# Conjunto polar

En análisis funcional y de convexidad, y en otras disciplinas matemáticas relacionadas, un conjunto polar $A^{\circ }$ es un conjunto convexo especial asociado a cualquier subconjunto $A$ de un espacio vectorial $X,$ que se encuentra en su espacio dual $X^{\prime }.$ El bipolar de un subconjunto es el polar de $A^{\circ },$ pero se encuentra en $X$ (no en $X^{\prime \prime }$).

## Definiciones

Hay al menos tres definiciones posibles de un conjunto polar, que se originan en la geometría proyectiva y el análisis convexo. En cada caso, la definición describe una dualidad entre ciertos subconjuntos de un emparejamiento de espacios vectoriales $\langle X,Y\rangle$ sobre los números reales o complejos ($X$ e $Y$ son a menudo espacios vectoriales topológicos (EVTs)).
Si $X$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb {K}$, entonces, a menos que se indique lo contrario, $Y$ generalmente, pero no siempre, será algún espacio vectorial de funcionales lineales en $X$ y el emparejamiento dual $\langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times Y\to \mathbb {K}$ será la aplicación de evaluación bilineal (en un punto) definida por
    $\langle x,f\rangle :=f(x).$
Si $X$ es un espacio vectorial topológico, entonces el espacio $Y$ normalmente, aunque no siempre, será el espacio dual de $X,$ en cuyo caso el emparejamiento dual volverá a ser la aplicación de evaluación.
Denótese la bola cerrada de radio $r\geq 0$ centrada en el origen en el cuerpo escalar subyacente $\mathbb {K}$ de $X$ por
    $B_{r}:=B_{r}^{\mathbb {K} }:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}.$

### Definición analítica funcional
#### Polar absoluto

Supóngase que $\langle X,Y\rangle$ es un emparejamiento. El polar o polar absoluto de un subconjunto $A$ de $X$ es el conjunto:
    ${\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\langle a,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\sup |\langle A,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ donde }}|\langle A,y\rangle |:=\{|\langle a,y\rangle |:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\langle A,y\rangle \subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ donde }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}$
donde $\langle A,y\rangle :=\{\langle a,y\rangle :a\in A\}$ denota la imagen del conjunto $A$ bajo la aplicación $\langle \cdot ,y\rangle :X\to \mathbb {K}$ definida por $x\mapsto \langle x,y\rangle .$ Si $\operatorname {cobal} A$ denota el conjunto absolutamente convexo de $A,$ que, por definición, es el subconjunto de $X$ convexo y equilibrado más pequeño que contiene a $A,$ entonces $A^{\circ }=[\operatorname {cobal} A]^{\circ }.$
Esta es una transformación afín de la definición geométrica, que tiene la útil caracterización de que el polar analítico funcional de la bola unitaria (en $X$) es precisamente la bola unitaria (en $Y$).
El prepolar o prepolar absoluto de un subconjunto $B$ de $Y$ es el conjunto:
    $^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}|\langle x,b\rangle |\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup |\langle x,B\rangle |\leq 1\}$
Muy a menudo, el prepolar de un subconjunto $B$ de $Y$ también se denomina polar o polar absoluto de $B$ y se denota por $B^{\circ }$; en la práctica, esta reutilización de la notación y de la palabra "polar" rara vez causa problemas (de ambigüedad) y muchos autores ni siquiera utilizan la palabra "prepolar".
El 'bipolar de un subconjunto $A$ de $X,$ a menudo denotado por $A^{\circ \circ },$ es el conjunto $^{\circ }\left(A^{\circ }\right)$; eso es,
    $A^{\circ \circ }:=^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X~:~\sup _{y\in A^{\circ }}|\langle x,y\rangle |\leq 1\right\}.$

