# Coeficiente de determinación

En estadística, el coeficiente de determinación, denominado R² (se pronuncia R cuadrado), es un coeficiente usado en el contexto de un modelo estadístico cuyo principal propósito es predecir futuros resultados o probar una hipótesis. El coeficiente determina la calidad del modelo para replicar los resultados, y la proporción de variación de los resultados que puede explicarse por el modelo.
Hay varias definiciones diferentes para R² que son algunas veces equivalentes. Las más comunes se refieren a la regresión lineal. En este caso, el R² es simplemente el cuadrado del coeficiente de correlación de Pearson, lo cual es sólo cierto para la regresión lineal simple. Si existen varios resultados para una única variable, es decir, para una X existe una Y, Z... el «coeficiente de determinación» resulta del cuadrado del coeficiente de determinación múltiple. En ambos casos el R² adquiere valores entre 0 y 1. Existen casos dentro de la definición computacional de R² donde este valor puede tomar valores negativos.

## Cálculo
### Caso general

Un modelo estadístico se construye para explicar una variable aleatoria, que llamaremos dependiente, a través de otras variables aleatorias a las que llamaremos factores. Dado que podemos predecir una variable aleatoria mediante su media y que, en este caso, el error cuadrático medio es su varianza, el máximo error cuadrático medio que podemos aceptar en un modelo para una variable aleatoria que posea los dos primeros momentos es la varianza. Para estimar el modelo haremos varias observaciones de la variable a predecir y de los factores. A la diferencia entre el valor observado de la variable y el valor predicho la llamaremos residuo. La media cuadrática de los residuos es la varianza residual.
Si representamos por $\sigma _{y}^{2}:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}$ la varianza de la variable dependiente $y$, y la varianza residual por $\sigma _{r}^{2}:=ECM={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(y_{i}-{\hat {y_{i}}})^{2}$, el coeficiente de determinación viene dado por la siguiente ecuación:
$\rho ^{2}=1-{\frac {\sum _{i=1}^{N}(y_{i}-{\hat {y_{i}}})^{2}}{\sum _{i=1}^{N}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}=1-{{\sigma _{r}^{2}} \over {\sigma _{y}^{2}}}$
Se mide en tantos por ciento. Si la varianza residual es cero, el modelo explica el 100% de valor de la variable; si coincide con la varianza de la variable dependiente, el modelo no explica nada y el «coeficiente de determinación» es del 0%. En variables económicas y financieras, suele ser difícil conseguir un coeficiente de determinación mayor de un 30%.

### Para la regresión lineal

En el caso particular de una regresión lineal, R$^2$ coincide con el cuadrado del coeficiente de correlación de Pearson:
    $R^{2}={\sigma _{XY}^{2} \over \sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}^{2}}=\rho ^{2}$
Donde:
* $\sigma _{XY}$ es la covarianza de $(X,Y)$
* $\sigma _{X}^{2}$ es la varianza de la variable $X$
* $\sigma _{Y}^{2}$ es la varianza de la variable $Y$

## Modelo lineal

En un modelo lineal, la variable dependiente $y$ se explica mediante la ecuación $y=\sum _{j=1}^{n}\beta _{j}x_{j}$. Si observamos $m$ veces tanto la variable aleatoria como los factores, podemos ordenar nuestras observaciones de la variable dependiente en una matriz $\mathbf {y}$ mientras que colocaremos las de los factores en la matriz de regresión $\mathbf {X}$ . Cada observación corresponderá a una coordenada de $\mathbf {y}$ y a una fila de $\mathbf {X}$. Cada columna de la matriz de regresión corresponde a las observaciones de un factor. En cada observación el modelo cometerá un error:
$y_{i}=\sum _{i=1}^{m}\beta _{j}x_{ij}+\varepsilon _{i}$
Estos errores se llaman residuos. La varianza residual es la varianza de estos residuos.
$\sigma _{r}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}^{2}=\mathbf {\varepsilon } '\mathbf {\varepsilon } =(\mathbf {y} -\mathbf {X} \mathbf {\beta } )'(\mathbf {y} -\mathbf {X} \mathbf {\beta } )$
$\sum _{j=1}^{n}\beta _{j}x_{ij}$ es la parte de la variación de $y_{i}$ explicada por el modelo lineal.
$\varepsilon _{i}$ es la parte de la variación de $y_{i}$ que no explica el modelo lineal.
Sumando estas dos partes, obtenemos $y_{i}$.
El valor del «coeficiente de determinación» aumenta cuando se incluyen nuevas variables en el modelo, incluso cuando éstas son poco significativas o tienen poca correlación con la variable dependiente. El coeficiente de determinación corregido mide el porcentaje de variación de la variable dependiente (al igual que el coeficiente de determinación) pero tiene en cuenta además el número de variables incluidas en el modelo.