# Integral exponencial

En el ámbito de las matemáticas la integral exponencial es una función especial definida en el plano complejo e identificada con el símbolo Ei.

## Definiciones

Para valores reales de $x$, la integral exponencial $Ei(x)$ se define como
    ${\mbox{Ei}}(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.\,$
Esta definición puede ser utilizada para valores positivos de $x$, pero a causa de la singularidad del integrando en cero, la integral debe ser interpretada en término del valor principal de Cauchy. Para valores complejos del argumento, esta definición es ambigua a causa de los puntos de ramificación en 0 y en $\infty$. En general, se realiza un corte en el eje real negativo y Ei puede ser definida mediante una continuación analítica en el resto del plano complejo.
Se utiliza la siguiente notación,
    $\mathrm {E} _{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi$
Para valores positivos de la parte real de $z$, esto se puede expresar como
    $\mathrm {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad \Re (z)\geq 0.$
El comportamiento de E$_1$ cerca del branch cut puede ser analizado mediante la siguiente relación:
    $\lim _{\delta \to 0\pm }\mathrm {E_{1}} (-x+i\delta )=-\mathrm {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad x>0,$

## Propiedades

Las propiedades de la exponencial integral mostradas, en ocasiones, permiten sortear la evaluación explícita de la función a partir de la definición dada arriba.

### Series Convergentes

Tras integrar la serie de Taylor de $e^{-t}/t$, y extraer la singularidad logarítmica, se puede obtener la siguiente representación en forma de serie de $\mathrm {E_{1}} (x)$ para $x$ real:
    $\mathrm {Ei} (x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}}\qquad x>0$
Para argumentos complejos fuera del eje real, esta serie se generaliza a
    $\mathrm {E_{1}} (z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\qquad (|\mathrm {Arg} (z)|<\pi )$
donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni. La suma converge para todo $z$ complejo, y tomamos el valor usual del logaritmo complejo con el corte de rama a lo largo del eje real negativo.

### Series Asintóticas

Por desgracia, la convergencia de las series mostradas arriba es muy lenta para argumentos con gran módulo. Por ejemplo, para $x=10$, se necesitan más de 40 términos para obtener una respuesta correcta con 3 cifras significativas. Sin embargo, existe una serie asintótica divergente que puede ser obtenida a partir de la integración de $ze^{z}\mathrm {E_{1}} (z)$ por partes:
    $\mathrm {E_{1}} (z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}$
cuyo error es del orden $O(N!z^{-N})$ y es válida para grandes valores de $\mathrm {Re} (z)$. El error relativo de la serie asintótica se muestra en la gráfica de la derecha para varios valores de $N$ ($N=1$ en rojo, $N=5$ en rosa). Cuando $x>40$, la aproximación dada con $N=40$ es exacta en representación de doble precisión, de 64 bits.

### Comportamiento exponencial y logarítmico: Cotas

De las series dadas arriba, se deduce que $\mathrm {E_{1}}$ se comporta como una exponencial negativa para grandes valores del argumento y como un logaritmo para pequeños valores del mismo. Para valores reales positivos del argumento, $\mathrm {E_{1}}$ queda acotada superior e inferiormente por funciones elementales como sigue:
    ${\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<\mathrm {E_{1}} (x)<e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0$
La parte izquierda de la desigualdad se muestra en la gráfica de la izquierda en azul, la parte central, que es $\mathrm {E_{1}} (x)$, es la curva negra y la parte de la derecha es la curva roja.

### Definición mediante $\mathrm {Ein}$

Las funciones $\mathrm {Ei}$ y $\mathrm {E_{1}}$ pueden ser escritas de forma más simple mediante la función entera $\mathrm {Ein}$ definida como
    $\mathrm {Ein} (z)=\int _{0}^{z}(1-e^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}$
(nótese que esta es la serie alternante que aparecía en la definición de $\mathrm {E_{1}}$). Se sigue inmediatamente que:
    $\mathrm {E_{1}} (z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z)\qquad |\mathrm {Arg} (z)|<\pi$
    $\mathrm {Ei} (x)\,=\,\gamma +\ln x-\mathrm {Ein} (-x)\qquad x>0$

### Relación con otras funciones

La integral exponencial está altamente relacionada con la función logaritmo integral $li(x)$ por la siguiente relación
    $\mathrm {li} (x)=\mathrm {Ei} (\ln x)\,$
para valores positivos reales de $x$.
La integral exponencial se puede generalizar a
    ${\rm {E}}_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,\mathrm {d} t,$
que es una familia de funciones que puede representarse como un caso especial de la función gamma incompleta:
    ${\rm {E}}_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).\,$
Esta forma generizada se llama a veces función de Misra function $\varphi _{m}(x)$, que se define como
    $\varphi _{m}(x)={\rm {E}}_{-m}(x).\,$

### Derivadas

Las derivadas de las funciones $\mathrm {E_{n}}$ pueden ser obtenerse mediante el uso de la fórmula
    $\mathrm {E_{n}} '(z)=-\mathrm {E_{n-1}} (z)\qquad (n=1,2,3,\ldots )$
Nótese que la función $\mathrm {E_{0}}$ es sencilla de evaluar (dando un término inicial a la relación recursiva), pues es $e^{-z}/z$.

### Integral exponencial de argumento imaginario

Si $z$ es imaginario, la función tiene una parte real no nula, así podemos usar la fórmula
    $\mathrm {E_{1}} (z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,\mathrm {d} t$
para obtener una relación de la exponencial integral con las integrales trigonométricas $\mathrm {Si}$ y $\mathrm {Ci}$:
    $\mathrm {E_{1}} (ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+\mathrm {Si} (x)\right)-\mathrm {Ci} (x)\qquad (x>0)$
Las partes real e imaginaria de $\mathrm {E_{1}} (x)$ están dibujadas en la gráfica de la derecha en negro y rojo respectivamente.

## Aplicaciones

* Transmisión de calor con dependencia temporal
* Flujo de aguas subterráneas fuera del equilibrio en la solución de Theis
* Transferencia radiativa en atmósferas estelares
* Ecuación de difusividad radial para flujos transitorios o de flujo no estacionario entre fuentes y sumideros con forma de línea recta.