# Cálculo de antenas

Los ejemplos de cálculo de antenas que siguen sólo tienen por objeto mostrar el funcionamiento de algunos casos y el origen de la ganancia y de la impedancia. Los cálculos son aproximados y no tienen en cuenta, por ejemplo, el grueso de los elementos de la antena, que aquí son considerados como finos. Tampoco se tiene en cuenta la influencia de la Tierra. Las longitudes de los dipolos y sus separaciones son arbitrarias y no tienen tal vez ninguna utilidad en la realidad. Los cálculos obtenidos con los programas dados como enlaces externos son probablemente más útiles en la práctica.
Salvo indicación contraria, todos los ángulos están en radianes.

## Dipolo cuarto de onda

Una antena $\scriptstyle {\lambda \over 4}$ o "cuarto de onda" es una antena de $\scriptstyle {\lambda \over 4}$ de largo colocada verticalmente sobre un plano dieléctrico o conductor que le sirve de reflector. La imagen de la antena parece recorrida por una corriente que tiene el mismo sentido que la de la antena real. El conjunto forma una antena $\scriptstyle {\lambda \over 2}$ pero que solo radia, por supuesto, hacia arriba. Es preferible que el plano sea conductor, porque un dieléctrico solo refleja bien las ondas electromagnéticas que cuando la incidencia es rasante.
Pero en el buen lado del reflector (hacia arriba) el campo eléctrico y luego la potencia por metro cuadrado es el mismo que el producido por un dipolo $\scriptstyle {\lambda \over 2}$ alimentado con la misma corriente. Pero como la potencia total es la mitad de la que emitiría el dipolo $\scriptstyle {\lambda \over 2}$, la resistencia en serie de la impedancia de la antena es igual a la mitad de la resistencia de un dipolo $\scriptstyle {\lambda \over 2}$. Es decir $\scriptstyle {{73+j43 \over 2}=36+j21}$ ohmios, ya que la parte reactiva también está dividida por dos. La ganancia de la antena es la misma que la de un dipolo $\scriptstyle {\lambda \over 2}$ o sea 2,14 dBi.
Cuando la tierra no es utilizable, como en un vehículo, se puede utilizar el techo metálico de este mismo como plano de tierra. En otros casos se puede simular un plano de tierra con una rejilla conductora o simplemente con varillas radiales al pie del cuarto de onda. Ese tipo de antena se llama ground-plane. Modificando la inclinación de las varillas se modifica también el diagrama de radiación y, por supuesto, la impedancia.

## Dipolo con diedro reflector

Si, en lugar de colocar una superficie plana como reflector, se utiliza un diedro formado por superficies o rejillas metálicas las ondas emitidas por el dipolo se reflejan una o dos veces en las superficies y el resultado es equivalente a añadir antenas imágenes suplementarias. En el ejemplo de la derecha, el ángulo escogido para el diedro es de 90°. Eso hace aparecer dos imágenes de un solo reflejo y otra de dos reflejos. Si el ángulo hubiese sido 60° habrían aparecido 5 imágenes: 3 negativas y dos positivas.
En este ejemplo, hemos puesto la separación entre el dipolo y el vértice del diedro $\scriptstyle {S={\lambda \over 4}}$. La distancia entre la antena 1 (el dipolo) y la antena 3 es de $\scriptstyle {2S={\lambda \over 2}}$. La distancia entre el dipolo y las antenas 2 y 4 es de $\scriptstyle {S{\sqrt {2}}={\lambda \over 4}{\sqrt {2}}}$.
Como en el caso precedente solo necesitamos la primera ecuación del sistema de la describe ya que conocemos las corrientes:
    $\displaystyle {v_{1}=i_{1}Z_{11}+i_{2}Z_{12}+i_{3}Z_{13}+i_{4}Z_{14}}$
Sabemos que:
    $\displaystyle {i_{2}=i_{4}=-i_{1}}$
    $\displaystyle {i_{3}=i_{1}}$
    $\displaystyle {Z_{12}=Z_{14}}$
Luego:
    $v_{1}=i_{1}\left(Z_{11}-2Z_{12}+Z_{13}\right)$
La impedancia es
    $Z={v_{1} \over i_{1}}=Z_{11}-2Z_{12}+Z_{13}$
En las mismas curvas que en el caso precedente encontramos:
    $\displaystyle {Z_{11}=73+j42}$ ohmios
    $\displaystyle {Z_{13}=-12{,}5-j30{,}5}$ ohmios
    $\displaystyle {Z_{12}=Z_{14}=19-j38}$ ohmios
Eso nos da una impedancia de la antena:
    $\displaystyle {Z=22{,}5-j94}$ ohmios
El campo eléctrico lejano es:
    $E_{\theta }=E_{\theta _{1}}\left(e^{jks\cos \theta }+e^{-jks\cos \theta }-e^{jks\sin \theta }-e^{-jks\sin \theta }\right)=E_{\theta _{1}}2\left[\cos(ks\cos \theta )-\cos(ks\sin \theta )\right]$
    $E_{\theta }=E_{\theta _{1}}2\left[\cos \left({\pi \over 2}\cos \theta \right)-\cos \left({\pi \over 2}\sin \theta \right)\right]$
En estas ecuaciones, $\scriptstyle {E_{\theta _{1}}}$ es el campo producido por un dipolo $\scriptstyle {\lambda \over 2}$ solo. En la mejor dirección, para $\scriptstyle {\theta =0}$, ese campo vale:
    $E_{\circ }=-2E_{\theta _{1}}$
Lo que nos permite de calcular la ganancia:
    $G={2^{2}120 \over R_{serie}}={2^{2}120 \over 22{,}5}=21{,}3=13{,}3$ dBi

