# Coordenadas biesféricas

Las coordenadas biesféricas son un sistema de referencia tridimensional ortogonal que resulta de rotar un sistema de coordenadas bipolares bidimensional sobre el eje que conecta sus dos focos. Por lo tanto, los dos focos $F_{1}$ y $F_{2}$ en coordenadas bipolares siguen siendo puntos (en el eje $z$, el eje de rotación) en el sistema de coordenadas biesféricas.

## Definición

La definición más común de las coordenadas biesféricas $(\tau ,\sigma ,\phi )$ es
    ${\begin{aligned}x&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi ,\\y&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi ,\\z&=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\end{aligned}}$
donde la coordenada $\sigma$ de un punto $P$ es igual al ángulo $F_{1}PF_{2}$ y la coordenada $\tau$ es igual al logaritmo de la relación de las distancias $d_{1}$ y $d_{2}$ a los dos focos
    $\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$
Los rangos de coordenadas son -∞ < $\tau$ < ∞, 0 ≤ $\sigma$ ≤ $\pi$ y 0 ≤ $\phi$ ≤ 2$\pi$.

### Superficies coordenadas

Las superficies de $\sigma$ constante corresponden a toros de diferentes radios que se intersecan
    $z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}$
que pasan todos por los focos pero no son concéntricos. Las superficies de $\tau$ constante son esferas de diferentes radios
    $\left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(z-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}$
que rodean a los focos. Los centros de las esferas de $\tau$ constante se encuentran en el eje $z$, mientras que los toros de $\sigma$ constante están centrados en el plano $xy$.

### Fórmulas inversas

Las fórmulas para la transformación inversa son:
    ${\begin{aligned}\sigma &=\arccos \left({\dfrac {R^{2}-a^{2}}{Q}}\right),\\\tau &=\operatorname {arsinh} \left({\dfrac {2az}{Q}}\right),\\\phi &=\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right),\end{aligned}}$
donde R=√(x$^2$+y$^2$+z$^2$){\textstyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} y Q=√((R$^2$+a$^2$)$^2$−(2az)$^2$).{\textstyle Q={\sqrt {\left(R^{2}+a^{2}\right)^{2}-\left(2az\right)^{2}}}.}

### Factores de escala

Los factores de escala para las coordenadas biesféricas $\sigma$ y $\tau$ son iguales entre sí
    $h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}$
mientras que el factor de escala azimutal es igual a
    $h_{\phi }={\frac {a\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$
Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual a
    $dV={\frac {a^{3}\sin \sigma }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi$
y el laplaciano viene dado por
    ${\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma }}&\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&\quad +\left.\sin \sigma {\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin \sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}$
Otros operadores diferenciales como $\nabla \cdot \mathbf {F}$ y $\nabla \times \mathbf {F}$ se pueden expresar en las coordenadas $(\sigma ,\tau )$ sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en el artículo dedicado a las coordenadas ortogonales.

## Aplicaciones

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas biesféricas son la resolución de ecuaciones en derivadas parciales, como por ejemplo, la ecuación de Laplace, para la que las coordenadas biesféricas permiten emplear el método de separación de variables. Sin embargo, la ecuación de Helmholtz no es separable en coordenadas biesféricas. Un ejemplo típico sería el campo eléctrico que rodea dos esferas conductoras de radios diferentes.