# Coordenadas elípticas

Las coordenadas elípticas son un sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonales en los que las líneas coordenadas son elipses confocales e hipérbolas. Los dos focos $F_{1}$ y $F_{2}$ están generalmente fijos en las posiciones $x=-a$ y $x=+a$, respectivamente, sobre el eje $OX$ de un sistema cartesiano cuyos ejes son ejes de simetría de las líneas coordenadas hiperbólicas y elípticas.
Las coordenadas elípticas cilíndricas son un sistema tridimensional obtenido haciendo rotar el sistema anterior alrededor del eje de focos y añadiendo una coordenada angular polar adicional.

## Relación con Coordenadas Cartesianas

Para un espacio lR$^2$ La transformación a coordenadas elípticas es un cambio en lR$^2$ que viene dado por (x,y) = Φ (r,φ) donde:
    Φ: lR$^2$ → lR$^2$
    (r,φ) → Φ (r,φ) = (ar cosφ, br sinφ)
donde a y b son constantes. Entonces:
    x = a r cosφ
    y = b r sinφ
Se puede apreciar que la transformación a elípticas no es más que la composición una transformación a polares seguida de una dilatación por un factor a según el eje x y por un factor b según el eje y. Por ello, es inyectiva en el mismo conjunto que la transformación a polares, es decir, en (0,∞) x [0,2π)
El jacobiano de la transformación es:
    J Φ (r,φ) = abr
    dA = J Φ (r,φ) dr dφ = abr dr dφ
En un espacio lR$^3$ Se define el sistema de coordenadas elipsoidales (x,y,z) = Φ (r,θ,φ) mediante las siguientes coordenadas de transformación:
    x = a r sinφ cosθ
    y = b r sinφ sinθ
    z = c r cosφ
El volumen de un elemento en coordenadas elipsoidales equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales, y el Jacobiano es la fracción de las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas por las derivadas parciales de las coordenadas elípticas, por lo que:
    J Φ (r,φ,θ) = d(x,y,x)/d(r,φ,θ) = abc r$^2$ cos$^2$φsinφ + abc r$^2$ sin3φ = abc r$^2$ sinφ(cos$^2$φ + sin$^2$φ) = abc r$^2$ sinφ
Por lo tanto:
    dV = J Φ (r,φ,θ) = abc r$^2$ sinφ dr dφ dθ

## Definición

La definición más común de las coordenadas elípticas bidimensionales $(\mu ,\nu )$ es:
   ${\begin{cases}x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \\y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{cases}}$
Donde:
    $\mu \,$ es un número real no negativo y
    $\nu \in [0,2\pi )\,$.
En el plano complejo, existe una relación equivalente dada por:
   $x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu )$
Estas definiciones corresponde a elipses e hipérbolas. La identidad trigonométrica:
   ${\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$
muestra que las curvas con $\mu \,$ constante son elipses, mientras que la identidad trigonométrica hiperbólica:
   ${\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1$
muestra que las curvas con $\nu \,$ constante son hipérbolas.

## Aplicaciones

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas elípticas son resolución de ecuaciones en derivadas parciales como la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz, para las que las coordenadas elípticas admiten separación de variables. Un ejemplo típico es la carga eléctrica que rodea a un conductor plano de anchura 2a. O el campo de dos cargas eléctricas puntuales del mismo signo a una distancia 2a.