# Forma de onda de Maass

En matemáticas, las formas de Maass o las formas de onda de Maass se estudian en la teoría de formas automorfas. Las formas de Maass son funciones suaves de valores complejos del semiplano superior, que se transforman de manera similar bajo la operación de un subgrupo discreto $\Gamma$ de $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ como formas modulares. Son formas propias del operador hiperbólico de Laplace $\Delta$ definido en $\mathbb {H}$ y satisfacen ciertas condiciones de crecimiento en las cúspides de un dominio fundamental de $\Gamma$. En contraste con las formas modulares, las formas de Maass no necesitan ser holomórficas. El primero en estudiarlas (a partir de 1949) fue el matemático alemán Hans Maass.

## Observaciones generales

El grupo
    $G:=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {R} ):ad-bc=1\right\}$
opera en el semiplano superior
    $\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}$
por transformaciones lineales fraccionarias:
    ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z:={\frac {az+b}{cz+d}}.$
Se puede extender a una operación en $\mathbb {H} \cup \{\infty \}\cup \mathbb {\mathbb {R} }$ definiendo:
    ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z:={\begin{cases}{\frac {az+b}{cz+d}}&{\text{si }}cz+d\neq 0,\\\infty &{\text{si }}cz+d=0,\end{cases}}$
    ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot \infty :=\lim _{\operatorname {Im} (z)\to \infty }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z={\begin{cases}{\frac {a}{c}}&{\text{si }}c\neq 0\\\infty &{\text{si }}c=0\end{cases}}$
La medida de Radon
    $d\mu (z):={\frac {dxdy}{y^{2}}}$
definida en $\mathbb {H}$ es invariante bajo la operación de $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$.
Sea $\Gamma$ un subgrupo discreto de $G$ . Un dominio fundamental para $\Gamma$ es un conjunto abierto $F\subset \mathbb {H}$, para que exista un sistema de representantes $R$ de $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ con
    $F\subset R\subset {\overline {F}}{\text{ y }}\mu ({\overline {F}}\setminus F)=0.$
Un dominio fundamental para el grupo modular $\Gamma (1):=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ viene dado por
    $F:=\left\{z\in \mathbb {H} \mid \left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\frac {1}{2}},|z|<1\right\}$
(véase forma modular ).
Una función $f:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ se llama $\Gamma$-invariante, si $f(\gamma z)=f(z)$ vale para todo $\gamma \in \Gamma$ y todo $z\in \mathbb {H}$.
Por cada medible, la función $\Gamma$-invariante $f:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ cumple la ecuación
    $\int _{F}f(z)d\mu (z)=\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }f(z)d\mu (z),$
Aquí la medida $d\mu$ en el lado derecho de la ecuación es la medida inducida en el cociente $\Gamma \backslash \mathbb {H} .$

## Formas clásicas de Maass
### Definición del operador hiperbólico de Laplace

El operador hiperbólico de Laplace en $\mathbb {H}$ se define como
    $\Delta :C^{\infty }(\mathbb {H} )\to C^{\infty }(\mathbb {H} ),$
    $\Delta =-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)$

### Definición de una forma de Maass

Una fórmula de Maass para el grupo $\Gamma (1):=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ es una función suave de valor complejo $f$ en $\mathbb {H}$ satisfaciendo
    $1)\quad f(\gamma z)=f(z){\text{ para todo }}\gamma \in \Gamma (1),\qquad z\in \mathbb {H}$
    $2)\quad {\text{donde existe }}\lambda \in \mathbb {C} {\text{ con }}\Delta (f)=\lambda f$
    $3)\quad {\text{donde existe }}N\in \mathbb {N} {\text{ con }}f(x+iy)={\mathcal {O}}(y^{N}){\text{ para }}y\geq 1$
Es fácil demostrar que $f$ es la forma de cúspide de Maass si y solo si $a_{0}(y)=0\forall y>0$ .
    $\int _{0}^{1}f(z+t)dt=0{\text{ para todo }}z\in \mathbb {H}$
llamando a $f$ forma de cúspide de Maass.

