# Producto tensorial inyectivo

En matemáticas, el producto tensorial inyectivo de dos espacios vectoriales topológicos (EVTs) fue introducido por Alexander Grothendieck, que lo utilizó para definir los espacios nucleares. En general, un producto tensorial inyectivo no es necesariamente completo, por lo que su completación se denomina productos tensoriales inyectivos completos. Los productos tensoriales inyectivos tienen aplicaciones fuera de los espacios nucleares. En particular, como se describe a continuación, muchos EVTs que se definen para funciones con valores reales o complejos, por ejemplo, el espacio de Schwartz o el espacio de funciones continuamente diferenciables, se pueden extender inmediatamente a funciones valoradas en un EVT localmente convexo de Hausdorff $Y$ sin necesidad alguna de extender definiciones (como "diferenciable en un punto") de funciones con valores reales/complejos a funciones con valores en $Y$.

## Preliminares y notación

Sean $X,Y,$ y $Z$ espacios vectoriales topológicos, y $L:X\to Y$ una aplicación lineal.
* $L:X\to Y$ es un homomorfismo topológico u homomorfismo, si es lineal, continuo, y $L:X\to \operatorname {Im} L$ es una aplicación abierta, donde $\operatorname {Im} L=L(X)$ tiene la topología subespacial inducida por $Y$
** Si $S$ es un subespacio de $X$, entonces tanto la aplicación cociente $X\to X/S$ como la inyección canónica $S\to X$ son homomorfismos. En particular, cualquier aplicación lineal $L:X\to Y$ se puede descomponer canónicamente de la siguiente manera: $X\to X/\ker L{\overset {L_{0}}{\rightarrow }}\operatorname {Im} L\to Y$ donde $L_{0}(x+\ker L):=L(x)$ define una biyección.
* El conjunto de aplicaciones lineales continuas $X\to Z$ (respectivamente, aplicaciones bilineales continuas $X\times Y\to Z$) se denotará por $L(X;Z)$ (respectivamente, $B(X,Y;Z)$), donde si $Z$ es el cuerpo escalar, entonces se puede escribir $L(X)$ (respectivamente, $B(X,Y)$).
* El conjunto de aplicaciones bilineales continuas separadamente $X\times Y\to Z$ (es decir, continuas en cada variable cuando la otra variable es fija) se denotará por ${\mathcal {B}}(X,Y;Z)$ donde, si $Z$ es el cuerpo escalar, entonces se puede escribir ${\mathcal {B}}(X,Y).$
* Denótese el espacio dual de $X$ por $X^{\prime }$ y el espacio dual algebraico (que es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en $X,$ sean continuas o no) por $X^{\#}.$
** Para aumentar la claridad de la exposición, se usa la convención común de escribir elementos de $X^{\prime }$ con una comilla después del símbolo (por ejemplo, $x^{\prime }$ denota un elemento de $X^{\prime }$ (no confundir con una derivada) y las variables $x$ y $x^{\prime }$ en general no están relacionadas de manera alguna.