#### Polar real

El polar real de un subconjunto $A$ de $X$ es el conjunto:
    $A^{r}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} \langle a,y\rangle \leq 1\right\}$
y el prepolar real de un subconjunto $B$ de $Y$ es el conjunto:
    $^{r}B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}\operatorname {Re} \langle x,b\rangle \leq 1\right\}.$
Al igual que con el prepolar absoluto, el prepolar real generalmente se llama "polar real" y también se denota por $B^{r}.$. Es importante señalar que algunos autores (por ejemplo, [Schaefer 1999]) definen "polar" como "polar real" (en lugar de "polar absoluto", como se hace en este artículo) y utilizan la notación $A^{\circ }$ para ello (en lugar de la notación $A^{r}$ que se utiliza en este artículo y en [Narici 2011]).
El bipolar real de un subconjunto $A$ de $X,$ denotado a veces por $A^{rr},$ es el conjunto $^{r}\left(A^{r}\right)$; que es igual al cierre $\sigma (X,Y)$ de la envolvente convexa de $A\cup \{0\}.$
Para un subconjunto $A$ de $X,$ $A^{r}$ es convexo, $\sigma (Y,X)$ cerrado y contiene a $A^{\circ }.$ En general, es posible que $A^{\circ }\neq A^{r}$, pero la igualdad se mantendrá si $A$ es equilibrado. Además, $A^{\circ }=\left(\operatorname {bal} \left(A^{r}\right)\right)$ donde $\operatorname {bal} \left(A^{r}\right)$ denota la envolvente equilibrada de $A^{r}.$

#### Definiciones posibles

La definición de "polar" de un conjunto no está universalmente aceptada. Aunque en este artículo se definió "polar" como "polar absoluto", algunos autores definen "polar" como "polar real" y otros autores utilizan otras definiciones. No importa cómo un autor defina "polar", la notación $A^{\circ }$ casi siempre representa su elección de la definición (por lo que el significado de la notación $A^{\circ }$ puede variar de una fuente a otra). En particular, la polar de $A$ a veces se define como:
    $A^{|r|}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\operatorname {Re} \langle a,y\rangle |\leq 1\right\}$
donde la notación es $A^{|r|}$ no es la notación estándar.
Ahora se discute brevemente cómo se relacionan estas diversas definiciones entre sí y cuándo son equivalentes.
Siempre se considera el caso de que
    $A^{\circ }~\subseteq ~A^{|r|}~\subseteq ~A^{r}$
y si $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ tiene un valor real (o de manera equivalente, si $X$ e $Y$ son espacios vectoriales sobre $\mathbb {R}$), entonces $A^{\circ }=A^{|r|}.$
Si $A$ es un conjunto simétrico (es decir, $-A=A$ o equivalentemente, $-A\subseteq A$), entonces $A^{|r|}=A^{r}$, donde si además $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ tiene un valor real, entonces $A^{\circ }=A^{|r|}=A^{r}.$
Si $X$ e $Y$ son espacios vectoriales sobre $\mathbb {C}$ (de modo que $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ tiene valores complejos) y si $iA\subseteq A$ (donde debe tenerse en cuenta que esto implica $-A=A$ y $iA=A$), entonces
    $A^{\circ }\subseteq A^{|r|}=A^{r}\subseteq \left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}A\right)^{\circ }$
donde si además $e^{ir}A\subseteq A$ para todos los $r$ reales, entonces $A^{\circ }=A^{r}.$
Por lo tanto, para que todas estas definiciones del conjunto polar de $A$ concuerden, es suficiente que $sA\subseteq A$ para todos los escalares $s$ de longitud unidad (donde esto es equivalente a que $sA=A$ para todos los escalares de longitud unitaria $s$). En particular, todas las definiciones del polar de $A$ coinciden cuando $A$ es un conjunto equilibrado (que suele ser el caso, pero no siempre), por lo que a menudo cuál de estas posibles definiciones se utiliza es irrelevante. Sin embargo, estas diferencias en las definiciones del "polar" de un conjunto $A$ a veces introducen diferencias técnicas sutiles o importantes cuando $A$ no está necesariamente equilibrado.

