OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Plectrohyla psarosema

La ranita moteada (Plectrohyla psarosema) es una especie de anfibio de la familia Hylidae. Es endémica de la Sierra Mixe de Oaxaca en México.

## Clasificación y descripción de la especie

Es un anuro de la familia Hylidae del orden Anura. Es de talla pequeña y cuerpo moderadamente robusto. Los machos adultos llegan a medir , mientras que las hembras . La cabeza es tan ancha como el cuerpo. Carecen de tímpano. Extremidades anteriores moderadamente robustas y las posteriores moderadamente delgadas. La coloración del dorso es marrón oscuro con reticulaciones blancas en el cuerpo y superficie dorsal de las piernas. Se aprecian manchas irregulares verde brillantes en la superficie posterior y en los lados de la cabeza, algunas manchas verdes en la superficie dorsal de las piernas. Vientre blanco con motas gris oscuras $^{1,2,3}$.

## Distribución de la especie

Endémica de México, se encuentra al norte de Oaxaca en la Sierra Mixe al oeste de Totontepec Villa de Morelos $^{1,2}$.

## Ambiente terrestre

Vive a una elevación de .s.n.m en bosque mesófilo de montaña $^{1,2,4}$.

## Estado de conservación

Se encuentra en la categoría de Protección Especial en la Norma Oficial Mexicana 059, y en peligro crítico en lista roja de la UICN.
# Plectrohyla labedactyla

Plectrohyla labedactyla es una especie de anfibios de la familia Hylidae. Es endémica de México. Sus hábitats naturales incluyen bosques templados y ríos. Está amenazada de extinción por la destrucción de su hábitat natural.
# Polypedates zed

Polypedates zed es una especie de anfibios anuro de la familia Rhacophoridae que habita en Nepal y, quizá, también en India.
# Plica semilunaris

La plica semilunaris es un pliegue pequeño de la conjuntiva bulbar en el canto interno del ojo. Funciona durante el movimiento de los ojos, ayudando a mantener el drenaje lagrimal a través del saco lagrimal, y permitiendo una mayor rotación del globo ocular, ya que sin la plica la conjuntiva se uniría directamente al globo ocular, restringiendo el movimiento. Se trata de un vestigio remanente de la membrana nictitante (el "tercer párpado") que se dibuja a través del ojo de la protección, y está presente en otros animales como aves, reptiles y peces, pero es poco frecuente en los mamíferos, en los que se encuentran principalmente en los monotremas y en los marsupiales. Sus músculos asociados también son vestigiales. No se encuentra fijado, por lo tanto los movimientos oculares no están restringidos por ella. Sólo se sabe de una especie de primates, el arctocebus calabarensis, en el que tiene este órgano con pleno funcionamiento como membrana nictitante.
Con las alergias oculares, la carúncula ocular y la plica semilunaris se pueden inflamar y puede producirse picor debido a la liberación de histamina en el tejido y en la película lagrimal.
# Pliciloricus

Pliciloricus es un género de organismos marinos de la familia Pliciloricidae del filo Loricifera descritos por Higgins & Kristensen, 1986.

## Especies del género

* Pliciloricus corvus Gad, 2005
* Pliciloricus diva Gad, 2009
* Pliciloricus dubius' Higgins & Kristensen, 1986
* Pliciloricus enigmaticus' Higgins & Kristensen, 1986
* Pliciloricus gracilis' Higgins & Kristensen, 1986
* Pliciloricus hadalis Kristensen & Shirayama, 1988
* Pliciloricus leocaudatus Heiner & Kristensen, 2005
* Pliciloricus orphanus Higgins & Kristensen, 1986
* Pliciloricus pedicularis Gad, 2005
* Pliciloricus profundus Higgins & Kristensen, 1986
* Pliciloricus senicirrus Gad, 2005
* Pliciloricus shukeri Heiner & Kristensen, 2005
# Pomacentrus albicaudatus

Pomacentrus albicaudatus es una especie de peces de la familia Pomacentridae en el orden de los Perciformes.

## Morfología

Los machos pueden llegar alcanzar los 6 cm de longitud total.

## Hábitat

Es un pez de mar.

## Distribución geográfica

Se encuentra en el Mar Rojo.
# Pomacentrus albolineatus

Pomacentrus albolineatus es una especie de peces de la familia Pomacentridae en el orden de los Perciformes.

