# Subespacios fundamentales de una matriz

Sea $A\in {\mathcal {M}}_{m\times n}(K)$, $K$ un cuerpo, una matriz con coeficientes $a_{ij}\in K$. Se define el espacio columna, el espacio fila y el espacio nulo de $A$, respectivamente, como
* $\operatorname {Col} (A):=\langle (a_{11},\ldots ,a_{m1}),\ldots ,(a_{1n},\ldots ,a_{mn})\rangle \subseteq K^{m}$;
* $\operatorname {Fil} (A):=\langle (a_{11},\ldots ,a_{1n}),\ldots ,(a_{m1},\ldots ,a_{mn})\rangle \subseteq K^{n}$;
* $\operatorname {Nul} (A):=\{x\in K^{n}:Ax=0\}$;
donde $0$ denota el vector nulo del espacio vectorial $K^{m}$.

## Ejemplos

* Sea $A:={\begin{pmatrix}-1&1&0\\1&1&-2\\-2&1&1\end{pmatrix}}$. Entonces: $\operatorname {Col} (A)=\langle (-1,1,-2),(1,1,1),(0,-2,1)\rangle =\langle (-1,1,-2),(1,1,1)\rangle$; $\operatorname {Fil} (A)=\langle (-1,1,0),(1,1,-2),(-2,1,1)\rangle =\langle (-1,1,0),(1,1,-2)\rangle$; $\operatorname {Nul} (A)=\langle (1,1,1)\rangle$. La matriz no tiene por qué ser cuadrada; veamos otro ejemplo:
* Sea $B:={\begin{pmatrix}-1&2\\3&-6\\-2&4\end{pmatrix}}$. Entonces: $\operatorname {Col} (B)=\langle (-1,3,-2),(2,-6,4)\rangle =\langle (-1,3,-2)\rangle$; $\operatorname {Fil} (B)=\langle (-1,2),(3,-6),(-2,4)\rangle =\langle (-1,2)\rangle$; $\operatorname {Nul} (B)=\langle (2,1)\rangle$.

## Propiedades

Para las relaciones de ortogonalidades entre conjuntos, siempre se considera el producto escalar estándar de $K^{m}$ o $K^{n}$:
* $\operatorname {Col} (A^{T})=\operatorname {Fil} (A)$
* $\operatorname {Fil} (A^{T})=\operatorname {Col} (A)$
* $\operatorname {Nul} (A)\perp \operatorname {Fil} (A)$
* $\operatorname {Col} (A)\perp \operatorname {Nul} (A^{T})$
* $\dim(\operatorname {Col} (A))=\dim(\operatorname {Col} (A^{T}))=\operatorname {rg} (A)=\operatorname {rg} (A^{T})$.
* Si $A=(a_{ij})\in {\mathcal {M}}_{n\times n}(K)$ y además las columnas de $A$, $\{(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,(a_{1n},\ldots ,a_{nn})\}$, forman un conjunto linealmente independiente de $K^{n}$, entonces $\det(A)\neq 0$, o sea, la matriz es invertible.
* Si $A=(a_{ij})\in {\mathcal {M}}_{n\times n}(K)$ y además $\operatorname {Nul} (A)\neq \{0\}$, entonces $\det(A)=0$, o sea, la matriz no es invertible.
* $\dim(\operatorname {Col} (A))+\dim(\operatorname {Nul} (A))=n$.
* Sean $A\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(K)$ y $B\in {\mathcal {M}}_{p\times n}(K)$. Si $x\in \operatorname {Col} (BA)$, entonces existe $y\in K^{m}$ tal que $BAy=x$. Si tomamos $w=Ay$, entonces $Bw=x$, así que $x\in \operatorname {Col} (B)$. Por lo tanto, $\operatorname {Col} (BA)\subseteq \operatorname {Col} (B)$. Además $\operatorname {Col} (BA)=\operatorname {Col} (B)$ si y solo si $\operatorname {rg} (A)=n$.
* Sean $A\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(K)$ y $B\in {\mathcal {M}}_{p\times n}(K)$ —en particular, $BA\in {\mathcal {M}}_{p\times m}(K)$—. Entonces si $Ax=0$, también se tiene que $BAx=0$. Así, $\operatorname {Nul} (A)\subseteq \operatorname {Nul} (BA)$, y ocurre que $\operatorname {Nul} (A)=\operatorname {Nul} (BA)$ si y solo si $\operatorname {rg} (B)=n$.
* Supongamos que $K=\mathbb {R}$ y sea $A\in {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {R} )$. Veamos que $\operatorname {Nul} (A)=\operatorname {Nul} (A^{T}A)$. Sea $x\in \operatorname {Nul} (A)$, entonces $Ax=0$, por lo que $A^{T}Ax=0$. Por otro lado, si $x\in \operatorname {Nul} (A^{T}A)$, tenemos que $A^{T}Ax=0$, por lo tanto $x^{T}A^{T}Ax=0$. Como $x^{T}A^{T}Ax=(Ax)^{T}Ax=\langle Ax,Ax\rangle$, donde $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ denota el producto escalar estándar de $\mathbb {R} ^{m}$, necesariamente $Ax=0$, luego, $x\in \operatorname {Nul} (A)$.