# Medición del arco de meridiano de Delambre y Méchain

La medición del arco de meridiano de Delambre y Méchain fue un levantamiento geodésico realizado por los científicos franceses Jean-Baptiste Joseph Delambre y Pierre Méchain entre 1792 y 1798 por encargo de la Academia de Ciencias de Francia, con el fin de medir una sección entre Dunkerque y Barcelona para determinar la longitud del meridiano de París. El trabajo sirvió como base para la definición original del metro como unidad de longitud.
Este trabajo es un hito clave en la historia del metro y del sistema métrico decimal, así como en la historia de la determinación de la masa de la Tierra. De igual manera, ocupa un lugar destacado en la historia de la geodesia y especialmente en la determinación de la forma de la Tierra. La introducción del metro y del sistema métrico fue ciertamente consecuencia de las dificultades experimentadas por los geodestas del siglo XVIII para tener en cada lugar una unidad de longitud suficientemente precisa y fiable, y en principio fácilmente reproducible. El metro y el sistema métrico decimal son sin duda, con la Declaración de los Derechos del Hombre, uno de los legados más importantes de la revolución francesa.

## Contexto histórico
### El metro y el sistema métrico decimal como hijos de la Revolución Francesa

Es sabido que las leyes de la Naturaleza no dependen de la elección de unidades de medida. Por ejemplo, la atracción gravitatoria siempre disminuirá como el inverso del cuadrado de la distancia, independientemente de si la distancia se expresa en toesas o en metros. Siempre será proporcional al producto de las masas de los dos cuerpos que se atraen, ya sea que estas masas se expresen en onzas o en kilogramos. Estrictamente hablando, se podría incluso expresar una de las masas en onzas y la otra en gramos, por ejemplo. Lo que cambiará con las unidades elegidas, por lo tanto, no son las relaciones entre cantidades físicas, sino solo los valores numéricos de las constantes involucradas en estas relaciones. En el ejemplo considerado, es el valor numérico de la constante gravitatoria el que variará según el sistema de unidades adoptado. Por lo tanto, a primera vista no se puede decir que un sistema de unidades sea mejor que otro. Es el hecho de que ha demostrado ser práctico en su uso y especialmente el hecho de que ha llegado a ser aceptado por la mayoría de las naciones civilizadas lo que le da al sistema métrico su superioridad. Algunos Estados se han mostrado reacios durante mucho tiempo a aceptar este sistema de medidas, por razones de prestigio nacional o simplemente por razones de hostilidad hacia Francia. Sin embargo, desde un principio había sido concebido con la idea de ser un sistema supranacional, que no pertenecía a ninguna nación en particular sino a toda la humanidad, de acuerdo con las ideas generosas que prevalecían bajo la Francia revolucionaria. Esta es la razón por la cual el metro se definió inicialmente no como cualquier longitud materializada en un lugar determinado de un país en particular, sino como la “diez millonésima parte de un cuarto de meridiano terrestre”. En principio, todo el mundo tenía acceso a él, pero la unidad de medida no pertenecía a nadie en particular.
Alrededor de 1770 se terminó el trabajo de triangulación necesario para realizar la medición de un meridiano en Francia, si se exceptúa la labor de algunos operadores de Cassini que continuaron materializando la red geodésica del mapa de Francia, cuya malla de primer orden se publicó en su totalidad en 1783. La comparación de las toesas utilizadas en distintas misiones godésicas (en Laponia, en el Pérú, en El Cabo y en Francia) había demostrado que todas estas medidas eran prácticamente iguales, con márgenes de error de unas pocas centésimas de línea. La toesa de Perú fue adoptada como estándar y se convirtió en la toesa de la Academia. Es a esta toesa a la que las mediciones subsiguientes debían estar relacionadas. Desafortunadamente, esto no resolvió la cuestión de la unificación de las medidas, que en todo el Reino de Francia (sin mencionar otras naciones) mantuvieron ferozmente su independencia anárquica, a pesar de varios intentos de unificación. Esta situación, que resultó ser grave en sus consecuencias en varias ocasiones, ya no podía durar eternamente, pero las cosas no cambiaron hasta que la Asemblea Constituyente nombró en 1790 (un año después del inicio de la revolución francesa), a propuesta de Charles Maurice de Talleyrand (1754-1838), una comisión compuesta por los reputados científicos Jean-Charles de Borda (1733-1799), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), Pierre-Simon Laplace (1749-1827), Gaspard Monge (1746-1818) y Nicolas de Condorcet (1743-1794). Este último presentó un informe el 19 de marzo de 1791 en el que proponía una doble opción para unificar las medidas de longitud: la unidad sería la longitud de un péndulo con un semiperíodo de un segundo en la latitud 45° al nivel del mar, o bien la diez millonésima parte de la longitud de un cuarto de un meridiano terrestre. El 26 de marzo de 1791, la Asamblea Constituyente adoptó este informe y el Rey Luis XVI de Francia, todavía en representación del poder ejecutivo en este momento, encargó a la Academia el nombramiento de comisionados para su ejecución. El astrónomo Cassini IV, el matemático Legendre y el astrónomo Méchain fueron los encargados de medir el meridiano. Los dos primeros pronto se retiraron y fueron reemplazados por el joven astrónomo Jean-Baptiste Joseph Delambre.