### Relación entre formas de Maass y series de Dirichlet

Sea $f$ una forma Maass. Entonces, si
    $\gamma :={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)$
se tiene que:
    $\forall z\in \mathbb {H} :\qquad f(z)=f(\gamma z)=f(z+1).$
Por lo tanto $f$ tiene una expansión de Fourier de la forma
    $f(x+iy)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y)e^{2\pi inx},$
con funciones coeficiente $a_{n},n\in \mathbb {N} .$
Formas pares e impares de Maass: sea $i(z):=-{\overline {z}}$ . Entonces i opera en todas las funciones $f:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ por $i(f):=f(i(z))$ y conmuta con el laplaciano hiperbólico. Una forma de Maass $f$ se llama par, si $i(f)=f$ e impar si $i(f)=-f$ . Si f es una forma de Maass, entonces ${\tfrac {1}{2}}(f+i(f))$ es una forma uniforme de Maass y ${\tfrac {1}{2}}(f-i(f))$ una forma de Maass impar y cumple que $f={\tfrac {1}{2}}(f+i(f))+{\tfrac {1}{2}}(f-i(f))$ .
Se pueden calcular las funciones coeficiente de manera precisa mediante la función de Bessel $K_{v}$.
Definición: la función de Bessel $K_{v}$ se define como
    $K_{s}(y):={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {y(t+t^{-1})}{2}}}t^{s}{\frac {dt}{t}},\qquad s\in \mathbb {C} ,y>0.$
La integral converge localmente uniformemente absolutamente para $y>0$ en $s\in \mathbb {C}$ y la desigualdad
    $K_{s}(y)\leq e^{-{\frac {y}{2}}}K_{\operatorname {Re} (s)}(2)$
se cumple para todo $y>4$ .
Por lo tanto, $|K_{s}|$ disminuye exponencialmente para $y\to \infty$ . Además, se tiene que $K_{-s}(y)=K_{s}(y)$ para todo $s\in \mathbb {C} ,y>0$ .
    Teorema (coeficientes de Fourier de las formas de Maass): sea $\lambda \in \mathbb {C}$ el valor propio de la forma de Maass $f$ correspondiente a $\Delta .$ Allí existe $\nu \in \mathbb {C} ,$ único excepto por el signo, de modo que $\lambda ={\tfrac {1}{4}}-\nu ^{2}.$ Entonces los coeficientes de Fourier de $f$ son
       ${\begin{aligned}a_{n}(y)&=c_{n}{\sqrt {y}}K_{\nu }(2\pi |n|y)\quad c_{n}\in \mathbb {C} &&n\neq 0\\a_{0}(y)&=c_{0}y^{{\frac {1}{2}}-\nu }+d_{0}y^{{\frac {1}{2}}+\nu }\quad c_{0},d_{0}\in \mathbb {C} &&n=0\end{aligned}}$
Prueba: se tiene que
    $\Delta (f)=\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f.$
Por la definición de los coeficientes de Fourier, se obtiene
    $a_{n}=\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx$
para $n\in \mathbb {Z} .$
Considerando ambas ecuaciones, se deduce que
    ${\begin{aligned}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)a_{n}&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=\int _{0}^{1}(\Delta f)(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=-y^{2}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx+\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\right)\\[4pt]&{\overset {(1)}{=}}-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\\[4pt]&=4\pi ^{2}n^{2}y^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\end{aligned}}$
para $n\in \mathbb {Z} .$
En (1) se utilizó que el n-ésimo coeficiente de Fourier de ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}$ es $(2\pi in)^{2}a_{n}(y)$ para el primer término sumatorio. En el segundo término se cambió el orden de integración y diferenciación, lo que está permitido ya que f es suave en y. Se obtiene una ecuación diferencial lineal de segundo grado:
    $y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)+\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}-4\pi n^{2}y^{2}\right)a_{n}(y)=0$
por $n=0$ se puede demostrar que para cada solución $f$ existen coeficientes únicos $c_{0},d_{0}\in \mathbb {C}$ con la propiedad $a_{0}(y)=c_{0}y^{{\frac {1}{2}}-\nu }+d_{0}y^{{\frac {1}{2}}+\nu }.$
Para $n\neq 0$ cada solución $f$ es de la forma
    $f(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)+d_{n}{\sqrt {y}}I_{v}(2\pi |n|y)$
para un único $c_{n},d_{n}\in \mathbb {C}$ . Aquí $K_{v}(s)$ y $I_{v}(s)$ son funciones de Bessel.
Las funciones de Bessel $I_{v}$ crecen exponencialmente, mientras que las funciones de Bessel $K_{v}$ decrecen exponencialmente. Junto con la condición 3) de crecimiento polinomial, se obtiene $f:a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)$ (además $d_{n}=0$ ) para un único $c_{n}\in \mathbb {C} .\square$
Sea