## Antena Yagi-Uda a dos elementos

Puede encontrar una explicación del funcionamiento de esta antena en Yagi.
En el ejemplo de la derecha hemos construido un caso simple de antena Yagi-Uda. Este ejemplo solo comporta un elemento alimentado de $\scriptstyle {\lambda \over 2}$ y un director de $\scriptstyle {0{,}45\lambda }$ de largo a $\scriptstyle {0{,}1\lambda }$ de distancia. Buscando en las curvas adecuadas encontramos:¿Cuales son las curvas?
    $Z_{11}=73+j43\,$
    $Z_{22}=58+j27\,$
    $Z_{12}=Z_{21}=67+j7\,$
El sistema de ecuaciones es:
    ${\begin{matrix}v_{1}&=&i_{1}Z_{11}&+&i_{2}Z_{12}\\0&=&i_{1}Z_{21}&+&i_{2}Z_{22}\end{matrix}}$
De la segunda ecuación deducimos:
    ${i_{2} \over i_{1}}={-Z_{12} \over Z_{22}}={-67-j7 \over 58-j27}=1{,}053e^{-j2{,}60}$
Vea que, en este caso particular, la corriente en el elemento parásito es más grande que en el elemento alimentado.
El campo lejano $\scriptstyle {E_{\theta }}$ de la antena será la suma de los campos producidos por el dipolo alimentado $\scriptstyle {E_{1}}$ y por el director$\scriptstyle {E_{2}}$, pero teniendo en cuenta el desfase:
    $E_{\theta }=E_{1}+E_{2}e^{j\phi }\,$
Donde $\scriptstyle {\phi }$ es el avance de la señal de 2 con respecto a 1 del hecho que el 2 está más cerca del punto de observación que 1:
    $\phi =k\ell \cos \theta ={2\pi \over \lambda }0{,}1\lambda \cos \theta =0{,}2\pi \cos \theta$
donde $\scriptstyle {\ell }$ es la separación entre los dos dipolos.
    $E_{\theta }=E_{1}\left(1+\textstyle {E_{2} \over E_{1}}e^{j\phi }\right)$
pero
    ${E_{2} \over E_{1}}={i_{2} \over i_{1}}=1{,}053e^{-j2{,}60}$
    $E_{\theta }=E_{1}\left(1+1{,}053e^{-j2{,}60}e^{j\phi }\right)=E_{1}\left(1+1{,}053e^{j\left(0{,}2\pi \cos \theta -2{,}60\right)}\right)$
Como solo nos interesamos a la amplitud:
    $E_{\theta }=E_{1}{\sqrt {1+1{,}053^{2}+2\cdot 1{,}053\cos(0{,}2\pi \cos \theta -2{,}60)}}$
En el dibujo precedente solo hemos representado el término debido a la interferencia, es decir, la raíz cuadrada en la última fórmula. Para obtener el diagrama final aún habría que multiplicarlo por el diagrama de radiación $\scriptstyle {E_{\theta _{1}}}$ de un dipolo $\scriptstyle {\lambda \over 2}$.
Hacia la mejor dirección (para $\scriptstyle {\theta =0}$) el campo lejano vale:
    $E_{\theta }=E_{1}1{,}13\,$
Calculemos la impedancia de la antena:
    $Z={v_{1} \over i_{1}}=Z_{11}+Z_{12}{i_{2} \over i_{1}}=Z_{11}+Z_{12}1{,}053e^{-j2{,}60}$
El cálculo da:
    $Z=16{,}27+j30{,}31\,$ ohmios.
La ganancia de la antena es:
    $G={1{,}13^{2}{i^{2} \over 8\pi ^{2}\varepsilon _{\circ }cr^{2}} \over {R_{serie}i^{2} \over 8\pi r^{2}}}={1{,}13^{2}120 \over R_{serie}}={1{,}13^{2}120 \over 16{,}27}=9{,}42=9{,}73$ dBi

