# Plano de Minkowski

En matemáticas, un plano de Minkowski (llamado así por el matemático alemán Hermann Minkowski (1864-1909)) es uno de los planos de Benz (los otros dos son el plano de Möbius y el plano de Laguerre).

## Plano de Minkowski real clásico

Aplicando la distancia pseudoeuclídea $d(P_{1},P_{2})=(x'_{1}-x'_{2})^{2}-(y'_{1}-y'_{2})^{2}$ a dos puntos $P_{i}=(x'_{i},y'_{i})$ (en lugar de la distancia euclídea), se obtiene la geometría de las hipérbolas, porque una circunferencia pseudoeuclídea $\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid d(P,M)=r\}$ es una hipérbola con punto medio $M$.
Mediante una transformación de coordenadas $x_{i}=x'_{i}+y'_{i}$, $y_{i}=x'_{i}-y'_{i}$, la distancia pseudoeuclídea se puede reescribir como $d(P_{1},P_{2})=(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})$. Las hipérbolas tienen entonces asíntotas paralelas a los ejes de coordenadas denotados sin comilla (es decir, a x e y; y no a x' e y' ).
La siguiente completación (véase plano de Möbius y plano de Laguerre) homogeneiza la geometría de las hipérbolas:
* El conjunto de puntos:
    ${\mathcal {P}}:=\left(\mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}\right)^{2}=\mathbb {R} ^{2}\cup \left(\left\{\infty \right\}\times \mathbb {R} \right)\cup \left(\mathbb {R} \times \left\{\infty \right\}\right)\ \cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\ ,\ \infty \notin \mathbb {R} ,$
* El conjunto de ciclos:
    ${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:=&\left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=ax+b\right\}\cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\mid a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}\\&\quad \cup \left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y={\frac {a}{x-b}}+c,x\neq b\right\}\cup \left\{\left(b,\infty \right),\left(\infty ,c\right)\right\}\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}.\end{aligned}}$
La estructura de incidencia $({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )$ se llama plano de Minkowski real clásico.
El conjunto de puntos consta de $\mathbb {R} ^{2}$, dos copias de $\mathbb {R}$ y el punto $(\infty ,\infty )$.
Cualquier línea recta $y=ax+b,a\neq 0$ se completa con el punto $(\infty ,\infty )$; y cualquier hipérbola $y={\frac {a}{x-b}}+c,a\neq 0$ se completa con los dos puntos $(b,\infty ),(\infty ,c)$ (véase la figura).
Dos puntos $(x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})$ no pueden conectarse mediante un ciclo si y solo si $x_{1}=x_{2}$ o $y_{1}=y_{2}$.
Se define entonces:
* Dos puntos $P_{1},P_{2}$ son (+)-paralelos ($P_{1}\parallel _{+}P_{2}$) si $x_{1}=x_{2}$ y (-)-paralelos ($P_{1}\parallel _{-}P_{2}$) si $y_{1}=y_{2}$.
Ambas son relaciones de equivalencia en el conjunto de puntos.
* Dos puntos $P_{1},P_{2}$ se llaman paralelos ($P_{1}\parallel P_{2}$) si $P_{1}\parallel _{+}P_{2}$ o $P_{1}\parallel _{-}P_{2}$.
De la definición anterior, se deduce que:
Lema:
* Para cualquier par de puntos no paralelos $A,B$ existe exactamente un punto $C$ con $A\parallel _{+}C\parallel _{-}B$.
* Para cualquier punto $P$ y cualquier ciclo $z$ hay exactamente dos puntos $A,B\in z$ con $A\parallel _{+}P\parallel _{-}B$.
* Para tres puntos cualesquiera $A$, $B$, $C$, no paralelos dos a dos, hay exactamente un ciclo $z$ que contiene $A,B,C$.
* Para cualquier ciclo $z$, cualquier punto $P\in z$ y cualquier punto $Q,P\not \parallel Q$ y $Q\notin z$ existe exactamente un ciclo $z'$ tal que $z\cap z'=\{P\}$, es decir, $z$ toca a $z'$ en el punto P.
Al igual que los planos clásicos de Möbius y Laguerre, los planos de Minkowski pueden describirse como la geometría de secciones planas de una cuádrica adecuada. Pero en este caso, la cuádrica se define en un espacio tridimensional 'proyectivo: el plano real clásico de Minkowski es isomorfo a la geometría de las secciones planas de un hiperboloide (cuádrica no degenerada de índice 2).