#### Teorema: la función L de una forma de Maass

Primero se muestra la $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$-invarianza. Sea
    $f(x+iy)=\sum _{n\neq 0}c_{n}{\sqrt {y}}K_{\nu }(2\pi |n|y)e^{2\pi inx}$
una forma de cúspide de Maass. Se define la función L de $f$ como
    $L(s,f)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-s}.$
Entonces la serie $L(s,f)$ converge para $Re(s)>{\tfrac {3}{2}}$ y se puede continuar con una función completa en $\mathbb {C}$.
Si $f$ es par o impar, se obtiene
    $\Lambda (s,f):=\pi ^{-s}\Gamma \left({\frac {s+\varepsilon +\nu }{2}}\right)\Gamma \left({\frac {s+\varepsilon -\nu }{2}}\right)L(s,f).$
aquí $\varepsilon =0$ si $f$ es par, y $\varepsilon =-1$ si $f$ es impar. Entonces $\Lambda$ satisface la ecuación funcional
    $\Lambda (s,f)=(-1)^{\varepsilon }\Lambda (1-s,f).$

## Ejemplo: la serie E de Eisenstein no holomórfica

La serie de Eisenstein no holomórfica se define para $z\in \mathbb {H}$ y $s\in \mathbb {C}$ como
    $E(z,s):=\pi ^{-s}\Gamma (s){\frac {1}{2}}\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}}$
donde $\Gamma (s)$ es la función Gamma.
La serie converge absolutamente en $z\in \mathbb {H}$ para $Re(s)>1$ y localmente uniformemente en $\mathbb {H} \times \{Re(s)>1\}$, como se puede demostrar, que la serie
    $S(z,s):=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{|mz+n|^{s}}}$
converge absolutamente en $z\in \mathbb {H} ,$ Si $Re(s)>2.$ Más precisamente, converge uniformemente en cada conjunto $K\times \{Re(s)\geq \alpha \},$ para cada conjunto compacto $K\subset \mathbb {H}$ y cada $\alpha >2.$

### E es una forma de Maass

Solo se muestra $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$-invarianza y la ecuación diferencial. Una prueba de la suavidad se puede encontrar en Deitmar o Bump. La condición de crecimiento se deriva de la expansión de Fourier de la serie de Eisenstein.
Prueba: el grupo $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ es generado por los elementos de la forma
    $\Gamma _{\infty }:=\pm {\begin{pmatrix}1&\mathbb {Z} \\0&1\\\end{pmatrix}}$
el grupo estabilizador $\infty$ correspondiente a la operación de $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ en $\mathbb {H} \cup \{\infty \}$.
    Proposición. E es $\Gamma (1)$-invariante.
Prueba. Definir:
    ${\tilde {E}}(z,s):=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }Im(\gamma z)^{s}.$
(a) ${\tilde {E}}$ converge absolutamente en $z\in \mathbb {H}$ para $Re(s)>1$ y $E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s).$
Dado que
    $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)\Longrightarrow Im(\gamma z)={\frac {Im(z)}{|cz+d|^{2}}},$
se obtiene
    ${\tilde {E}}(z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }Im(\gamma z)^{s}=\sum _{(c,d)=1mod\pm 1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}.$
Eso prueba la convergencia absoluta en $z\in \mathbb {H}$ para $Re(s)>1.$
Además, se deduce que
    $\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}\sum _{(c,d)=1mod\pm 1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{(c,d)=1mod\pm 1}{\frac {y^{s}}{|ncz+nd|^{2s}}}=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}},$
dado que la aplicación
    ${\begin{cases}\mathbb {N} \times \{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}:(x,y)=1\}\to \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}\\(n,(x,y))\mapsto (nx,ny)\end{cases}}$
es una biyección, se sigue (a).
(b) Se tiene $E(\gamma z,s)=E(z,s)$ para todo $\gamma \in \Gamma (1)$.
Para ${\tilde {\gamma }}\in \Gamma (1)$ se obtiene
    ${\tilde {E}}({\tilde {\gamma }}z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }Im({\tilde {\gamma }}\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }Im(\gamma z)^{s}={\tilde {E}}(\gamma z,s)$ .
Junto con (a), $E$ también es invariante bajo $\Gamma (1)$. $\square$
    Proposición. E es una forma propia del operador hiperbólico de Laplace
Se necesita el siguiente lema:
    Lema: $\Delta$ conmuta con la operación de $G$ en $C^{\infty }(\mathbb {H} )$. Más precisamente, para todo $g\in G$ se tiene que: $L_{g}\Delta =\Delta L_{g}.$
    ${\begin{pmatrix}a&0\\0&{\frac {1}{a}}\\\end{pmatrix}},a\in \mathbb {R} ^{\times };\quad {\begin{pmatrix}1&x\\0&1\\\end{pmatrix}},x\in \mathbb {R} ;\quad S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}.$
Se calcula la condición de estos generadores y se obtiene la de todos los $g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ . $\square$
Dado que $E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)$, es suficiente demostrar la ecuación diferencial para ${\tilde {E}}.$ Se tiene que:
    $\Delta {\tilde {E}}(z,s):=\Delta \sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }Im(\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Delta \left(Im(\gamma z)^{s}\right)$
Además,
    $\Delta \left(Im(z)^{s}\right)=\Delta (y^{s})=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial y^{2}}}\right)=s(1-s)y^{s}.$
Dado que el operador de Laplace conmuta con la operación de $\Gamma (1)$, se obtiene que
    $\forall \gamma \in \Gamma (1):\quad \Delta \left(Im(\gamma z)^{s}\right)=s(1-s)Im(\gamma z)^{s}$
y entonces
    $\Delta {\tilde {E}}(z,s)=s(1-s){\tilde {E}}(z,s).$
Por lo tanto, la ecuación diferencial se cumple para E en $Re(s)>3.$ Para obtener el cumplimiento de todo $s\in \mathbb {C} ,$ considerar la función $\Delta E(z,s)-s(1-s)E(z,s).$ Al calcular explícitamente la expansión de Fourier de esta función, obtenemos que es meromórfica. Ya que se desvanece por $Re(s)>3,$ debe ser la función cero por el teorema de identidad.