#### Especialización para la dualidad canónica

Espacio dual algebraico
Si $X$ es cualquier espacio vectorial, entonces $X^{\#}$ denota el espacio dual de $X,$ que es el conjunto de todos los funcionales lineales en $X.$ El espacio vectorial $X^{\#}$ es siempre un subconjunto cerrado del espacio $\mathbb {K} ^{X}$ de todas las funciones valoradas en $\mathbb {K}$ en $X$ bajo la topología de convergencia puntual. Entonces, cuando $X^{\#}$ está dotado de la topología subespacial, $X^{\#}$ se convierte en un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo completo de Hausdorff. Para cualquier subconjunto $A\subseteq X,$ considérese que
    ${\begin{alignedat}{4}A^{\#}:=A^{\circ ,\#}:=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{a\in A}|f(a)|\leq 1\right\}&&\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup |f(A)|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ donde }}|f(A)|:=\{|f(a)|:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~f(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~&&{\text{ donde }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}$
Si $A\subseteq B\subseteq X$ son subconjuntos, entonces $B^{\#}\subseteq A^{\#}$ y $A^{\#}=[\operatorname {cobal} A]^{\#},$ donde $\operatorname {cobal} A$ denota el conjunto absolutamente convexo de $A.$ Para cualquier subespacio vectorial de dimensión finita $Y$ de $X,$ denótese por $\tau _{Y}$ la topología euclídea en $Y,$ que es la topología única que convierte a $Y$ en un espacio vectorial topológico (EVT) de Hausdorff. Si $A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finito} }$ denota la unión de todas las clausuras, $\operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)$ ya que $Y$ varía en todos los subespacios vectoriales de dimensión finita de $X,$ entonces $A^{\#}=\left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finito} }\right]^{\#}$ (consúltese esta nota al pie para una explicación). Si $A$ es un subconjunto absorbente de $X$, entonces, según el teorema de Banach-Alaoglu, $A^{\#}$ es un subconjunto compacto *débil de $X^{\#}.$
Si $A\subseteq X$ es cualquier subconjunto no vacío de un espacio vectorial $X$ y si $Y$ es cualquier espacio vectorial de funcionales lineales en $X$ (es decir, un subespacio vectorial de espacios duales de $X$), entonces la aplicación de valores reales
    $|\,\cdot \,|_{A}\;:\,Y\,\to \,\mathbb {R}$ definido por $\left|x^{\prime }\right|_{A}~:=~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|~:=~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|$
es una seminorma en $Y.$ Si $A=\varnothing$ entonces, por definición de elemento supremo e ínfimo, $\,\sup \left|x^{\prime }(A)\right|=-\infty \,$ de modo que la aplicación $\,|\,\cdot \,|_{\varnothing }=-\infty \,$ definido anteriormente no tendría valor real y, en consecuencia, no sería una seminorma.
Espacio dual continuo
Supóngase que $X$ es un espacio vectorial topológico (EVT) con espacio dual $X^{\prime }.$ El caso especial importante donde $Y:=X^{\prime }$ y los corchetes representan la aplicación canónica:
    $\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)$
se considera ahora. El triplete formado por $\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$ asociado con $X$ es el llamado emparejamiento canónico.
La polar de un subconjunto $A\subseteq X$ con respecto a este emparejamiento canónico es:
    ${\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ porque }}\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(a)\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ donde }}\left|x^{\prime }(A)\right|:=\left\{\left|x^{\prime }(a)\right|:a\in A\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~x^{\prime }(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ donde }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}$
Para cualquier subconjunto $A\subseteq X,$ $A^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}A\right]^{\circ }$ donde $\operatorname {cl} _{X}A$ denota la clausura de $A$ en $X.$
El teorema de Banach-Alaoglu establece que si $A\subseteq X$ es un entorno del origen en $X$, entonces $A^{\circ }=A^{\#}$ y este conjunto polar es un subconjunto compacto del espacio dual continuo $X^{\prime }$ cuando $X^{\prime }$ está dotado de topología *débil (también conocida como topología de convergencia puntual).
Si $A$ satisface $sA\subseteq A$ para todos los escalares $s$ de longitud unitaria, entonces se pueden reemplazar los signos de valor absoluto por $\operatorname {Re}$ (el operador de parte real) de modo que:
    ${\begin{alignedat}{4}A^{\circ }=A^{r}:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} x^{\prime }(a)\leq 1\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \operatorname {Re} x^{\prime }(A)\leq 1\right\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}$
El prepolar de un subconjunto $B$ de $Y=X^{\prime }$ es:
    $^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\left|b^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}=\{x\in X:\sup |B(x)|\leq 1\}$
Si $B$ satisface $sB\subseteq B$ para todos los escalares $s$ de longitud unitaria, entonces se pueden reemplazar los signos de valor absoluto con $\operatorname {Re}$ de modo que:
    $^{\circ }B=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\operatorname {Re} b^{\prime }(x)\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup \operatorname {Re} B(x)\leq 1\}$
donde $B(x):=\left\{b^{\prime }(x)~:~b^{\prime }\in B\right\}.$
El teorema bipolar caracteriza el bipolar de un subconjunto de un espacio vectorial topológico.
Si $X$ es un espacio normado y $S$ es la bola unitaria abierta o cerrada en $X$ (o incluso cualquier subconjunto de la bola unitaria cerrada que contiene la bola unitaria abierta), entonces $S^{\circ }$ es la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo $X^{\prime }$ cuando $X^{\prime }$ dotado de su norma dual canónica.

