# Subespacio vectorial

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.

## Definición de subespacio vectorial

Sea $V_^$ un espacio vectorial sobre $K_^$ y $U\subset V$ no vacío, $U_^$ es un subespacio vectorial de $V_^$ si:
    $i)\;\;\forall u,v\in U,u+v\in U$
    $ii)\;\forall u\in U,\forall k\in K,ku\in U$

### Consecuencias

* Un subconjunto de vectores que cumple las dos condiciones anteriores es un subespacio vectorial y por tanto un espacio vectorial.
* Demostración
* i) permite el cumplimiento de la propiedad conmutativa y asociativa.
* ii) permite el cumplimiento de la propiedad asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva respecto las dos operaciones.
* Luego para el elemento neutro de la suma este se puede obtener como $0\cdot u$, que $u+0\cdot u=(1+0)\cdot u=u$ y lo mismo para el elemento opuesto de la suma obtenido como $(-1)\cdot u$, ya que $u+(-1)u=(1-1)\cdot u=0.$
Notaciones
Dado $F\,$ un subespacio vectorial, se tiene:
Para i) el abuso de lenguaje $F+F\subset F$, e incluso $F+F=F$ es correcto.
* Demostración
* Se quiere ver que $\forall w\in F+F\Leftrightarrow w\in F$:
* $\Rightarrow )w\in F+F\Rightarrow \exists u,v\in F:w=u+v\Rightarrow w\in F.$
* $\Leftarrow )w\in F\Rightarrow w=w+{\vec {0}}\Rightarrow w\in F+F$
Para ii) el abuso de lenguaje $\lambda F\subset F$, e incluso $\lambda F=F,\;\;\forall \lambda \in K-\{0\}$ es correcto.
* Demostración
* $w\in F\Leftrightarrow {\frac {1}{\lambda }}w\in F\Leftrightarrow \lambda {\frac {1}{\lambda }}w\in \lambda F\Leftrightarrow w\in \lambda F$

### Criterio de verificación

Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:
* Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores v, w pertenecientes a U y cualesquiera escalares r y s pertenecientes al cuerpo asociado, el vector $rv+sw$ es también un elemento de U.

## Ejemplos

Dado el espacio vectorial $\mathbb {R} ^{2}$, sus elementos son del tipo $(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$.
* ${\vec {0}},u$ y $\lambda u$ están alineados, $\forall u\in \mathbb {R} ^{2}$, $\forall \lambda \in K.$
* ${\vec {0}},u,v$ y $u+v$ forman un paralelogramo si no están alineados, $\forall u,v\in \mathbb {R} ^{2}.$
* Suma de 3 elementos.
El subconjunto
   $U=\{(a,b):a+b=0\}$.
es un subespacio vectorial.
* Demostración
* Por definición de U los elementos son de la forma $x=(x_{1},-x_{1})$.
* ${\begin{matrix}Suma&+:&{\mathbb {R} ^{2}\times\mathbb {R} ^{2}}&\longrightarrow&{\mathbb {R} ^{2}}&\\&&{(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}&\mapsto &{(u_{1},-u_{1})+(v_{1},-v_{1})}&=((u_{1}+v_{1}),-(u_{1}+v_{1}))\end{matrix}}$
* ${\begin{matrix}Producto&\cdot:&{K\timesV}&\longrightarrow&{V}&\\&&{(a,\mathbf {u} )}&\mapsto &a\cdot (u_{1},-u_{1})&=((a\cdot u_{1}),-(a\cdot u_{1}))\end{matrix}}$
* como las operaciones están bien definidas entonces U es en sí mismo un espacio vectorial, es decir, satisface las condiciones de subespacio vectorial de $\mathbb {R} ^{2}$.
El subconjunto
   $C=\{(a,b):b=a^{2}\}$
no es un subespacio vectorial.
* Demostración
* Nuevamente sólo es necesario verificar tres condiciones: la pertenencia del vector nulo y la cerradura de ambas operaciones.
* El vector nulo (0, 0) sí es un elemento de C puesto que 0 = 0².
* Sin embargo, ni la suma ni el producto son cerrados:
* Los vectores (1, 1) y (2, 4) son elementos de C, pero su suma (1, 1) + (2, 4) = (3,5) no lo es, puesto que 5 no es igual a 3².
* El vector (2, 4) es un elemento de C, pero al multiplicarlo por el escalar 2 se obtiene (4, 8) que no es un elemento de C puesto que 8 no es igual a 4².