#### Expansión de Fourier de E

La serie de Eisenstein no holomórfica tiene una expansión de Fourier
    $E(z,s)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y,s)e^{2\pi inx}$
donde
    ${\begin{aligned}a_{0}(y,s)&=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)y^{s}+\pi ^{s-1}\Gamma (1-s)\zeta (2(1-s))y^{1-s}\\a_{n}(y,s)&=2|n|^{2-{\frac {1}{2}}}\sigma _{1-2s}(|n|){\sqrt {y}}K_{s-{\frac {1}{2}}}(2\pi |n|y)&&n\neq 0\end{aligned}}$
Si $z\in \mathbb {H}$, $E(z,s)$ tiene una continuación meromórfica en $\mathbb {C}$. Es holomorfo, excepto para polos simples en $s=0,1$.
La serie de Eisenstein satisface la ecuación funcional
    $E(z,s)=E(z,1-s)$
para todos los $z\in \mathbb {H}$.
Localmente uniformemente en $x\in \mathbb {R}$ mantiene la condición de crecimiento
    $E(x+iy,s)={\mathcal {0}}(y^{\sigma })$
donde $\sigma =\max(\operatorname {Re} (s),1-\operatorname {Re} (s))$.
La continuación meromórfica de E es muy importante en la teoría espectral del operador hiperbólico de Laplace.

## Formas de Maas de peso k
### Subgrupos de congruencia

Para $N\in \mathbb {N}$, sea $\Gamma (N)$ el núcleo de la proyección canónica
    $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ).$
Se denomina a $\Gamma (N)$ subgrupo de congruencia principal de nivel $N$. Un subgrupo $\Gamma \subseteq \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ se llama subgrupo de congruencia, si existe $N\in \mathbb {N}$, de modo que $\Gamma (N)\subseteq \Gamma$. Todos los subgrupos de congruencia son discretos.
Sea
    ${\overline {\Gamma (1)}}:=\Gamma (1)/\{\pm 1\}.$
Para un subgrupo de congruencia $\Gamma ,$, y sea ${\overline {\Gamma }}$ la imagen de $\Gamma$ en ${\overline {\Gamma (1)}}$. Si S es un sistema de representantes de ${\overline {\Gamma }}\backslash {\overline {\Gamma (1)}}$, entonces
    $SD=\bigcup _{\gamma \in S}\gamma D$
es un dominio fundamental para $\Gamma$. El conjunto $S$ está determinado únicamente por el dominio fundamental $SD$. Además, $S$ es finito.
Los puntos $\gamma \infty$ para $\gamma \in S$ se denominan cúspides del dominio fundamental $SD$. Son un subconjunto de $\mathbb {Q} \cup \{\infty \}$.
Para cada cúspide $c$ existe $\sigma \in \Gamma (1)$ con $\sigma \infty =c$.