## Hábitat

Es un pez de mar.
# Pomacentrus alexanderae

Pomacentrus alexanderae es una especie de peces de la familia Pomacentridae en el orden de los Perciformes.

## Morfología

Los machos pueden llegar alcanzar los 9 cm de longitud total.

## Hábitat

Es un pez de mar.

## Distribución geográfica

Se encuentra en el Pacífico occidental.
# Pomacentrus agassizii

Pomacentrus agassizii es una especie de peces de la familia Pomacentridae en el orden de los Perciformes.

## Morfología

Los machos pueden llegar alcanzar los 11 cm de longitud total.

## Hábitat

Es un pez de mar.

## Distribución geográfica

Se encuentra en Madagascar, Reunión y Mauricio.
# Pompéjac

Pompéjac es una población y comuna francesa, situada en la región de Aquitania, departamento de Gironda, en el distrito de Langon y cantón de Villandraut.

## Demografía

Evolución demográfica de Pompéjac :
| 1962 | 1968 | 1975 | 1982 | 1990 | 1999 |
| 308 | 279 | 238 | 205 | 206 | 230 |
| Para los censos de 1962 a 1999 la población legal corresponde a la población sin duplicidades (Fuente: INSEE) ||||||
# Polylepion

Polylepion es un género de peces de la familia de los Labridae y del orden de los Perciformes.

## Especies

De acuerdo con FishBase:
* Polylepion cruentum Gomon, 1977
* Polylepion russelli (Gomon y Randall, 1975)
# Porquera (parroquia)

Porquera (llamada oficialmente San Martiño de Porqueira) es una parroquia del municipio español de Porquera, en la provincia de Orense, Galicia.

## Toponimia

La parroquia también es conocida por los nombres de San Martín de Porquera, San Martín de Porqueira y San Martiño da Porqueira.

## Organización territorial

La parroquia está formada por cuatro entidades de población:
* Faramiñás
* Faramontaos
* Jocín (Xocín)
* Tellados (Telladas)

## Demografía

* Gráfica de evolución demográfica de Porquera entre 2000 y 2023
* Datos según el nomenclátor publicado por el INE.
# Poropuntius exiguus

Poropuntius exiguus es una especie de peces de la familia de los Cyprinidae en el orden de los Cypriniformes.

## Hábitat

Es un pez de agua dulce.

## Distribución geográfica

Se encuentra en Yunnan (China ).
# Poesías (Mallarmé)

Poésies es el título de una recopilación de poesías de Stéphane Mallarmé, publicada póstumamente como libro en 1899 por la editorial Deman, incluyendo una sección adicional donde el autor describe las circunstancias en las que la mayor parte de esos poemas habían sido escritos. Previamente los poemas habían sido publicados en prensa por La Revue indépendante en 1887.

## Si tu veux nous nous aimerons

El rondel así titulado es uno de los más famosos poemas de Mallarmé, como también lo son Apparition, Brise marine, Le vierge, le vivace et le bel aujourd’hui y Le Tombeau d’Edgar Poe.
Apareció como versos autógrafos en la revista La Plume en febrero de 1896 :

## Traducción inglesa

Se hizo por Arthur Symons, y se publicó de forma completa en 1986 por Tragara Press.
# Pooley

Pooley es un apellido británico. Puede referirse a:
* Christian Pooley (1977 - ), jinete chileno
* Christiane Pooley (1983 - ), artista chilena
* Emma Pooley (1982 - ), ciclista británica
* Ian Pooley (1973 - ), DJ alemán
# Pooluvapatti

Pooluvapatti es una ciudad y nagar Panchayat situada en el distrito de Coimbatore en el estado de Tamil Nadu (India). Su población es de 12853 habitantes (2011).

## Demografía

Según el censo de 2011 la población de Pooluvapatti era de 12853 habitantes, de los cuales 6386 eran hombres y 6467 eran mujeres. Pooluvapatti tiene una tasa media de alfabetización del 69,40%, inferior a la media estatal del 80,09%: la alfabetización masculina es del 77,20%, y la alfabetización femenina del 61,74%.
# Popilius tetraphyllus

Popilius tetraphyllus es una especie de coleóptero de la familia Passalidae.

