# Cuadrivelocidad

La cuadrivelocidad es una magnitud vectorial asociada al movimiento de una partícula, usada en el contexto de la teoría de la relatividad, que es tangente a la trayectoria de dicha partícula a través del espacio-tiempo cuatridimiensional que generaliza el concepto de velocidad de la mecánica newtoniana.

## Relación entre velocidad y cuadrivelocidad
### Relatividad especial

De la misma manera que la velocidad $\mathbf {v}$ en mecánica newtoniana es la derivada temporal de la posición respecto al tiempo, en la teoría de la relatividad la cuadrivelocidad $\mathbf {V}$ es la derivada temporal de las coordenadas de posición respecto al tiempo propio de la partícula:
   (1)$V^{i}={\frac {dx^{i}}{d\tau }}$
Dada la relación entre el tiempo coordenado y el tiempo propio el cuadrivector velocidad viene dado por:
   $\mathbf {V} =(\gamma c;\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z})=\left({\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}};{\frac {\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}$
Donde $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ es la velocidad newtoniana convencional y $\gamma \,$ es el factor de Lorentz. Es importante notar que el "módulo" de dicha velocidad, es constante debido a que:
   $|\mathbf {V} |:={\sqrt {-g(\mathbf {V} ,\mathbf {V} )}}={\sqrt {-\eta _{\alpha \beta }V^{\alpha }V^{\beta }}}={\sqrt {-\gamma ^{2}(-c^{2}+v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}}=c{\sqrt {\frac {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=c$

### Relatividad general

En relatividad las cosas son bastante más complicadas, particularmente si el espacio-tiempo no es estacionario. Ya que la relación entre la velocidad coordenada y la velocidad física de una partícula es funcionalmente complicada. Si bien el "módulo" la cuadrivelocidad es igual a la constante c, la velocidad coordenada numéricamente puede superar a la velocidad de la luz (esto pasa porque la velocidad coordenada, por ejemplo, no es un tensor). La cuadrivelocidad o velocidad física puede definirse como la derivada respecto al tiempo propio:
   $V^{\alpha }={\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}$
donde el tiempo propio dependerá del camino L seguido por la partícula:
   $\tau =\int _{L}\left[{\sqrt {-g_{00}}}dt+{\cfrac {g_{0\alpha }dx^{\alpha }}{c{\sqrt {-g_{00}}}}}\right]$
Si el espacio tiempo es estacionario entonces existe un sistema de coordenadas donde el tensor métrico cumpla que $g_{0\alpha }=0$ y donde $g_{00}$ no dependa de la coordenada temporal, y en ese caso puede escogerse una foliación que define un tiempo universal. Y la integral anterior es más sencilla de evaluar.
En el caso general, la cuadrivelocidad se define como:
   $\mathbf {V} =\left({\frac {c}{\sqrt {-g_{00}-\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}},{\frac {\mathbf {v} }{\sqrt {-g_{00}-\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}}\right)$
Donde $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =\kappa _{ab}v^{a}v^{b}$ siendo $v^{a}$ las componentes de la velocidad coordenada, $a,b\in \{1,2,3\}$ y $\kappa _{ab}=g_{ab}-(g_{0a}g_{0b}/g_{00})$.

## Relaciones con otras magnitudes

Análogamente a lo que sucede en mecánica newtoniana, donde la cantidad de movimiento y la velocidad son dos vectores proporcionales, en mecánica relativista sus análogos el cuadrimomento y la cuadrivelocidad son dos vectores que difieren sólo en una constante de proporcionalidad, que se identifica con la masa en reposo:
   $\mathbf {P} =m\mathbf {V} =\left({\frac {E}{c}};p_{x},p_{y},p_{z}\right)=\left({\frac {mc}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}};{\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)$