# Forzado de Sacks

La técnica de forcing, introducida por Paul Cohen, es utilizada para generar modelos de ZFC. La técnica comienza con un modelo $V$, conocido como modelo base, después fijando un orden parcial $\mathbb {P} \in V$, conocido como forcing, que codifica las condiciones deseadas del modelo que se desea construir, entonces se fuerza con $\mathbb {P}$ sobre $V$ para obtener un modelo genérico $V[G]$.
El forcing de Sacks, denotado por $\mathbb {S}$, es uno de estos órdenes parciales. Fue introducido en 1971 por el matemático estadounidense Gerald Enoch Sacks para producir un real a con mínimo grado real de constructibilidad (minimal real degree of constructibility). También es conocido como forcing de árboles perfectos.

## Definición del forcing de Sacks

Para definir el forcing de Sacks, primero debemos definir la noción de árboles perfectos (un árbol $T$ de $2^{<\omega }$ es un conjunto de funciones finitas de $\omega$ en $2$ cerrado bajo segmentos iniciales de tal manera que para cualquier función en $T$ el conjunto de antecesoras es un orden lineal). Sea $p\subseteq 2^{<\omega }$ un árbol y $s\in p$, decimos que $s$ es un nodo de ramificación (nodo splitting) de $p$ si $s^{\smallfrown }0$, $s^{\smallfrown }1\in p$. Por otra parte $p$ es un árbol perfecto o un árbol de Sacks si $\forall s\in p\;\exists t\in p:s\subseteq t$ y $t$ es nodo de ramificación.
De esta manera el forcing de Sacks, denotado $\mathbb {S}$, es el conjunto de todos los árboles de Sacks ordenado por la contención, es decir, dados $p,q\in \mathbb {S}$, se cumple que $p\leq q\Longleftrightarrow p\subseteq q$.

## Real de Sacks

Dado un árbol $T$ de $2^{<\omega }$, denotamos por $[T]$ al conjunto de las ramas de $T$, es decir, $[T]=\{x\in 2^{\omega }|\exists y\in T:y\subseteq x\}$.
Sea $G\subseteq \mathbb {S}$ un filtro genérico. En $V[G]$ se define al real de Sacks, $S_{gen}^{G}$, como el único elemento de $\bigcap _{p\in G}[p]$. Como su nombre lo indica $\mathbb {S} \Vdash S_{gen}^{G}\in 2^{\omega }$.
Es conocido que dado $p\in \mathbb {S}$, entonces $p\in G$ si y solo si $S_{gen}^{G}\in [p]$. Con lo cual $G$ y $S_{gen}^{G}$ son interdefinibles, lo cual implica que $V[G]=V[S_{gen}^{G}]$.
Más que lo anterior se cumple dados $G\subseteq \mathbb {S}$ un filtro $(V,\mathbb {S} )$-genérico y $x\in V[G]$ un real nuevo, existe $H\subseteq \mathbb {S}$ filtro $(V,\mathbb {S} )$-genérico tal que $v[H]=V[G]$ y $x=S_{gen}^{H}$ con lo cual $V[x]=V[H]=V[G]$ por tanto $\mathbb {S}$ tiene mínimo grado de constructibilidad real.

## Propiedades del forcing de Sacks

* No es un forcing c.c.c. (es decir, no satisface la condición de cadena contable).
* Tiene estructura de axioma A, también conocido como axioma de Baumgartner. Para verificar esto, primero para cada $p\in \mathbb {S}$ denotamos ${\mathsf {split}}(p)=\{s\in p|s{\text{ es de ramificación en }}p\}$ y ${\mathsf {split}}_{n}(p)=\{s\in {\mathsf {split}}(p)|s{\text{ tiene exactamente }}n{\text{ antesesores en }}{\mathsf {split}}(p)\}$. Ahora, dados $n\in \omega$, $p,q\in \mathbb {S}$, se define $p\leq _{n}q$ si y solo si $p\leq q$ y ${\mathsf {split}}_{n}(q)={\mathsf {split}}_{n}(p)$. Con esta estructura, $\mathbb {S}$ es axioma A.
* No colapsa a $\aleph _{1}$.
* Es forcing propio.
* Es $\omega ^{\omega }$ bounding.
* Tiene la propiedad de Sacks
* Preserva p-puntos
* No añade splitting reals
* Preserva ultrafiltros de Ramsey

## El modelo de Sacks

Dado $\alpha$ un ordinal, $\mathbb {S} _{\alpha }$ es la iteración de longitud $\alpha$ de $\mathbb {S}$ con soporte numerable, de este modo, el modelo de Sacks es el modelo obtenido al forzar con $\mathbb {S} _{\omega _{2}}$ sobre un modelo de CH.

## Bibliografía

Halbeisen L. J. (2012). Combinatorial Set Theory. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4471-2173-2
Geschke S., Quickert S. (2004) On Sacks forcing and the Sacks property. In: Löwe B., Piwinger B., Räsch T. (eds) Classical and New Paradigms of Computation and their Complexity Hierarchies. Trends in Logic, vol 23. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-1-4020-2776-5_7
* Datos: Q110103746