## Distribución geográfica

Habita en la Guayana Francesa.
# Porphyrio mantelli

El calamón takahe de la Isla Norte (Porphyrio mantelli) es una especie extinta de ave gruiforme de la familia Rallidae que vivía en la Isla Norte de Nueva Zelanda. Solo se conoce de restos subfósiles de varios sitios arqueológicos y de un posible registro de 1894. Parece haber sido incluso más grande que el calamón takahe de la Isla Sur (P. hochstetteri) y, si sobrevivió hasta la década de 1890, fue la rálida más grande en tiempos históricos.
Tradicionalmente se consideraba conspecífico con el calamón takahe de la Isla Sur, pero un estudio realizado en 1996 presentó evidencia de que ambos taxones evolucionaron de forma separada de antepasados voladores, por lo que en la actualidad se consideran especies separadas.
# Portable.NET

Portable.NET es una suite de herramientas de software libre para compilar y ejecutar aplicaciones para la Common Language Infrastructure, más conocida como .NET.
La plataforma inicial para la que se desarrolló fue GNU/Linux, pero DotGNU Portable.NET funciona también bajo Windows, NetBSD, FreeBSD, Solaris, y Mac OS X, entre otros. Además corre en una gran variedad de arquitecturas: x86, PPC, ARM, Sparc, s390, Alpha, ia-64, y PARISC.
DotGNU Portable.NET busca la compatibilidad con las especificaciones ECMA-334 y ECMA-335 para C# y CLI, y con la implementación comercial.NET de Microsoft. El principal objetivo es facilitar el desarrollo de aplicaciones portátiles que funcionen tanto en la plataforma DotGNU Portable.NET como en Microsoft.NET.
El proyecto Portable.NET tiene muchas semejanzas con el proyecto Mono de Novell. Ambos intentan proporcionar una alternativa a la tecnología.NET desarrollando una implementación libre del marco de aplicaciones y servicios.NET de Microsoft.

## Componentes

Los componentes principales de la suite son: treecc, pnet, pnetlib, a los que se suman los siguientes componentes opcionales: pnetc, ml-pnet y cscctest

### pnet

contiene el entorno de ejecución, el compilador de C# y otras herramientas de desarrollo.

### pnetlib

Contiene las bibliotecas principales de C#, incluyendo: mscorlib, System, System.Xml, System.Drawing, System.Windows.Forms, etc.

### TreeCC

Herramienta de programación complementaria de Flex y Bison utilizada para ayudar en el desarrollo del compilador de portable.net, cscc.

### pnetC

Es la biblioteca para el compilador de C basada en glibc.

### ml-pnet

Algunas de las bibliotecas de mono son utilizadas junto con scripts de DotGNU que permiten utilizarlas con las herramientas de DotGNU.

## Cómo ejecutar programas en MSIL

Se utiliza la orden ilrun seguida del nombre del ejecutable, con o sin su extensión.
ilrun puede registrarse en el núcleo Linux de la siguiente manera: ilrun --register; esto permite ejecutar el programa sin necesidad de teclear ilrun cada vez. ilrun puede ser desregistrado de la siguiente manera: ilrun --unregister.
# Potter Heigham

Potter Heigham es una localidad situada en el condado de Norfolk, en Inglaterra (Reino Unido), con una población estimada a mediados de 2016 de 817 habitantes.
Se encuentra ubicada al noreste de la región Este de Inglaterra, cerca de la ciudad de Norwich —la capital del condado— y de la costa del mar del Norte.
# Potters Bar

Potters Bar es una localidad inglesa del distrito de Hertsmere, Hertfordshire ubicada a 29 km al norte de Londres. En 2001, su población era de 21 618 habitantes.
La ciudad fue fundada a principios del siglo XIII como pequeño asentamiento hasta la llegada del Ferrocarril Británico en 1850. Actualmente es parte del área metropolitana de Londres.

## Etimología

Los orígenes de la etimología de la ciudad se desconoce, aunque se cree que pudiera aludir a la cerámica de la época romana guardada por la familia Pottere, quienes vivían en la parroquia de South Mimms. El término "Bar" puede referirse, bien a las calles que conectan South Mimms con Enfield Chase o con un túnel en Great North Road.

## Historia

Potters Bar está localizada en la Great North Road, una de las dos carreteras que conectan Londres con la región Norte de Inglaterra. El nombre de la carretera era A1 hasta que le cambiaron el nombre al de A1000.
Históricamente, la localidad fue parte de Middlesex y establecida como distrito urbano del condado desde 1934. Desde 1894 hasta 1934 el área formó parte del distrito rural de South Mimms. En 1965, el distrito fue transferido a Hertfordshire mientras que la mayor parte de Middlesex pasó a formar parte del Gran Londres.
El distrito urbano se extiende por un área de 6123 acres (24,80 km²). En 1939 su población era de 13 681 y fue creciendo hasta que en 1971 residían 24 613 habitantes. En 1974 desapareció el distrito urbano y su área fue anexionada por Hertsmere. Como parte de Middlesex, el área continuó siendo parte del Distrito Policial Metropolitano hasta la creación de la Autoridad del Gran Londres en el año 2000.

