# Forma indeterminada

En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:
* $0\div 0$
* ${\infty }\div {\infty }$
* $0\times \infty$
* $\infty -\infty$
* $0^{0}$
* $1^{\infty }$
* $\infty ^{0}$
* ${\sqrt[{0}]{1}}$
* ${\sqrt[{\infty }]{0}}$
* ${\sqrt[{\infty }]{\infty }}$
* $\log _{0}(0)$
* $\log _{\infty }(\infty )$
* $\log _{1}(1)$
* $\log _{\infty }(0)$
* $\log _{0}(\infty )$
Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, menos generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

## Interpretación

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite
   $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$
Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

## Cociente indeterminado
### La forma 0/0

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x$^3$, x/x, y x$^2$/x se van a ${\infty }$, 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que, informalmente, 0/0 puede ser 0, ${\infty }$ o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada. Ejemplos:
    $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}={\cfrac {0}{0}}$
    $\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}={\cfrac {0}{0}}$

### La forma ${\infty }$/${\infty }$

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ${\infty }$. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ${\infty }$/${\infty }$. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.
Ejemplos:
    $\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}}{x}}={\frac {\infty }{\infty }}$
    $\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}={\frac {\infty }{\infty }}$

## Producto indeterminado

La forma indeterminada 0 • ${\infty }$
    $\lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0\cdot (-\infty )$
    $\lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\cos x\cdot \tan x=0\cdot \infty$

## Diferencia indeterminada

En los casos en que el límite de una diferencia es ${\infty }$, no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ${\infty }$–${\infty }$. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

## Potencia indeterminada

* La forma 0$^0$
    $\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln x^{x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\ln x}=e^{\lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)}.$
* La forma ${\infty }$$^0$
* La forma 1$^{∞{\displaystyle{\infty}}}$
Ejemplo: el siguiente límite
    $\lim _{x\to 0^{+}}x^{\left({\frac {3}{4+\ln x}}\right)}$, es de la forma $0^{0}$; considerando
    $y=x^{\left({\frac {3}{4+\ln x}}\right)}$
y tomando logaritmos en ambos miembros resulta
    $\ln y={\frac {3}{4+\ln x}}\ln x$ aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene
    $\ln y=3\cdot {\frac {1/x}{1/x}}=3$ de manera que el límite sería
    $\lim _{x\to 0^{+}}y=e^{3}$

## Tabla de formas indeterminadas

La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.
| Forma indeterminada | Condiciones | Transformación a 0/0 | Transformación a ∞/∞ |
| $\qquad {\frac {0}{0}}$ | $\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$ | — | $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$ |
| $\qquad {\frac {\infty }{\infty }}$ | $\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$ | $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$ | — |
| $\qquad 0\cdot \infty$ | $\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$ | $\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!$ |
| $\qquad 1^{\infty }$ | $\lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$ |
| $\qquad 0^{0}$ | $\lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$ |
| $\qquad \infty ^{0}$ | $\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$ |
| $\qquad \infty -\infty$ | $\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$ | $\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!$ | $\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!$ |