# Péndulo simple

El péndulo simple (también llamado péndulo matemático o punto ideal) es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo al que se le puede regular su longitud y su peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero sí es accesible a la teoría.
El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse.

## Ecuación del movimiento
### Método de Newton

Consideremos un péndulo simple, como el representado en la figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, $\ell$, del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.
Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula.
La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:
   $F_{\text{t}}=-mg\operatorname {sen} {\theta }=ma_{\text{t}}\,$
siendo a$_t$, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para expresar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora).
Al tratarse de un movimiento circular, podemos proponer que
   $a_{\text{t}}=\ell {\ddot {\theta }}\,$
siendo ${\ddot {\theta }}\,$ la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:
   $-mg\operatorname {sen} \theta =m\ell {\ddot {\theta }}\qquad \Rightarrow \qquad \ell {\ddot {\theta }}+g\operatorname {sen} \theta =0\,$
Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.

### Método de Lagrange

El lagrangiano del sistema es
   ${\mathcal {L}}=T-V={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mgl\cos {\theta }$
donde $\theta \,$ es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) y $l\,$ es la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue
   ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}=0\qquad \Rightarrow \qquad ml^{2}{\ddot {\theta }}+mgl\operatorname {sen} \theta =0$
y obtenemos la ecuación del movimiento es
   $l{\ddot {\theta }}+g\operatorname {sen} {\theta }=0$
de modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo.

## Pequeñas oscilaciones

Si consideramos tan solo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del senθ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (senθ ≈ θ, para θ suficientemente pequeño), como podemos apreciar en la Tabla I, y la ec. dif. del movimiento se reduce a
    $\ell {\ddot {\theta }}+g\theta =0\,$
que es idéntica a la ec. dif. correspondiente al m.a.s., refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es:
    $\theta =\Theta \operatorname {sen}(\omega t+\phi )\,$
siendo ω la velocidad angular del cuerpo suspendido, determinamos el período como sigue:
    $\omega ={\sqrt {g \over \ell }}\qquad \Rightarrow \qquad T=2\pi {\sqrt {\ell \over g}}\,$
Las magnitudes $\Theta \,$ y $\phi \,$ son dos constantes «arbitrarias» (determinadas por las condiciones iniciales) correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento. Ambas tienen dimensiones de ángulo plano.
Comparación entre el valor de un ángulo (rad) y su seno. :
| Θ(º) | Θ(rad) | senΘ | dif. % | Θ(º) | Θ(rad) | senΘ | dif. % |
| 0 | 0,00000 | 0,00000 | 0,00 | 15 | 0,26180 | 0,25882 | 1,15 |
| 2 | 0,03491 | 0,03490 | 0,02 | 20 | 0,34907 | 0,34202 | 2,06 |
| 5 | 0,08727 | 0,08716 | 0,13 | 25 | 0,43633 | 0,42262 | 3,25 |
| 10 | 0,17453 | 0,17365 | 0,51 | 30 | 0,52360 | 0,50000 | 4,72 |

## Isocronismo

Obsérvese que el periodo del péndulo simple es independiente de la masa de la partícula suspendida y, también, de la amplitud de las oscilaciones, siempre que estas sean suficientemente pequeñas como para que la aproximación senθ ≈ θ sea aceptable. Esta última propiedad, conocida como isocronismo de las pequeñas oscilaciones, fue descubierta por Galileo (1564-1642), hacia el año 1581, en la catedral de Pisa:
Esta última circunstancia fue la que más atrajo la atención de Galileo; a pesar de que la amplitud de las oscilaciones se iba reduciendo, permanecía sensiblemente constante la duración de éstas. Galileo repitió muchas veces el experimento y acabó por descubrir la relación existente entre dicha duración y la longitud de la cuerda que soportaba al peso oscilante. Más adelante, hacia el año 1673, Christian Huygens encontró la expresión del periodo correspondiente a las oscilaciones de pequeña amplitud, basando su demostración en las leyes de caída de los graves, según las había enunciado Galileo.
Puesto que las pequeñas oscilaciones del péndulo son isócronas, resulta útil para la medida del tiempo (vide relojes de péndulo).

## Oscilaciones de mayor amplitud

La integración de la ecuación del movimiento, sin la aproximación de pequeñas oscilaciones, es considerablemente más complicada e involucra integrales elípticas de primera especie, por lo que omitimos el desarrollo que llevaría a la siguiente solución:
    $T\left(\theta \right)=T_{0}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\operatorname {sen} ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\operatorname {sen} ^{4}{\frac {\theta }{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\operatorname {sen} ^{6}{\frac {\theta }{2}}+\dots \right]$
    $=T_{0}\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}\operatorname {sen} ^{2n}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]$
donde $\theta \,$ es la amplitud angular. Así pues, el periodo es función de la amplitud de las oscilaciones.
En la figura hemos representado gráficamente la variación de T (en unidades de T$_0$) en función de θ, tomando un número creciente de términos en la expresión anterior. Se observará que el periodo T difiere significativamente del correspondiente a las oscilaciones de pequeña amplitud (T$_0$) cuando θ > 20º. Para valores de θ suficientemente pequeños, la serie converge muy rápidamente; en esas condiciones será suficiente tomar tan solo el primer término correctivo e, incluso, sustituir sen θ/2 por θ/2, de modo que tendremos
    $T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta ^{2}}{16}}\right)$
donde θ se expresará en radianes. Esta aproximación resulta apropiada en gran parte de las situaciones que encontramos en la práctica; de hecho, la corrección que introduce el término θ$^2$/16 representa menos de 0.2% para amplitudes inferiores a 10°.
Para oscilaciones de pequeña amplitud, las expresiones anteriores se reducen a
    $T\approx T_{0}=2\pi {\sqrt {\ell \over g}}$

## Instrumento gravimétrico

El péndulo simple se utilizó en las primeras determinaciones precisas de la aceleración producida por la gravedad, debido a que tanto el periodo de las oscilaciones como la longitud de la cuerda pueden determinarse con facilidad. Podemos expresar g en función de T y de $\ell$:
Ejemplo: $g=4\pi ^{2}{l \over T^{2}}$
Un péndulo simple se usa para medir la aceleración de la gravedad, usando T=2π√(1/g), el periodo T medido fue de (1.24±0.02) s. Y la longitud de (0.381±0.002) m. ¿Cuál es el valor resultante de g con 50 % de incertidumbre absoluta y relativa?
T² = 4 π² l / g
g = 4 π² l / T²
g = 4 π² 0.381 / (1.24)² = 15.641 / 1.5376 = 9.7821 m/s²
∆g = (∆l/l +2 ∆T/T) g
∆g = [(0.002/0.381) + 2 (0.02/1.24)] 9.7821 = 0.36 m/s²
g = 9.78±0.36 m/s²