## Infraestructuras y transportes

La carretera A1 fue construida como arteria principal de la ciudad y conecta el área de servicio de Bignells Corner con Barnet - St. Albans road. La ciudad también conecta con las autopistas M23, M24 Y M25.
Los ferrocarriles de National Rail prestan servicio a la localidad a través de la estación de Potters Bar con la línea entre King Cross y York. El First Capital Connect conecta la ciudad con varios puntos de Londres Norte y del Sur antes de llegar a King Cross o a la estación de Moorgate. Hacia el norte, el ferrocarril conecta Potters Bar con Peterborough, Cambridge y Letchworth Garden City entre otras localidades.
Potters Bar también dispone de estación de autobuses que realiza rutas locales o hasta Londres. La línea 84 circula al sur hacía New Barnet y al noroeste a St. Albans.
# Potterhanworth

Potterhanworth es una localidad situada en el condado de Lincolnshire, en Inglaterra (Reino Unido), con una población estimada a mediados de 2016 de 861 habitantes.
Se encuentra ubicada al noreste de la región Midlands del Este, cerca de la frontera con la región de Yorkshire y Humber, de la ciudad de Lincoln, del estuario del río Humber y de la costa del mar del Norte.
# Primera División de Venezuela 1965

La Temporada 1965 de Primera División fue la novena edición de la máxima categoría del Fútbol Profesional Venezolano.

## Equipos participantes

Fue jugado por ocho equipos: 4 Equipos de colonias y 4 Equipos locales:
| Club | Estado |
| Deportivo Galicia | Distrito Federal |
| Deportivo Italia | Distrito Federal |
| Deportivo Portugués | Distrito Federal |
| Lara F.C. | Lara |
| La Salle | Distrito Federal |
| Tiquire Flores | Aragua |
| U.D. Canarias | Distrito Federal |
| Valencia F.C. | Carabobo |

## Historia

Torneo simple de tres (3) rondas, al final el campeón se decidió por puntos en una tabla única.
El campeón fue el Lara FC, mientras que un equipo de colonia -el Deportivo Italia- llegó de segundo.
El Lara FC fue el primer equipo no capitalino que se tituló campeón del Fútbol Profesional Venezolano. El torneo estaba pautado para efectuarce a tres vueltas, pero al final se disputaron cuatro, por lo cual el torneo se definió en 1966, siendo la primera vez que esto sucedió.
Primer goleador: el argentino Mario Mateo (Lara FC) 16
Lara F.C. Campeón 1.er título

## Tabla Acumulativa

| Pos | Equipo | J | G | E | P | GF | GC | DG | Ptos |
| 1 | Lara F.C. (C) | 28 | 12 | 11 | 5 | 48 | 31 | 17 | 35 |
| 2 | Deportivo Italia | 28 | 11 | 12 | 5 | 41 | 33 | 8 | 34 |
| 3 | Tiquire Flores | 28 | 13 | 7 | 8 | 43 | 40 | 3 | 33 |
| 4 | Unión Canarias | 28 | 12 | 8 | 8 | 36 | 30 | 6 | 32 |
| 5 | Valencia F.C. | 28 | 11 | 6 | 11 | 43 | 40 | 3 | 28 |
| 6 | Deportivo Galicia | 28 | 9 | 5 | 14 | 42 | 48 | -6 | 23 |
| 7 | Deportivo Portugués | 28 | 9 | 3 | 16 | 44 | 55 | -11 | 21 |
| 8 | La Salle (D) | 28 | 7 | 4 | 17 | 34 | 54 | -20 | 18 |
* Campeón, clasificado para la Copa Libertadores 1966.
* Subcampeón, clasificado para la Copa Libertadores 1966.
* (D) : Desaparece al final de la temporada.
# Primera División de Venezuela 1968

La temporada 1968 de Primera División fue la décima segunda edición de la máxima categoría del Fútbol Profesional Venezolano.

