# Principio del diamante

En matemáticas, y particularmente en teoría de conjuntos, el principio del diamante ◊ ("diamondsuit" en inglés) es un principio combinatorio introducido por Ronald Jensen en 1972, que se cumple en el universo constructible (L) y que implica la hipótesis del continuo. Jensen extrajo el principio del diamante de su prueba de que el axioma de constructibilidad (V = L) implica la existencia de un árbol de Suslin.

## Definiciones

El principio del diamante ◊ dice que existe una secuencia ◊, una familia de conjuntos A$_α$ ⊆ α para α < ω$_1$ tal que para cualquier subconjunto A de ω$_1$ el conjunto de α con A ∩ α = A$_α$ es estacionario en ω$_1$.
Existen varias formas equivalentes del principio del diamante. Uno afirma que hay una colección contable A$_α$ de subconjuntos de α para cada ordinal contable α, de modo que para cualquier subconjunto A de ω$_1$ hay un subconjunto estacionario C de ω$_1$ de modo que para todos los α en C se tiene que A ∩ α ∈ A$_α$ y C ∩ α ∈ A$_α$. Otra forma equivalente establece que existen conjuntos A$_α$ ⊆ α para α < ω$_1$ tales que para cualquier subconjunto A de ω$_1$ hay al menos un α infinito con A ∩ α = A$_α$.
De manera más general, para un cardinal κ dado y un conjunto estacionario S ⊆ κ, la declaración ◊$_S$ (a veces escrita ◊(S) o ◊$_κ$(S)) es la declaración de que existe un sucesión ⟨A$_α$ : α ∈ S⟩ tal que
* Cada A$_α$ ⊆ α
* Para cada A ⊆ κ, {α ∈ S : A ∩ α = A$_α$} es estacionario en κ
El principio ◊$_{ω1}$ es el mismo que ◊.
El principio del diamante plus ◊$^+$ establece que existe una secuencia ◊$^+$, en otras palabras, una colección numerable A$_α$ de subconjuntos de α para cada ordinal contable α tal que para cualquier subconjunto A de ω$_1$ hay un subconjunto ilimitado cerrado C de ω$_1$, de modo que para todos los α en C se tiene que A ∩ α ∈ A$_α$ y C ∩ α ∈ A$_α$.

## Propiedades y uso

Jensen (1972) demostró que el principio del diamante ◊ implica la existencia del árbol de Suslin. También demostró que V = L implica el principio del diamante plus, que implica el principio del diamante, que a su vez implica la hipótesis del continuo (HC). En particular, el principio del diamante y el principio del diamante plus son ambos independientes de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. También ♣ + HC implica ◊, pero Shelah dio modelos de ♣ + ¬ HC, por lo que ◊ y ♣ no son equivalentes (más bien, ♣ es más débil que ◊).
Matet demostró que el principio $\diamondsuit _{\kappa }$ es equivalente a una propiedad de las particiones de $\kappa$ con intersección diagonal de los segmentos iniciales de las particiones estacionarias en $\kappa$.
El principio del diamante ◊ no implica la existencia de un árbol de Kurepa, pero el principio ◊$^+$ más fuerte implica tanto el principio ◊ como la existencia de un árbol de Kurepa.
Akemann y Weaver (2004) usó ◊ para construir un C*-álgebra que sirviera como contraejemplo para el problema de Naimark.
Para todos los cardinales κ y conjuntos estacionarios S ⊆ κ$^+$, ◊$_S$ se mantiene en universo constructible. Shelah (2010) demostró que para κ > ℵ$_0$, ◊$_{κ+}$(S) se deriva de 2$^κ$ = κ$^+$ para S estacionario que no contiene ordinales de cofinalidad κ.
Shelah demostró que el principio del diamante resuelve el problema de Whitehead al implicar que cada grupo de Whitehead es libre.