### Formas de Maass de peso k

Sea $\Gamma$ un subgrupo de congruencia y $k\in \mathbb {Z}$.
Se define el operador hiperbólico de Laplace $\Delta _{k}$ de peso $k$ como
    $\Delta _{k}:C^{\infty }(\mathbb {H} )\to C^{\infty }(\mathbb {H} ),$
    $\Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}.$
Esta es una generalización del operador hiperbólico de Laplace $\Delta _{0}=\Delta$.
Ahora, se define una operación de $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ en $C^{\infty }(\mathbb {H} )$ por
    $f_{||k}g(z):=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{-k}f(gz)$
donde
    $z\in \mathbb {H} ,g={\begin{pmatrix}\ast &\ast \\c&d\\\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ).$
Se puede demostrar que
    $(\Delta _{k}f)_{||k}g=\Delta _{k}(f_{||k}g)$
se aplica a todos los $f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ),k\in \mathbb {Z}$ y a todos los $g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$.
Por lo tanto, $\Delta _{k}$ opera en el espacio vectorial
    $C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k):=\{f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ):f_{||k}\gamma =f\forall \gamma \in \Gamma \}$.
Definición. Una forma de Maass de peso $k\in \mathbb {Z}$ para $\Gamma$ es una función $f\in C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ que es una función propia de $\Delta _{k}$ y tiene un crecimiento moderado en las cúspides.
El término crecimiento moderado en las cúspides necesita aclaración. Una cúspide en el infinito de $\Gamma ,$, una función $f\in C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ tiene un crecimiento moderado en $\infty$ si $f(x+iy)$ está limitado por un polinomio en y como $y\to \infty$. Sea $c\in \mathbb {Q}$ otra cúspide. Entonces existe $\theta \in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ con $\theta (\infty )=c$. Sea a su vez $f':=f_{||k}\theta$. Entonces $f'\in C^{\infty }(\Gamma '\backslash \mathbb {H} ,k)$, donde $\Gamma '$ es el subgrupo de congruencia $\theta ^{-1}\Gamma \theta$. Se dice que $f$ tiene un crecimiento moderado en la cúspide $c$, si $f'$ tiene un crecimiento moderado en $\infty$.
Definición. Si $\Gamma$ contiene un subgrupo de congruencia principal de nivel $N$, se dice que $f$ es cúspide en el infinito, si
    $\forall z\in \mathbb {H} :\quad \int _{0}^{N}f(z+u)du=0.$
Se dice que $f$ es cuspidal en la cúspide $c$ si $f'$ es cúspide en el infinito. Si $f$ es cuspidal en cada cúspide, se dice que $f$ es una forma de cúspde.
Damos un ejemplo simple de una forma de Maass de peso $k>1$ para el grupo modular:
Ejemplo. Sea $g:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ una forma modular de peso par $k$ para $\Gamma (1).$ Entonces $f(z):=y^{\frac {k}{2}}g(z)$ es una forma de Maass de peso $k$ para el grupo $\Gamma (1)$.

### Problema espectral

Sea $\Gamma$ un subgrupo de congruencia de $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ y sea $L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ el espacio vectorial de todas las funciones medibles $f:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ con $f_{||k}\gamma =f$ para todos los $\gamma \in \Gamma$ que satisfagan
    $\|f\|^{2}:=\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }|f(z)|^{2}d\mu (z)<\infty$
funciones de módulo con $\|f\|=0.$ La integral está bien definida, ya que la función $|f(z)|^{2}$ es $\Gamma$-invariante. Este es un espacio de Hilbert con producto interno
    $\langle f,g\rangle =\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }f(z){\overline {g(z)}}d\mu (z).$
El operador $\Delta _{k}$ se puede definir en un espacio vectorial $B\subset L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ que es denso en $L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$. Allí $\Delta _{k}$ es un operador simétrico semidefinito positivo. Se puede demostrar que existe una continuación única autoadjunta en $L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k).$
Se define $C(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ como el espacio de todas las formas de cúspide $L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k).$ Entonces, $\Delta _{k}$ opera en $C(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ y tiene un espectro discreto. El espectro perteneciente al complemento ortogonal tiene una parte continua y se puede describir con la ayuda de la serie de Eisenstein no holomórfica (modificada), sus continuaciones meromórficas y sus residuos. (Véase Bump o Iwaniec).
Si $\Gamma$ es un subgrupo discreto (sin torsión) de $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$, de modo que el cociente $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ es compacto, el problema espectral se simplifica. Esto se debe a que un subgrupo discreto cocompacto no tiene cúspides. Aquí todo el espacio $L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ es una suma de espacios propios.

