# Tangente (trigonometría)

En matemática, la tangente es una función impar y es una función periódica de periodo $\pi$ con indeterminaciones en ${\frac {\pi }{2}}+n\pi ,\;n\in \mathbb {Z}$, y además una función trascendente de variable real. Su nombre se abrevia de las dos siguientes formas: tan y tg.
       $\operatorname {tg} \;x=-\operatorname {tg} (-x)$
       $\operatorname {tg} \;x=\operatorname {tg} (\pi +x)$
En trigonometría, la tangente de un ángulo (de un triángulo rectángulo) se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:
    $\operatorname {tg} \alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {BC}{OC}}$
Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo $\alpha .$
Esta construcción permite representar el valor del tangente para ángulos no agudos.

## Semejanza

Dada la circunferencia de radio 1 y una recta r que pasa por el centro, describe un triángulo rectángulo con ángulo $\alpha$ como en la imagen, y tenemos las siguientes relaciones por semejanzas:
    $\operatorname {tg} \alpha ={\frac {CB}{AC}}={\frac {DE}{AD}}={\frac {DE}{1}}=DE$
El segmento $DE$ representa el valor de la tangente de $\alpha .$

## Identidades
### Tangente de la suma de dos ángulos

Esta identidad trigonométrica parte de la identidad de la suma de dos ángulos ya conocida para el seno y el coseno.
* Dados los ángulos $\alpha ,\theta$:
    $\operatorname {tg} \left(\alpha +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {sen}(\alpha +\theta )}{\cos(\alpha +\theta )}}$
* Reemplazando por las identidades antes mencionadas:
    $\operatorname {tg} \left(\alpha +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {sen} \alpha \cos \theta +\cos \alpha \operatorname {sen} \theta }{\cos \alpha \cos \theta -\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \theta }}$
* Dividiendo al numerador y al denominador por $\cos \alpha \cos \theta \,$:
    $\operatorname {tg} \left(\alpha +\theta \right)={\cfrac {\cfrac {\operatorname {sen} \alpha \cos \theta +\cos \alpha \operatorname {sen} \theta }{\cos \alpha \cos \theta }}{\cfrac {\cos \alpha \cos \theta -\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \theta }{\cos \alpha \cos \theta }}}$
* Separando la suma y la resta y simplificando:
    $\operatorname {tg} \left(\alpha +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \theta }{1-\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \theta }}$

### Tangente de la diferencia de dos ángulos

    $\operatorname {tg} \left(\alpha +(-\theta )\right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} (-\theta )}{1-\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} (-\theta )}}$
* Al ser una función impar, se obtiene:
    $\operatorname {tg} \left(\alpha -\theta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} \theta }{1+\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \theta }}$

#### Fórmula resumida

    $\operatorname {tg} \left(\alpha \pm \theta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \theta }{1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \theta }}$

### Tangente del ángulo doble

Partiendo de
    $\operatorname {tg} \left(\alpha +\theta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \theta }{1-\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \theta }}$
y haciendo $\alpha =\theta \,$ entonces:
    $\operatorname {tg} \left(2\alpha \right)={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$

### Tangente del ángulo triple

Conociendo la tangente del ángulo ψ, hallar la tangente de 3ψ
    $\operatorname {tg} \left(3\psi \right)={\frac {3\operatorname {tg} \psi -\operatorname {tg} ^{3}\psi }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\psi }}$

### Tangente del ángulo mitad

Se trata de hallar la tangente de la mitad de θ, conociendo los de θ:
             $\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1+\cos \theta }}$

## Derivada de la tangente

    $[\operatorname {tg} (x)]'=\sec ^{2}(x)\,$