# Transformación geométrica

En matemáticas, una transformación geométrica es cualquier biyección de un conjunto a sí mismo (o a otro conjunto de este tipo) con algún sustento geométrico destacado. Más específicamente, es una función cuyo dominio y rango son conjuntos de puntos - más a menudo ambos $\mathbb {R} ^{2}$ o ambos $\mathbb {R} ^{3}$ - de tal manera que la función es inyetiva para que su inversa exista. El estudio de la geometría puede abordarse a través del estudio de estas transformaciones.

## Clasificaciones

Las transformaciones geométricas pueden clasificarse por la dimensión de sus conjuntos de operandos (distinguiendo así entre, por ejemplo, las transformaciones planas y las transformaciones espaciales). También se pueden clasificar según las propiedades que preservan:
* Los desplazamientos preservan distancias y ángulos orientados (por ejemplo, traslación);
* Las isometrías conservan los ángulos y las distancias (por ejemplo, transformaciones euclídeas);
* semejanzas preservan los ángulos y las relaciones entre las distancias (por ejemplo, el cambio de tamaño);
* transformaciones afines preservan el paralelismo (por ejemplo, escalamiento, cizallamiento);
* Las homografías preservan la colinealidad;
Cada una de estas clases contiene a la anterior.
* Transformación de Möbiuss que utilizan coordenadas complejas en el plano (así como la inversión del círculo) preservan el conjunto de todas las líneas y círculos, pero pueden intercambiar líneas y círculos.
* Imagen original (basada en el mapa de Francia)
* Isometría
* Semejanzas
* transformaciones afines
* homografías
* Inversión del círculo
* Transformación conforme, preservan ángulos, y son, en primer orden, semejanzas.
* Transformaciones equiareales, preservan áreas en el caso plano o volúmenes en el caso tridimensional. y son, en primer orden, transformaciones afines de determinante 1.
* Homeomorfismos (transformaciones bicontinuas) preservan las vecindades de los puntos.
* Difeomorfismos (transformaciones bidiferenciables) son las transformaciones que son afines en primer orden; contienen a las anteriores como casos especiales, y pueden refinarse aún más.
* Transformación conforme
* Transformaciones equiareales
* Homeomorfismos
* Difeomorfismos
Las transformaciones del mismo tipo forman grupos que pueden ser subgrupos de otros grupos de transformación.

## Acciones de grupos opuestos

Muchas transformaciones geométricas se expresan con álgebra lineal. Las transformaciones lineales biyectivas son elementos de un grupo lineal general. La transformación lineal A es no singular. Para un vector fila v, el producto matricial vA da otro vector fila w = vA.
La transpuesta de un vector fila v es un vector columna v$^T$, y la transpuesta de la igualdad anterior es $w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}$. Aquí A$^T$ proporciona una acción izquierda en los vectores de columna.
En geometría de transformación hay composiciones AB. Comenzando con un vector fila v, la acción correcta de la transformación compuesta esw = vAB. Después de la transposición,
    $w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.$
Así, para AB la acción de grupo izquierda asociada es $B^{T}A^{T}.$ En el estudio de los grupos opuestos, se hace la distinción entre acciones de grupos opuestos, pues los únicos grupos para los cuales estos opuestos son iguales son los grupos conmutativos.