### Trabajo teórico preliminar: trigonometría esferoidal

Antes de describir brevemente este nuevo meridiano de París, también llamado “Meridiano de Delambre y Méchain”, conviene recordar que durante los veinte o treinta años anteriores a la revolución francesa, la geodesia había puesto a prueba la sagacidad de destacados científicos, como Euler, Monge o Laplace en relación con una serie de temas de estudio: la fuerza de atracción gravitatoria en un elipsoide, la teoría del equilibrio de cuerpos en rotación, y la teoría general de superficies. Las soluciones a estos problemas teóricos demostraron ser de gran interés para tratar aplicaciones geodésicas de carácter práctico. Así, Euler en 1760 y luego Monge en 1771 definieron los elementos fundamentales de la geometría de las superficies, rama que se convertiría en la geometría diferencial, que incluyó la definición de elementos como la curvatura, las líneas dibujadas sobre superficies, las líneas geodésicas y las líneas de curvatura. Meusnier formuló en 1776 un teorema que jugaría un papel importante en la geometría diferencial. En 1773, Laplace, entonces de 24 años, alumno y protegido de D'Alembert, publicó sus primeras memorias de mecánica celeste, en las que se ocupó de la estabilidad de los ejes principales de las órbitas planetarias.
En 1785, se presentó una memoria a la Academia en la que Legendre introdujo la noción de potencial, idea que asignaba expresamente a Laplace, fundando la teoría de funciones esféricas, una herramienta matemática esencial en la geodesia teórica. En este mismo año de 1785 también se publicó una memoria de Laplace titulada Teoría de las atracciones de los esferoides y la forma de los planetas a la que siguió en 1786 una Memoria sobre la forma de la Tierra. Laplace combinó en esta obra varias mediciones de arcos de meridiano para obtener un achatamiento de la Tierra de 1/250, mientras que por el método gravimétrico, de acuerdo con el teorema de Clairaut, se obtenía un resultado de tan solo 1/321. Todavía en 1785, el astrónomo Lalande (1732-1807) había obtenido por la misma teoría de Clairaut un aplanamiento de 1/302. Dos años más tarde, en 1787, Legendre publicó su Memoria sobre operaciones trigonométricas, cuyos resultados dependen de la forma de la Tierra, donde enuncia en particular, sin demostrarlo, un teorema que se ha hecho famoso y que lleva su nombre. En este documento se estudiaban las fórmulas necesarias para la reducción y el cálculo de los triángulos en la superficie de un esferoide, situando sobre bases sólidas la trigonometría esferoidal. Esta última constituye una generalización de la trigonometría esférica, una extensión cuya necesidad ya se había sentido con el trabajo del meridiano de Jean Dominique y de Jacques Cassini, pero que no había sido tratada de manera del todo satisfactoria en los trabajos teóricos de Clairaut (que databan de 1733 y 1739), de Euler (que databan de 1744) y de Achille Pierre Dionis du Séjour (que databan de 1778). Las fórmulas de Legendre se aplicaron a los triángulos formados entre Dunkerque y Greenwich al extender el meridiano de Delambre y Méchain hacia Inglaterra.