## Equipos participantes

Fue jugada por diez equipos: 4 Equipos de colonias y 6 equipos locales
| Club | Estado |
| Anzoátegui F.C. | Anzoátegui |
| Atlético Aragua | Aragua |
| Deportivo Galicia | Distrito Federal |
| Deportivo Italia | Distrito Federal |
| Deportivo Portugués | Distrito Federal |
| Lara F.C. | Lara |
| Litoral F.C. | Vargas |
| U.D. Canarias | Distrito Federal |
| Valencia F.C. | Carabobo |
| Zulia F.C. | Zulia |

## Historia

La Fase final fue hecha con solo 6 equipos: UD Canarias, Deportivo Italia, Deportivo Portugués, Lara FC, Valencia FC y Aragua FC.
El UD Canarias alcanzó su primero y único título con el técnico Manuel Arias. El Deportivo Italia fue vicecampeón por segunda vez y obtuvo una de las mejores victorias en su historial: goleó 7-1 el Lara FC el 3 de abril de 1968.
La Unión Deportiva Canarias logró dominar la primera fase del campeonato nacional al conseguir una ventaja de ocho puntos sobre el Deportivo Italia, su más cercano perseguidor. Los "Canarios" ocuparon el primer lugar de la ronda eliminatoria con 28 puntos, producto de una docena de victorias, cuatro empates y dos derrotas, con 27 goles a favor y 17 en contra. Luego, en la ronda final, el UD Canarias logró su primer título del Campeonato Profesional cuando derrotó 1-0 al Valencia FC en el estadio Olímpico de la Universidad Central de Venezuela en Caracas: en la segunda fase del Campeonato resultó Campeón de la liga Mayor con 15 puntos por delante del Deportivo Italia y del Deportivo Portugués.
El mejor goleador fue el brasiliano Raimundinho, jugador del Deportivo Portugués, con 21 goles.
U.D. Canarias Campeón 1.er título

## Ronda regular
### Clasificación

* Clasificado a la Fase final
* (D) : Desaparece al final de la temporada.

## Fase Final
### Clasificación

* Campeón, clasificado para la Copa Libertadores 1969.
* Subcampeón, clasificado para la Copa Libertadores 1969.
# Prismatomeris

Prismatomeris es un género con 33 especies de plantas con flores perteneciente a la familia de las rubiáceas.
Es nativo de China y Asia tropical.

## Taxonomía

El género fue descrito por George Henry Kendrick Thwaites y publicado en Hooker's Journal of Botany and Kew Garden Miscellany 8: 268. 1856. La especie tipo es: Prismatomeris albidiflora Thwaites.

## Especies seleccionadas

* Prismatomeris albidiflora Thwaites (1856).
* Prismatomeris andamanica Ridl. (1940).
* Prismatomeris beccariana (Baill. ex K.Schum.) Johanss. (1987).
* Prismatomeris brachypus Ridl. (1940).
# Proceso de Weldon

El proceso de Weldon es un proceso desarrollado en 1866 por Walter Weldon para recuperar dióxido de manganeso para su reutilización en la fabricación de cloro. Las operaciones comerciales comenzaron en las obras de Gamble en St. Helens en 1869. El proceso se describe con bastante detalle en el libro The Alkali Industry, de J.R. Partington, D.Sc.
El método común para fabricar cloro en ese momento era hacer reaccionar el dióxido de manganeso (y los óxidos relacionados) con ácido clorhídrico para dar cloro:
    MnO$_2$ + 4 HCl → MnCl$_2$ + Cl$_2$ + 2H$_2$O
La contribución de Weldon fue desarrollar un proceso para reciclar el manganeso. La solución residual de cloruro de manganeso (II) se trata con cal, vapor y oxígeno, produciendo calcio manganita (IV) :
    2 MnCl$_2$ + 3 Ca(OH)$_2$ + O$_2$ → CaO·2MnO$_2$ + 3 H$_2$O + 2 CaCl$_2$
La manganita de calcio resultante se puede hacer reaccionar con HCl como en procesos relacionados:
    CaO·2MnO$_2$ + 10 HCl → CaCl$_2$ + 2 MnCl$_2$ + 2 Cl$_2$ + 5 H$_2$O
El cloruro de manganeso (II) puede reciclarse, mientras que el cloruro de calcio es un subproducto residual. El proceso Weldon primero fue reemplazado por el proceso de Deacon y luego por el proceso Chloralkali.
# Prin-Deyrançon

Prin-Deyrançon es una población y comuna francesa, situada en la región de Poitou-Charentes, departamento de Deux-Sèvres, en el distrito de Niort y cantón de Mauzé-sur-le-Mignon.