### Notación para topologías

* $\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$ denota la topología más gruesa en $X$, lo que hace que cada aplicación en $X^{\prime }$ sea continua y $X_{\sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ o $X_{\sigma }$ denota $X$ dotado con esta topología.
* $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ denota la topología *débil sobre $X^{\prime }$ y $X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ o $X_{\sigma }^{\prime }$ denota $X^{\prime }$ dotado con esta topología.
** Téngase en cuenta que cada $x_{0}\in X$ induce una aplicación $X^{\prime }\to \mathbb {R}$ definida por $\lambda \mapsto \lambda \left(x_{0}\right).$ $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ es la topología más gruesa en X', lo que hace que todas esas aplicaciones sean continuas.
* $b\left(X,X^{\prime }\right)$ denota la topología de convergencia acotada en $X$ y $X_{b\left(X,X^{\prime }\right)}$ o $X_{b}$ denota $X$ dotado con esta topología.
* $b\left(X^{\prime },X\right)$ denota la topología de convergencia limitada en $X^{\prime }$ o la topología dual fuerte en $X^{\prime }$ y $X_{b\left(X^{\prime },X\right)}$ o $X_{b}^{\prime }$ denota $X^{\prime }$ dotado con esta topología.
** Como es habitual, si $X^{\prime }$ se considera como un espacio vectorial topológico pero no se ha dejado claro con qué topología está dotado, entonces se asumirá que la topología es $b\left(X^{\prime },X\right).$
* $\tau \left(X,X^{\prime }\right)$ denota la topología de Mackey en $X$ o la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos convexos equilibrados débilmente compactos de $X^{\prime }$ y $X_{\tau \left(X,X^{\prime }\right)}$ o $X_{\tau }$ denota $X$ dotado con esta topología. $\tau (X,X^{\prime })$ es la topología más fina en un EVT localmente convexo $X$, cuyo espacio dual continuo es igual a $X^{\prime }.$
* $\tau \left(X^{\prime },X\right)$ denota la topología de Mackey sobre $X^{\prime }$ o la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos convexos equilibrados débilmente compactos de $X$ y $X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}$ o $X_{\tau }^{\prime }$ denota $X$ dotado de esta topología.
** Téngase en cuenta que $\tau \left(X^{\prime },X\right)\subseteq b\left(X^{\prime },X\right)\subseteq \tau \left(X^{\prime },X^{\prime \prime }\right).$
* $\varepsilon \left(X,X^{\prime }\right)$ denota la 'topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos de $X^{\prime }$ y $X_{\varepsilon \left(X,X^{\prime }\right)}$ o $X_{\varepsilon }$ denota $X$ dotado con esta topología.
** Si $H$ es un conjunto de aplicaciones lineales $X\to Y$, entonces $H$ es equicontinuo si y solo si es equicontinuo en el origen; es decir, si y solo si para cada entorno $V$ del origen en $Y,$ existe un entorno $U$ del origen en $X$ tal que $\lambda (U)\subseteq V$ para cada $\lambda \in H.$
* Un conjunto $H$ de aplicaciones lineales de $X$ a $Y$ se llama equicontinuo si para cada entorno $V$ del origen en $Y,$ existe un entorno $U$ del origen en $X$ tal que $h(U)\subseteq V$ para todo $h\in H.$

## Definición

En todo momento, se considra que $X$ e $Y$ son espacios vectoriales topológicos con espacios duales continuos $X^{\prime }$ e $Y^{\prime }.$ Téngase en cuenta que casi todos los resultados descritos son independientes de si estos espacios vectoriales están sobre $\mathbb {R}$ o sobre $\mathbb {C}$, pero para simplificar la exposición se asume que están sobre el cuerpo $\mathbb {C} .$

### Aplicaciones bilineales continuas como producto tensorial

A pesar de que el producto tensorial $X\otimes Y$ es una construcción puramente algebraica (su definición no implica ninguna topología), el espacio vectorial $B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ de funcionales bilineales continuos es siempre un producto tensorial de $X$ e $Y$ (es decir, $B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y$) cuando se define $\,\otimes \,$ en la forma ahora descrita.
Para cada $(x,y)\in X\times Y,$ denótese por $x\otimes y$ la forma bilineal en $X^{\prime }\times Y^{\prime }$ definida por
    $(x\otimes y)\left(x^{\prime },y^{\prime }\right):=x^{\prime }(x)y^{\prime }(y).$
Este aplicación $x\otimes y:X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }\to \mathbb {C}$ es siempre continua, y por lo tanto, la asignación que envía $(x,y)\in X\times Y$ a la forma bilineal $x\otimes y$ induce una aplicación canónica.
    $\cdot \,\otimes \,\cdot \;:\;X\times Y\to {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$
cuya imagen $X\otimes Y$ está contenida en $B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).$ De hecho, cada forma bilineal continua en $X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }$ pertenece al intervalo de la imagen de esta aplicación (es decir, $B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=\operatorname {span} (X\otimes Y)$). El siguiente teorema se puede utilizar para verificar que
    $B\left(X\prime _{\sigma },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ junto con la aplicación anterior $\,\otimes \,$ es un producto tensorial de $X$ e $Y.$
* Teorema
* Sean $X,Y,$ y $Z$ espacios vectoriales, y sea $T:X\times Y\to Z$ una aplicación bilineal. Entonces, $(Z,T)$ es un producto tensorial de $X$ e $Y$ si y solo si la imagen de $T$ abarca todo $Z$ (es decir, $Z=\operatorname {span} T(X\times Y)$), y los espacios vectoriales $X$ e $Y$ son $T$-linealmente disjuntos, lo que por definición significa que para todas las sucesiones de elementos $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ y $y_{1},\ldots ,y_{n}\in Y$ de la misma longitud finita $n\geq 1$ que satisfacen $0=T\left(x_{1},y_{1}\right)+\cdots +T\left(x_{n},y_{n}\right),$
* Si todos los $x_{1},\ldots ,x_{n}$ son linealmente independientes, entonces todos los $y_{i}$ son $0,$ y
* Si todos los $y_{1},\ldots ,y_{n}$ son linealmente independientes, entonces todos los $x_{i}$ son $0.$
* De manera equivalente, $X$ e $Y$ son $T$ linealmente disjuntos si y solo si para todas las sucesiones linealmente independientes $x_{1},\ldots ,x_{m}$ en $X$ y todas las sucesiones linealmente independientes $y_{1},\ldots ,y_{n}$ en $Y,$ los vectores $\left\{T\left(x_{i},y_{j}\right):1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\right\}$ son linealmente independientes.

