# Coordenadas baricéntricas (n-simplex)

Las coordenadas baricéntricas permiten parametrizar mediante n+1 números reales en el intervalo [0,1] el interior de un n-simplex. En realidad, de las n+1 coordenadas baricéntricas solo n son independientes, ya que la suma de todas es igual a uno.

## Triángulo

Como ejemplo introductorio se considera un triángulo en el plano euclídeo $\mathbb {E} ^{2}$ de vértices ${\text{A}}=(x_{A},y_{A})$, ${\text{B}}=(x_{B},y_{B})$ y ${\text{C}}=(x_{C},y_{C})$, entonces cualquier punto del interior del triángulo ${\text{P}}=(x,y)$ puede ser representado por tres coordenadas baricéntricas $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ tales que:
   $\alpha +\beta +\gamma =1$
Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:
   ${\begin{cases}x=(\alpha x_{A}+\beta x_{B}+\gamma x_{C})/(\alpha +\beta +\gamma )\\y=(\alpha y_{A}+\beta y_{B}+\gamma y_{C})/(\alpha +\beta +\gamma )\end{cases}}$
Ahora ya se pueden introducir las coordenadas baricéntricas de la Enciclopedia de los Centros del Triángulo de Clark Kimberling. Dicha web cuenta con miles de centros con coordenadas baricéntricas y trilineales. Normalmente solo aparece la 1ª (alfa), pero al ser homogéneas se pueden deducir las otras 2 permutando las letras de la 1ª, por ejemplo, el punto P = $a(b-c)$ : : , corresponde a las coordenadas $\alpha =a(b-c)$, $\beta =b(c-a)$, $\gamma =c(a-b)$. $P=(a(b-c):b(c-a):c(a-b))$. Es decir, solo hay 3 letras: a,b,c ya que el triángulo solo tiene 3 lados, y cada letra corresponde a la longitud de un lado. Si empieza en la a, la siguiente es la b, y la última la c. Si comienza en la b, la siguiente es la c y la siguiente, como no hay d, recomienza en la a. Si comienza en la c, al ser una triada cíclica, la siguiente es la a y después la b. Si el punto o centro Kimberling viniera en coordenadas trilineales, basta convertirlas a baricéntricas multiplicando cada una por una letra distinta: a,b,c. Ejemplo: $\alpha *a$, $\beta *b$, $\gamma *c$.
En concreto el lado ${\text{AB}}$ se caracteriza por tener $\gamma =0$, el lado ${\text{BC}}$ tiene $\alpha =0$, y el lado ${\text{CA}}$ $\beta =0$. El baricentro coincidirá con el punto $(\alpha ,\beta ,\gamma )=(1/3,\ 1/3,\ 1/3)$. El triángulo estará formado por todos los puntos del conjunto T:
   $T=\{(x,y)|\exists \alpha ,\beta ,\gamma :(\alpha +\beta +\gamma =1)\ \land \ (x=\alpha x_{A}+\beta x_{B}+\gamma x_{C})\ \land \ (y=\alpha y_{A}+\beta y_{B}+\gamma y_{C})\}$
El lado a (opuesto al vértice A) será el conjunto de puntos:
   (left)$T_{a}=\{(x,y)\in T|\exists \beta ,\gamma :(\beta +\gamma =1)\ \land \ (x=\beta x_{B}+\gamma x_{C})\ \land \ (y=\beta y_{B}+\gamma y_{C})\}$
y análogamente los lados b y c por lo que la frontera del triángulo estará formada por los puntos tales que alguna de sus coordenadas baricéntricas sea cero. Y los vértices satisfacen que una de sus coordenadas baricéntricas es uno y las otras son nulas.

## Tetraedro

La construcción anterior puede ampliarse a un tetraedro, no necesariamente regular, en el espacio euclídeo $\mathbb {E} ^{3}$. Si los vértices del tetraedro en cuestión son ${\text{A}}=(x_{A},y_{A},z_{A})$, ${\text{B}}=(x_{B},y_{B},z_{B})$, ${\text{C}}=(x_{C},y_{C},z_{C})$ y ${\text{D}}=(x_{D},y_{D},z_{D})$, entonces cualquier punto del interior del tetraedro ${\text{P}}=(x,y,z)$ puede ser representado por cuatro coordenadas baricéntricas $(t_{A},t_{B},t_{C},t_{D})$ tales que:
   $t_{A}+t_{B}+t_{C}+t_{D}=1\,\qquad 0\leq t_{X}\leq 1$
Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:
   ${\begin{cases}x=t_{A}x_{A}+t_{B}x_{B}+t_{C}x_{C}+t_{D}x_{D}\\y=t_{A}y_{A}+t_{B}y_{B}+t_{C}y_{C}+t_{D}y_{D}\\z=t_{A}z_{A}+t_{B}z_{B}+t_{C}z_{C}+t_{D}z_{D}\end{cases}}$
El baricentro coincidirá con el punto $(t_{A},t_{B},t_{C},t_{D})\ =\ (1/4,\ 1/4,\ 1/4,\ 1/4)$. Dado un punto P si ninguna de las coordenadas baricéntricas es cero $t_{A}\neq 0,t_{B}\neq 0,t_{C}\neq 0,t_{D}\neq 0$ el punto será un interior, si solo una de ellas es cero será un punto interior a una de las caras del tetraedro, si dos y solo dos de las coordenadas baricéntricas son cero el punto será el interior de una arista y si tres de las coordenadas baricéntricas son cero (y por tanto la otra igual a 1) el punto será un vértice.

## n-simplex

Dado un n-simplex (o simplex) en el espacio euclídeo $\mathbb {E} ^{n}$, se pueden definir las coordenadas baricéntricas generalizadas. Si los n+1 vértices del n-simplex son:
   $V_{i}=(\sigma _{1}^{i},\sigma _{2}^{i},\ldots ,\sigma _{n}^{i})\qquad i=1,2,\ldots ,n+1\qquad ,$
entonces cualquier punto del interior del simplex $P=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})$ puede ser representado por n+1 coordenadas baricéntricas $(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n+1})$ tales que:
   $\sum _{i=1}^{n+1}t_{i}=1\,\qquad 0\leq t_{i}\leq 1$
Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:
   $p_{j}=\sum _{i=1}^{n+1}t_{i}\sigma _{j}^{i}\qquad j=1,2,\ldots ,n$
El baricentro coincidirá con el punto $(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n+1})\ =\ (1/(n+1),1/(n+1),\ldots ,1/(n+1))$.
* Datos: Q738422