de Ritz
       $\alpha _{1}={\frac {3-k}{4}}$
       $\alpha _{2}=-{\frac {3(1-k)}{4}}$
       $\beta _{0}={\frac {1+k}{2}}$
y de aquí se deduce la expresión completa de la ecuación electrodinámica de Ritz con una incógnita
    $\mathbf {F} ={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\left[\left[1+{\frac {3-k}{4}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}-{\frac {3(1-k)}{4}}\left({\frac {\mathbf {v\cdot r} }{c^{2}}}\right)^{2}-{\frac {r}{2c^{2}}}(\mathbf {a\cdot r} )\right]{\frac {\mathbf {r} }{r}}-{\frac {k+1}{2c^{2}}}(\mathbf {v\cdot r} )\mathbf {v} -{\frac {r}{c^{2}}}(\mathbf {a} )\right]$
En una nota al pie al final de la sección de Ritz sobre gravedad (en la traducción al inglés), el editor dice: "Ritz usó k = 6,4 para reconciliar su fórmula (para calcular el ángulo de avance del perihelio de los planetas por siglo) con la anomalía observada para Mercurio (41"). Sin embargo, los datos recientes dan 43,1", lo que lleva a k = 7. Sustituyendo este resultado en la fórmula de Ritz se obtiene exactamente la fórmula de la relatividad general". Usando este mismo valor entero para k en la ecuación electrodinámica de Ritz se obtiene:
    $\mathbf {F} ={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\left[\left[1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}+4.5\left({\frac {\mathbf {v\cdot r} }{c^{2}}}\right)^{2}-{\frac {r}{2c^{2}}}(\mathbf {a\cdot r} )\right]{\frac {\mathbf {r} }{r}}-{\frac {4}{c^{2}}}(\mathbf {v\cdot r} )\mathbf {v} -{\frac {r}{c^{2}}}(\mathbf {a} )\right]$