# Álgebra relacional

En la teoría de bases de datos, el álgebra relacional es una teoría que utiliza estructuras algebraicas con una semántica bien fundamentada para modelar datos y definir consultas sobre ellos. La teoría fue presentada por Edgar F. Codd.
La principal aplicación del álgebra relacional es proporcionar una base teórica para las bases de datos relacionales, en particular los lenguajes de consulta para dichas bases de datos, entre los que destaca SQL. Las bases de datos relacionales almacenan datos tabulares representados como relaciones. Las consultas sobre bases de datos relacionales a menudo también devuelven datos tabulares representados como relaciones.
El propósito principal del álgebra relacional es definir operadores que transformen una o más relaciones de entrada en una relación de salida. Dado que estos operadores aceptan relaciones como entrada y producen relaciones como salida, pueden combinarse y usarse para expresar consultas potencialmente complejas que transforman potencialmente muchas relaciones de entrada (cuyos datos se almacenan en la base de datos) en una sola relación de salida (los resultados de la consulta) .
Describe el aspecto de la manipulación de datos. Estas operaciones se usan como una representación intermedia de una consulta a una base de datos y, debido a sus propiedades algebraicas, se usa para obtener una versión mejor y más eficiente de dicha consulta.

## Tuplas

Una tupla se define como una función finita que asocia unívocamente los nombres de los campos de una relación con los valores de una instanciación de la misma. En términos simples, es una fila de una tabla relacional.

## Unión compatible

Una unión es compatible entre dos relaciones R, S, si ellas poseen el mismo grado y el dominio del i-ésimo elemento de la relación R es el mismo que el i-ésimo elemento de la relación S.

### Grado (Aridad)

Número de atributos.

## Las operaciones
### Básicas

Cada operador del álgebra acepta una o dos relaciones y retorna una relación como resultado. σ y Π son operadores unarios, el resto de los operadores son binarios. Las operaciones básicas del álgebra relacional son:

#### Selección - restricción (σ)

Permite seleccionar un subconjunto de tuplas de una relación (R), todas aquellas que cumplan la(s) condición(es) P, esto es:
       $\sigma _{P}(R)\!$
Ejemplo:
       $\sigma _{Apellido=Gomez}(Alumnos)\!$
Selecciona todas las tuplas que contengan Gómez como apellido en la relación Alumnos.
Una condición puede ser una combinación booleana, donde se pueden usar operadores como: $\wedge$ , $\vee$, combinándolos con operadores $<,>,\leq ,\geq ,=,\neq$.

#### Proyección (Π)

Permite extraer columnas (atributos) de una relación, dando como resultado un subconjunto vertical de atributos de la relación, esto es:
       $\Pi _{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}\!$
donde $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ son atributos de la relación R .
Ejemplo:
       $\Pi _{Apellido,Semestre,NumeroControl}(Alumnos)\!$
Selecciona los atributos Apellido, Semestre y NumeroControl de la relación Alumnos, mostrados como un subconjunto de la relación Alumnos.

#### Producto cartesiano (x)

El producto cartesiano de dos relaciones se escribe como:
       $R\times S$
y entrega una relación, cuyo esquema corresponde a una combinación de todas las tuplas de R con cada una de las tuplas de S, y sus atributos corresponden a los de R seguidos por los de S.
Ejemplo:
       $Alumnos\times Maestros$
Muestra una nueva relación, cuyo esquema contiene cada una de las tuplas de la relación Alumnos junto con las tuplas de la relación Maestros, mostrando primero los atributos de la relación Alumnos seguidos por las tuplas de la relación Maestros.

#### Unión (∪)

La operación.
       $R\cup S$
retorna el conjunto de tuplas que están en R, o en S, o en ambas. R y S deben ser uniones compatibles.

#### Diferencia (-)

La diferencia de dos relaciones, R y S denotada por:
       $R-S\!$
entrega todas aquellas tuplas que están en R, pero no en S. R y S deben ser uniones compatibles.
Estas operaciones son fundamentales en el sentido en que (1) todas las demás operaciones pueden ser expresadas como una combinación de éstas y (2) ninguna de estas operaciones pueden ser omitidas sin que con ello se pierda información.