## Otros ejemplos

Sea $V_^$ un espacio vectorial. Asumimos que $V_^$ es un espacio vectorial real, pero todo funciona también para un espacio vectorial complejo.
1) {0} es un subespacio vectorial de $V_^$. Es llamado el subespacio trivial de $V_^$.
2) $V_^$ en sí es un subespacio vectorial de $V_^$.
3) Si fijamos $v$ $\in V$. Entonces el conjunto $W:=\left\{\mathbf {\mu v} \in V\colon \mu \in \mathbb {R} \right\}$ es un subespacio de $V_^$.
4) Más generalmente, si fijamos $v_{1}$, ..., $v_{k}$ $\in V$, entonces el conjunto $W:=\left\{\mathbf {\mu _{1}v_{1}} +...+\mathbf {\mu _{k}v_{k}} \colon \mu _{1},...,\mu _{k}\in \mathbb {R} \right\}$ es un subespacio de $V_^$. Este conjunto es llamado el generador lineal de $v_{1}$, ..., $v_{k}$.
5) Si fijamos $z_{0}$ y $v_{1}$, ..., $v_{k}$ $\in V$, entonces el conjunto $W:=\left\{z_{0}+\mathbf {\mu _{1}v_{1}} +...+\mathbf {\mu _{k}v_{k}} \colon \mu _{1},...,\mu _{k}\in \mathbb {R} \right\}$ $=$ $z_{0}$ $+$$\left\{\mathbf {\mu _{1}v_{1}} +...+\mathbf {\mu _{k}v_{k}} \colon \mu _{1},...,\mu _{k}\in \mathbb {R} \right\}$ es un subespacio afín de $V_^$. En general, no será un subespacio.
6) Si $W_^$ es un subespacio de $V_^$, entonces $V_^\setminus W_^$ no es un subespacio. Esto es fácil de ver, considerando que $W_^$ debe que contener el 0, pero $V_^\setminus W_^$ no contiene el 0. Por lo tanto, no puede ser un espacio vectorial.

## Operaciones con subespacios

Sea $(V,+,K,*)$ un espacio vectorial; $(S,+,K,*)$ y $(W,+,K,*)$ subespacios vectoriales de $V$, se definen las siguientes operaciones:

### Unión

$S\cup W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} \in S\ {\text{o}}\ \mathbf {v} \in W\right\}$ En general, la unión de subespacios no es un subespacio.

### Intersección

$S\cap W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} \in S\ {\text{y}}\ \mathbf {v} \in W\right\}$ La intersección de dos subespacios es un subespacio.

### Suma

$S+W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} =(\mathbf {u_{1}} +\mathbf {u_{2}} )\wedge \mathbf {u_{1}} \in S\wedge \mathbf {u_{2}} \in W\right\}$ La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

#### Suma directa

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa". Es decir que si $S\cap W=\left\{{\vec {0}}\right\}\Rightarrow S\oplus W$ Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.

#### Subespacios suplementarios

Se dice que los subespacios $S$ y $W$son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial $V$:
$S\oplus W=\;V\;\leftrightarrow \;{\begin{cases}S+W=\;V\\S\cap W=\left\lbrace {\overset {\rightarrow }{0}}\right\rbrace \end{cases}}$

## Dimensiones de subespacios

La fórmula de Grassmann resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios $S$ y $W$ será igual a la dimensión del subespacio $S$ más la dimensión del subespacio $W$ menos la dimensión de la intersección de ambos, es decir: $\dim(S+W)=\dim(S)+\dim(W)-\dim(S\cap W)$
Por ejemplo, siendo $\dim(S)=3$ y $\dim(W)=2$ y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1. Luego, $\dim(S+W)=4$.

### En la suma directa

En el caso particular de la suma directa, como $S\cap W=\left\{{\vec {0}}\right\}\Rightarrow \dim(S\cap W)=0$. La fórmula de Grassmann resulta: $\dim(S\oplus W)=\dim(S)+\dim(W)$ Entonces en el ejemplo anterior, resultaría $\dim(S\oplus W)=5$.