# O grande en notación de probabilidad

El orden en la notación de probabilidad se utiliza en la teoría de probabilidad y en estadística en analogía directa a la notación de la O grande que es estándar en matemáticas . Mientras que la notación de la O grande refiere a la convergencia de sucesiones, el orden en la notación de probabilidad trata de la convergencia de sucesiones de variables aleatorias, donde convergencia se entiende en el sentido de convergencia en probabilidad.

## Definiciones
### O pequeña: convergencia en probabilidad

Para una sucesión de variables aleatorias X $_n$ y una sucesión de constantes a $_n$ (ambas indizadas por n, no necesariamente discretas), la notación
    $X_{n}=o_{p}(a_{n})$
significa que el conjunto de valores X $_n$ / a $_n$ converge en probabilidad a 0 cuando n tiende a cierto límite. De manera equivalente, X $_n$ = o $_p$ ( a $_n$ ) se puede escribir como X $_n$ / a $_n$ = o $_p$ (1), es decir
    $\lim _{n\to \infty }P\left[\left|{\frac {X_{n}}{a_{n}}}\right|\geq \varepsilon \right]=0,$
para cada ε > 0.

### O grande: cota estocástica

La notación
    $X_{n}=O_{p}(a_{n}){\text{ cuando }}n\to \infty$
significa que el conjunto de valores X $_n$ / a $_n$ está acotado estocásticamente. Es decir, para cualquier ε > 0, existe un M > 0 finito y un N > 0 finito tales que
    $P\left(|{\frac {X_{n}}{a_{n}}}|>M\right)<\varepsilon ,\;\forall \;n>N.$

### Comparación de las dos definiciones

La diferencia entre las definiciones es sutil. Si se utiliza la definición de límite se obtiene que:
* $O_{p}(1)$ : $\forall \varepsilon \quad \exists N_{\varepsilon },\delta _{\varepsilon }\quad {\text{ tal que }}P(|X_{n}|\geq \delta _{\varepsilon })\leq \varepsilon \quad \forall n>N_{\varepsilon }$
* $o_{p}(1)$ : $\forall \varepsilon ,\delta \quad \exists N_{\varepsilon ,\delta }\quad {\text{ tal que }}P(|X_{n}|\geq \delta )\leq \varepsilon \quad \forall n>N_{\varepsilon ,\delta }$
La diferencia radica en la $\delta$: para la cota estocástica, basta con que exista una $\delta$ (arbitrariamente grande) para satisfacer la desigualdad, y $\delta$ puede depender de $\varepsilon$ (de ahí la $\delta _{\varepsilon }$ ). Por otra parte, para que haya convergencia, la afirmación tiene que ser válida no sólo para una, sino para cualquier $\delta$ (arbitrariamente pequeña). En cierto sentido, esto significa que la sucesión debe estar acotada, con una cota que se hace más pequeña a medida que aumenta el tamaño de la muestra.
Esto sugiere que si una sucesión es $o_{p}(1)$, entonces es $O_{p}(1)$. Es decir, la convergencia en probabilidad implica que está acotada estocásticamente. Pero el regreso no es válido.

## Ejemplo

Si $(X_{n})$ es una sucesión de variables aleatorias tal que cada elemento tiene varianza finita, entonces
    $X_{n}-E(X_{n})=O_{p}\left({\sqrt {\operatorname {var} (X_{n})}}\right)$
(véase el Teorema 14.4-1 en Bishop et al.)
Si, además, $a_{n}^{-2}\operatorname {var} (X_{n})=\operatorname {var} (a_{n}^{-1}X_{n})$ es una sucesión nula para una sucesión $(a_{n})$ de números reales, entonces $a_{n}^{-1}(X_{n}-E(X_{n}))$ converge en probabilidad a 0 por la desigualdad de Chebyshev y por lo tanto
    $X_{n}-E(X_{n})=o_{p}(a_{n}).$