# Logaritmo de una matriz

En matemática, en particular en análisis, el logaritmo de una matriz es otra matriz tal que su matriz exponencial asociada sea igual a la matriz inicial. Esto corresponde por lo tanto a una generalización de la función escalar del logaritmo y en cierto sentido es la función inversa de la exponenciación de matrices. No todas las matrices poseen un logaritmo e incluso pueden llegar a tener más de un logaritmo asociado, de modo que definir la función logaritmo para matrices debe realizarse con cuidado.
El estudio del logaritmo de matrices conlleva a la Teoría de Lie puesto que cuando una matriz posee un logaritmo entonces ésta es un elemento del Grupo de Lie y su logaritmo es el elemento correspondiente del espacio vectorial del Álgebra de Lie.

## Definición

Una matriz $B$ es un logaritmo de la matriz $A$ si la exponencial de $B$ es $A$, esto es:
${\rm {e}}^{B}=A.$

### Observaciones

* El logaritmo de una matriz puede ser una matriz compleja aún si todos sus elementos son números reales, si alguno de ellos es negativo.
* En cualquier caso, el logaritmo de una matriz $B$ no es único, es decir existe más de una matriz compleja $A$ tal que $\exp(A)=B$.

## Existencia del logaritmo

En el caso de los complejos, la matriz $A$ posee un logaritmo si y solo si es invertible. Este logaritmo no es único, pero si $A$ no tiene valores propios reales negativos, ella tiene un único logaritmo cuyos valores propios se encuentran todos en la banda del plano complejo definido por $\{z\in \mathbb {C} ;\,\,-\pi <{\text{Im}}(z)<\pi \}$; a este logaritmo le llamamos "logatirmo principal".
Si nos limitamos ahora a las matrices de coeficientes reales, tenemos un criterio más complicado: una matriz real admite un logaritmo real si y solo si ella es invertible y si cada bloque de Jordan corresponde a un valor propio real negativo aparece un número par de veces (En caso contrario, la matriz solamente tendrá logaritmos complejos).

## Propiedades

Si $A$ y $B$ son dos matrices definidas positivas tales que $AB=BA$, entonces, para dos logaritmos cualesquiera $A$ y $B$, notados como $\ln(A)$ y $\ln(B)$, tenemos $AB={\rm {e}}^{\ln(A)+\ln(B)}$.
Para toda matriz invertible $A$ y elección de logaritmo $\ln(A)$, se tiene que $A^{-1}={\rm {e}}^{-\ln(A)}$.

## Cálculo de logaritmos
### Matrices diagonalizables

Si D es una matriz matriz diagonal (invertible), su logaritmo se obtiene tomando la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los logaritmos de aquellos de D (si todos los coeficientes de D son reales positivos, existe un único logaritmo (con coeficientes reales)).
Más generalmente, si $A$ es una matriz diagonalizable (invertible), podemos por definición escribir $A=PDP^{-1}$, donde $D$ es una matriz diagonal y donde $P$ es la matriz de cambio de base correspondiente a una base de vectores de vectores propios de $A$; llamando entonces a $L$ como un logaritmo de $D$, verificamos fácilmente (ver «matriz exponencial») que $\exp(PLP^{-1})=P\exp(L)P^{-1}=A$, y entonces tenemos que $PLP^{-1}$ es un logaritmo de $A$.

### Matrices no diagonalizables

El resultado expuesto anteriormente no se puede aplicar a matrices no diagonalizables tales como ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$. Poniendo una matriz como ésta bajo la forma normal de Jordan, podemos entonces calcular el logaritmo de los bloques de Jordan. Recordando que estos bloques tienen la forma:
$B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)$,
donde $K$ es una matriz nilpotente (triangular superior y de diagonal nula), el escalar $\lambda$ no nulo si hemos supuesto a la matriz invertible. Utilizando el desarrollo en serie $\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots$, sabemos que en el sentido de las series formales de potencias se tiene que $\exp(\ln(1+x))=1+x$, y de este modo (dado que las matrices de las potencias conmutan entre ellas) se tiene también que $\exp(\ln(I+K))=I+K$ en caso de que la serie sea convergente para una matriz $K$ dada. Haciendo el cálculo entonces
    $L=\ln B=\ln {\big\lambda (I+K){\big )}=\ln(\lambda I)+\ln(I+K)=(\ln \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots ,$
la serie es evidentemente convergente, dado que siendo $K$ nilpotente, ella no tiene que un número finito de términos (existe $n\in \mathbb {N}$ tal que $K^{m}=0$ para todo $m\geq n$); se concluye entonces que $L$ es efectivamente un logaritmo de $B$ (siempre y cuando se asuma invertible para que $\lambda$).
De este modo tenemos por ejemplo que:
    $\ln {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$