### Definición geométrica de los conos

El cono polar de un cono convexo $A\subseteq X$ es el conjunto
    $A^{\circ }:=\left\{y\in Y~:~\sup _{x\in A}\langle x,y\rangle \leq 0\right\}$
Esta definición da una dualidad en puntos e hiperplanos, escribiéndose estos últimos como la intersección de dos semiespacios orientados de manera opuesta. El hiperplano polar de un punto $x\in X$ es el lugar geométrico $\{y~:~\langle y,x\rangle =0\}$. La relación dual para un hiperplano produce el punto polar de ese hiperplano.
Algunos autores (confusamente) llaman a un cono dual cono polar, y en este artículo no se sigue esta convención.

## Propiedades

A menos que se indique lo contrario, $\langle X,Y\rangle$ será un emparejamiento. La topología $\sigma (Y,X)$ es una topología *débil en $Y$, mientras que $\sigma (X,Y)$ es una topología débil en $X.$ Para cualquier conjunto $A,$ $A^{r}$ denota el polar real de $A$ y $A^{\circ }$ denota el polar absoluto de $A.$ El término "polar" se referirá al polar absoluto.
* El polar (absoluto) de un conjunto es convexo y equilibrado.
* El polar real $A^{r}$ de un subconjunto $A$ de $X$ es convexo pero no necesariamente está equilibrado; $A^{r}$ estará equilibrado si $A$ está equilibrado.
* Si $sA\subseteq A$ para todos los escalares $s$ de longitud unidad, entonces $A^{\circ }=A^{r}.$
* $A^{\circ }$ es cerrado en $Y$ bajo una topología *débil en $Y$.
* Un subconjunto $S$ de $X$ está débilmente acotado (es decir, acotado por $\sigma (X,Y)$) si y solo si $S^{\circ }$ es absorbente en $Y$.
* Para un emparejamiento dual $\langle X,X^{\prime }\rangle ,$ donde $X$ es un EVT y $X^{\prime }$ es su espacio dual continuo, si $B\subseteq X$ está acotado entonces $B^{\circ }$ es absorbente en $X^{\prime }.$ Si $X$ es localmente convexo y $B^{\circ }$ es absorbente en $X^{\prime }$, entonces $B$ está acotado en $X.$ Además, un subconjunto $S$ de $X$ está débilmente acotado si y solo si $S^{\circ }$ es absorbente en $X^{\prime }.$
* El $A^{\circ \circ }$ bipolar de un conjunto $A$ es la envolvente convexa $\sigma (X,Y)$ de $A\cup \{0\},$ que es el conjunto cerrado y convexo $\sigma (X,Y)$ más pequeño que contiene tanto a $A$ como a $0.$
** De manera similar, el cono bidual de un cono $A$ es el $\sigma (X,Y)$ cerrado de una envolvente cónica de $A.$.
* Si ${\mathcal {B}}$ es una base en el origen para un EVT $X$, entonces $X^{\prime }=\bigcup _{B\in \mathbb {B} }\left(B^{\circ }\right).$
* Si $X$ es un EVT localmente convexo, entonces las polares (tomadas con respecto a $\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$) de cualquier base entorno de 0 forman una familia fundamental de subconjuntos equicontinuos de $X^{\prime }$ (es decir, dado cualquier subconjunto acotado $H$ de $X_{\sigma }^{\prime },$ existe un entorno $S$ del origen en $X$ tal que $H\subseteq S^{\circ }$).