Hay una demostración del "teorema de Legendre" y las fórmulas para resolver uno de los problemas inversos, en el caso particular en que uno de los lados del triángulo esferoidal es muy pequeño en comparación con los demás, en un trabajo de Delambre publicado en 1799 y titulado Métodos analíticos para la determinación de un arco del Meridiano en París. Este libro contiene al principio (páginas 1-16) un breve artículo de Legendre en el que explica el "Método para determinar la longitud exacta del cuarto de meridiano". Sin embargo, Legendre aún no demuestra el teorema que lleva su nombre, sino que deja esta tarea (para el caso particular citado) a Delambre. De hecho, es en la obra en cuestión donde figura el primer texto que aporta la teoría completa de la trigonometría esferoidal aplicada al cálculo de la línea meridiana y la excentricidad del elipsoide terrestre.
La obra de Delambre, cuyo objetivo esencial es resumir el aparato matemático utilizado entre 1793 y 1799 para los cálculos del nuevo metro, da explícitamente, al hacerla operativa, la teoría del arco independiente del achatamiento terrestre. Es un primer gran resultado que la nueva trigonometría esferoidal ofrece a la geodesia, y que tendrá su importancia en los posteriores trabajos geodésicos para fundamentar el sistema métrico.
Bajo el efecto de las operaciones geodésicas que aumentarían rápidamente no solo en Francia sino también en los países vecinos, especialmente debido a los éxitos militares obtenidos por los ejércitos revolucionarios y luego napoleónicos, la trigonometría esferoidal se convirtió en una rama por derecho propio de la geodesia teórica, pasando a ser una teoría matemática autónoma. En primer lugar, es en 1806 cuando Legendre prueba por primera vez su teorema con toda generalidad, e insiste en la independencia de su resultado con respecto al achatamiento del esferoide considerado, de la latitud del vértice del triángulo estudiado y de las direcciones azimutales de los lados. La obra en la que Legendre resolvió así el problema fundamental de la trigonometría esferoidal lleva por título "Análisis de triángulos trazados sobre la superficie de un esferoide". Luego, el mismo año 1806 apareció en Italia un trabajo titulado Elementi di trigonometria sferoidica en el que Barnabá Oriani (1752-1832), ya conocido por sus hermosos trabajos geodésicos, completa un poco la teoría de Legendre. Oriani determina las tres ecuaciones fundamentales de la trigonometría esferoidal, desarrollándolas en serie y truncándolas a un orden arbitrario de aproximación, y resuelve el problema inverso de encontrar la latitud de un punto en un esferoide a partir de la latitud y del acimut de otro punto en la línea geodésica, suponiendo que se conoce la distancia entre los dos puntos. De hecho, este trabajo de Oriani presenta la solución completa de los doce problemas más importantes de la trigonometría esferoidal. Esta teoría aún conoció un poco más adelante algunos desarrollos de orden práctico bajo el impulso de Louis Puissant (1769-1843), pero en lo esencial se puede considerar que constituía una disciplina ya madura a partir de 1806.

