# Movimiento browniano geométrico

El movimiento browniano geométrico (GBM) (también conocido como movimiento browniano exponencial) es un modelo de amplio uso en finanzas y sirve para representar el precio de algunos bienes que fluctúan siguiendo los vaivenes de los mercados financieros, en particular, es utilizado en matemáticas financieras para modelar precios en el modelo de Black-Scholes.

## Definición

Sean $\mu \in \mathbb {R}$, $\sigma >0$ y $S_{0}>0$, se define el movimiento browniano geométrico como el proceso estocástico a tiempo continuo $\{S_{t}:t\geq 0\}$ que satisface la ecuación diferencial estocástica
    $dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}$
y puede ser escrito como
    $S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right),\quad t\geq 0$
donde $W_{t}$ es el movimiento Browniano estándar. Para obtener la solución de la ecuación diferencial estocástica se requiere el uso del cálculo de Itô.

## Propiedades
### Función de densidad

El movimiento Browniano geométrico dado por
    $S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right),\quad t\geq 0$
tiene una distribución log-normal con función de densidad dada por:
    $f_{S_{t}}(s)={\frac {1}{s\sigma {\sqrt {2t\pi }}}}\exp \left(-{\frac {\left(\ln s-\ln S_{0}-\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right)^{2}}{2\sigma ^{2}t}}\right).$
para $s\in (0,\infty )$.

### Función de distribución

La función de distribución acumulada está dada por
    $F_{S_{t}}(s)=\Phi \left({\frac {\ln s-\ln S_{0}-\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t}{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)$
para $s\in (0,\infty )$.

### Estadísticas

Para hallar la media, varianza y covarianza del movimiento browniano geométrico, usaremos el hecho de que
    $M_{S}(s)=\exp \left(\mu s+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}s^{2}\right)$
es la función generadora de momentos de una distribución normal con parámetros $\mu$ y $\sigma ^{2}$.

#### Media

La media del movimiento Browniano geométrico es
    $\operatorname {E} [S_{t}]=S_{0}e^{\mu t}$
pues
    ${\begin{aligned}\operatorname {E} [S_{t}]&=\operatorname {E} \left[S_{0}\exp \left[\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t+\sigma W_{t}\right]\right]\\&=S_{0}\exp \left[\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right]\operatorname {E} \left[e^{\sigma W_{t}}\right]\\&=S_{0}\exp \left[\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right]e^{\frac {t\sigma ^{2}}{2}}\\&=S_{0}e^{\mu t}\end{aligned}}$

#### Varianza

La varianza del movimiento Browniano geométrico es
    $\operatorname {Var} (S_{t})=S_{0}^{2}e^{2\mu t}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right)$
pues
    ${\begin{aligned}\operatorname {Var} [S_{t}]&=\operatorname {Var} \left[S_{0}\exp \left[\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t+\sigma W_{t}\right]\right]\\&=S_{0}^{2}\exp \left[2\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right]\operatorname {Var} \left[e^{\sigma W_{t}}\right]\\&=S_{0}^{2}\exp \left[2\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right]\left(\operatorname {E} [\exp(2\sigma W_{t})]-\operatorname {E} [\exp(\sigma W_{t})]^{2}\right)\\&=S_{0}^{2}\exp \left[2\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right]\left[\exp \left({\frac {t(2\sigma )^{2}}{2}}\right)-\exp \left({\frac {2t\sigma ^{2}}{2}}\right)\right]\\&=S_{0}^{2}e^{2\mu t}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right)\end{aligned}}$

#### Covarianza

La covarianza del movimiento Browniano geométrico es
    $\operatorname {Cov} (S_{t},S_{s})=S_{0}^{2}e^{2\mu (s+t)}\left(e^{\sigma ^{2}s}-1\right)$

#### $n$-ésimo momento

Para $n\in \mathbb {N}$ y $t\in [0,\infty )$, el $n$-ésimo momento del proceso está dado por
    $\operatorname {E} [S_{t}^{n}]=S_{0}\exp \left(\left[n\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}(n^{2}-n)\right]t\right)$