# Ecuación de Euler (turbomáquinas)

Se denomina ecuación de Euler a la ecuación fundamental que describe el comportamiento de una turbomáquina bajo la aproximación de flujo unidimensional.

## En potencias

La potencia por unidad de masa de fluido que se transmite en una turbomáquina sigue la siguiente ecuación:
* ${\dot {W}}={\dot {m}}(c_{1u}u_{1}-c_{2u}u_{2})$
donde:
    ${\dot {W}}$ es la potencia transmitida por la máquina.
       Si W>0{\textstyle W>0} la potencia es absorbida por la máquina (turbina).
       Si ${\dot {W}}<0$ la potencia es cedida por la máquina (bomba).
    ${\dot {m}}$ es el caudal másico que atraviesa la máquina.
    $c_{iu}$ es la velocidad absoluta tangencial del fluido. El subíndice u indica que se considera solo la velocidad tangencial. Los subíndices 1 y 2 indican entrada y salida respectivamente.
    $u_{i}$ es la velocidad absoluta del álabe.

## En alturas hidráulicas

La altura hidráulica de fluido que se transmite en una turbomáquina sigue la siguiente ecuación:
* $H_{u\infty }={\frac {(c_{1u}u_{1}-c_{2u}u_{2})}{g}}$
donde:
    $H_{u\infty }$ es la altura hidráulica transmitida por la máquina.
       Si $H_{u\infty }>0$ la altura es absorbida por la máquina (turbina).
       Si $H_{u\infty }<0$ la altura es cedida por la máquina (bomba).
    $c_{iu}$ es la velocidad absoluta tangencial del fluido. El subíndice u indica que se considera solo la velocidad tangencial. Los subíndices 1 y 2 indican entrada y salida respectivamente.
    $u_{i}$ es la velocidad relativa del fluido.
    $g$ es la aceleración de la gravedad.

## Definición

Partiendo de la Ley de Newton para un sistema abierto podemos enunciar la conservación de momento cinético para un volumen fluido:
    $E={\frac {d({\dot {m}}c)}{dt}}$
donde E son las fuerzas en ese volumen, m la masa del mismo y c la velocidad de este.
Si integramos para el volumen encerrado en la turbomáquina, podemos obtener la resultante para toda ella:
    $\iiint _{1}^{2}E=\iiint _{1}^{2}{\frac {d{\dot {m}}c}{dt}}F={\dot {m}}\cdot (c_{1}-c_{2})$
Pero dado que en una turbomáquina la transferencia de energía se produce a través del momento angular solo nos interesa la componente tangencial de c, $c_{u}$. Dicha componente produce un par:
    $\Gamma ={\dot {m}}(r_{1}c_{1u}-r_{2}c_{2u})$
donde R es la distancia con respecto al eje
Finalmente, vemos que la potencia ${\dot {W}}$ transferida es el par por la velocidad angular:
    ${\dot {W}}=\Gamma \omega ={\dot {m}}\omega (r_{1}c_{1u}-r_{2}c_{2u})={\dot {m}}(c_{1u}u_{1}-c_{2u}u_{2})$

## Forma alternativa de la ecuación de Euler

Si se parte de los triángulos de velocidades se ve que por trigonometría:
    $w^{2}=c^{2}+u^{2}-2uc_{u}$
con ello:
    $u_{1}c_{u1}={\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}+u_{1}^{2}-w_{1}^{2})$
    $u_{2}c_{u2}={\frac {1}{2}}(c_{2}^{2}+u_{2}^{2}-w_{2}^{2})$
Y se deduce que la ecuación de Euler se puede escribir también como:
* ${\dot {W}}={\frac {\dot {m}}{2}}((c_{1}^{2}-c_{2}^{2})+(u_{1}^{2}-u_{2}^{2})-(w_{1}^{2}-w_{2}^{2}))$
En esta formulación se pueden ver por separado las distintas contribuciones a la potencia transferida, obteniéndose recomendaciones para el diseño de turbomaquinaria:
* Para comunicar o extraer energía por unidad de masa del fluido interesa que $u_{1}$ y $u_{2}$ sean distintas. Esto ocurre con las turbomáquinas centrífugas, que logran unas mayores potencias específicas. Sin embargo, facilidades constructivas puede interesar una máquina axial que trasiegue mayores caudales sin este efecto adicional.
* Igualmente interesa siempre acelerar la velocidad absoluta del fluido (compresor) o decelerarla (turbina) mientras que interesa decelerar la velocidad relativa (compresor) o acelerarla (turbina).