### Progreso científico en geodesia

Mientras que se realizaban numerosos avances en la geodesia teórica, la geodesia observacional no estaba ociosa. En primer lugar, deben recordarse los experimentos en 1775 de Nevil Maskelyne en el monte Schiehallion (en Escocia) para determinar la masa de la Tierra. Por otro lado, aunque no se trata de una observación geodésica en sentido estricto sino de un gran descubrimiento astronómico, cabe mencionar la observación, el 13 de marzo de 1781, del nuevo planeta Urano, realizada por William Herschel usando un telescopio de su propia fabricación, que en ese momento podría decirse que era el mejor del mundo. Herschel no fue inicialmente un astrónomo, sino un músico enamorado de la óptica y la cultura científica. Al igual que su compatriota, el gran músico Haendel, nació en Hannover y había emigrado a Inglaterra siguiendo al rey Jorge III del Reino Unido. Es el autor de otros descubrimientos astronómicos importantes, en particular de los sistemas de estrellas dobles observados en 1782, y del movimiento de sistema solar hacia un ápex ubicado en la constelación de Hércules. Posteriormente, en 1802, Herschel advirtió que el espectro de la luz solar se extendía hacia frecuencias más bajas que las de la luz roja, descubriendo así la radiación infrarroja.
En 1783, Jean-François Pilâtre de Rozier realizó un primer ascenso en un globo aerostático. En 1787, Jean-Charles de Borda describió las mejoras que convenía aportar a los instrumentos de geodesia y este mismo año se empezó a trabajar con el nuevo círculo repetidor de Borda en las prolongaciones del meridiano de Francia. Primero, según una propuesta anterior de Cassini de Thury, se llevaron a cabo operaciones de enlace entre el Observatorio de París y el Real Observatorio de Greenwich en los suburbios de Londres. El enlace fue realizado conjuntamente por el general británico William Roy (1726-1790) por Inglaterra, y por Cassini de Thury, Méchain y Legendre por Francia. El meridiano de La Caille, prolongado hasta Calais, el cabo Blanc-Nez y el monte Lambert cerca de Boulogne-sur-Mer permitió la conexión con la costa inglesa en Dover y Fairlight Down. Una cadena geodésica formada por una veintena de triángulos unía estos vértices con Greenwich del lado inglés.

## La medición del meridiano

En 1791, la Academia de Ciencias de Francia decidió definir el metro como una diezmillonésima parte de la distancia desde el ecuador hasta el polo norte o sur. Esta nueva definición reemplazó a una propuesta de definición anterior basada en el período de un péndulo, porque la ligera variación de la fuerza de gravedad de la Tierra sobre su superficie afecta al período del péndulo. Para establecer una base universalmente aceptada para la definición del metro, se necesitaban realizar mediciones más precisas de un meridiano. La Academia de Ciencias de Francia encargó la realización de una expedición dirigida por Jean-Baptiste Joseph Delambre y Pierre Méchain, que duró desde 1792 hasta 1799, con el propósito de medir con la mayor precisión posible la distancia entre un campanario en Dunkerque y el castillo de Montjuic en Barcelona. Esta sección del meridiano, que se supone que tenía la misma longitud que el meridiano de París, serviría como base para determinar la longitud del arco de meridiano que conecta el Polo Norte con el Ecuador.
A finales de junio 1792, Delambre y Méchain junto con sus operarios iniciaron la ejecución de los trabajos de medición del meridiano que les había encomendado un decreto de 1791 para determinar exactamente la longitud Q de un cuarto de meridiano, con el objetivo de fijar el valor del metro por la relación:
* 1 metro = 10$^{–7}$ Q
Una vez iniciados los trabajos, Delambre tuvo muchos roces con la Guardia Nacional local entre 1792 y 1793, y apenas pudo trabajar de manera efectiva. Méchain, mientras tanto, se había ido a España, y disfrutando de condiciones climáticas y de una visibilidad excepcionales, había tomado medidas en nueve estaciones en dos meses y había comenzado las observaciones astronómicas necesarias en Montjuic, en las cercanías de Barcelona. También pensó en unir las islas Baleares a la cadena de triangulación del continente. Pero fue víctima de un grave accidente que lo inmovilizó durante casi un año. Además, la guerra franco-española declarada el 7 de marzo de 1793 supuso la paralización de los trabajos, por lo que aprovechó esta detención para recalcular la latitud de la ciudad catalana. Desafortunadamente para él, su segunda medición no coincidió con la primera, y posteriormente nunca podría realizar los trabajos necesarios para comprobar esta medición, por lo que regresaría a Francia en un estado de estrés que se convirtió en depresión.
Delambre escribió en una nota que había elegido una de las dos versiones de los datos de Méchain, pero que no lo haría saber al público, puesto que consideró que la gente no necesitaba conocer estos detalles.
Una vez en Francia, Méchain pudo participar en los trabajos finales del tramo de meridiano entre Dunkerque y Perpiñán, siendo designado para el cargo de director del Observatorio de París que posteriormente quedaría bajo la responsabilidad del Bureau des Longitudes. Pero el proyecto de prolongar el meridiano de Francia a Baleares seguía en la agenda, y Méchain lo retomó en 1803. Desafortunadamente, no pudo completarlo, porque murió repentinamente de fiebre amarilla en Castellón de la Plana el 20 de septiembre de 1804. La finalización del levantamiento geodésico se encomendó, a propuesta de Laplace, a Jean Baptiste Biot (1776-1862) y a François Arago (1786-1853). El trabajo comenzó nuevamente en 1807 y se terminó en 1808.