### Topología

De ahora en adelante, se supondrá que todos los espacios vectoriales topológicos considerados son localmente convexos. Si $Z$ es cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo, entonces B(X$_σ$$^′$, Y$_σ$$^′$;Z) ⊆ B(X$_b$$^′$, Y$_b$$^′$;Z){\textstyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime }, Y_{\sigma }^{\prime };Z\right)~\subseteq ~{\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime }, Y_{b}^{\prime };Z\right)} y para cualquier subconjunto equicontinuo $G\subseteq X^{\prime }$ y $H\subseteq Y^{\prime },$ y cualquier entorno $N$ en $Z,$ se definen
    ${\mathcal {U}}(G,H,N)=\left\{b\in {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)~:~b(G,H)\subseteq N\right\}$
donde cada conjunto $b(G\times H)$ está acotado en $Z,$ lo que es necesario y suficiente para que la colección de todos los ${\mathcal {U}}(G,H,N)$ forme una topología en un EVT localmente convexo en ${\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).$ Esta topología se llama topología $\varepsilon$ y siempre que un espacio vectorial esté dotado de la topología $\varepsilon$, esto se indicará colocando $\varepsilon$ como subíndice antes del paréntesis de apertura. Por ejemplo, ${\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)$ dotado con la topología $\varepsilon$ se indicará como ${\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).$ Si $Z$ es de Hausdorff, entonces también lo es la topología $\varepsilon$.
En el caso especial en el que $Z$ es el cuerpo escalar subyacente, $B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ es el producto tensorial $X\otimes Y$, por lo que el espacio vectorial topológico $B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ se denomina producto tensorial inyectivo de $X$ e $Y$ y se denota por $X\otimes _{\varepsilon }Y.$ Este EVT no es necesariamente completo, por lo que se construirá su completación, indicada por $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y,$. Cuando todos los espacios son de Hausdorff, entonces ${\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ está completo si y solo si tanto $X$ como $Y$ están completos, en cuyo caso la completación $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ de $B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ es un subespacio vectorial de ${\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).$ Si $X$ e $Y$ son espacios normados, entonces también lo es ${\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right),$ donde ${\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ es un espacio de Banach si y solo si esto es cierto tanto para $X$ como para $Y.$