### Embebido en el espacio $L^{2}(\Gamma \backslash G)$

$G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ es un grupo unimodular localmente compacto con la topología de $\mathbb {R} ^{4}.$ Sea $\Gamma$ un subgrupo de congruencia. Dado que $\Gamma$ es discreto en $G$, también está cerrado en $G$. El grupo $G$ es unimodular y dado que la medida de conteo es una medida de Haar en el grupo discreto $\Gamma$, $\Gamma$ también es unimodular. Por la Fórmula Integral del Cociente existe una medida $G$ de Radon invariante a la derecha $dx$ en el espacio localmente compacto $\Gamma \backslash G$. Sea $L^{2}(\Gamma \backslash G)$ sea el espacio $L^{2}$ correspondiente. Este espacio se descompone en una suma directa espacial de Hilbert:
    $L^{2}(\Gamma \backslash G)=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }L^{2}(\Gamma \backslash G,k)$
donde
    $L^{2}(\Gamma \backslash G,k):=\left\{\phi \in L^{2}(\Gamma \backslash G)\mid \phi (xk_{\theta })=e^{ik\theta }F(x)\forall x\in \Gamma \backslash G\forall \theta \in \mathbb {R} \right\}$
y
    $k_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\\\end{pmatrix}}\in SO(2),\theta \in \mathbb {R} .$
El espacio de Hilbert $L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)$ puede integrarse isométricamente en el espacio de Hilbert $L^{2}(\Gamma \backslash G,k)$. La isometría viene dada por la aplicación
    ${\begin{cases}\psi _{k}:L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\to L^{2}(\Gamma \backslash G,k)\\\psi _{k}(f)(g):=f_{||k}\gamma (i)\end{cases}}$
Por lo tanto, todas las formas de cúspide de Maass para el grupo de congruencia $\Gamma$ pueden considerarse elementos de $L^{2}(\Gamma \backslash G)$.
$L^{2}(\Gamma \backslash G)$ es un espacio de Hilbert con una operación del grupo $G$, la llamada representación regular recta:
    $R_{g}\phi :=\phi (xg),{\text{ donde }}x\in \Gamma \backslash G{\text{ y }}\phi \in L^{2}(\Gamma \backslash G).$
Se puede demostrar fácilmente que $R$ es una representación unitaria de $G$ en el espacio $L^{2}(\Gamma \backslash G)$ de Hilbert. La descomposición en subrepresentaciones irreducibles solo es posible si $\Gamma$ es cocompacto. Si no, también hay una parte continua integral de Hilbert. La parte interesante es que la solución de este problema también resuelve el problema espectral de las formas de Maass. (véase Bump, C. 2.3)

## Forma de Maass de cúspide

Una forma de Maass de cúspide, un subconjunto de una forma de Maass, es una función en el semiplano superior que se transforma como una forma modular pero no necesita ser holomórfica. Primero fueron estudiadas por Hans Maass en Maass (1949).

### Definición

Supóngase que k sea un número entero, s un número complejo y G un grupo discreto de SL$_2$(R). Una forma de Maass de peso k para G con el valor propio de Laplace s es una función suave del semiplano superior a los números complejos que satisfacen las siguientes condiciones:
* Para todos los $\gamma =\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma$ y todos los $z\in \mathbb {H}$, tenemos $f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{k}f(z).$
* Se tiene que $\Delta _{k}f=sf$, donde $\Delta _{k}$ es el peso k hiperpólico Laplaciano definido como
       $\Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}.$
* La función $f$ tiene como máximo un crecimiento polinómico en las cúspides.
Una forma de Maass débil se define de manera similar pero con la tercera condición reemplazada por "la función $f$ tiene como máximo un crecimiento exponencial lineal en las cúspides". Además, se dice que $f$ es armónica si es anulada por el operador laplaciano.

### Principales resultados

Sea $f$ una forma de Maass de cúspide de peso 0. Su coeficiente de Fourier normalizado en un primer p está limitado por p$^{7/64}$ + p$^{-7/64}$. Este teorema se debe a Henry Kim y Peter Sarnak. Es una aproximación a la conjetura de Ramanujan–Petersson.

### Dimensiones superiores

Las formas de Maass de cúspide pueden considerarse formas automorfas en GL(2). Es natural definir formas de Maass de cúspide en GL(n) como formas automorfas esféricas en GL (n) sobre el campo de los números racionales. Miller, Mueller, etc. probaron su existencia.