## Axiomas de un plano de Minkowski

Sea $\left({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in \right)$ una estructura de incidencia con el conjunto ${\mathcal {P}}$ de puntos, el conjunto ${\mathcal {Z}}$ de ciclos y dos relaciones de equivalencia $\parallel _{+}$ ((+)-paralela) y $\parallel _{-}$ ((-)-paralela) en el conjunto ${\mathcal {P}}$. Para $P\in {\mathcal {P}}$, se define:
    ${\overline {P}}_{+}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{+}P\right\}$ y ${\overline {P}}_{-}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{-}P\right\}$.
Una clase de equivalencia ${\overline {P}}_{+}$ o ${\overline {P}}_{-}$ se denomina (+)-generador y (-)-generador, respectivamente (para el modelo espacial del plano clásico de Minkowski, un generador es una línea sobre el hiperboloide).
Dos puntos $A,B$ se llaman paralelos ($A\parallel B$) si son $A\parallel _{+}B$ o $A\parallel _{-}B$.
Una estructura de incidencia ${\mathfrak {M}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ se denomina plano de Minkowski si se cumplen los siguientes axiomas:
* C1: Para cualquier par de puntos no paralelos $A,B$ existe exactamente un punto $C$ con $A\parallel _{+}C\parallel _{-}B$.
* C2: Para cualquier punto $P$ y cualquier ciclo $z$ existen exactamente dos puntos $A,B\in z$ con $A\parallel _{+}P\parallel _{-}B$.
* C3: Para tres puntos cualesquiera $A,B,C$, no paralelos dos a dos, hay exactamente un ciclo $z$ que contiene $A,B,C$.
* C4: Para cualquier ciclo $z$, cualquier punto $P\in z$ y cualquier punto $Q,P\not \parallel Q$ y $Q\notin z$ existe exactamente un ciclo $z'$ tal que $z\cap z'=\{P\}$, es decir, $z$ toca a $z'$ en el punto $P$.
* C5: Cualquier ciclo contiene al menos 3 puntos. Existe al menos un ciclo $z$ y un punto $P$ que no está en $z$.
También se establecen otras declaraciones sobre clases paralelas (equivalentes a C1 y C2 respectivamente):
* C1': Para dos puntos cualesquiera $A,B$ se tiene que $\left|{\overline {A}}_{+}\cap {\overline {B}}_{-}\right|=1$.
* C2': Para cualquier punto $P$ y cualquier ciclo $z$ se tiene que: $\left|{\overline {P}}_{+}\cap z\right|=1=\left|{\overline {P}}_{-}\cap z\right|$.
Las primeras consecuencias de los axiomas son:
* Lema
* Para un plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}$ se cumple lo siguiente:
* • Cualquier punto está contenido en al menos un ciclo.
* • Cualquier generador contiene al menos 3 puntos.
* • Dos puntos pueden estar conectados mediante un ciclo si y sólo si no son paralelos.
De manera análoga a los planos de Möbius y Laguerre, se obtiene la conexión con la geometría del plano lineal a través de los residuos.
Para un plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ y $P\in {\mathcal {P}}$ se define la estructura local
    ${\mathfrak {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus {\overline {P}},\{z\setminus \{{\overline {P}}\}\mid P\in z\in {\mathcal {Z}}\}\cup \{E\setminus {\overline {P}}\mid E\in {\mathcal {E}}\setminus \{{\overline {P}}_{+},{\overline {P}}_{-}\}\},\in )$, que se denomina residuo en el punto P.
Para el plano clásico de Minkowski, ${\mathfrak {A}}_{(\infty ,\infty )}$ es el plano afín real $\mathbb {R} ^{2}$.
Una consecuencia inmediata de los axiomas C1 a C4 y C1′, C2′ son los dos teoremas siguientes.
* Para un plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel ,\in )$, cualquier residuo es un plano afín.
* Sea ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ una estructura de incidencia con dos relaciones de equivalencia $\parallel _{+}$ y $\parallel _{-}$ en el conjunto ${\mathcal {P}}$ de puntos (véase arriba).
* Entonces, ${\mathfrak {M}}$ es un plano de Minkowski si y sólo si para cualquier punto $P$ el residuo ${\mathfrak {A}}_{P}$ es un plano afín

