# Prony

En música, el prony es una unidad que permite cuantificar el intervalo entre dos sonidos a partir de sus respectivas frecuencias. Recibe este nombre de su inventor, el científico francés Gaspard de Prony, quien ideó el sistema logarítmico sobre la base de la raíz duodécima de 2 elevado a la relación prony entre las dos frecuencias.

## Definición

Dados dos sonidos de frecuencias f1 y f2 (normalmente, formando parte de un acorde de dos notas musicales), el número de pronys que los separa es de:
   ${prony{(f_{2},f_{1})}}=12\ {\frac {log({\frac {f_{2}}{f_{1}}})}{log(2)}}$
De forma inversa, conocida la frecuencia de un sonido $f_{1}$, se puede calcular la frecuencia de un sonido $f_{2}$ separado del primero por un intervalo también conocido de ${prony{(f_{2},f_{1})}}$, por la expresión:
   $f_{2}=f_{1}{\sqrt[{12}]{2^{(prony(f_{2},f_{1}))}}}=f_{1}\ 2^{{(prony(f_{2},f_{1}))}/12}$
Esta definición logarítmica permite de hecho manejar los intervalos de frecuencia como magnitudes aditivas.
Por otra parte, también se define el prony como 1/2 de un tono temperado.
A su vez se define el cent como subunidad del prony, equivalente a la centésima parte de éste.

## Aplicaciones

El prony puede utilizarse como una unidad de medida absoluta de la altura musical, atribuyendo de forma arbitraria una frecuencia absoluta a un determinado valor prony. Por ejemplo, en el sistema MIDI, 69 corresponde a la frecuencia de 440.0 [Hz]; es decir, se hace corresponder 440.0 Hz a 69.0 Prony. Así se obtiene una escala aditiva continua cubriendo todas las frecuencias. Esta convención es útil en música electrónica algorítmica, facilitando la recompilación de una pieza musical a un contexto instrumental cuya altura de referencia (el diapasón) sea diferente.

### Ejemplo

    Para el caso anterior, asignar 69 a una frecuencia de 440.0 [Hz], significa que implícitamente se está eligiendo como referencia una frecuencia base $f_{b}$ más baja, que dista 69 prony de 440 [Hz]. Aplicando la fórmula inversa, se deduce esta frecuencia como:
   $f_{b}=440/2^{(69/12)}=8.17{Hz}$
    El valor prony de una frecuencia cualquiera $f$ respecto a $f_{b}$ sería:
   ${prony{(f,f_{b})}}=12\ {\frac {log({\frac {f}{440/2^{(69/12)}}})}{log(2)}}=69+12\ {\frac {log({\frac {f}{440}})}{log(2)}}$
    Es decir, para calcular el valor prony de una frecuencia cualquiera partiendo de la base arbitraria (69//440 [Hz]), basta sumarle el valor arbitrario 69 y calcular su distancia prony respecto a 440 Hz. Así, se tendría que, por ejemplo, cada vez que se duplica la frecuencia, el valor prony aumenta en 12 unidades:
   * Prony$_{(69//440)}$ (880,440) = 69 + 12 (log (880/440) / log (2)) = 81
   * Prony$_{(69//440)}$ (1760,440) = 69 + 12 (log (1760/440) / log (2)) = 93
   * Prony$_{(69//440)}$ (3520,440) = 69 + 12 (log (3520/440) / log (2)) =105
    Para valores de frecuencia inferiores a 440, la situación es la contraria, y las distancias prony se van reduciendo de 12 en 12 unidades a medida que las frecuencias se van dividiendo por 2:
   * Prony$_{(69//440)}$ (440,440) = 69 + 12 (log (440/440) / log (2)) = 69
   * Prony$_{(69//440)}$ (220,440) = 69 + 12 (log (220/440) / log (2)) = 57
   * Prony$_{(69//440)}$ (110,440) = 69 + 12 (log (110/440) / log (2)) = 45
   * Prony$_{(69//440)}$ (20,440) = 69 + 12 (log (20/440)/ log (2)) = 15.48
   * Prony$_{(69//440)}$ (8.17,440) = 69 + 12 (log (8.17/440)/ log (2)) = 0
    Se da la circunstancia añadida de que al elegir 69 como constante aditiva, se evita la necesidad de utilizar valores prony negativos (los valores de frecuencia por debajo de los 20 [Hz] normalmente no se consideran dentro del espectro audible por el oído humano).