# Producto tensorial inductivo

La topología más fina localmente convexa en un espacio vectorial topológico (EVT) en $X\otimes Y,$ el producto tensorial de dos EVT localmente convexos, hace que la aplicación canónica separadamente continua $\cdot \otimes \cdot :X\times Y\to X\otimes Y$ (definida enviando $(x,y)\in X\times Y$ a $x\otimes y$) se denomina topología inductiva o topología $\iota$. Cuando $X\otimes Y$ está dotado de esta topología, se denota por $X\otimes _{\iota }Y$ y se denomina producto tensorial inductivo de $X$ e $Y.$.

## Preliminares

Sean $X,Y,$ y $Z$ espacios vectoriales topológicos localmente convexos y $L:X\to Y$ una aplicación lineal.
* $L:X\to Y$ es un homomorfismo topológico u homomorfismo, si es lineal, continua, y $L:X\to \operatorname {Im} L$ es una aplicación abierta, donde $\operatorname {Im} L,$ la imagen de $L,$ tiene la topología subespacial inducida por $Y.$
** Si $S\subseteq X$ es un subespacio de $X$, entonces tanto la aplicación cociente $X\to X/S$ como la inyección canónica $S\to X$ son homomorfismos. En particular, cualquier aplicación lineal $L:X\to Y$ se puede descomponer canónicamente de la siguiente manera: $X\to X/\operatorname {ker} L{\overset {L_{0}}{\rightarrow }}\operatorname {Im} L\to Y$ donde $L_{0}(x+\ker L):=L(x)$ define una biyección.
* El conjunto de operadores lineales continuos $X\to Z$ (respectivamente, operadores bilineales continuos $X\times Y\to Z$) se denotará por $L(X;Z)$ (respectivamente, $B(X,Y;Z)$), donde si $Z$ es un cuerpo escalar, entonces se puede escribir $L(X)$ (respectivamente, $B(X,Y)$).
* Se denota el espacio dual de $X$ por $X^{\prime }$ y el espacio dual algebraico (que es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en $X,$ sean continuos o no) por $X^{\#}.$
** Para aumentar la claridad de la exposición, se utiliza la convención común de escribir elementos de $X^{\prime }$ con una comilla después del símbolo (por ejemplo, $x^{\prime }$ denota un elemento de $X^{\prime }$ (no confundir con una derivada) y las variables $x$ y $x^{\prime }$ no necesitan estar relacionadas de manera alguna).
* Una aplicación lineal $L:H\to H$ desde un espacio de Hilbert sobre sí mismo se llama positiva si $\langle L(x),X\rangle \geq 0$ para cada $x\in H.$ En este caso, existe una aplicación positiva única $r:H\to H,$ llamada raíz cuadrada de $L,$ tal que $L=r\circ r.$
** Si $L:H_{1}\to H_{2}$ es cualquier aplicación lineal continua entre espacios de Hilbert, entonces $L^{*}\circ L$ es siempre positivo. Ahora, denótese como $R:H\to H$ su raíz cuadrada positiva, que se denomina valor absoluto de $L.$ Defínase $U:H_{1}\to H_{2}$ primero en $\operatorname {Im} R$ configurando $U(x)=L(x)$ para $x=R\left(x_{1}\right)\in \operatorname {Im} R$ y extendiendo $U$ continuamente a ${\overline {\operatorname {Im} R}},$ y luego definir $U$ en $\operatorname {ker} R$ configurando $U(x)=0$ para $x\in \operatorname {ker} R$ y extender esta aplicación linealmente a todo $H_{1}.$ La aplicación $U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} L$ es una isometría sobreyectiva y $L=U\circ R.$
* Un aplicación lineal $\Lambda :X\to Y$ se llama compacta o completamente continua si existe un entorno $U$ del origen en $X$ tal que $\Lambda (U)$ es precompacta en $Y.$
** En un espacio de Hilbert, los operadores lineales compactos positivos, como $L:H\to H$, tienen una descomposición espectral simple descubierta a principios del siglo XX por Fredholm y F. Riesz:
       Existe una sucesión de números positivos, decrecientes y finitos o convergentes a 0, $r_{1}>r_{2}>\cdots >r_{k}>\cdots$ y una secuencia de subespacios de dimensiones finitas distintas de cero $V_{i}$ de $H$ ($i=1,2,\ldots$) con las siguientes propiedades: (1) los subespacios $V_{i}$ son ortogonales por pares; (2) para cada $i$ y cada $x\in V_{i},$ $L(x)=r_{i}x$; y (3) el elemento ortogonal del subespacio abarcado por $\cup _{i}V_{i}$ es igual al núcleo de $L.$

