# Álgebra sobre un cuerpo

En matemáticas, un álgebra sobre un cuerpo $\mathbb {K}$, o una $\mathbb {K}$-álgebra, es un espacio vectorial $A$ sobre $\mathbb {K}$ equipado con una noción compatible de multiplicación de elementos de $A$. Una generalización directa admite que $\mathbb {K}$ sea cualquier anillo conmutativo. Algunos autores utilizan el término "álgebra" como sinónimo de "álgebra asociativa".

## Definiciones

Para ser exactos, sea $(V_{\mathbb {K} },+)$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb {K}$, y supongamos que existe una operación binaria definida entre vectores:
   $\cdot :V_{\mathbb {K} }\times V_{\mathbb {K} }\to V_{\mathbb {K} }$
Tal que es bilineal, es decir, tal que para todo $u,v,w\in V,\lambda \in \mathbb {K}$:
* $u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w$
* $(v+w)\cdot u=v\cdot u+w\cdot u$
* $u\cdot (\lambda v)=(\lambda u)\cdot v=\lambda (u\cdot v)$
Entonces con esta operación, $V_{\mathbb {K} }$ se convierte en un álgebra sobre $\mathbb {K}$ y $\mathbb {K}$ es el cuerpo base del álgebra ${\mathcal {A}}=(V_{\mathbb {K} },+,\cdot )$.
Las álgebras también se pueden definir más generalmente sobre cualquier anillo unitario $R$: necesitamos un módulo ${\mathcal {A}}$ sobre $R$ y una operación bilineal sobre el espacio vectorial como la arriba descrita; entonces ${\mathcal {A}}$ es una $R$-álgebra, y $R$ es el anillo bajo ${\mathcal {A}}$. Dos álgebras ${\mathcal {A}}$ y ${\mathcal {B}}$ sobre $\mathbb {K}$ son isomorfas si existe una aplicación lineal biyectiva $f:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ tal que $f(\mathbf {xy} )=f(\mathbf {x} )f(\mathbf {y} )$ para todo $x,y\in {\mathcal {A}}$. Para todos los propósitos prácticos, las álgebras isomorfas son idénticas; solamente se diferencian en la notación de sus elementos.

## Características

Para las álgebras sobre un cuerpo, la multiplicación bilineal de ${\mathcal {A}}\times {\mathcal {A}}$ a ${\mathcal {A}}$ está determinada totalmente por la multiplicación de los elementos de la base de $A$. Inversamente, una vez que ha sido elegida una base para ${\mathcal {A}}$, los productos de los elementos de base se pueden fijar arbitrariamente, y entonces extender de una manera única a un operador bilineal en ${\mathcal {A}}$, es decir de modo que la multiplicación que resulta satisfaga las leyes del álgebra.
Así, dado el cuerpo $\mathbb {K}$, cualquier álgebra se puede especificar salvo un isomorfismo dando su dimensión (digamos $n$), y especificar los $n^{3}$ coeficientes de estructura $c_{i,j,k}$, que son escalares. Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en ${\mathcal {A}}$ vía la regla siguiente:
   $\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}$
Donde $\{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}$ una base de $A$. El único requisito en los coeficientes de la estructura es que, si la dimensión $n$ es un número infinito, entonces esta suma debe converger (en cualquier sentido que sea apropiado para la situación). Observe, sin embargo, que diversos conjuntos de coeficientes de estructura pueden dar lugar a álgebras isomorfas.
En física matemática, los coeficientes de estructura se escriben a menudo $c_{i,j}^{k}$, y se escribe usando el convenio de sumación de Einstein como
   $\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=c_{i,j}^{k}$
Si se aplica esto a vectores escritos en notación de índice, entonces se convierte en:
   $(\mathbf {xy} )^{k}=c_{i,j}^{k}x^{i}y^{j}$
Si $\mathbb {K}$ es solamente un anillo conmutativo y no un cuerpo, entonces lo mismo funciona si ${\mathcal {A}}$ es un módulo libre sobre $\mathbb {K}$. Si no es, entonces la multiplicación todavía está determinada totalmente por su acción en un conjunto generador de ${\mathcal {A}}$; sin embargo, las constantes de estructura no se pueden especificar arbitrariamente en este caso, y saber solamente las constantes de estructura no específica el álgebra módulo isomorfismo.

## Clases de álgebra y ejemplos

Un álgebra conmutativa es una en que la multiplicación es conmutativa; un álgebra asociativa es una en que la multiplicación es asociativa. Éstas incluyen las clases más familiares de álgebra.