### No básicas o Derivadas

Entre los operadores no básicos tenemos:

#### Intersección (∩)

La intersección de dos relaciones se puede especificar en función de otros operadores básicos:
       $R\cap S=R-(R-S)$
La intersección, como en Teoría de conjuntos, corresponde al conjunto de todas las tuplas que están en R y en S, siendo R y S uniones compatibles.

#### Unión natural (⋈) (Natural Join)

La operación unión natural en el álgebra relacional es la que permite reconstruir las tablas originales previas al proceso de normalización. Consiste en combinar las proyección, selección y producto cartesiano en una sola operación, donde la condición $\theta$ es la igualdad Clave Primaria = Clave Externa (o Foránea), y la proyección elimina la columna duplicada (clave externa).
Expresada en las operaciones básicas, queda
       $R\bowtie S=\Pi _{A1,A2...An}(\sigma _{\theta }(R\times S))$
Una reunión theta ( θ-Join) de dos relaciones es equivalente a:
       $R\bowtie _{\theta }S=\sigma _{\theta }(R\times S)$
donde la condición $\theta$ es libre.
Si la condición $\theta$ es una igualdad se denomina EquiJoin.

#### División (/) (Cociente)

Supongamos que tenemos dos relaciones A(x, y) y B(y) donde el dominio de y en A y B, es el mismo.
El operador división A / B retorna todos los valores de x tales que para todo valor y en B existe una tupla $\langle x,y\rangle$ en A.

#### Agrupación (Ģ) (Unión)

Permite agrupar conjuntos de valores en función de un campo determinado y hacer operaciones con otros campos.

## Ejemplos

Suponga las relaciones o tablas:
Alumno :
| ID | NOMBRE | CIUDAD | EDAD |
| 01 | Pedro | Santiago | 14 |
| 11 | Juan | Buenos Aires | 18 |
| 21 | Diego | Lima | 12 |
| 31 | Rosita | Concepción | 15 |
| 41 | Manuel | Lima | 17 |
Apoderado :
| ID | NOMBRE | FONO | ID_ALUMNO |
| 054 | Víctor | 654644 | 21 |
| 457 | José | 454654 | 11 |
| 354 | María | 997455 | 31 |
| 444 | Paz | 747423 | 01 |
Curso :
| COD | NOMBRE | FECHA_INICIO | DURACIÓN | VALOR |
| 01142 | Psicología | 13-01 | 15 | 3.000 |
| 02145 | Biología | 15-02 | 12 | 2.500 |
| 03547 | Matemáticas | 01-03 | 30 | 4.000 |
| 04578 | Música | 05-04 | 10 | 1.500 |
| 05478 | Física | 20-04 | 15 | 3.200 |
Inscrito :
| ID | ID_AL | COD |
| 1 | 01 | 05478 |
| 2 | 01 | 02145 |
| 3 | 11 | 03547 |
| 4 | 21 | 02145 |
| 5 | 41 | 03547 |