## Representaciones automorfas del grupo adele
### Grupo $\mathrm {GL} _{2}(\mathbb {A} )$

Sea $R$ un anillo conmutativo con unidad y sea $G_{R}:=\mathrm {GL} _{2}(R)$ el grupo de matrices $2\times 2$ definido sobre $R$ y con determinante invertible. Sea $\mathbb {A} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ el anillo de adeles racionales, sea $\mathbb {A} _{\text{fin}}$ el anillo de los adeles finitos (racionales); y para un número primo $p\in \mathbb {N}$, sea $\mathbb {Q} _{p}$ el campo de números p-ádicos. Además, sea $\mathbb {Z} _{p}$ el anillo de los enteros p-ádicos (véaseanillo adele). Definido $G_{p}:=G_{\mathbb {Q} _{p}}$, tanto $G_{p}$ como $G_{\mathbb {R} }$ son grupos unimodulares localmente compactos si se equipan respectivamente con las topologías de subespacio de $\mathbb {Q} _{p}^{4}$ y de $\mathbb {R} ^{4}$. Entonces:
    $G_{\text{fin}}:=G_{\mathbb {A} _{\text{fin}}}\cong {\widehat {\prod _{p<\infty }^{K_{p}}}}G_{p}.$
El lado derecho es el producto restringido, relativo a los subgrupos compactos y abiertos $K_{p}:=G_{\mathbb {Z} _{p}}$ de $G_{p}$. Luego, el grupo localmente compacto $G_{\text{fin}}$, si se equipa con la topología de producto restringida.
El grupo $G_{\mathbb {A} }$ es isomorfo a
    $G_{\text{fin}}\times G_{\mathbb {R} }$
y es un grupo localmente compacto con la topología del producto, ya que $G_{\text{fin}}$ y $G_{\mathbb {R} }$ son ambos localmente compactos.
Sea
    ${\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p<\infty }\mathbb {Z} _{p}.$
El subgrupo
    $G_{\widehat {\mathbb {Z} }}:=\prod _{p<\infty }K_{p}$
es un subgrupo abierto máximo compacto de $G_{\text{fin}}$ y puede considerarse como un subgrupo de $G_{\mathbb {A} }$, cuando se tiene en cuenta la incorporación de $x_{\text{fin}}\mapsto (x_{\text{fin}},1_{\infty })$.
Se define $Z_{\mathbb {R} }$ como el centro de $G_{\infty }$, lo que significa que $Z_{\mathbb {R} }$ es el grupo de todas las matrices diagonales de la forma ${\begin{pmatrix}\lambda &\\&\lambda \\\end{pmatrix}}$, donde $\lambda \in \mathbb {R} ^{\times }$. Se puede pensar en $Z_{\mathbb {R} }$ como un subgrupo de $G_{\mathbb {A} }$, ya que se puede integrar el grupo por $z\mapsto (1_{G_{\text{fin}}},z)$.
El grupo $G_{\mathbb {Q} }$ está embebido diagonalmente en $G_{\mathbb {A} }$, lo que es posible, ya que las cuatro entradas de un $x\in G_{\mathbb {Q} }$ solo pueden tener una cantidad finita de divisores primos y, por lo tanto, $x\in K_{p}$ para todos, pero finitamente, muchos números primos $p\in \mathbb {N}$.
Sea $G_{\mathbb {A} }^{1}$ el grupo de todos los $x\in G_{\mathbb {A} }$ con $|\det(x)|=1$ (véase anillo adele para una definición del valor absoluto de un idele). Se puede calcular fácilmente que $G_{\mathbb {Q} }$ es un subgrupo de $G_{\mathbb {A} }^{1}$.
Con la aplicación uno a uno $G_{\mathbb {A} }^{1}\hookrightarrow G_{\mathbb {A} }$ se pueden identificar los grupos $G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}$ y $G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }$ entre sí.
El grupo $G_{\mathbb {Q} }$ es denso en $G_{\text{fin}}$ y discreto en $G_{\mathbb {A} }$. El cociente $G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }=G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}$ no es compacto, pero tiene una medida de Haar finita.
Por lo tanto, $G_{\mathbb {Q} }$ es una red de $G_{\mathbb {A} }^{1},$ similar al caso clásico del grupo modular y $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$. Por análisis armónico también se obtiene que $G_{\mathbb {A} }^{1}$ es unimodular.

### Adelización de cúspides

Ahora se desea incorporar las formas de Maass clásicas de cúspide de peso 0 para el grupo modular en $Z_{\mathbb {R} }G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }$. Esto se puede lograr con el "teorema de aproximación fuerte", que establece que la aplicación
    $\psi :G_{\mathbb {Z} }x_{\infty }\mapsto G_{\mathbb {Q} }(1,x_{\infty })G_{\widehat {\mathbb {Z} }}$
es un homeomorfismo equivalente $G_{\mathbb {R} }$. Entonces se obtiene
    $G_{\mathbb {Z} }\backslash G_{\mathbb {R} }{\overset {\sim }{\to }}G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }}$
y además
    $G_{\mathbb {Z} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {R} }{\overset {\sim }{\to }}G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }}.$
Las cúspides de Maass de peso 0 para el grupo modular pueden integrarse en
    $L^{2}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\backslash \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ))\cong L^{2}(\mathrm {GL} _{2}(\mathbb {Z} )Z_{\mathbb {R} }\backslash \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {R} )).$
Por el teorema de aproximación fuerte, este espacio unitario es isomorfo a
    $L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }})\cong L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })^{G_{\widehat {\mathbb {Z} }}}$
que es un subespacio de $L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }).$
Del mismo modo, se pueden incorporar las formas de cúspide holomorfas clásicas. Con una pequeña generalización del teorema de aproximación, se pueden incorporar todas las formas de cúspide de Maass (así como las cúspides holomorfas) de cualquier peso para cualquier subgrupo de congruencia $\Gamma$ en $L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })$.
$L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })$ recibe el nombre de espacio de las formas automorfas del grupo adele.