#### Conjuntos equicontinuos

Una razón para converger en subconjuntos equicontinuos (de todos los tipos) es el siguiente hecho importante:
    Un conjunto de funcionales lineales continuos $H$ en un EVT $X$ es equicontinuo si y solo si está contenido en el polar de algún entorno $U$ del origen en $X$; es decir, $H\subseteq U^{\circ }.$
La topología de un EVT está completamente determinada por los entornos abiertos del origen. Este hecho, junto con el teorema bipolar, significa que mediante la operación de tomar la polar de un subconjunto, la colección de todos los subconjuntos equicontinuos de $X^{\prime }$ "codifica" toda la información sobre la topología dada de $X$. Específicamente, distintas topologías de un EVT localmente convexo en $X$ producen distintas colecciones de subconjuntos equicontinuos y, a la inversa, dada cualquier colección de conjuntos equicontinuos, la topología original de un EVT se puede recuperar tomando el polar de cada conjunto (equicontinuo) de la colección. Así, a través de esta identificación, la convergencia uniforme en la colección de subconjuntos equicontinuos es esencialmente una convergencia uniforme en la topología misma del EVT. Esto permite relacionar directamente la topología inyectiva con las topologías dadas de $X$ e $Y.$ Además, la topología de un espacio de Hausdorff localmente convexo $X$ es idéntica a la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos equicontinuos de $X^{\prime }.$.
Por esta razón, en el artículo se enumeran algunas propiedades de conjuntos equicontinuos que son relevantes para tratar con el producto tensorial inyectivo. $X$ e $Y$ son cualquier espacio localmente convexo y $H$ es una colección de aplicaciones lineales de $X$ sobre $Y.$
* Si $H\subseteq L(X;Y)$ es equicontinua, entonces las topologías subespaciales que $H$ hereda de las siguientes topologías en $L(X;Y)$ son idénticas:
** La topología de la convergencia precompacta.
** La topología de la convergencia compacta.
** La topología de la convergencia puntual.
** La topología de la convergencia puntual en un subconjunto denso dado de $X.$
* Un conjunto equicontinuo $H\subseteq L(X;Y)$ está acotado en la topología de convergencia acotada (es decir, acotado en $L_{b}(X;Y)$). Entonces, en particular, $H$ también estará acotado en cada topología del EVT que sea más gruesa que la topología de convergencia acotada.
* Si $X$ es un espacio barrilado e $Y$ es localmente convexo, entonces para cualquier subconjunto $H\subseteq L(X;Y),$ las siguientes expresiones son equivalentes:
** $H$ es equicontinuo.
** $H$ está acotado en la topología de convergencia puntual (es decir, acotado en $L_{\sigma }(X;Y)$).
** $H$ está acotado en la topología de convergencia acotada (es decir, acotado en $L_{b}(X;Y)$).
En particular, para demostrar que un conjunto $H$ es equicontinuo basta demostrar que está acotado en la topología de convergencia puntual.
* Si $X$ es un espacio de Baire, entonces cualquier subconjunto $H\subseteq L(X;Y)$ que esté acotado en $L_{\sigma }(X;Y)$ es necesariamente equicontinuo.
* Si $X$ es separable, $Y$ es metrizable y $D$ es un subconjunto denso de $X,$ entonces la topología de convergencia puntual en $D$ hace que $L(X;Y)$ sea metrizable, de modo que, en particular, la topología subespacial que cualquier subconjunto equicontinuo $H\subseteq L(X;Y)$ hereda de $L_{\sigma }(X;Y)$ es metrizable.
Para subconjuntos equicontinuos del espacio dual continuo $X^{\prime }$ (donde $Y$ es ahora el cuerpo escalar subyacente de $X$), se cumple lo siguiente:
* El cierre débil de un conjunto equicontinuo de funcionales lineales en $X$ es un subespacio compacto de $X_{\sigma }^{\prime }.$
* Si $X$ es separable, entonces cada subconjunto equicontinuo débilmente cerrado de $X_{\sigma }^{\prime }$ es un espacio compacto metrizable cuando se le da la topología débil (es decir, la topología subespacial heredada de $X_{\sigma }^{\prime }$).
* Si $X$ es un espacio normal, entonces un subconjunto $H\subseteq X^{\prime }$ es equicontinuo si y solo si está fuertemente acotado (es decir, acotado en $X_{b}^{\prime }$).
* Si $X$ es un espacio barrilado, entonces para cualquier subconjunto $H\subseteq X^{\prime },$ lo siguiente es equivalente:
** $H$ es equicontinuo.
** $H$ es relativamente compacto en la topología dual débil.
** $H$ está débilmente acotado.
** $H$ está fuertemente acotado.
Se mencionan algunas propiedades básicas importantes adicionales relevantes para el producto tensorial inyectivo:
* Supóngase que $B:X_{1}\times X_{2}\to Y$ es una aplicación bilineal donde $X_{1}$ es un espacio de Fréchet, $X_{2}$ es metrizable e $Y$ es localmente convexo. Si $B$ es continuo por separado, entonces es continuo.

### Identificación canónica de aplicaciones bilineales continuas por separado con aplicaciones lineales

La igualdad establecida $L\left(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma }\right)=L\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)$ siempre se cumple; es decir, si $u:X^{\prime }\to Y$ es una aplicación lineal, entonces $u:X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y_{\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)}$ es continua si y solo si $u:X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y$ es continua, donde aquí $Y$ tiene su topología original.
También existe un isomorfismo canónico en el espacio vectorial
    $J:{\mathcal {B}}\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{\sigma \left(Y^{\prime },Y\right)}^{\prime }\right)\to L\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y_{\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)}\right).$
Con el fin de definirlo, para cada forma bilineal continua por separado $B$ definida en $X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\times Y_{\sigma \left(Y^{\prime },Y\right)}^{\prime }$ y cada $x^{\prime }\in X^{\prime },$ considérese que $B_{x^{\prime }}\in \left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }$ se defina por
    $B_{x^{\prime }}\left(y^{\prime }\right):=B\left(x^{\prime },y^{\prime }\right).$
Debido a que $\left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }$ es canónicamente isomorfo en el espacio vectorial de $Y$ (a través del valor de la aplicación canónica $y\mapsto$ en $y$), $B_{x^{\prime }}$ se identificará como un elemento de $Y,$ que se denotará por ${\tilde {B}}_{x^{\prime }}\in Y.$ Esto define una aplicación ${\tilde {B}}:X^{\prime }\to Y$ dada por $x^{\prime }\mapsto {\tilde {B}}_{x^{\prime }}$ y, por lo tanto, el isomorfismo canónico está, por supuesto, definido por $J(B):={\tilde {B}}.$
Cuando a $L\left(X_{\sigma }^{\sigma };Y_{\sigma }\right)$ se le da la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos de $X^{\prime },$ la aplicación canónica se convierte en un isomorfismo de EVTs
    $J:{\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)\to L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right).$
En particular, $X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ puede integrarse canónicamente en un EVT en $L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)$. Además, la imagen en $L\left(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma }\right)$ de $X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ bajo la aplicación canónica $J$ consiste exactamente en el espacio de aplicaciones lineales continuas $X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y$ cuya imagen es de dimensión finita.
La inclusión $L\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)\subseteq L\left(X_{b}^{\prime };Y\right)$ siempre se mantiene. Si $X$ está normado, entonces $L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)$ es de hecho un subespacio vectorial topológico de $L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right).$ Y si además $Y$ es de Banach, entonces también lo es $L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)$ (incluso si $X$ no está completo).

