# Esfera de Strömgren

En astrofísica teórica, una esfera de Strömgren es una esfera de hidrógeno ionizado (H II) alrededor de una estrella caliente de la clase espectral O-B. Su contraparte en el mundo real son las regiones H II, un tipo de nebula de emisión, de la cual la más prominente es la nebulosa Roseta. Fue descubierto por Bengt Strömgren en 1937 y luego nombrada en su honor.

## Fórmula

El radio de Stromgren es el radio característico de una región HII, producida por el equilibrio de fotorrecombinación, para calcularlo sabemos que
$4\pi J_{\nu }(r)=\pi I_{\nu }(r)=\pi I_{\nu }(R){\frac {R^{2}}{r^{2}}}e^{-\tau _{\nu }}$
donde $\pi I_{\nu }(r)$ es el flujo de una fuente homogénea producida por un solo hemisferio (e.d. el flujo que se observa de la fuente, ignorando el flujo producido por la parte de "atrás" del emisor) a una distancia r, $I_{\nu }(R)$ es la energía producida a una distancia R, donde R es el Radio de la estrella y $\tau _{\nu }$ es la profundidad óptica del medio.
Si observamos bien, la ecuación anterior nos dice que el promedio en energía a una distancia r es igual a la energía producida en la superficie de la fuente, multiplicada por el factor de decaimiento del flujo ($R^{2}/r^{2}$) y multiplicada por la absorción del gas.
Sustituyendo en la ecuación de equilibrio
$N_{H^{o}}\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }}{\frac {R^{2}}{r^{2}}}e^{-\tau _{\nu }}a_{\nu }(H^{o})d\nu =N_{e}N_{p}\alpha _{A}(H,T)$
desarrollando y tomando la aproximación on-spot ($\alpha _{B}=\alpha _{A}-\alpha _{1}$)
$N_{H^{o}}R^{2}\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }}e^{-\tau _{\nu }}a_{\nu }(H^{o})d\nu =r^{2}N_{e}N_{p}\alpha _{B}(H,T)$
sabiendo que ${\frac {d\tau _{\nu }}{dr}}=N_{H^{o}}a_{\nu }(H^{o})$ entonces $d(-e^{-\tau _{\nu }})=e^{-\tau _{nu}}d\tau _{\nu }=e^{-\tau _{nu}}N_{H^{o}}a_{\nu }(H^{o})dr$ Si sustituimos
$R^{2}\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }}d(-e^{-\tau _{\nu }})d\nu =r^{2}N_{e}N_{p}\alpha _{B}(H,T)$
integrando sobre r
$R^{2}\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }}\int _{0}^{\infty }d(-e^{-\tau _{\nu }})drd\nu =\int _{0}^{\infty }r^{2}N_{e}N_{p}\alpha _{B}(H,T)dr$
$R^{2}\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }}d\nu (-e^{-\tau _{\nu }}|_{0}^{\infty })=\int _{0}^{\infty }r^{2}N_{e}N_{p}\alpha _{B}(H,T)dr$
Si suponemos que a una distancia $r_{1}$ todo se encuentra ionizado, entonces $N_{e}=N_{p}=N_{H}$ y después de esa region $Ne=0$ entonces $R^{2}\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }}d\nu =\int _{0}^{r_{1}}N_{e}N_{p}\alpha _{B}(H,T)dr+\int _{r_{1}}^{\infty }N_{e}N_{p}\alpha _{B}(H,T)dr$
$R^{2}\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }}d\nu =\int _{0}^{r_{1}}N_{H}^{2}\alpha _{B}(H,T)dr$
$R^{2}\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }}d\nu ={\frac {r_{1}^{3}}{3}}N_{H}^{2}\alpha _{B}(H,T)$
Como
$L_{\nu }=4\pi R^{2}\pi I_{\nu }(R)$
$\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {L_{\nu }}{h\nu }}d\nu ={\frac {4\pi r_{1}^{3}}{3}}N_{H}^{2}\alpha _{B}(H,T)$
sustituyendo $Q_{\nu }=\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {L_{\nu }}{h\nu }}d\nu$
llegamos $Q_{\nu }={\frac {4\pi r_{1}^{3}}{3}}N_{H}^{2}\alpha _{B}(H,T)$
donde $r_{1}$ es el radio de Stromgren para una región solo de Hidrógeno.