# Flujo elemental

Flujo elemental es una colección de flujos básicos a partir de los cuales es posible construir flujos más complejos por superposición. Algunos de los flujos reflejan casos específicos y restricciones como incompresible o irrotacional, o ambos, como en el caso del flujo potencial.

## Flujo uniforme bidimensional

Dada una velocidad uniforme de un fluido en cualquier posición del espacio:
    $\mathbf {V_{0}} =v_{0}\cos(\theta _{0})\mathbf {e} _{x}+v_{0}\sin(\theta _{0})\mathbf {e} _{y}$
Este flujo es incompresible porque la velocidad es constante, las primeras derivadas de las componentes de la velocidad son cero y la divergencia total es cero: $\nabla \cdot \mathbf {v} =0$
Dado que la circulación es siempre cero el flujo es también irrotacional, podemos deducirlo del teorema de la circulación de Kelvin y del cálculo explícito de la vorticidad:
    $\omega _{z}={\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}-{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}=0$
Al ser incompresible y bidimensional, este flujo se construye a partir de una función de flujo:
    $v_{x}=-{\frac {\partial \phi }{\partial x}}$
    $v_{y}=-{\frac {\partial \phi }{\partial y}}$
de donde
    $\psi =-v_{0}\sin(\theta _{0})x+v_{0}\cos(\theta _{0})y$
y en coordenadas cilíndricas
    $v_{r}={\frac {\partial \phi }{\partial r}}$
    $v_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}$
de donde
    $\psi =-v_{0}r\sin(\theta -\theta _{0})$
Como es habitual la función de flujo está definida hasta un valor constante que aquí tomamos como cero. También podemos confirmar que el flujo es irrotacional a partir de:
    $\nabla ^{2}\psi =0$
Siendo irrotacional, la función potencial es en cambio:
    $v_{x}=-{\frac {\partial \phi }{\partial x}}$
    $v_{y}=-{\frac {\partial \phi }{\partial y}}$
y por lo tanto
    $\phi =-v_{0}\cos(\theta _{0})x-v_{0}\sin(\theta _{0})y$
y en coordenadas cilíndricas
    $v_{r}={\frac {\partial \phi }{\partial r}}$
    $v_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}$
    $\phi =-v_{0}r\cos(\theta -\theta _{0})$

## Fuente bidimensional de líneas de flujo

El caso de una línea vertical que emite a velocidad fija una cantidad constante de fluido Q por unidad de longitud es una fuente lineal. El problema tiene una simetría cilíndrica y puede tratarse en dos dimensiones en el plano ortogonal.
Las fuentes lineales y los sumideros lineales (abajo) son flujos elementales importantes porque desempeñan el papel de monopolo(s) para fluidos incompresibles (que también pueden considerarse ejemplos de campos solenoidales es decir, campos libres de divergencia). Los patrones de flujo genéricos también pueden descomponerse en términos de expansión multipolar, del mismo modo que para los campos eléctrico y magnético, donde el monopolo es esencialmente el primer término no trivial (por ejemplo, constante) de la expansión.
Este patrón de flujo también es irrotacional e incompresible.
Se caracteriza por una simetría cilíndrica:|
    $\mathbf {v} =v_{r}(r)\mathbf {e} _{r}$
Donde el flujo total saliente es constante
    $\int _{S}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {S} =\int _{0}^{2\pi }(v_{r}(r)\,\mathbf {e} _{r})\cdot (\mathbf {e} _{r}\,r\,d\theta )=\!2\pi \,r\,v_{r}(r)=Q$
Por lo tanto,
    $v_{r}={\frac {Q}{2\pi r}}$
Se deriva de una función de flujoion
    $\psi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\theta$
o de una función potencial
    $\phi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\ln r$

## Sumidero de línea bidimensional

El caso de una línea vertical que absorbe a un ritmo fijo una cantidad constante de fluido Q por unidad de longitud es un sumidero lineal. Todo es igual al caso de una línea fuente a parte del signo negativo. $v_{r}=-{\frac {Q}{2\pi r}}$ Esto se deriva de una función de flujo
    $\psi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\theta$
o a partir de una función potencial
    $\phi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\ln r$
Dado que los dos resultados son iguales a una parte de un signo menos, podemos tratar de forma transparente tanto las fuentes como los sumideros lineales con la misma corriente y funciones potenciales permitiendo que Q asuma tanto valores positivos como negativos y quitando el signo menos en la definición de Q.