## Propiedades

La aplicación canónica $\cdot \otimes \cdot :X\times Y\to {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ es siempre continua y la topología es siempre más gruedsa que la topología π, que a su vez es más gruesa que la topología inductiva (la topología del EVT localmente convexo más fina que hace que $X\times Y\to X\otimes Y$ sea continua separadamente). El espacio $X\otimes _{\varepsilon }Y$ es de Hausdorff si y solo si tanto $X$ como $Y$ son de Hausdorff.
Si $X$ e $Y$ están normalizados, entonces $X\otimes _{\varepsilon }Y$ es normal, en cuyo caso para todos $\theta \in X\otimes Y,$ $\|\theta \|_{\varepsilon }\leq \|\theta \|_{\pi }.$
Supóngase que $u:X_{1}\to Y_{1}$ y $v:X_{2}\to Y_{2}$ son dos aplicaciones lineales entre espacios localmente convexos. Si tanto $u$ como $v$ son continuas, entonces también lo es su producto tensorial $u\otimes v:X_{1}\otimes _{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}.$ Además:
* Si $u$ y $v$ son ambos espacios vectoriales topológicos, entonces también lo es $u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.$
* Si $X_{1}$ (respectivamente, $Y_{1}$) es un subespacio lineal de $X_{2}$ (respectivamente, $Y_{2}$), entonces $X_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{1}$ es canónicamente isomorfo a un subespacio lineal de $X_{2}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}$ y $X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{1}$ es canónicamente isomorfo a un subespacio lineal de $X_{2}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.$
* Hay ejemplos de $u$ y $v$ de modo que tanto $u$ como $v$ son homomorfismos sobreyectivos, pero $u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}$ no es un homomorfismo.
* Si los cuatro espacios están normalizados, entonces $\|u\otimes v\|_{\varepsilon }=\|u\|\|v\|.$

## Relación con el producto tensorial proyectivo y los espacios nucleares

La topología proyectiva o la topología $\pi$ es la topología localmente convexa más fina sobre $B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y$ que hace continua la aplicación canónica $X\times Y\to B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ definida enviando $(x,y)\in X\times Y$ a la forma bilineal $x\otimes y.$ Cuando $B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y$ está dotado de esto topología, entonces se denotará por $X\otimes _{\pi }Y$ y se llamará producto tensorial proyectivo de $X$ e $Y.$
Grothendieck utilizó la siguiente definición para definir los espacios nucleares:
Definición 0: Sea $X$ un espacio vectorial topológico localmente convexo. Entonces, $X$ es nuclear si para cualquier espacio localmente convexo $Y,$ el espacio vectorial canónico que embebe $X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ es un embebido de un EVT cuya imagen es densa en el codominio.

## Identificaciones canónicas de aplicaciones bilineales y lineales

En esta sección se describen identificaciones canónicas entre espacios de aplicaciones bilineales y lineales. Estas identificaciones se utilizarán para definir subespacios y topologías importantes (particularmente, aquellos que se relacionan con operadores nucleares y espacios nucleares).

### Espacios duales del producto tensorial inyectivo y su completación

Supóngase que
    $\operatorname {In} :X\otimes _{\varepsilon }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$
denota el embebido en un EVT de $X\otimes _{\varepsilon }Y$ en su completación, y sea
    $^{t}\operatorname {In} :\left(X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }$
que es su matriz transpuesta, un isomorfismo espacial vectorial. Esto identifica el espacio dual continuo de $X\otimes _{\varepsilon }Y$ como idéntico al espacio dual continuo de $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.$
La aplicación identidad
    $\operatorname {Id} _{X\otimes Y}:X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y$
es continua (por definición de la topología π), por lo que existe una extensión lineal continua única
    ${\hat {I}}:X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.$
Si $X$ e $Y$ son espacios de Hilbert, entonces ${\hat {I}}:X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ es inyectiva y el dual de $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ es canónicamente isométricamente isomorfo al espacio vectorial $L^{1}\left(X;Y^{\prime }\right)$ de operadores nucleares de $X$ a $Y$ (con la norma de la traza).

