# Modelo de Streeter-Phelps

El modelo de de Streeter-Phelps es un modelo matemático que relaciona los dos principales mecanismos que definen el oxígeno disuelto en un cauce de agua superficial que recibe la descarga de aguas residuales: Descomposición de materia orgánica, y aireación de oxígeno. Este modelo ha sido adaptado tanto para fuentes puntuales como para fuentes difusas o dispersas.

## Historia

La forma inicial del modelo de Streeter-Phelps fue propuesta en 1925 por Harold Warner Streeter y Earle Bernard Phelps (1876-1953) a partir de un estudio del proceso de oxidación y aireación en el Río Ohio en los Estados Unidos con base en datos obtenidos desde mayo de 1914 a abril de 1915.
Posteriormente otras versiones del modelo más complejas fueron desarrolladas después de los sesenta gracias a la posibilidad de realizar soluciones computacionales, que introdujeron en el modelo procesos como fotosíntesis, respiración y demanda béntica de oxígeno.

## Descripción

La forma diferencial de la forma clásica del modelo de Streeter-Phelps describe el cambio de la concentración de materia orgánica y del déficit de oxígeno disuelto que es la diferencia entre el oxígeno de saturación en un lugar y oxígeno disuelto en ese mismo lugar.
${\begin{cases}V{\frac {dL}{dt}}=-k_{d}VL\\V{\frac {dD}{dt}}=k_{d}VL-k_{a}VD\end{cases}}$
donde:
* $k_{d}$ es la tasa de consumo de oxígeno por degradación de DBO en $[d^{-1}]$.
* $k_{a}$ es la tasa de aireación de oxígeno en el cuerpo de agua$[d^{-1}]$.
* $L$ es la DBO de la materia orgánica en el agua en $[mg\cdot L^{-1}]$.
* $D$ es el déficit de oxígeno en $[mg\cdot L^{-1}]$.
la solución de este sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias para condiciones iniciales de $L$ y $D$ de $L_{0}$ y $D_{0}$ respectivamente se tiene:
${\begin{cases}L=L_{0}e^{-k_{d}t}\\D={\frac {k_{d}L_{0}}{k_{a}-k_{d}}}\left(e^{-k_{d}t}-e^{-k_{a}t}\right)+D_{0}e^{-k_{a}t}\end{cases}}$

### Fuentes Puntuales en Estado Permanente

En condiciones de tiempo permanente el caudal, velocidad y profundidad del cauce son permanentes en cada posición, así como las descargas que en este se realicen, bajo estas condiciones la velocidad, posición y tiempo se relacionan mediante la ecuación:
$U={\frac {x}{t}}$
Adicionalmente si se considera exclusivamente la condición de flujo piston en la cual no hay efectos de dispersión a lo largo del cauce el modelo de Streeter-Phelps se convierte en:
${\begin{cases}0=-U{\frac {dL}{dx}}-k_{d}L\\0=-U{\frac {dD}{dx}}-k_{d}L+k_{a}D\end{cases}}$
donde:
* $U$ es la velocidad del cauce $[m\cdot s^{-1}]$.
* $x$ es la distancia desde la descarga $[m]$.
* $t$ es el tiempo transcurrido desde la descarga $[s]$.
la solución de este sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias para condiciones iniciales de $L$ y $D$ de $L_{0}$ y $D_{0}$ respectivamente se tiene:
${\begin{cases}L=L_{0}e^{\frac {-k_{d}x}{U}}\\D={\frac {k_{d}L_{0}}{k_{a}-k_{d}}}\left(e^{\frac {-k_{d}x}{U}}-e^{\frac {-k_{a}x}{U}}\right)+D_{0}e^{\frac {-k_{a}x}{U}}\end{cases}}$
La solución del modelo de Streeter-Phelps para valores específicos de las condiciones iniciales de déficit de oxígeno y concentración de DBO y las constantes de degradación de la materia orgánica y de aireación de oxígeno en el cuerpo de agua es como se muestra en la figura.
Entre los comportamientos de la solución del modelo de Streeter-Phelps se destaca que el efecto combinado del decaimiento y la aireación genera un punto de pandeo, llamado punto crítico en el cual la concentración de oxígeno es mínima.

### Fuentes Difusas en Estado Permanente

El modelo de Streeter-Phelps también ha sido adaptado para modelar el efecto de descargas difusas a lo largo de un tramo del cauce.
En el primer conjunto de ecuaciones al parecer hay un error, pues debe tener los mismos signos que el segundo conjunto de ecuaciones. Se ha hecho la simulación y efectivamente, el segundo conjunto de ecuaciones si reproduce adecuadamente las curvas simuladas.