# Ángulos entre paralelas

Los ángulos entre rectas paralelas y una transversal , en geometría euclidiana, son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas (r y s en la imagen de la derecha) y una transversal a ellas (t).

## Denominación

* Ángulos alternos: son los que se encuentran a distinto lado de la secante.
* Ángulos conjugados: son los que se encuentran al mismo lado de la secante.
* Alternos internos: son los que se encuentran en la zona interior de las rectas paralelas.
* Alternos externos: Son los que se encuentran en la zona externa de las rectas paralelas.
* Correspondientes: Son los que se encuentran a un mismo lado de la secante, uno es externo y el otro interno.

### Ángulos alternos internos

Las parejas de ángulos: c,f; d,e se llaman ángulos alternos internos.
Los ángulos alternos internos son congruentes.

### Ángulos alternos externos

Las parejas de ángulos: a,h; se llaman ángulos alternos externos.
Los ángulos alternos externos son congruentes.

### Ángulos conjugados internos

Los ángulos conjugados internosson los que se encuentran del mismo lado de la secante y entre de las rectas paralelas.
Son ángulos conjugados internos los siguientes ángulos: c,e; d,f.
Los ángulos conjugados internos son suplementarios (suman $180^{\circ }$).

### Ángulos conjugados externos

Los ángulos conjugados externos son los que se encuentran al mismo lado de la secante y en la parte exterior de las rectas paralelas.
Son ángulos conjugados externos los siguientes ángulos: a,g; b,h.
Los ángulos conjugados son suplementarios (suman $180^{\circ }$).

### Ángulos correspondientes

Son los ángulos que se encuentran a un mismo lado de la secante, uno es externo y el otro interno, son adyacentes. Los pares de ángulos: c, g; a, e; d, h y b, f; son correspondientes
Los ángulos correspondientes son congruentes.

## Ángulos congruentes entre paralelas

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre dos paralelas y una transversal, hay únicamente dos distintos, que no son adyacentes.

## Teoremas y resultados relacionados

La noción de ángulos correspondientes es la base de numerosos ejemplos y teoremas fundamentales de la geometría, presente en los cursos de enseñanza media de las matemáticas. Es un resultado geométrico intuitivo conocido y manejado desde la antigüedad, de manera tanto práctica como teórica, si bien es la ciencia griega, y en particular Euclides, en los Elementos (siglo III a. C.), quienes formalizan los conceptos y las nociones de un modo que ha permanecido casi sin variaciones hasta nuestros días.
* Teorema de Desargues.
* Teorema de Tales.
* Triángulos semejantes.
* Triángulos semejantes.

### Proposiciones de Euclides

La controversia sobre el V postulado alcanza la definición de los ángulos entre rectas paralelas y una secante desde el momento mismo de la elección de la noción de «rectas paralelas»: las que guardan siempre la misma distancia; las que no se encuentran; o bien las que forman ángulos congruentes al ser cortadas por una transversal.
De Los Elementos de Euclides:
* Proposición 28
* Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos ángulos rectos, las rectas serán paralelas entre sí.
* Proposición 29
* Una recta que corta a otras dos rectas paralelas hace los ángulos alternos iguales, los ángulos externos iguales a los interiores y opuestos, y la suma de los ángulos internos por el mismo lado iguales a dos rectos.
* Definición 23
* Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.

### Independencia del V postulado

Los siguientes dos resultados (lógicamente equivalentes) son independientes del V postulado de Euclides. La Proposición 16, por ejemplo, no se cumple en geometría elíptica.
De Los Elementos de Euclides:
* Proposición 27
* Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace los ángulos alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas.
* Proposición 16
* En cualquier triángulo, si se alarga uno de los lados, el ángulo exterior es mayor o igual que el ángulo interior y los ángulos opuestos.

## Geometría no-euclidiana

En la geometría absoluta o la geometría esférica por ejemplo, el quinto postulado de Euclides no aplica, por lo que los ángulos entre rectas paralelas y una secante tienen propiedades diferentes.