### Producto tensorial inyectivo de espacios de Hilbert

Existe una aplicación canónica
    $K:X\otimes Y\to L\left(X^{\prime };Y\right)$
que envía $z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}$ a la aplicación lineal $K(z):X^{\prime }\to Y$ definida por
    $K(z)\left(x^{\prime }\right):=\sum _{i=1}^{n}x^{\prime }(x_{i})y_{i}\in Y,$
donde se puede demostrar que la definición de $K(z):X\to Y$ no depende de la elección particular de representación ∑$_{i=1}$$^n$x$_i$⊗y$_i${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}} de $z.$ La aplicación
    $K:X\otimes _{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)$
es continua, y cuando $L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)$ está completo, tiene una extensión continua
    ${\hat {K}}:X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right).$
Cuando $X$ e $Y$ son espacios de Hilbert, entonces ${\hat {K}}:X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)$ es un embebido de un EVT y una isometría (cuando los espacios reciben sus normas habituales) cuyo rango es el espacio de todos los operadores lineales compactos desde $X$ hasta $Y$ (que es un subespacio vectorial cerrado de $L_{b}\left(X^{\prime };Y\right).$ Por lo tanto, $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ es idéntico al espacio de operadores compactos de $X^{\prime }$ a $Y$ (téngase en cuenta la comilla en $X$). El espacio de operadores lineales compactos entre dos espacios de Banach cualesquiera (que incluyen a los espacios de Hilbert) $X$ e $Y$ es un subconjunto cerrado de $L_{b}(X;Y).$
Además, la aplicación canónica $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ es inyectiva cuando $X$ e $Y$ son espacios de Hilbert.

### Formas integrales y operadores
#### Formas bilineales integrales

Denótese la aplicación identidad por
    $\operatorname {Id} :X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y$
y sea
    $^{t}\operatorname {Id} :\left(X\otimes _{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi }Y\right)_{b}^{\prime }$
se denota su matriz transpuesta, que es una inyección continua. Recuérdese que $\left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }$ se identifica canónicamente con $B(X,Y),$ el espacio de aplicaciones bilineales continuas en $X\times Y.$ De esta manera, el espacio dual continuo de $X\otimes _{\varepsilon }Y$ se puede identificar canónicamente como un espacio subvectorial de $B(X,Y),$ denotado por $J(X,Y).$ Los elementos de $J(X,Y)$ se denominan formas (bilineales) integrales en $X\times Y.$ El siguiente teorema justifica la palabra integral.
* Teorema
* El $J(X,Y)$ dual de $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ consta exactamente de esas formas bilineales continuas v en $X\times Y$ que se pueden representar en forma de aplicación
* $b\in B(X,Y)\mapsto v(b)=\int _{S\times T}b{\big \vert }_{S\times T}\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)\operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime }\right)$
* donde $S$ y $T$ son algunos subconjuntos cerrados y equicontinuos de $X_{\sigma }^{\prime }$ y $Y_{\sigma }^{\prime },$ respectivamente, y $\mu$ es una medida de Radon positivo en el conjunto compacto $S\times T$ con masa total $\leq 1.$
* Además, si $A$ es un subconjunto equicontinuo de $J(X,Y)$, entonces los elementos $v\in A$ se pueden representar con $S\times T$ fijo y $\mu$ corriendo a través de un subconjunto acotado por normas del espacio de medida de Radon en $S\times T.$

#### Operadores lineales integrales

Dada una aplicación lineal $\Lambda :X\to Y,$ se puede definir una forma bilineal canónica $B_{\Lambda }\in Bi\left(X,Y^{\prime }\right),$ llamada forma bilineal asociada en $X\times Y^{\prime },$ mediante
    $B_{\Lambda }\left(x,y^{\prime }\right):=\left(y^{\prime }\circ \Lambda \right)(x).$
Una aplicación continua $\Lambda :X\to Y$ se llama integral si su forma bilineal asociada es una forma bilineal integral. Una aplicación integral $\Lambda :X\to Y$ es de la forma, para cada $x\in X$ e $Y^{\prime }\in Y^{\prime }:$
    $\left\langle y^{\prime },\Lambda (x)\right\rangle =\int _{A^{\prime }\times B^{\prime \prime }}\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime \prime },y^{\prime }\right\rangle \operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime \prime }\right)$
para subconjuntos equicontinuos y débilmente cerrados propios $A^{\prime }$ y $B^{\prime \prime }$ de $X^{\prime }$ e $Y^{\prime \prime },$ respectivamente, y alguna medida de Radon positiva $\mu$ de la masa total $\leq 1.$