## Doblete bidimensional o fuente de línea dipolar

Si consideramos una línea fuente y una línea sumidero a una distancia d podemos reutilizar los resultados anteriores y la función de flujo será
    $\psi (\mathbf {r} )=\psi _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {d} /2)-\psi _{Q}(\mathbf {r} +\mathbf {d} /2)\ \simeq \mathbf {d} \cdot \nabla \psi _{Q}(\mathbf {r} )$
La última aproximación es de primer orden en d.
Dado $\mathbf {d} =d[\cos(\theta _{0})\mathbf {e} _{x}+\sin(\theta _{0})\mathbf {e} _{y}]=d[\cos(\theta -\theta _{0})\mathbf {e} _{r}+\sin(\theta -\theta _{0})\mathbf {e} _{\theta }].$
Queda $\psi (r,\theta )=-{\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\sin(\theta -\theta _{0})}{r}}$
La velocidad es entonces
$v_{r}(r,\theta )={\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\cos(\theta -\theta _{0})}{r^{2}}}$
$v_{\theta }(r,\theta )={\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\sin(\theta -\theta _{0})}{r^{2}}}$
Y el potencial en cambio
$\phi (r,\theta )={\frac {Qd}{2\pi }}{\frac {\cos(\theta -\theta _{0})}{r}}$

## Línea de vórtice bidimensional

Este es el caso de un filamento de vórtice que gira a velocidad constante, existe una simetría cilíndrica y el problema puede resolverse en el plano ortogonal.
Al igual que en el caso anterior de las fuentes lineales, las líneas de vórtice desempeñan el papel de monopolos para flujo irrotacional.
También en este caso el flujo es a la vez irrotacional e incompresible y por lo tanto un caso de flujo potencial.
Se caracteriza por una simetría cilíndrica:
    $\mathbf {v} =v_{\theta }(r)\,\mathbf {e} _{\theta }$
Donde la circulación total es constante para cada línea cerrada alrededor del vórtice central
    $\oint \mathbf {v} \cdot d\mathbf {s} =\int _{0}^{2\pi }(v_{\theta }(r)\,\mathbf {e} _{\theta })\cdot (\mathbf {e} _{\theta }\,r\,d\theta )=\!2\pi \,r\,v_{\theta }(r)=\Gamma$
y es cero para cualquier línea que no incluya el vórtice.
Por lo tanto, $v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}$
Esto se deriva de una función de corriente
    $\psi (r,\theta )={\frac {\Gamma }{2\pi }}\ln r$
o de una función potencial
    $\phi (r,\theta )=-{\frac {\Gamma }{2\pi }}\theta$
Que es dual al caso anterior de una fuente lineal

## Flujo potencial bidimensional genérico

Dado un flujo bidimensional incompresible que además es irrotacional tenemos:
    $\nabla ^{2}\psi =0$
Que es en coordenadas cilíndricas
    ${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}=0$
Buscamos una solución con variables separadas:
    $\psi (r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )$
lo que da
    ${\frac {r}{R(r)}}{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {dR(r)}{dr}}\right)=-{\frac {1}{\Theta (\theta )}}{\frac {d^{2}\Theta (\theta )}{d\theta ^{2}}}$
Dado que la parte izquierda sólo depende de r y la parte derecha sólo depende de $\theta$, las dos partes deben ser iguales a una constante independiente de r y $\theta$. La constante será positiva. Por tanto, $r{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {d}{dr}}R(r)\right)=m^{2}R(r)$
    ${\frac {d^{2}\Theta (\theta )}{d\theta ^{2}}}=-m^{2}\Theta (\theta )$
La solución de la segunda ecuación es una combinación lineal de $e^{im\theta }$ y $e^{-im\theta }$. Para tener una velocidad de un solo valor (y también una función de corriente de un solo valor) m debe ser un número entero positivo.
Por lo tanto la solución más genérica viene dada por
    $\psi =\alpha _{0}+\beta _{0}\ln r+\sum _{m>0}{\left(\alpha _{m}r^{m}+\beta _{m}r^{-m}\right)\sin {[m(\theta -\theta _{m})]}}$
En cambio, el potencial viene dado por
    $\phi =\alpha _{0}-\beta _{0}\theta +\sum _{m\mathop {>} 0}{(\alpha _{m}r^{m}-\beta _{m}r^{-m})\cos {[m(\theta -\theta _{m})]}}$