# Espacio distinguido

En análisis funcional y en otras áreas relacionadas de las matemáticas, los espacios distinguidos son espacio vectorial topológico (EVT) que tienen la propiedad de que los subconjuntos acotados *débil de sus biduales (es decir, los espacios duales fuertes de sus espacios duales fuertes) están contenidos en la clausura *débil de algún subconjunto acotado del bidual.

## Definición

Supóngase que $X$ es un espacio localmente convexo, y considérese que $X^{\prime }$ y $X_{b}^{\prime }$ denoten el espacio dual fuerte de $X$ (es decir, el espacio dual de $X$ dotado con la topología dual fuerte). Sea $X^{\prime \prime }$ el espacio dual continuo de $X_{b}^{\prime }$ y $X_{b}^{\prime \prime }$ el dual fuerte de $X_{b}^{\prime }.$ Sea $X_{\sigma }^{\prime \prime }$, denotándose $X^{\prime \prime }$ dotado de la topología *débil inducida por $X^{\prime },$ donde esta topología se denota por $\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)$ (es decir, la topología de convergencia puntual en $X^{\prime }$). Se dice que un subconjunto $W$ de $X^{\prime \prime }$ está acotado por $\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)$ si es un subconjunto acotado de $X_{\sigma }^{\prime \prime }$ y se llama al cierre de $W$ en el EVT $X_{\sigma }^{\prime \prime }$ el cierre $\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)$ de $W$. Si $B$ es un subconjunto de $X$, entonces el polar de $B$ es $B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{b\in B}\left\langle b,x^{\prime }\right\rangle \leq 1\right\}.$
Un espacio localmente convexo de Hausdorff $X$ se denomina espacio distinguido si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
* Si $W\subseteq X^{\prime \prime }$ es un subconjunto acotado por $\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)$ de $X^{\prime \prime }$, entonces existe un subconjunto acotado $B$ de $X_{b}^{\prime \prime }$ cuyo cierre $\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)$ contiene a $W$.
* Si $W\subseteq X^{\prime \prime }$ es un subconjunto acotado por $\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)$ de $X^{\prime \prime }$, entonces existe un subconjunto acotado $B$ de $X$ tal que $W$ está contenido en $B^{\circ \circ }:=\left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\sup _{x^{\prime }\in B^{\circ }}\left\langle x^{\prime },x^{\prime \prime }\right\rangle \leq 1\right\},$, que es el polar (en relación con la dualidad $\left\langle X^{\prime },X^{\prime \prime }\right\rangle$) de $B^{\circ }.$
* El dual fuerte de $X$ es un espacio barrilado.
Si además $X$ es un espacio localmente convexo metrizable, esta lista puede ampliarse para incluir:
* (Grothendieck) El dual fuerte de $X$ es un espacio bornológico.

## Condiciones suficientes

Todos los espacios vectoriales normados y espacios semireflexivos son espacios distinguidos. Los espacios LF son espacios distinguidos.
El espacio dual fuerte $X_{b}^{\prime }$ de un espacio de Fréchet $X$ se distingue si y solo si $X$ es cuasi barrilado.

## Propiedades

Todo espacio distinguido localmente convexo es un espacio H.

## Ejemplos

Existen espacios de Banach distinguidos que no son semirreflexivos. El espacio dual fuerte de un espacio de Banach distinguido no es necesariamente separable; el $l^{1}$ es uno de estos espacios. El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet distinguido no es necesariamente un espacio metrizable. Existe un espacio de Mackey $X$ no cuasi barrilado, no reflexivo y semirreflexivo, cuyo dual fuerte es un espacio de Banach no reflexivo. Existen espacios H que no son espacios distinguidos.
Los espacios de Montel de Fréchet son espacios distinguidos.