### Aplicación canónica en L(X; Y)

Existe una aplicación canónica $K:X^{\prime }\otimes Y\to L(X;Y)$ que envía z=∑$_{i=1}$$^n$x$_i$$^′$⊗y$_i${\textstyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }\otimes y_{i}} a la aplicación lineal $K(z):X\to Y$ definida por K(z)(x):=∑$_{i=1}$$^n$x$_i$$^′$(x)y$_i$∈Y, {\textstyle K(z)(x):=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }(x)y_{i}\in Y, } donde se puede demostrar que la definición de $K(z):X\to Y$ no depende de la elección particular de representación ∑$_{i=1}$$^n$x$_i$$^′$⊗y$_i${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }\otimes y_{i}} de $z.$

## Ejemplos
### Espacio de familias sumables

En esta sección se utilizan conjuntos arbitrarios $A$ (que pueden ser no numerables), un EVT $X,$ y se considera que ${\mathcal {F}}(A)$ sea el conjunto dirigido de todos los subconjuntos finitos de $A$ dirigidos por la inclusión de $\subseteq .$
Sea $\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ una familia de elementos en un EVT $X$ y para cada subconjunto finito $H\subseteq A,$ sea x$_H$:=∑$_{i∈H}$x$_i$.{\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}.} Se denomina a $\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ sumable en $X$ si el límite lim$_{H∈F(A)}$x$_H${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}} de la red $\left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}$ converge en $X$ a algún elemento (cualquier elemento de este tipo es llamado su suma). El conjunto de todas estas familias sumables es un subespacio vectorial de $X^{A}$ denotado por $S.$
Ahora se define una topología en $S$ de una manera muy natural. Esta topología resulta ser la topología inyectiva tomada de $l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X$ y transferida a $S$ mediante un isomorfismo canónico del espacio vectorial (el obvio). Esto es algo común cuando se estudian los productos tensoriales proyectivos e inyectivos y de espacios de funciones/sucesiones y EVTs: la "forma natural" en la que se definiría (desde cero) una topología en dicho producto tensorial es frecuentemente equivalente a la topología inyectiva o al producto tensorial proyectivo.
Sea ${\mathfrak {U}}$ una base de entornos equilibrados convexos de 0 en $X$ y para cada $U\in {\mathfrak {U}},$ sea $\mu _{U}:X\to \mathbb {R}$ su funcional de Minkowski. Para cualquier $U$ y cualquier $x=\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}\in S,$ permita
    $q_{U}(x):=\sup _{x^{\prime }\in U^{\circ }}\sum _{\alpha \in A}\left|\left\langle x^{\prime },x_{\alpha }\right\rangle \right|$
donde $q_{U}$ define una seminorma en $S.$ La familia de seminormas $\left\{q_{U}:U\in {\mathfrak {U}}\right\}$ genera una topología que convierte a $S$ en un espacio localmente convexo. El espacio vectorial $S$ dotado de esta topología se denotará por $l^{1}(A,X).$ El caso especial donde $X$ es el cuerpo escalar se denotará por $l^{1}(A).$
Existe un embebido canónico de espacios vectoriales $l^{1}(A)\otimes X\to l^{1}(A,E)$ definidos linealizando la aplicación bilineal $l^{1}(A)\times X\to l^{1}(A,E)$ definida por $\left(\left(r_{\alpha }\right)_{\alpha \in A},x\right)\mapsto \left(r_{\alpha }x\right)_{\alpha \in A}.$
* Teorema:
* El embebido canónico (de espacios vectoriales) $l^{1}(A)\otimes X\to l^{1}(A,E)$ se convierte en un embebido de espacios vectoriales topológicos $l^{1}(A)\otimes _{\varepsilon }X\to l^{1}(A,E)$ cuando a $l^{1}(A)\otimes X$ se le da la topología inyectiva y, además, su rango es denso en su codominio. Si ${\hat {X}}$ es una finalización de $X$, entonces la extensión continua $l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X\to l^{1}\left(A,{\hat {X}}\right)$ de esta incorporación $l^{1}(A)\otimes _{\varepsilon }X\to l^{1}\left(A,X\right)\subseteq l^{1}\left(A,{\hat {X}}\right)$ es un isomorfismo de un EVT. Entonces, en particular, si $X$ está completo, entonces $l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X$ es canónicamente isomorfo a $l^{1}(A,E).$