### Álgebras asociativas

Entre los ejemplos de álgebra asociativa podemos destacar:
* el álgebra de todas las matrices $n\times n$ sobre el cuerpo (o anillo conmutativo) $\mathbb {K}$, a veces denotada como ${\mathfrak {M}}_{2\times 2}(\mathbb {K} )$. Aquí la multiplicación es multiplicación ordinaria de matrices.
* las álgebra grupo, donde un grupo sirve de base del espacio vectorial y la multiplicación del álgebra amplía la multiplicación del grupo.
* el álgebra conmutativa $\mathbb {K} [x]$ de todos los polinomios sobre $\mathbb {K}$, es un espacio vectorial de dimensión infinita $\aleph _{0}$ (alef-0) sobre el cuerpo en el que se definen.
* las álgebras de funciones, tales como el $\mathbb {R}$-álgebra de todas las funciones continuas real-valoradas definidas en el intervalo $[0,1]$, o la $\mathbb {C}$-álgebra de todas las funciones holomórficas definidas en algún conjunto abierto en el plano complejo. Éstas son también conmutativos.
* las álgebras de incidencia se construyen sobre ciertos conjuntos parcialmente ordenados.
* las álgebras de operadores lineales, por ejemplo en un espacio de Hilbert. Aquí la multiplicación del álgebra viene dada por la composición de operadores. Estas álgebras también llevan una topología; se definen muchas de ellas en un espacio subyacente de Banach que las convierte en un álgebra de Banach. Si una involución se da también, obtenemos B-estrella-álgebras y C-estrella-álgebras. Éstas se estudian en análisis funcional.

### Álgebras no asociativas

Las clases más conocidas de álgebras no-asociativas son las que son casi asociativas, es decir, en que una cierta ecuación simple obliga las diferencias entre diversas maneras de asociar la multiplicación de elementos. Éstos incluyen:
* Álgebra de Lie, para las cuales requerimos la identidad de Jacobi $z(xy)+(yz)x+(zx)y=0$ y anticonmutatividad: $xx=0$. Para estas álgebra el producto se llama el corchete de Lie y se escribe $[x,y]$ en vez de $xy$. Los ejemplos incluyen:
** Espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{3}$ con la multiplicación dada por el producto vectorial (con $\mathbb {K}$ el cuerpo $\mathbb {R}$ de los números reales);
** Álgebra de los campos vectoriales en una variedad diferenciable (si $\mathbb {K}$ es $\mathbb {R}$ o los números complejos $\mathbb {C}$) o una variedad algebraica (para el general $\mathbb {K}$);
** Cada álgebra asociativa da lugar a un álgebra de Lie usando el conmutador como corchete de Lie. De hecho cada álgebra de Lie se puede construir de esta manera, o es una subálgebra de un álgebra de Lie así construida.
* Álgebra de Jordan, para las cuales requerimos $(xy)x^{2}=x(yx^{2})$y también $xy=yx$.
** Cada álgebra asociativa sobre un cuerpo de característica distinta de 2 da lugar a un álgebra de Jordan definiendo una nueva multiplicación $xy={\frac {1}{2}}(xy+yx)$. En contraste con el caso del álgebra de Lie, no toda álgebra de Jordan se puede construir de esta manera. Las que si se pueden se llaman especiales.
* Álgebras alternativas, para las cuales requerimos que $(xx)y=x(xy)y(yx)x=y(xx)$. Los ejemplos más importantes son los octoniones (un álgebra sobre los reales), y generalizaciones de los octoniones sobre otros cuerpos. (todas las álgebras asociativas son obviamente alternativas.) Salvo isomorfismo las únicas álgebras alternativas reales finito-dimensionales son los reales, los complejos, los cuaterniones y los octoniones.
* Álgebras potencia-asociativas, para las cuales requerimos que $x^{m}x^{n}=x^{m+n}$, donde $m,n\geq 1$. (aquí definimos formalmente $x^{n+1}$ recurrentemente como $xx^{n}$.) Los ejemplos incluyen todas las álgebras asociativas, todas las álgebras alternativas, y los sedeniones.

### Más clases de álgebra

* Las álgebras de división, en las cuales el inverso multiplicativo existe o la división puede ser realizada. Las álgebras finito-dimensionales de división sobre el cuerpo de los números reales se pueden clasificar bien.
* Álgebras cuadráticas, para las cuales requerimos xx=re + sx, para algunos elementos r y s en el cuerpo de base, y e una unidad para el álgebra. Los ejemplos incluyen todas las álgebras alternativas finito-dimensionales, y el álgebra de las matrices reales 2-por-2. Salvo un isomorfismo las únicas álgebras reales alternativas, cuadráticas sin divisores de cero son los reales, los complejos, los cuaterniones, y los octoniones.
* Las álgebras de Cayley-Dickson (donde K es R, que comienzan con:
** C (una álgebra conmutativa y asociativa);
** los cuaterniones H (una álgebra asociativa);
** los octoniones (un álgebra alternativa);
** los sedeniones (un álgebra potencia-asociativa, como todas las álgebras de Cayley-Dickson).
* Las álgebras de Poisson se consideran en la cuantización geométrica. Tienen dos multiplicaciones, haciéndolas álgebras conmutativas y álgebras de Lie de diversas maneras.