# Cifrado ElGamal

El procedimiento de cifrado/descifrado ElGamal se refiere a un esquema de cifrado basado en el problema matemático del logaritmo discreto. Es un algoritmo de criptografía asimétrica basado en la idea de Diffie-Hellman y que funciona de una forma parecida a este algoritmo discreto.
El algoritmo de ElGamal puede ser utilizado tanto para generar firmas digitales como para cifrar o descifrar.
Fue descrito por Taher Elgamal en 1984 y se usa en software GNU Privacy Guard, versiones recientes de PGP, y otros sistemas criptográficos. Este algoritmo no está bajo ninguna patente lo que lo hace de uso libre.
La seguridad del algoritmo se basa en la suposición que la función utilizada es de un solo sentido debido a la dificultad de calcular un logaritmo discreto.
El procedimiento de cifrado (y descifrado) está basado en cálculos sobre un grupo cíclico cualquiera $G\,$ lo que lleva a que la seguridad del mismo dependa de la dificultad de calcular logaritmos discretos en $\,G$.

## El algoritmo original

Mostremos el criptosistema propuesto inicialmente por Tahar ElGamal en su artículo.

### Generación de la clave

Para generar la clave, Alicia escoge un número primo $p\,$ cualquiera tal que el logaritmo discreto no es soluble en un tiempo asumible en $Z_{p}^{*}$ (grupo multiplicativo módulo un primo p). Esto último se traduce en que $p-1\,$ tenga un factor primo grande (lo que hace que el problema del logaritmo discreto sea difícil).
Además Alicia elige dos números aleatorios $g\,$ (el generador del grupo cíclico (${Z}_{p}^{*})$) y $a\,$ (que actuará como clave privada) tal que $a\in \{0,\ldots ,p-1\}$.
Alicia calcula el valor de $K=\,g^{a}{\pmod {p}}$. La clave pública será $(g,p,K)$, mientras que el valor de $a$ lo mantendrá en secreto. Despejando $a\,$ de la ecuación $K=\,g^{a}{\pmod {p}}$ obtenemos la relación siguiente entre los componentes de la clave pública y la clave privada $\log _{g}{K}{\pmod {p}}=a$ con lo que el criptosistema es seguro siempre que sea difícil hallar el logaritmo discreto.

### Cifrado

Supongamos que Bruce tiene un texto claro que quiere enviar cifrado a Alicia. Lo primero por hacer es convertir este texto en un entero m entre 1 y $p-1$ ($m\in Z_{p}$). Esto no es parte del cifrado, sino que es una manera de codificar estándar, conocida por todos. Luego Bruce escoge arbitrariamente un número $b\in \{2,\ldots ,p-1\}$ (que mantendrá secreto) para finalmente calcular:
    $y_{1}=g^{b}\,{\pmod {p}}$
    $y_{2}=K^{b}\,m\,{\pmod {p}}$
El mensaje cifrado final corresponde a la tupla $\,C_{b}(m,b)=(y_{1},y_{2})$

### Descifrado

Para descifrar aprovechamos que:
    $y_{1}^{-a}y_{2}{\pmod {p}}=(g^{b})^{-a}K^{b}m{\pmod {p}}=g^{-ab}(g^{a})^{b}m{\pmod {p}}=(g^{a})^{-b}(g^{a})^{b}m{\pmod {p}}=m{\pmod {p}}$
Por tanto para descifrar se tiene que realizar el siguiente cálculo:
    $y_{1}^{-a}y_{2}{\pmod {p}}$
donde $y_{1}^{-a}$ representa el inverso de $y_{1}^{a}$ módulo $p$ lo que indica que para calcular el descifrado, es necesario conocer $a$, que es la clave privada de Alicia.
Por el pequeño teorema de Fermat se demuestra que $y_{1}^{-a}=y_{1}^{p-1-a}$ y lo podemos aplicar.
    Demostración: El pequeño teorema de Fermat indica que $x^{p-1}{\pmod {p}}=1$ con p primo y x>0 coprimo con p. Elevando a $a$ la expresión obtenemos que ${x^{p-1}}^{a}{\pmod {p}}=1^{a}=1$. Por tanto $x^{(p-1)\cdot a}{\pmod {p}}=x^{ap-a}{\pmod {p}}=x^{a}\cdot x^{p-1-a}{\pmod {p}}=1$. Despejando $x^{p-1-a}{\pmod {p}}=x^{-a}{\pmod {p}}$