### Espacio de funciones vectoriales continuamente diferenciables

En todo momento, sea $\Omega$ un subconjunto abierto de $\mathbb {R} ^{n},$ donde $n\geq 1$ es un número entero y sea $Y$ un espacio vectorial topológico localmente convexo (EVT).
'Definición Supóngase que $p^{0}=\left(p_{1}^{0},\ldots ,p_{n}^{0}\right)\in \Omega$ y $f:\operatorname {Dom} f\to Y$ son una función tal que $p^{0}\in \operatorname {Dom} f$ con $p^{0}$ es un punto límite de $\operatorname {Dom} f.$ Considérese que $f$ es diferenciable en $p^{0}$ si existen $n$ vectores $e_{1},\ldots ,e_{n}$ en $Y,$ llamados derivadas parciales de $f$, tales que
    $\lim _{\stackrel {p\to p^{0},}{p\in \operatorname {domain} f}}{\frac {f(p)-f\left(p^{0}\right)-\sum _{i=1}^{n}\left(p_{i}-p_{i}^{0}\right)e_{i}}{\left\|p-p^{0}\right\|_{2}}}=0{\text{in }}Y$
donde $p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right).$
Naturalmente, se puede ampliar la noción de función continuamente diferenciable a funciones con valores en $Y$ definidas en $\Omega .$ Para cualquier $k=0,1,\ldots ,\infty ,$ sea $C^{k}(\Omega ;Y)$ el espacio vectorial de todos los aplicaciones con valores $C^{k}$ en $Y$ definidos en $\Omega$, y sea $C_{c}^{k}(\Omega ;Y)$ el subespacio vectorial de $C^{k}(\Omega ;Y)$ que consiste en todas las aplicaciones en $C^{k}(\Omega ;Y)$ que tienen soporte compacto.
Entonces se pueden definir topologías en $C^{k}(\Omega ;Y)$ y $C_{c}^{k}(\Omega ;Y)$ de la misma manera que se definen las topologías en $C^{k}(\Omega )$ y $C_{c}^{k}(\Omega )$ para el espacio de distribuciones y funciones de prueba (consúltese el artículo funciones vectoriales diferenciables del espacio euclídeo). Todo este trabajo para ampliar la definición de diferenciabilidad y varias topologías resulta ser exactamente equivalente a simplemente tomar el producto tensorial inyectivo completo:
* Teorema
* Si $Y$ es un espacio localmente convexo de Hausdorff completo, entonces $C^{k}(\Omega ;Y)$ es canónicamente isomorfo al producto tensorial inyectivo $C^{k}(\Omega ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.$

### Espacios de aplicaciones continuas desde un espacio compacto

Si $Y$ es un espacio normado y si $K$ es un conjunto compacto, entonces la norma $\varepsilon$ en $C(K)\otimes Y$ es igual a ‖f‖$_ε$=sup$_{x∈K}$‖f(x)‖.{\textstyle \|f\|_{\varepsilon }=\sup _{x\in K}\|f(x)\|.} Si $H$ y $K$ son dos espacios compactos, entonces $C(H\times K)\cong C(H){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }C(K),$ donde esta aplicación canónica es un isomorfismo de espacios de Banach.

### Espacios de secuencias que convergen a 0

Si $Y$ es un espacio normado, entonces $l_{\infty }(Y)$ denota el espacio de todas las secuencias $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ en $Y$ que convergen al origen y le dan a este espacio la norma $\left\|\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\right\|:=\sup _{i\in \mathbb {N} }\left\|y_{i}\right\|.$ Sea $l_{\infty }$ que denota $l_{\infty }\left(\mathbb {C} \right).$ Entonces, para cualquier espacio de Banach, $Y,$ $l_{\infty }{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ es canónicamente isométricamente isomorfo a $l_{\infty }(Y).$.

### Espacio de funciones de Schwartz

Es posible generar el espacio de Schwartz a funciones valoradas en un EVT. Sea ${\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)$ el espacio de todos los $f\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)$ tal que para todos los pares de polinomios $P$ y $Q$ con $n$ variables, $\left\{P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x):x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}$ es un subconjunto acotado de $Y.$ Para generalizar la topología del espacio de Schwartz a ${\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right),$ le damos a ${\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)$ la topología de convergencia uniforme sobre $\mathbb {R} ^{n}$ de las funciones $P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x),$ ya que $P$ y $Q$ varían en todos los pares posibles de polinomios en $n$ variables.
* Teorema
* Si $Y$ es un espacio localmente convexo completo, entonces ${\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)$ es canónicamente isomorfo a ${\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.$