# Cono dual y cono polar

El cono dual y el cono polar son conceptos estrechamente relacionados en el análisis de convexidad, una rama de matemáticas.

## Cono dual
### En un espacio vectorial

El cono dual C$^*$ de un subconjunto C en un espacio vectorial X sobre los números reales, como por ejemplo el espacio euclídeo R$^n$, siendo su espacio dual X$^*$ el conjunto
    $C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\},$
donde $\langle y,x\rangle$ es la dualidad pareada entre X y X$^*$, es decir, $\langle y,x\rangle =y(x)$.
C$^*$ es siempre un cono convexo, incluso si C no es ni convexo ni un cono.

### En un espacio vectorial topológico

Si X es un espacio vectorial topológico sobre números reales o complejos, entonces el cono dual de un subconjunto C ⊆ X es el siguiente conjunto de funcionales lineales continuos en ' 'X:
    $C^{\prime }:=\left\{f\in X^{\prime }:\operatorname {Re} \left(f(x)\right)\geq 0{\text{for all }}x\in C\right\}$,
que es el polar del conjunto -C. No importa qué sea "C", $C^{\prime }$ será un cono convexo. Si C ⊆ {0} entonces $C^{\prime }=X^{\prime }$.

### En un espacio de Hilbert (cono dual interno)

Alternativamente, muchos autores definen el cono dual en el contexto de un Espacio de Hilbert real (como R$^n$ equipado con el producto interno euclidiano) como lo que a veces se llama el cono dual interno.
    $C_{\text{internal}}^{*}:=\left\{y\in X:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}.$
Usando esta última definición para C$^*$, tenemos que cuando C es un cono, se cumplen las siguientes propiedades:
* Un vector y distinto de cero está en C$^*$ si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
* y es un normal en el origen de un hiperplano que supports C.
* y y C se encuentran en el mismo lado del hiperplano de soporte.
* C$^*$ es closed y convexo.
* $C_{1}\subseteq C_{2}$ implica $C_{2}^{*}\subseteq C_{1}^{*}$.
* Si C tiene un interior no vacío, entonces C$^*$ es puntiagudo, es decir, C* no contiene ninguna línea en su totalidad.
* Si C es un cono y el cierre de C es puntiagudo, entonces C$^*$ tiene un interior no vacío.
* C$^{**}$ es el cierre del cono convexo más pequeño que contiene C (una consecuencia de teorema del hiperplano de separación)

## Conos duales

Se dice que un cono C en un espacio vectorial X es autodual si X puede equiparse con un espacio prehilbertiano ⟨⋅,⋅⟩ tal que el cono dual interno relativo a este producto interno es igual a C. Aquellos autores que definen el cono dual como el cono dual interno en un espacio de Hilbert real suelen decir que un cono es autodual si es igual a su dual interno. Esto es ligeramente diferente de la definición anterior, que permite un cambio de producto interno. Por ejemplo, la definición anterior hace que un cono en R$^n$ con base elipsoidal sea autodual, porque el producto interno se puede cambiar para hacer que la base sea esférica, y un cono con base esférica en R$^n$ es igual a su dual interno.
El ortante no negativo de R$^n$ y el espacio de todos los positive semidefinite matrices son autoduales, al igual que los conos con base elipsoidal (a menudo llamados "conos esféricos", "conos de Lorentz" o, a veces, "conos de helado"). "). También lo son todos los conos en R$^3$ cuya base es la cáscara convexa de un polígono regular con un número impar de vértices. Un ejemplo menos habitual es el cono de 'R$^3$ cuya base es la "casa": el casco convexo de un cuadrado y un punto fuera del cuadrado que forman un triángulo equilátero (de la altura adecuada) con uno de los lados del cuadrado.

## Cono polar

Para un conjunto C en X, el cono polar de C es el conjunto
    $C^{o}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \leq 0\quad \forall x\in C\right\}.$
Se puede ver que el cono polar es igual al negativo del cono dual, es decir, Co = −C$^*$.
Para un cono convexo cerrado C en X, el cono polar es equivalente al polar set para C.