# Red compleja

En el contexto de la ciencia de redes, una red compleja se refiere a una red (modelada como grafo) que posee ciertas propiedades estadísticas y topológicas no triviales que no ocurren en redes simples; p.e., distribuciones de grado que siguen leyes de potencia, estructuras jerárquicas, estructuras comunitarias, longitud entre cualesquiera dos entes del sistema corto, o alta cohesividad local (medida a través del coeficiente de agrupamiento). Ejemplo de redes con tales características en la naturaleza son las redes sociales, las redes neuronales, las redes de tráfico aéreo y las redes tróficas, entre muchas otras.

## Definición matemática de red

Una red o grafo $R=({\mathcal {N}},{\mathcal {E}})$ se define por un conjunto ${\mathcal {N}}={\mathcal {N}}(R)$ de elementos llamados nodos o vértices y otro conjunto, ${\mathcal {E}}={\mathcal {E}}(R)\subset {\mathcal {N}}\times {\mathcal {N}}$ de elementos denominados enlaces o aristas. Cada enlace corresponde a un par no-ordenado $\{i,j\}$ de nodos. Si consideramos los enlaces como pares ordenados, diremos que $R$ es una red dirigida o grafo dirigido. Si cada enlace $\{i,j\}$ tiene asignado un valor numérico $w_{ij}$, diremos que la red es ponderada y el valor $w_{ij}$ será llamado peso o ponderación del enlace $\{i,j\}$.

### Conceptos básicos en redes

Dos nodos $i,j$ de una red se dicen adyacentes si estos están conectados por un enlace. Se dirá que un enlace es incidente en un nodo $i$ si dicho enlace es de la forma $\{i,j\}$ para algún $j$ en ${\mathcal {N}}(R)$. El vecindario de $i$, generalmente denotado por $V(i)$, se define como el conjunto de los $j\in {\mathcal {N}}(R)$ tales que $\{i,j\}\in {\mathcal {E}}(R)$. El conjunto $V^{+}(i)=V(i)\cup \{i\}$ será llamado vecindario inclusivo de $i$.

#### Definición de subred

Si ${\mathcal {N}}'\subseteq {\mathcal {N}}$ y ${\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {N}}'\times {\mathcal {N}}'$ tal que ${\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {E}}$, se dice que el par $R'=({\mathcal {N}}',{\mathcal {E}}')$ es una subred (o subgrafo) de $R=({\mathcal {N}},{\mathcal {E}})$. Si ${\mathcal {E}}'=({\mathcal {N}}'\times {\mathcal {N}}')\cap {\mathcal {E}}$ diremos que $R'$ es la sub-red inducida por ${\mathcal {N}}'$.

#### k-Clique o k- red completa

Un $k-${clique} (o $k-${red completa}), denotada por $K_{n}$, es una red en la que todo par de nodos $i,j\in {\mathcal {N}}(K_{n})$ esta conectado por un enlace en ${\mathcal {E}}(K_{n})$. Un clique $C\subseteq R$ se dice maximal si no puede agregarse otro nodo a $R$ sin que este deje de ser un clique en $R$.

#### Redes bipartitas

Básicamente, en este tipo de redes el conjunto de nodos ${\mathcal {N}}$ puede escribirse como la unión disjunta de dos conjuntos ${\mathcal {N}}_{1}$ y ${\mathcal {N}}_{2}$ de manera que en la red no hay enlaces de la forma $\{i,j\}\in {\mathcal {E}}$ con $i\in {\mathcal {N}}_{1}$ y $j\in {\mathcal {N}}_{2}$. En la figura puede verse un ejemplo de este tipo de redes.

#### Matriz de adyacencia

La matriz de adyacencia $A$ de una red $R$ es una matriz de $n\times n$ tal que
$A_{ij}=\left\{{\begin{array}{c l}1&{\text{ si }}\{i,j\}\in {\mathcal {E}}(R)\\0&{\text{ en caso contrario.}}\end{array}}\right.$
Esta matriz nos permite representar de manera algebraica la estructura de red.