### Ejemplos
#### Simple

Alicia elige los valores:
    $p=17\,$ (primo aleatorio y suponemos que p-1=16 tiene un factor primo grande lo cual no es cierto)
    $g=3\,$ (generador aleatorio)
    $a=6\,$ (clave privada aleatoria)
Alicia calcula
    $K=g^{a}\,{\pmod {p}}=3^{6}\,{\pmod {17}}=15\,$ (valor calculado)
Por tanto la clave pública será $\,(g,p,K)=\,(3,17,15)$.
Bruce tiene el texto claro
    $\,m=9$ (el cual está entre 1 y p-1)
Bruce escoge un $\,b=5$ aleatorio entre 2 y p-1 Bruce calcula
    $y_{1}=g^{b}{\pmod {p}}=3^{5}{\pmod {17}}=5$
    $y_{2}=K^{b}m{\pmod {p}}=15^{5}\cdot 9{\pmod {17}}=1$.
Por lo que el texto cifrado es $C_{b}(m,b)=(y_{1}=5,y_{2}=1)$
Para descifrar Alicia usa la clave privada $\,(a=6)$ y el Pequeño Teorema de Fermat:
    $m=y_{1}^{p-1-a}y_{2}{\pmod {p}}=5^{10}\cdot 1{\pmod {17}}=9$.

#### Complejo

Veamos una aplicación más real del algoritmo:
Alicia elige los valores:
    $p=15485863$ (primo aleatorio y para $p-1=15485862=3*2*7^{2}*52673$ suponemos que 52673 es sufientemente grande)
    $g=7$ (generador aleatorio)
    $a=21702$ (clave privada aleatoria)
Alicia calcula
    $K=g^{a}{\pmod {p}}=7^{21702}{\pmod {15485863}}=8890431$ (valor calculado)
Por tanto la clave pública será $(g,p,K)=(7,15485863,8890431)$.
Bruce tiene el texto claro "HIJO"
    $m=7\cdot 26^{3}+8\cdot 26^{2}+9\cdot 26+14=128688$ (el cual está entre 1 y p-1)
Bruce escoge un $b=480$ aleatorio entre 2 y p-1
Bruce calcula
    $y_{1}=g^{b}{\pmod {p}}=7^{480}{\pmod {15485863}}=12001315$
    $y_{2}=K^{b}m{\pmod {p}}=8890431^{480}\cdot 1286889{\pmod {15485863}}=8263449$.
Por lo que el texto cifrado es $C_{b}(m,b)=(y_{1}=12001315,y_{2}=8263449)$ que al decodificarlo queda:
    $y_{1}=12001315=1*26^{5}+0*26^{4}+6*26^{3}+21*26^{2}+11*26+1$=BAGVLB
    $y_{2}=8263449=18*26^{4}+2*26^{3}+4*26^{2}+0*26+25$=SCEAZ
Con lo que el mensaje a enviar es (BAGVLB, SCEAZ)
Para descifrar Alicia usa la clave privada $(a=21702)$:
    $y_{1}^{-a}y_{2}{\pmod {p}}=14823281\cdot 8263449{\pmod {15485863}}=128688$ ya que por el pequeño teorema de fermat tenemos
       $y_{1}^{-a}{\pmod {p}}=y_{1}^{p-1-a}{\pmod {p}}=12001315^{15464160}=14823281$

## Generalización

Lo único que se utiliza de la congruencia módulo $p$ es que el conjunto $(\mathbb {Z} /p)^{\times }=\{x\in \mathbb {Z} :1\leq x<p\}$ forma un grupo con las operaciones módulo $p$ y que en dicho grupo el problema del logaritmo discreto resulta difícil.
Por lo tanto, puede cambiarse en este criptosistema al grupo $(\mathbb {Z} /p)^{\times }$ por cualquier otro grupo $G$ en el que el logaritmo discreto sea complicado.
Por ejemplo, resulta bastante efectivo utilizar como grupo una curva elíptica sobre $\mathbb {Z} /p$ (véase Criptografía de curva elíptica), ya que no se conoce un algoritmo de tiempo subexponencial capaz de resolver el problema del logaritmo discreto en curvas elípticas en general.

## Propiedades
### Efectividad

Hasta el momento el algoritmo ElGamal de cifrado/descifrado puede ser considerado un algoritmo efectivo.
Un adversario con la habilidad de calcular logaritmos discretos podría ser capaz de romper un cifrado ElGamal. Sin embargo, en la actualidad, el algoritmo de computación de logaritmos discretos (cuando trabajamos módulo un primo) es subexponencial con una complejidad de λ = 1/3, la misma que la de factorizar dos números primos, y por tanto, no es accesible de realizar tal tarea en números grandes en un tiempo razonable. El logaritmo discreto es aún más difícil si trabajamos en otros grupos (como por ejemplo, curvas elípticas).
Véase Récords en logaritmos discretos para una muestra de las posibilidades que da la computación actual a la hora de resolver este problema.