** Por el contrario, si $X$ es un EVT localmente convexo, entonces los polares (tomados con respecto a $\langle X,X^{\#}\rangle$) de cualquier familia fundamental de subconjuntos equicontinuos de $X^{\prime }$ forman una base en un entorno del origen en $X.$
* Sea $X$ un EVT con una topología $\tau .$ Entonces, $\tau$ es una topología en un EVT localmente convexa si y solo si $\tau$ es la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos equicontinuos de $X^{\prime }.$
Los dos últimos resultados explican por qué los subconjuntos equicontinuos del espacio dual continuo juegan un papel tan destacado en la teoría moderna del análisis funcional: porque los subconjuntos equicontinuos encapsulan toda la información sobre la topología original del espacio localmente convexo $X$.
Otras relaciones
* $X^{\circ }=X^{|r|}=X^{r}=\{0\}$ y $\varnothing ^{\circ }=\varnothing ^{|r|}=\varnothing ^{r}=Y.$
* Para todos los escalares $s\neq 0,$ $(sA)^{\circ }={\tfrac {1}{s}}\left(A^{\circ }\right)$ y para todos los $t\neq 0,$ $(tA)^{|r|}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{|r|}\right)$ y $(tA)^{r}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{r}\right)$ reales.
* $A^{\circ \circ \circ }=A^{\circ }.$ Sin embargo, para el polar real se tiene que $A^{rrr}\subseteq A^{r}.$
* Para cualquier colección finita de conjuntos $A_{1},\ldots ,A_{n},$ :$\left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right)^{\circ }=\left(A_{1}^{\circ }\right)\cup \cdots \cup \left(A_{n}^{\circ }\right).$
* Si $A\subseteq B$, entonces $B^{\circ }\subseteq A^{\circ },$ $B^{r}\subseteq A^{r},$ y $B^{|r|}\subseteq A^{|r|}.$
** Un corolario inmediato es que $\bigcup _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)\subseteq \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }$. La igualdad necesariamente se cumple cuando $I$ es finito y puede no cumplirse si $I$ es infinito.
* $\bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }$ y $\bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{r}\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{r}.$
* Si $C$ es un cono en $X$, entonces $C^{\circ }=\left\{y\in Y:\langle c,y\rangle =0{\text{ para todo }}c\in C\right\}.$
* Si $\left(S_{i}\right)_{i\in I}$ es una familia de subconjuntos cerrados $\sigma (X,Y)$ de $X$ que contienen $0\in X,$ entonces el polar real de $\cap _{i\in I}S_{i}$ es el recubrimiento convexo cerrado de $\cup _{i\in I}\left(S_{i}^{r}\right).$
* Si $0\in A\cap B$ entonces $A^{\circ }\cap B^{\circ }\subseteq 2\left[(A+B)^{\circ }\right]\subseteq 2\left(A^{\circ }\cap B^{\circ }\right).$
* Para un cono convexo $C$ cerrado en un espacio vectorial real $X,$ el cono polar es el polar de $C$; es decir,
       $C^{\circ }=\{y\in Y:\sup _\langle C,y\rangle \leq 0\},$
    donde $\sup _\langle C,y\rangle :=\sup _{c\in C}\langle c,y\rangle .$