### Mostrar los nombres de los alumnos y su apoderado

Primero, realizaremos una combinación entre alumnos y apoderados (pues necesitamos saber a que alumno le corresponde tal apoderado). La combinación realizará un producto cartesiano, es decir, para cada tupla de alumnos (todas las filas de alumnos) hará una mezcla con cada una tupla de apoderados y seleccionará aquellas nuevas tuplas en que alumnos.id sea igual a apoderados.id_alumno, esto es:
| ID (alumno) | NOMBRE (alumno) | CIUDAD | EDAD | ID (apoderado) | NOMBRE (apoderado) | FONO | ID_ALUMNO |
| 01 | Pedro | Santiago | 14 | 054 | Víctor | 654644 | 21 |
| 01 | Pedro | Santiago | 14 | 457 | José | 454654 | 11 |
| 01 | Pedro | Santiago | 14 | 354 | María | 997455 | 31 |
| 01 | Pedro | Santiago | 14 | 444 | Paz | 747423 | 01 |
| 11 | Juan | Buenos Aires | 18 | 054 | Víctor | 654644 | 21 |
| 11 | Juan | Buenos Aires | 18 | 457 | José | 454654 | 11 |
| 11 | Juan | Buenos Aires | 18 | 354 | María | 997455 | 31 |
| 11 | Juan | Buenos Aires | 18 | 444 | Paz | 747423 | 01 |
| 21 | Diego | Lima | 12 | 054 | Víctor | 654644 | 21 |
| 21 | Diego | Lima | 12 | 457 | José | 454654 | 11 |
| 21 | Diego | Lima | 12 | 354 | María | 997455 | 31 |
| 21 | Diego | Lima | 12 | 444 | Paz | 747423 | 01 |
| 31 | Rosita | Concepción | 15 | 054 | Víctor | 654644 | 21 |
| 31 | Rosita | Concepción | 15 | 457 | José | 454654 | 11 |
| 31 | Rosita | Concepción | 15 | 354 | María | 997455 | 31 |
| 31 | Rosita | Concepción | 15 | 444 | Paz | 747423 | 01 |
| 41 | Manuel | Lima | 17 | 054 | Víctor | 654644 | 21 |
| 41 | Manuel | Lima | 17 | 457 | José | 454654 | 11 |
| 41 | Manuel | Lima | 17 | 354 | María | 997455 | 31 |
| 41 | Manuel | Lima | 17 | 444 | Paz | 747423 | 01 |
Por tanto, el resultado final de la combinación es:
Alumnos $\bowtie$$_{Alumnos.ID{\mbox{ }}={\mbox{ }}Apoderados.ID\_ALUMNO}$ Apoderados :
| ID (alumno) | NOMBRE (alumno) | CIUDAD | EDAD | ID (apoderado) | NOMBRE (apoderado) | FONO | ID_ALUMNO |
| 01 | Pedro | Santiago | 14 | 444 | Paz | 747423 | 01 |
| 11 | Juan | Buenos Aires | 18 | 457 | José | 454654 | 11 |
| 21 | Diego | Lima | 12 | 054 | Víctor | 654644 | 21 |
| 31 | Rosita | Concepción | 15 | 354 | María | 997455 | 31 |
Ahora, aquí debemos mostrar solo el nombre del alumno y el nombre del apoderado, esto lo hacemos con un Proyect o Proyección, donde la tabla final sería:
$\Pi _{Alumnos.NOMBRE,Apoderados.NOMBRE}$ :
| NOMBRE (alumno) | NOMBRE (apoderado) |
| Pedro | Paz |
| Juan | José |
| Diego | Víctor |
| Rosita | María |
Resumiendo en un solo paso:
$\Pi _{Alumnos.NOMBRE,Apoderados.NOMBRE}{\big$Alumnos $\bowtie$$_{Alumnos.ID{\mbox{ }}={\mbox{ }}Apoderados.ID\_ALUMNO}$ Apoderados${\big )}$
Se lee: Proyecta los nombre de alumnos y nombre de apoderados de los alumnos cuyo ID sea el mismo que el ID_ALUMNO de los apoderados.