### Formas de cúspide del grupo adele

Sea un anillo en $R$, y sea $N_{R}$ el grupo de todos ${\begin{pmatrix}1&r\\&1\\\end{pmatrix}},$ donde $r\in R$. Este grupo es isomorfo al grupo aditivo de R.
Se llama a una función $f\in L^{2}(G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1})$ forma cúspide, si
    $\int _{N_{\mathbb {Q} }\backslash N_{\mathbb {A} }}f(nx)dn=0$
se cumple para casi todos los $x\in G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}$. Sea $L_{\text{cusp}}^{2}(G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1})$ (o simplemente $L_{\text{cusp}}^{2}$) el espacio vectorial de estas formas de cúspide. $L_{\text{cusp}}^{2}$ es un subespacio cerrado de $L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })$ y es invariable bajo la representación regular correcta de $G_{\mathbb {A} }^{1}.$
Es posible la descomposición de $L_{\text{cusp}}^{2}$ en subespacios cerrados irreducibles.
Se tiene el siguiente teorema:
El espacio $L_{\text{cusp}}^{2}$ se descompone en una suma directa de espacios de Hilbert irreducibles con multiplicidades finitas $N_{\text{cusp}}(\pi )\in \mathbb {N} _{0}$:
    $L_{\text{cusp}}^{2}={\widehat {\bigoplus _{\pi \in {\widehat {G}}_{\mathbb {A} }}}}N_{\text{cusp}}(\pi )\pi$
El cálculo de estas multiplicidades $N_{\text{cusp}}(\pi )$ es uno de los problemas más importantes y más difíciles en la teoría de las formas automorfas.

### Representaciones cuspidales del grupo adele

Una representación irreducible $\pi$ del grupo $G_{\mathbb {A} }$ se llama cuspidal, si es isomórfica a una subrepresentación de $L_{\text{cusp}}^{2}$ ist.
Una representación irreducible $\pi$ del grupo $G_{\mathbb {A} }$ se llama admisible si existe un subgrupo compacto $K$ de $K\subset G_{\mathbb {A} }$, de modo que $\dim _{K}(V_{\pi },V_{\tau })<\infty$ para todos los $\tau \in {\widehat {G}}_{\mathbb {A} }$.
Se puede demostrar que toda representación cuspidal es admisible.
La admisibilidad es necesaria para probar el llamado Teorema de aplicación del producto tensorial (Tensorprodukt-Theorem anzuwenden), que dice que toda representación irreducible, unitaria y admisible del grupo $G_{\mathbb {A} }$ es isomorfa a un producto tensorial infinito.
    $\bigotimes _{p\leq \infty }\pi _{p}.$
Los $\pi _{p}$ son representaciones irreducibles del grupo $G_{p}$. Casi todos necesitan ser no ramificados.
(Una representación $\pi _{p}$ del grupo $G_{p}$ $(p<\infty )$ se llama no ramificada, si el espacio vectorial
    $V_{\pi _{p}}^{K_{p}}=\{v\in V_{\pi _{p}}\mid \pi _{p}(k)v=v\forall k\in K_{p}\}$
no es el espacio cero)
La construcción de un producto tensorial infinito se puede encontrar en Deitmar, C.7.

### Funciones L automorfas

Sea $\pi$ una representación unitaria irreducible y admisible de $G_{\mathbb {A} }$. Según el teorema del producto tensorial, $\pi$ tiene la forma $\pi =\bigotimes _{p\leq \infty }\pi _{p}$ (véase representaciones cuspidales del grupo adele).
Sea $S$ un conjunto finito de lugares que contengan $\infty$ y todos los lugares ramificados. Se define la función global de Hecke de $\pi$ como
    $L^{S}(s,\pi ):=\prod _{p\notin S}L(s,\pi _{p})$
donde $L(s,\pi _{p})$ es una llamada función L local de la representación local $\pi _{p}$. Se puede encontrar una construcción de funciones L locales en Deitmar C. 8.2.
Si $\pi$ es una representación cúspide, la función L $L^{S}(s,\pi )$ tiene una continuación meromórfica en $\mathbb {C} .$. Esto es posible, ya que $L^{S}(s,\pi )$ satisface ciertas ecuaciones funcionales.