# Ley de esperanzas iteradas

La ley de esperanzas iteradas o ley de Adán es una proposición en teoría de la probabilidad que establece que si $X$ es una variable aleatoria cuya esperanza $\operatorname {E} (X)$ es definida, e $Y$ es cualquier variable aleatoria en el mismo espacio de probabilidad, entonces se cumple que
    $\operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y)),$
es decir, la esperanza o valor esperado de $X$ es igual al valor esperado de la esperanza condicional de $X$ dado $Y$.
La esperanza condicional $\operatorname {E} (X\mid Y)$, siendo $Y$ una variable aleatoria, no es un simple número, es una variable aleatoria cuyo valor depende del valor de $Y$. Es decir, la esperanza condicional de $X$ dado el evento $Y=y$ es un número y es una función de $y$ . Si denotamos por $g(y)$ el valor de $\operatorname {E} (X\mid Y=y)$, entonces la variable aleatoria $\operatorname {E} (X\mid Y)$ es $g(Y)$ .
Un caso especial establece que si ${\left\{A_{i}\right\}}$ es una partición finita o contable del espacio muestral, entonces
    $\operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.$

## Ejemplo

Supongamos que sólo dos fábricas suministran bombillas al mercado. Las bombillas de la fábrica $X$ funcionan durante un promedio de 5000 horas, mientras que las de la fábrica $Y$ funcionan una media de 4000 horas. Se sabe que la fábrica $X$ suministra el 60% del total de bombillas disponibles. ¿Cuál es el tiempo de funcionamiento (L) esperado de una bombilla comprada?
Aplicando la ley de esperanzas iteradas, tenemos:
    ${\begin{aligned}\operatorname {E} (L)&=\operatorname {E} (L\mid X)\operatorname {P} (X)+\operatorname {E} (L\mid Y)\operatorname {P} (Y)\\[3pt]&=5000(0.6)+4000(0.4)\\[2pt]&=4600\end{aligned}}$
dónde
* $\operatorname {E} (L)$ es la vida útil esperada de la bombilla;
* $\operatorname {P} (X)={6 \over 10}$ es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido producida en la fábrica $X$ ;
* $\operatorname {P} (Y)={4 \over 10}$ es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido producida en la fábrica $Y$ ;
* $\operatorname {E} (L\mid X)=5000$ es la vida útil esperada de una bombilla producida en la fábrica $X$ ;
* $\operatorname {E} (L\mid Y)=4000$ es la vida útil esperada de una bombilla producida en la fábrica $Y$ .
Por lo tanto, cada bombilla comprada tiene una vida útil esperada de 4.600 horas.

## Prueba informal

Cuando una función de densidad de probabilidad conjunta está bien definida y las esperanzas son integrables, escribimos para el caso general ${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=\int x\Pr[X=x]~dx\\\operatorname {E} (X\mid Y=y)&=\int x\Pr[X=x\mid Y=y]~dx\\\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y))&=\int \left(\int x\Pr[X=x\mid Y=y]~dx\right)\Pr[Y=y]~dy\\&=\int \int x\Pr[X=x,Y=y]~dx~dy\\&=\int x\left(\int \Pr[X=x,Y=y]~dy\right)~dx\\&=\int x\Pr[X=x]~dx\\&=\operatorname {E} (X)\,.\end{aligned}}$Una derivación similar funciona para distribuciones discretas utilizando adición en lugar de integración. Para el caso específico de una partición, asigne a cada celda de la partición una etiqueta única y sea la variable aleatoria Y la función del espacio muestral que asigna la etiqueta de una celda a cada punto de esa celda.

## Prueba en el caso general

Sea $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ un espacio de probabilidad en el que dos sub σ-álgebras ${\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {F}}$ están bien definidas. Para una variable aleatoria $X$ en tal espacio, la ley de esperanzas iteradas establece que si $\operatorname {E} [X]$ es definida, es decir $\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty$, entonces
    $\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]\quad {\text{(a.s.)}}.$
Prueba . Dado que una esperanza condicional es una derivada de Radon-Nikodym, la verificación de las dos propiedades siguientes establece la ley de esperanas iteradas:
* $\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]{\mbox{ is }}{\mathcal {G}}_{1}$ - medible
* $\int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} ,$ para todo $G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}.$
La primera de estas propiedades se cumple por la definición de la esperanza condicional. Para probar la segunda,
    ${\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty ,\end{aligned}}$
de manera que la integral $\textstyle \int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P}$ es definida (no es igual a $\infty -\infty$ ).
Así, la segunda propiedad se cumple, pues $G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}$ implica
    $\int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} .$
Corolario. En el caso especial cuando ${\mathcal {G}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}$ y ${\mathcal {G}}_{2}=\sigma (Y)$, la ley de esperanzas iteradas se reduce a
    $\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].$
Prueba alternativa para $\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].$
Esta es una consecuencia simple de la definición de la esperanza condicional en la teoría de la medida. Por definición, $\operatorname {E} [X\mid Y]:=\operatorname {E} [X\mid \sigma (Y)]$ es una variable aleatoria $\sigma (Y)$-medible que satisface
    $\int _{A}\operatorname {E} [X\mid Y]\,d\operatorname {P} =\int _{A}X\,d\operatorname {P} ,$
para cada conjunto medible $A\in \sigma (Y)$. Tomar $A=\Omega$ prueba la afirmación.