# Medida progrediente

En teoría de la medida, una medida progrediente (también conocida como medida pushforward o medida de imagen) se obtiene transfiriendo (pushing forward "empujando hacia adelante") una medida de un espacio medible a otro utilizando una función medible.

## Definición

Dados dos espacios medibles $(X_{1},\Sigma _{1})$ y $(X_{2},\Sigma _{2})$, una aplicación medible $f\colon X_{1}\to X_{2}$ y una medida $\mu \colon \Sigma _{1}\to [0,+\infty ]$, el pushforward ('progresión') de $\mu$ se define como la medida $f_{*}(\mu )\colon \Sigma _{2}\to [0,+\infty ]$ dada por
    $f_{*}(\mu )(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right)$ for $B\in \Sigma _{2}.$
Esta definición se aplica a «mutatis mutandis» para una medida signada o medida compleja.
La medida progrediente también se denota como $\mu \circ f^{-1}$, $f_{\sharp }\mu$, $f\sharp \mu$, o $f\#\mu$.

## Propiedad principal: fórmula de cambio de variables

Teorema: Una función medible g en X$_2$ es integrable con respecto a la medida progrediente f$_∗$(μ) si y solo si la composición $g\circ f$ es integrable con respecto a la medida μ. En ese caso, las integrales coinciden, es decir,
    $\int _{X_{2}}g\,d(f_{*}\mu )=\int _{X_{1}}g\circ f\,d\mu .$
Téngase en cuenta que en la fórmula anterior $X_{1}=f^{-1}(X_{2})$.

## Ejemplos y aplicaciones

* Una "medida de Lebesgue" natural en el círculo unitario S$^1$ (aquí considerado como un subconjunto del plano complejo C) puede definirse usando una construcción push-forward y una medida de Lebesgue λ en la recta real R. Sea λ también denotar la restricción de la medida de Lebesgue al intervalo [0, 2π) y sea f : [ 0, 2π) → S$^1$ ser la biyección natural definida por f(t) = exp(i t). La "medida de Lebesgue" natural sobre S$^1$ es entonces la medida push-forward f$_∗$(λ). La medida f$_∗$(λ) también podría llamarse "longitud de arco medida" o "medida de ángulo", ya que la medida f$_∗$(λ)-medida de un arco en S$^1$ es precisamente su longitud de arco (o, equivalentemente, el ángulo que subtiende en el centro del círculo).
* El ejemplo anterior se extiende muy bien para dar una "medida de Lebesgue" natural en el toro n-dimensional toro T$^n$. El ejemplo anterior es un caso especial, ya que S$^1$ = T'$^1$. Esta medida de Lebesgue sobre T$^n$ es, hasta la normalización, la medida de Haar para el compacto, conectado grupo de Lie T$^n$.
* Medida gaussiana en espacios vectoriales de dimensión infinita se definen usando el empuje hacia adelante y la medida gaussiana estándar en la línea real: una medida de Borel γ en un separable espacio de Banach X se llama gaussiana si su progresión hacia adelante de γ por cualquier funcional lineal distinta de cero en el espacio dual continuo a X es una medida gaussiana en $\mathbb {R}$.
* Considere una función medible $f:X\to X$ y la composición de $f$ con ella misma $n$ veces:
       $f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n\mathrm {\,times} }:X\to X.$
    Esta función iterada forma un sistema dinámico. A menudo es de interés en el estudio de tales sistemas encontrar una medida μ en X que el mapa f deja sin cambios, una llamada medida invariante, es decir, una para la cual f$_∗$(μ) = μ.
* También se puede considerar medida cuasi-invariantes para tal sistema dinámico: una medida $\mu$ en $(X,\Sigma )$ se llama quasi-invariant under $f$ si el empuje hacia adelante de $\mu$ por $f$ es simplemente equivalente a la medida original μ , no necesariamente igual a ella. Un par de medidas $\mu ,\nu$ en el mismo espacio son equivalentes si y solo si $\forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff \nu (A)=0$, por lo que $\mu$ es cuasi-invariante bajo $f$ si $\forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff f_{*}\mu (A)=\mu {\bigf^{-1}(A){\big )}=0$
* Muchas distribuciones de probabilidad natural, como la distribución ji cuadrado, se pueden obtener a través de esta construcción.
* Las variables aleatorias inducen medidas pushforward. Mapean un espacio de probabilidad en un espacio de codominio y dotan a ese espacio con una medida de probabilidad definida por el empuje hacia adelante. Además, debido a que las variables aleatorias son funciones (y por lo tanto funciones totales), la imagen inversa de todo el codominio es todo el dominio, y la medida de todo el dominio es 1, por lo que la medida de todo el codominio es 1. Esto significa que las variables aleatorias se pueden componer ad infinitum y siempre permanecerán como variables aleatorias y dotarán a los espacios codominio de medidas de probabilidad.

## Una generalización

En general, cualquier función medible puede ser empujada hacia adelante, el empuje hacia adelante se convierte en un operador lineal, conocido como el operador de transferencia o operador de Perron-Frobenius. En espacios finitos este operador normalmente satisface los requisitos del teorema de Perron-Frobenius, y el valor propio máximo del operador corresponde a la medida invariante.
El adjunto al push-forward es el pullback; como operador en espacios de funciones en espacios medibles, es el operador de composición o operador de Koopman.