### Modelo mínimo

El modelo mínimo de un plano de Minkowski se puede establecer sobre el conjunto ${\overline {K}}:=\{0,1,\infty \}$ de tres elementos:
    ${\mathcal {P}}:={\overline {K}}^{2}$
    ${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:\!&=\left\{\{(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),(a_{3},b_{3})\}\mid \{a_{1},a_{2},a_{3}\}=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}={\overline {K}}\right\}\\&=\{\{(0,0),(1,1),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,0),(1,\infty ),(\infty ,1)\},\\&\qquad \{(0,1),(1,0),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,1),(1,\infty ),(\infty ,0)\},\\&\qquad \{(0,\infty ),(1,1),(\infty ,0)\},\;\{(0,\infty ),(1,0),(\infty ,1)\}\}\end{aligned}}$
En cuanto a los puntos paralelos, se tiene que:
* $(x_{1},y_{1})\parallel _{+}(x_{2},y_{2})$ si y solo si $x_{1}=x_{2}$
* $(x_{1},y_{1})\parallel _{-}(x_{2},y_{2})$ si y solo si $y_{1}=y_{2}$.
De ahí que $\left|{\mathcal {P}}\right|=9$ y $\left|{\mathcal {Z}}\right|=6$.

### Planos finitos de Minkowski

Para planos de Minkowski finitos, se obtiene de C1′ y C2′:
* Lema
* Sea ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ un plano de Minkowski finito, por ejemplo $\left|{\mathcal {P}}\right|<\infty$. Para cada par de ciclos $z_{1},z_{2}$ y para cada par de generadores $e_{1},e_{2}$ se tiene que:
* $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|e_{1}\right|=\left|e_{2}\right|$.
Esto da lugar a la siguiente definición:
* Para un plano finito de Minkowski ${\mathfrak {M}}$ y un ciclo $z$ de ${\mathfrak {M}}$, el número entero $n=\left|z\right|-1$ se denomina el orden de ${\mathfrak {M}}$.
Consideraciones combinatorias simples permiten deducir que:
* Lema
* Para un plano de Minkowski finito ${\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$ se cumple que:
* • Cualquier residuo (plano afín) tiene orden $n$
* • $\left|{\mathcal {P}}\right|=(n+1)^{2}$
* • $\left|{\mathcal {Z}}\right|=(n+1)n(n-1)$

## Planos de Minkowski miquelianos

Los ejemplos más relevantes de planos de Minkowski se obtienen generalizando el modelo real clásico: simplemente, basta con reemplazar $\mathbb {R}$ por un cuerpo $K$ arbitrario y se obtiene en cualquier caso un plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )$.
De manera análoga a los planos de Möbius y de Laguerre, el teorema de Miquel es una propiedad característica de un plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}(K)$.
Teorema (Miquel):
* Para el plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}(K)$ se cumple lo siguiente:
       Si para cualquier 8 puntos no paralelos dos a dos $P_{1},...,P_{8}$ que se pueden asignar a los vértices de un cubo de manera que los puntos en 5 caras correspondan a cuadrupletes concíclicos, entonces el sexto cuadruplete de puntos también es concíclico (para una mejor visión general en la figura se han empleado circunferencias en lugar de hipérbolas).
Teorema (Chen):
* Solo un plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}(K)$ satisface el teorema de Miquel.
Debido a este último teorema, ${\mathfrak {M}}(K)$ se denomina plano miqueliano de Minkowski.
Observación:
El modelo mínimo de un plano de Minkowski es miqueliano.
    Es isomorfo al plano de Minkowski ${\mathfrak {M}}(K)$ con $K=\operatorname {GF} (2)$ (campo $\{0,1\}$).
Un resultado sorprendente es que:
Teorema (Heise):
* Cualquier plano de Minkowski de orden par es miqueliano.
Observación:
Una proyección estereográfica adecuada muestra que ${\mathfrak {M}}(K)$ es isomorfo a la geometría de las secciones planas en un hiperboloide de una hoja (cuádrica de índice 2) en el 3-espacio proyectivo sobre el campo $K$.
Observación:
Hay muchos planos de Minkowski que no son miquelianos (véase el enlace web que figura a continuación). Pero no existen planos ovoidales de Minkowski, a diferencia de lo que sucede con los planos de Möbius y de Laguerre, dado que cualquier conjunto cuadrático de índice 2 en el espacio tridimensional proyectivo es una cuádrica (véase conjunto cuadrático).