### Resultado de la medición

El problema con el enfoque dado a la medición del meridiano es que la forma exacta de la Tierra no es una forma matemática simple, como una esfera o un esferoide, una condición necesaria para poder definir con el nivel de precisión requerido un estándar de longitud. La forma irregular y particular de la Tierra suavizada al nivel del mar está representada por un modelo matemático llamado geoide, que literalmente significa "en forma de Tierra". A pesar de estos problemas, en 1793 Francia adoptó esta definición del metro como su unidad oficial de longitud, basándose en los resultados provisionales de esta expedición. Sin embargo, posteriormente se determinó que la primera barra del metro prototipo era corta en aproximadamente 200 micrómetros debido a un error de cálculo del achatamiento de la Tierra, lo que hacía que el prototipo fuera un 0,02% más corto que la definición original propuesta del metro. Independientemente, esta longitud se convirtió en el estándar francés y fue adoptada progresivamente por otros países de Europa. Es por ello que la circunferencia polar de la Tierra es de 40.008 km, en lugar de 40.000 km.

### Desarrollos posteriores

Lagrange había publicado en 1788 la primera edición de su Mecánica analítica, una obra totalmente innovadora que iba a ejercer una profunda influencia en la evolución de la física teórica y, por supuesto, de la mecánica y de las disciplinas relacionadas con ella. También en 1788, Coulomb (1736-1806) estableció su ley de atracción electrostática empleando la balanza de torsión que había inventado en 1784. La invención del batería eléctrica por Alessandro Volta data de 1800.
De 1801 a 1803, Jöns Svanberg (1771-1851) repitió las mediciones de Maupertuis y Clairaut en Laponia, y obtuvo como resultado 57196 toesas para el grado de Laponia, contra las 57436 toesas encontradas por Maupertuis. Por otro lado, Legendre publicó en 1805 su Nuevo método para la determinación de las órbitas de los cometas y en un anexo describía su nuevo método de los mínimos cuadrados, que jugó un papel fundamental en el ajuste de los datos geodésicos. Existe una disputa sobre la prioridad de invención de este método. De hecho, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) afirmó por su parte el haber inventado y utilizado el método de los mínimos cuadrados alrededor de 1795; habiendo publicado los principios de este método en su obra Theoria motus corporum celestium in sectionibus conicis solem ambientium, publicada en 1809.