# Cuasi norma

En álgebra lineal, análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, una cuasi norma (término también escrito en ocasiones como cuasinorma, cuasi-norma o casi norma), es una aplicación que satisface los axiomas de una norma excepto la desigualdad triangular, que se reemplaza por:
    $\|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)$
para algunos $K>1.$

## Definición

Una cuasi seminorma en un espacio vectorial $X$ es una aplicación de valor real $p$ en $X$ que satisface las siguientes condiciones:
* No negatividad: $p\geq 0;$
* Homogeneidad absoluta: $p(sx)=|s|p(x)$ para todos los $x\in X$ y todos los escalares $s;$
* Existe un $k\geq 1$ real tal que $p(x+y)\leq k[p(x)+p(y)]$ para todos los $x,y\in X.$
** Si $k=1$, entonces esta desigualdad se reduce a la desigualdad triangular. Es en este sentido que esta condición generaliza la desigualdad triangular habitual.
Una cuasi norma es una cuasi seminorma que también satisface:
* Definida positiva/Separación de puntos : si $x\in X$ satisface $p(x)=0,$ entonces $x=0.$
Un par $(X,p)$ que consta de un espacio vectorial $X$ y una cuasi seminorma asociada $p$, se denomina espacio vectorial cuasi seminormado.
Si la cuasi-seminorma es una cuasinorma, también se llama espacio vectorial cuasi normado.
Multiplicador
El ínfimo de todos los valores de $k$ que satisfacen la condición (3) se llama multiplicador de $p.$ El multiplicador en sí también satisfará la condición (3), por lo que es el único número real más pequeño que satisface esta condición. El término $k$ cuasi seminorma se utiliza a veces para describir una cuasi seminorma cuyo multiplicador es igual a $k.$
Una norma (respectivamente, una seminorma) es precisamente una cuasi norma (respectivamente, una cuasi seminorma) cuyo multiplicador es $1.$ Así, cada seminorma es una cuasi seminorma y cada norma es una cuasi norma (y una cuasi seminorma).

### Topología

Si $p$ es una cuasinorma en $X$, entonces $p$ induce una topología vectorial en $X$ cuya base de entornos en el origen está dada por los conjuntos:
    $\{x\in X:p(x)<1/n\}$
ya que $n$ abarca los números enteros positivos. Un espacio vectorial topológico con dicha topología se llama espacio vectorial topológico cuasi normado o simplemente espacio cuasi normado. .
Todo espacio vectorial topológico cuasinormado es pseudometrizable.
Un espacio cuasinormado completo se llama espacio cuasi de Banach. Todo Espacio de Banach es un espacio cuasi-Banach, aunque no a la inversa.

### Definiciones relacionadas

Un espacio cuasinormado $(A,\|\,\cdot \,\|)$ se llama álgebra cuasi normada si el espacio vectorial $A$ es un álgebra y existe una constante $K>0$ tal que
    $\|xy\|\leq K\|x\|\cdot \|y\|$
para todo $x,y\in A.$
Un álgebra cuasi normada completa se llama álgebra cuasi de Banach.

## Caracterizaciones

Un espacio vectorial topológico (EVT) es un espacio cuasi normado si y solo si posee un entorno acotada del origen.

## Ejemplos

Dado que toda norma es una cuasi norma, cada espacio vectorial normado es también un espacio cuasi normado.
Espacios $L^{p}$ con $0<p<1$
Los espacios $L^{p}$ para $0<p<1$ son espacios cuasi normados (de hecho, incluso son espacios F) pero no son, en general, normables (lo que significa que podría no existir ninguna norma que defina su topología). Para $0<p<1,$, un espacio de Lebesgue $L^{p}([0,1])$ es un EVT metrizable completo (un espacio F), es decir, no es localmente convexo (de hecho, sus únicos subconjuntos abiertos convexos son el propio $L^{p}([0,1])$ y el conjunto vacío) y el único funcional lineal continuo en $L^{p}([0,1])$ es la función constante $0$.(Rudin, 1991, §1.47) En particular, el teorema de Hahn–Banach no se cumple para $L^{p}([0,1])$ cuando $0<p<1.$