### Maleabilidad

Existe un caso en que este algoritmo se vuelve maleable. Esto implica que bajo un ataque específico la seguridad de ElGamal se puede quebrar. Este ataque usa el hecho de tener el texto cifrado $C_{b}=(B,M)\,$ del texto claro $m\,$ (ambos conocidos). Sabiendo esto se puede llegar a que el texto cifrado $C_{b}=(B,k*M)\,$ corresponde al texto plano $k*m\,$. Si ahora la persona que cifró el mensaje anterior genera otro texto cifrado $C_{b}=(B,M')\,$ (utilizando el mismo $b\,$ con el que cifró anteriormente) el adversario debería ser capaz de llegar al texto plano $m'\,$ correspondiente siguiente los siguientes pasos:
    Calcular $k=M'/M\,$
    Buscar un $m'\,$ tal que $\,m'=m*k{\pmod {p}}$ tomando en cuenta que $m'\,$ al igual que $m\,$ cumple con estar entre $0\,$ y $p-1\,$
    Tomando el peor caso, el atacante obtendrá dos textos claros (debido a la función módulo).

### Rendimiento

El análisis de rendimiento del algoritmo ElGamal es similar al de RSA. Concretamente tenemos el siguiente análisis
    Sea $\,n$ el módulo usado en ElGamal. Los procesos de cifrado y descifrado de ElGamal toman tiempos $\,O(\log n)$.

### Homomórfico

El cifrado ElGamal es un cifrado homomórfico en la multiplicación. En efecto si:
* $E(m_{1})=(g^{b_{1}}{\pmod {p}},K^{b_{1}}\,m_{1}\,{\pmod {p}})$
* $E(m_{2})=(g^{b_{2}}{\pmod {p}},K^{b_{2}}\,m_{2}\,{\pmod {p}})$
entonces:
    $E(m_{1})\cdot E(m_{2})=(g^{b_{1}}{\pmod {p}},K^{b_{1}}\,m_{1}\,{\pmod {p}})\cdot (g^{b_{2}}{\pmod {p}},K^{b_{2}}\,m_{2}\,{\pmod {p}})=(g^{b_{1}+b_{2}}{\pmod {p}},K^{b_{1}+b_{2}}\,m_{1}\,{\pmod {p}})=E(m_{1}\cdot m_{2})$

### Prueba de conocimiento del texto original

Este tipo de cifrado permite probar el conocimiento del texto original cifrado sin tener que revelarlo (esta propiedad en inglés se llama plaintext aware). Por ejemplo esto es muy útil en sistemas de voto electrónico para asegurarnos de que el elector es el que realmente ha cifrado sus intenciones de voto y no las suministradas por un posible atacante. Para hacer la demostración se aprovecha del Algoritmo de identificación de Schnorr.
Para un texto cifrado de ElGamal $(M,G)=(g^{b},K^{b}m)$, con el algoritmo de identificación de Schnorr, se prueba que P conoce b. Como la clave pública es $(g,p,K)$ entonces si P conoce b, entonces se puede recuperar m calculando $m=G/K^{b}=K^{b}m/K^{b}$. Por tanto el protocolo prueba que P conoce el texto original m.

### Prueba de recifrado

El Protocolo de Chaum-Pedersen puede ser usado para que un texto cifrado $(G',M')=(Gy^{s},Mg^{s})$ es un recifrado de $(G.M)=(my^{r},g^{r})$ sin revelar el factor de aleatorización s. La prueba de demostrar por el Protocolo de Chaum-Pedersen que $log_{y}(G'/G)=log_{g}(M'/M)$ o lo que es lo mismo $log_{y}(Gy^{s}/G)=log_{g}(Mg^{s}/M)$ que en ambos casos es igual a $s$. Esto implica que existe un valor s que lo hace posible.

### Prueba de cifrado de uno de los textos claros predefinidos

El Protocolo de Cramer-Damgard-Schoenmakers permite demostrar que un texto cifrado con ElGamal es el correspondiente a un texto claro de entre los posibles (los textos claros posibles tienen que estar predeterminados) sin revelar cual es. Esto es muy útil para votaciones electrónicas que usan este tipo de cifrado.