# Integral de Borwein

En matemáticas, una integral de Borwein es una integral con unas propiedades peculiares presentada por primera vez por los matemáticos David Borwein y Jonathan Borwein en 2001. Las integrales de Borwein utilizan productos de senos cardinales sinc(ax), donde la función seno cardinal se define como sinc(x) = sen(x)/x para x distinto de 0, y sinc(0) = 1.
Estas integrales presentan un aparente patrón regular que acaba rompiéndose de repente. Así,
    ${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}{\frac {\operatorname {sen}(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}$
Este esquema continúa hasta
    $\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.$
Sin embargo, con el siguiente término, se produce el siguiente resultado:
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\approx {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}$
En general, estas integrales tienen por valor π/2 cuando los denominadores impares 3, 5, 7… son sustituidos por cualesquier números reales positivos tales que la suma de sus inversos es menor que 1.
En el ejemplo anterior, 1/3 + 1/5 + … + 1/13 < 1, pero 1/3 + 1/5 + … + 1/15 > 1.
Al incluir el factor adicional $2\cos(x)$ en las integrales, el mismo patrón se mantiene durante más tiempo, concretamente se mantiene para los impares desde el 1 hasta en 111:
    $\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/111)}{x/111}}\,dx={\frac {\pi }{2}},$
sin embargo para el siguiente,
    $\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/111)}{x/111}}{\frac {\operatorname {sen}(x/113)}{x/113}}\,dx\approx {\frac {\pi }{2}}-2.3324\times 10^{-138}.$
En este caso el patrón se rompe porque 1/3 + 1/5 + … + 1/111 < 2, pero 1/3 + 1/5 + … + 1/113 > 2. El valor exacto de esta integral puede ser calculado mediante una fórmula general. Desarrollado, este valor concreto es:
${\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {3\cdot 5\cdots 113\cdot ({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\cdots +{\frac {1}{113}}-2)^{56}}{2^{55}\cdot 56!}}\right),$
lo cual es una fracción que involucra dos números de 2736 cifras.
El motivo por el que estos patrones, tanto el original como el extendido mediante el coseno, se acaban rompiendo se ha podido probar mediante una demostración intuitiva.

## Fórmula general

Dada una sucesión de números reales distintos de 0, $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$, se puede construir una fórmula general para la integral
    $\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\operatorname {sen}(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx$
Para establecer la fórmula, habrá que considerar las sumas a partir de los $a_{k}$. En particular, si $\gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}$ es una $n$-upla donde cada uno de los términos es $\pm 1$, entonces se puede escribir $b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}$, que es una especie de suma alterna de los $a_{k}$, y se puede establecer $\varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}$, que puede ser 1 o -1. Con esta notación, el valor de esta integral es
    $\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\operatorname {sen}(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}$
donde
    $C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })$
En el caso en que $a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|$, se tiene $C_{n}=1$.
Además, si hay un $n$ tal que para cada $k=0,\ldots ,n-1$ tenemos $0<a_{n}<2a_{k}$ y $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$, que significa que $n$ es el primer valor cuando la suma parcial de los $n$ primeros elementos de la sucesión excede de $a_{0}$, entonces $C_{k}=1$ para cada $k=0,\ldots ,n-1$, pero
    $C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}$
El primer ejemplo es el caso cuando $a_{k}={\frac {1}{2k+1}}$.
Nótese que, si $n=7$, entonces $a_{7}={\frac {1}{15}}$ and ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955$, pero ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02$, por lo que, como $a_{0}=1$, tenemos que
    $\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$
que se sigue cumpliendo incluso al eliminar cualquiera de los productos, pero
    ${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/15)}{x/15}}\,dx\\[5pt]=&{\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right)\end{aligned}}$
que es igual al valor dado anteriormente.