### Notación para topologías

* $\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$ denota la topología más gruesa en $X$, lo que hace que cada aplicación en $X^{\prime }$ sea continua y $X_{\sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ o $X_{\sigma }$ denota el espacio $X$ dotado con esta topología.
* $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ denota la topología *débil sobre $X^{\prime }$ y $X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ o $X_{\sigma }^{\prime }$ denota $X^{\prime }$ dotado con esta topología.
** Cada $x_{0}\in X$ induce una aplicación $X^{\prime }\to \mathbb {R}$ definida por $\lambda \mapsto \lambda \left(x_{0}\right).$ $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ es la topología más burda de $X^{\prime }$, lo que hace que todas estas aplicaciones sean continuas.
* $b\left(X,X^{\prime }\right)$ denota la topología de convergencia acotada en $X$ y $X_{b\left(X,X^{\prime }\right)}$ o $X_{b}$ denota $X$ dotado con esta topología.
* $b\left(X^{\prime },X\right)$ denota la topología de convergencia acotada en $X^{\prime }$ o la topología dual fuerte en $X^{\prime }$ y $X_{b\left(X^{\prime },X\right)}$ o $X_{b}^{\prime }$ denota $X^{\prime }$ dotado con esta topología.
** Como es habitual, si $X^{\prime }$ se considera como un espacio vectorial topológico pero no se ha dejado claro con qué topología está dotado, entonces se asumirá que la topología es $b\left(X^{\prime },X\right).$

## Propiedad universal

Supóngase que $Z$ es un espacio localmente convexo y que $I$ es la aplicación canónica del espacio de todas las aplicaciones bilineales de la forma $X\times Y\to Z,$ dirigida al espacio de todas las aplicaciones lineales de $X\otimes Y\to Z.$. Entonces, cuando el dominio de $I$ está restringido a ${\mathcal {B}}(X,Y;Z)$ (el espacio de aplicaciones bilineales continuas separadamente), entonces el rango de esta restricción es el espacio $L\left(X\otimes _{\iota }Y;Z\right)$ de operadores lineales continuos $X\otimes _{\iota }Y\to Z.$ En particular, el espacio dual continuo de $X\otimes _{\iota }Y$ es canónicamente isomorfo al espacio ${\mathcal {B}}(X,Y),$ (el espacio de formas bilineales continuas separadas en $X\times Y$).
Si $\tau$ es una topología sobre un EVT localmente convexa en $X\otimes Y$ ($X\otimes Y$ con esta topología se indicará como $X\otimes _{\tau }Y$), entonces $\tau$ es igual a la topología del producto tensorial inductivo si y solo si tiene la siguiente propiedad:
    Para cada EVT localmente convexo $Z,$ si $I$ es la aplicación canónico del espacio de todas las aplicaciones bilineales de la forma $X\times Y\to Z,$ dirigida al espacio de todas las aplicaciones lineales de $X\otimes Y\to Z,$ entonces cuando el dominio de $I$ está restringido a ${\mathcal {B}}(X,Y;Z)$ (espacio de aplicaciones bilineales continuas separadamente) entonces el rango de esta restricción es el espacio $L\left(X\otimes _{\tau }Y;Z\right)$ de operadores lineales continuos $X\otimes _{\tau }Y\to Z.$