# Geometría diferencial de hipersuperficies

En matemáticas, la geometría diferencial de hipersuperficies propone definiciones y métodos para analizar la geometría de hipersuperficies o variedades diferenciales de n dimensiones inmersas en una variedad riemanniana o el espacio euclídeo.
Aquí se tratará de las superficies en $\mathbb {R} ^{n+1}$, dotado de una métrica euclídea, es decir $\mathbb {E} ^{d}$.

## Ecuación paramétrica de una hipersuperficie

Puesto que una superficie en $\mathbb {R} ^{n+1}$ es una variedad diferenciable de dimensión n, en un entorno V de una superficie las coordenadas de cualquier punto de V pueden escribirse en función de dos parámetros:
   $\mathbf {x} (u^{1},\dots ,u^{n})=(x^{1}(u^{1},\dots ,u^{n}),\dots ,x^{n+1}(u^{1},\dots ,u^{n}))\,$
En general una hipersuperficie puede representarse de forma no paramétrica mediante la ecuación:
   $f(x^{1},\dots ,x^{n})=0$
Que si f es suficientemente regular es equivalente localmente a las ecuaciones paramétricas anteriores.

### Plano tangente

Dada una superficie $H\,$ de $\mathbb {R} ^{n+1}$ y un punto$P_{0}=(x_{0}^{1},\dots ,x_{0}^{n})\in S\,$ se define como el único hiperplano de $\mathbb {R} ^{n+1}$ que contiene al punto $P_{0}\,$ y (localmente) y la aproxima hasta términos de primer orden. La ecuación analítica de este hiperplano puede expresarse con ayuda de la ecuación paramétrica de la hipersuperificie:
   $\Pi _{S,P_{0}}=\left\{\mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n})\in \ {\mathbb {R}}|\mathbf {x} =\mathbf {x} (u_{0}^{1},\dots ,u_{0}^{n})+\sum _{i}\alpha _{i}{\frac {\partial \mathbf {x} (u_{0}^{1},\dots ,u_{0}^{n})}{\partial u^{i}}},\alpha _{i}\in \mathbb {R} \right\}$
Más sencillamente el hiperplano anterior puede escribirse como el conjunto $(x^{1},\dots ,x^{n})\,$ que satisface la siguiente ecuación:
   ${\begin{vmatrix}x^{1}-x_{0}^{1}&\dots &x^{n}-x_{0}^{n}\\{x'}_{1}^{1}(P_{0})&\dots &{x'}_{1}^{n}(P_{0})\\\dots &\dots &\dots \\{x'}_{n}^{1}(P_{0})&&{x'}_{n}^{n}(P_{0})\end{vmatrix}}=0$
Aquí, se ha usado la simplificación de notación ${x'}_{j}^{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial u^{j}}}$,... etc

### Vector normal a la superficie

Un vector director del hiperplano tangente es un vector normal a la hipersuperficie, usualmente existen dos elecciones posibles para un vector normal unitario (ambas relacionadas por un cambio de signo). Si se expresa la hipersuperificie mediante la superficie $\scriptstyle f(x^{1},\dots ,x^{n})=0$, el vector unitario normal se calcula simplemente como:
   $\mathbf {n} ={\frac {\nabla f}{\left\Vert \nabla f\right\|}}={\frac {(f'_{1},\dots ,f'_{n})}{\sqrt {{f'}_{1}^{2}+\dots +{f'}_{n}^{2}}}}$

## Primera forma fundamental

La primera forma fundamental I es la métrica inducida por la métrica euclídea en la hipersuperficie. Dicha métrica es un tensor 2-covariante, simétrico y definido sobre el espacio tangente a cada punto de la hipersuperficie H. De hecho (H, I) constituye una variedad de Riemann con tensor métrico I. La primera forma fundamental permite estimar longitudes sobre la hipersuperficie y ángulos de intersección entre curvas. Las componentes de la primera forma fundamental suelen designarse por $\scriptstyle g_{ij}$:
   $(I_{kl}(u^{i}))=(g_{kl}(u^{i}))={\begin{pmatrix}g_{11}(u^{i})&\dots &g_{1n}(u^{i})\\\dots &\dots &\dots \\g_{n1}(u^{i})&\dots &g_{nn}(u^{i})\end{pmatrix}}$
La forma cuadrática anterior es positiva, lo que implica que $\det(g)>0$. La primera forma anterior puede escribirse como una combinación lineal de productos tensoriales de las 1-formas coordenadas $du^{i}\,$ conforme a:
   $I(u^{k})=g_{ij}(u^{k})\ du^{i}\otimes du^{j}$
Estas pueden calcularse explícitamente a partir de la parametrización:
   $g_{ij}(u^{k})={\frac {\partial \mathbf {x} '}{\partial u^{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} '}{\partial u^{j}}}=\mathbf {x} '_{i}\cdot \mathbf {x} '_{j}$