## Antena Yagi-Uda a tres elementos

En el dibujo de la derecha, figura una antena Yagi-Uda de tres elementos:
* el elemento alimentado de $\scriptstyle {0{,}44\lambda }$ de longitud.
* un director de $\scriptstyle {0{,}43\lambda }$ situado $\scriptstyle {0{,}13\lambda }$ delante el elemento alimentado.
* un reflector de $\scriptstyle {0{,}5\lambda }$ situado a $\scriptstyle {0{,}25\lambda }$ detrás del elemento alimentado.
En las curvas encontramos:
    $Z_{aa}=55{,}24-j40{,}52\,$
    $Z_{dd}=52{,}56-j53{,}88\,$
    $Z_{rr}=73{,}00+j43{,}00\,$
    $Z_{ad}=Z_{da}=63{,}00-j2{,}15\,$
    $Z_{ar}=Z_{ra}=40{,}47-j29{,}00\,$
    $Z_{dr}=Z_{rd}=10{,}40-j38{,}36\,$
El sistema de ecuaciones es:
    ${\begin{matrix}v_{a}&=&i_{a}Z_{aa}&+&i_{d}Z_{ad}&+&i_{r}Z_{ar}\\0&=&i_{a}Z_{ad}&+&i_{d}Z_{dd}&+&i_{r}Z_{dr}\\0&=&i_{a}Z_{ar}&+&i_{d}Z_{dr}&+&i_{r}Z_{rr}\end{matrix}}$
Deducimos:
    ${i_{d} \over i_{a}}={Z_{ar}Z_{dr}-Z_{ad}Z_{rr} \over Z_{dd}Z_{rr}-Z_{dr}^{2}}\,$
    ${i_{r} \over i_{a}}={Z_{ad}Z_{dr}-Z_{ar}Z_{dd} \over Z_{dd}Z_{rr}-Z_{dr}^{2}}\,$
Después de largos y fastidiosos cálculos con números complejos, obtenemos:
    ${i_{d} \over i_{a}}=0{,}92e^{-j2{,}34}\,$
    ${i_{r} \over i_{a}}=0{,}167e^{j1{,}68}\,$
El campo lejano será:
    $E=E_{a}\left(1+{E_{d} \over E_{a}}e^{j\beta _{d}}+{E_{r} \over E_{a}}e^{j\beta _{r}}\right)=E_{a}\left(1+{i_{d} \over i_{a}}e^{j\beta _{d}}+{i_{r} \over i_{a}}e^{j\beta _{r}}\right)\,$
donde $\beta _{d}={2\pi \over \lambda }0{,}13\lambda \cos \theta =0{,}817\cos \theta \,$ y $\beta _{r}=-{2\pi \over \lambda }0{,}25\lambda \cos \theta =1{,}571\cos \theta \,$.
Tomando como referencia la fase del elemento alimentado, la fase del director es:
    $\phi _{d}=\beta _{d}-2.34\,$
y la fase del reflector es:
    $\phi _{r}=\beta _{r}+1{,}68\,$
El campo lejano de la antena es:
    $E=E_{a}\left(1+0{,}92e^{j\phi _{d}}+0{,}167e^{j\phi _{r}}\right)\,$
Y su amplitud será:
    $\left|E\right|=\left|E_{a}\right|{\sqrt {\left(1+0{,}92\cos \phi _{d}+0{,}167\cos \phi _{r}\right)^{2}+\left(0{,}92\sin \phi _{d}+0{,}167\sin \phi _{r}\right)^{2}}}\,$
Para $\scriptstyle {\theta =0}$ obtenemos $\scriptstyle {|E|=|E_{a}|1{,}509}$. La impedancia de la antena es:
    $Z={v_{a} \over i_{a}}=Z_{aa}+Z_{ad}{i_{d} \over i_{a}}+Z_{ar}{i_{r} \over i_{a}}=17{,}58-j73{,}56\,$ ohmios.
La ganancia es:
    $G={1{,}509^{2}{i_{a}^{2} \over 8\pi ^{2}\varepsilon _{\circ }cr^{2}} \over {I_{a}^{2}R_{serie} \over 8\pi r^{2}}}={120\ 1{,}509^{2} \over 17{,}58}=15{,}53=11{,}91\,$ dBi.
Estos pesados cálculos muestran el mérito de quienes los hicieron cientos de veces, décadas antes de la aparición de computadoras y calculadoras.