## Demografía

Evolución demográfica de Prin-Deyrançon :
| 1962 | 1968 | 1975 | 1982 | 1990 | 1999 |
| 479 | 443 | 451 | 462 | 436 | 459 |
| Para los censos de 1962 a 1999 la población legal corresponde a la población sin duplicidades (Fuente: INSEE) ||||||
# Pristimantis almendarizi

Pristimantis almendarizi es una especie de anfibio anuro de la familia Craugastoridae. Esta especie es endémica de la provincia de Morona Santiago en Ecuador. Se encuentra entre los 581 m y 1820 m de altitud en la cordillera de Kutukú. Los machos miden de 23,8 a 26,4 mm y las hembras miden 38,7 26,4 mm. Esta especie está nombrada en el honor de Ana De Lourdes Almendáriz Cabezas.

## Publicación original

* Brito & Pozo-Zamora, 2013 : Una nueva especie de rana terrestre del género Pristimantis (Amphibia: Craugastoridae), de la Cordillera de Kutuku, Ecuador. Papéis Avulsos de Zoologia (São Paulo), vuelo. 53, no 24, p. 315-325 (texto integral).
# Pristimantis albertus

Pristimantis albertus es una especie de anfibio anuro de la familia Craugastoridae. Esta especie es endémica de la provincia de Oxapampa en el Departamento de Pasco en Perú. Se encuentra a aproxiadamente a 1970 m s. n. m. de altitud en la cordillera Yanachaga. La hembra mide de 19,7 a 20,7 mm.

## Publicación original

* Duellman & Hedges, 2007 : Three new species of Pristimantis (Lissamphibia, Anura) from montane forests of the Cordillera Yanachaga in central Peru. Phyllomedusa, vuelo. 6, no 2, p. 119-135 (texto integral).
# Pristimantis altae

Pristimantis altae es una especie de anfibio anuro de la familia Strabomantidae. Se encuentra en Costa Rica y Panamá. Su hábitat natural son los bosques húmedos subtropicales o tropicales de tierras bajas y bosques húmedos tropicales o subtropicales de montaña.
# Pristimantis altamnis

Pristimantis altamnis es una especie de anfibio anuro de la familia Craugastoridae. Esta especie es endémica del este del Ecuador. Se encuentra entre los 400 y 1000 m de altitud. Su presencia es incierta en Colombia y en Perú.

## Publicación original

* Elmer & Cannatella, 2008 : Three new species of leaflitter frogs from the upper Amazon forests: cryptic diversity within Pristimantis "ockendeni" (Anura: Strabomantidae) in Ecuador. Zootaxa, no 1784, p. 11-38 (texto integral).
# Problema de Plateau

En matemáticas, el problema de Plateau es mostrar la existencia de una superficie minimal con una frontera dada, un problema planteado por Joseph-Louis Lagrange en 1760. Sin embargo, fue nombrado posteriormente por Joseph Plateau quien experimentó con películas de jabón. El problema es considerado parte del cálculo de variaciones. La existencia y regularidad de los problemas son parte de la teoría geométrica de la medida.

## Planteamiento

La generalización del problema de Plateau formulado consiste en lo siguiente:
    Se da una curva cerrada (de Jordan) en el espacio. Hallar la superficie que contiene esta curva y tal que el área abarcada por la curva sea mínima.
Se dan dos puntos $P_{1}(x_{1},y_{1})$ y $P_{2}(x_{2},y_{2})$ del plano $xy$. Sea $x_{1}<\;x_{2}$. Supongamos que $y=y(x)$ es la ecuación de una curva que une los puntos $P_{1}$ y $P_{2}$, es decir,
$y=y(x_{1})$
$y=y(x_{2})$
La curva gira alrededor del eje $x$ barriendo cierta superficie de revolución. Se pregunta: ¿cuál es la superficie de rotación que tiene la menor área posible? De este modo se llega al problema de la elección de la función $y(x)$ para la que la integral
$S=2\pi \ \int _{x_{1}}^{x_{2}}y{\sqrt {1+y^{'2}}}\,dx$
(área de la superficie de revolución) es mínima. Estas superficies de revolución mínimas, bajo ciertas restricciones adicionales sobre los puntos $P_{1}$ y $P_{2}$, se denominan catenoides.