### Mostrar el nombre de los alumnos inscritos y el nombre de los cursos que tomaron

Comenzaremos con una combinación entre los inscritos y los cursos para obtener el nombre de los cursos:
    $Inscritos\bowtie _{Inscritos.COD=Cursos.COD}Cursos$
Lo que nos da la tabla:
Resultado 1 :
| ID | ID_AL | COD (inscritos) | COD (cursos) | NOMBRE | FECHA_INICIO | DURACION | VALOR |
| 1 | 01 | 05478 | 05478 | Física | 20-04 | 15 | 3.200 |
| 2 | 01 | 02145 | 02145 | Biología | 15-02 | 12 | 2.500 |
| 3 | 11 | 03547 | 03547 | Matemáticas | 01-03 | 30 | 4.000 |
| 4 | 21 | 02145 | 02145 | Biología | 15-02 | 12 | 2.500 |
| 5 | 41 | 03547 | 03547 | Matemáticas | 01-03 | 30 | 4.000 |
Como podemos observar, la combinación solo nos entrega las combinaciones entre Inscritos y Cursos en que COD sea igual entre los inscritos y el curso correspondiente.
Ahora necesitamos los nombres de los alumnos inscritos. Al resultado anterior (Resultado 1) aplicaremos una nueva combinación comparando los ID de los alumnos para colocar el nombre adecuado con el estudiante adecuado:
Resultado 1 $\bowtie$$_{Resultado{\mbox{ }}1.ID\_AL{\mbox{ }}={\mbox{ }}Alumnos.ID}$ Alumnos
O escrito todo junto:
${\big$Inscritos $\bowtie$$_{Inscrito.COD{\mbox{ }}={\mbox{ }}Curso.COD}$Cursos${\big )}$ $\bowtie$$_{Resultado{\mbox{ }}1.ID\_AL{\mbox{ }}={\mbox{ }}Alumnos.ID}$ Alumnos
La tabla de este nuevo resultado sería:
Resultado 2 :
| ID (inscrito) | ID_AL | COD (inscritos) | COD (cursos) | NOMBRE (curso) | FECHA_INICIO | DURACION | VALOR | ID (alumno) | NOMBRE (alumno) | CIUDAD | EDAD |
| 1 | 01 | 05478 | 05478 | Física | 20-04 | 15 | 3.200 | 01 | Pedro | Santiago | 14 |
| 2 | 01 | 02145 | 02145 | Biología | 15-02 | 12 | 2.500 | 01 | Pedro | Santiago | 14 |
| 3 | 11 | 03547 | 03547 | Matemáticas | 01-03 | 30 | 4.000 | 11 | Juan | Buenos Aires | 18 |
| 4 | 21 | 02145 | 02145 | Biología | 15-02 | 12 | 2.500 | 21 | Diego | Lima | 12 |
| 5 | 41 | 03547 | 03547 | Matemáticas | 01-03 | 30 | 4.000 | 41 | Manuel | Lima | 17 |
Finalmente con una Proyección mostraremos el nombre del alumno y el curso inscrito:
$\Pi _{Resultado2.NOMBRE{\mbox{ }}(alumno),Resultado2.NOMBRE{\mbox{ }}(curso)}$${\big$Resultado 2${\big )}$
Donde la tabla final sería:
Tabla final :
| NOMBRE (alumno) | NOMBRE (curso) |
| Pedro | Física |
| Pedro | Biología |
| Juan | Matemáticas |
| Diego | Biología |
| Manuel | Matemáticas |
La expresión completa sería:
$\Pi _{Resultado2.NOMBRE{\mbox{ }}(alumno),Resultado2.NOMBRE{\mbox{ }}(curso)}{\Big{\big$Inscritos $\bowtie$ $_{Inscritos.COD{\mbox{ }}={\mbox{ }}Cursos.COD}$Cursos${\big )}\bowtie$ $_{Resultado1.ID\_AL{\mbox{ }}={\mbox{ }}Alumnos.ID}$ Alumnos${\Big )}$

### Mostrar los nombres y precios de los cursos inscritos con valor menor a 3.000

$\Pi _{Resultado1.NOMBRE,{\mbox{ }}Resultado1.VALOR}{\Big\sigma _{Curso.VALOR<3000}{\big$Resultado 1${\big )}{\Big )}$
Lo que nos entregaría la tabla:
Resultado final :
| NOMBRE | VALOR |
| Biología | 2.500 |
| Música | 1.500 |
Y la expresión completa sería:
$\Pi _{Resultado1.NOMBRE,{\mbox{ }}Resultado1.VALOR}{\Big\sigma _{Resultado1.VALOR<3000}{\big$Curso$\bowtie _{Curso.COD=Inscrito.COD}$Inscrito${\big )}{\Big )}$