# Pentación

En matemáticas, la pentación es la hiperoperación que le sigue a la tetración y es anterior a la hexación. Se define como la iteración (repetición) de tetraciones, tal y como la tetración es la iteración de la potenciación. Es una operación binaria definida con dos números a y b, donde a es «tetrado» a sí mismo b veces. por ejemplo, usando la notación de hiperoperación para la pentación y tetración, $2[5]3$ quiere decir «tetrar» 2 a sí mismo 3 veces, o $2[4](2[4]2)$. Esto se puede después reducir a $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$

## Etimología

La palabra «pentación» fue acuñada por Reuben Goodstein en 1947 de las raíces penta- (cinco) e iteración. Es parte de su esquema general para nombrar a las hiperoperaciones.

## Notación

No existe un consenso general para la notación de la pentación; por lo tanto existen varias maneras de escribir la operación. Sin embargo, unas se usan más que otras y existen distintas ventajas entre una y otra forma de uso.
* La pentación se puede escribir como una hiperoperación como $a[5]b$. En este formato, $ab$ puede ser interpretado como el resultado de aplicar repetidamente la función $x\mapsto a[2]x$, por $b$ repeticiones, comenzando con el número 1. De forma análoga, $a[4]b$, la tetración, representa el valor obtenido al aplicar repetidamente la función $x\mapsto ax$, por $b$ repeticiones, comenzando con el número 1, y la pentación $a[5]b$ representa el valor obtenido al aplicar repetidamente la función $x\mapsto a[4]x$, por $b$ repeticiones, comenzando con el número 1.[3] Esta será la notación usada en el resto del artículo
* En la notación flecha de Knuth, $a[5]b$ se representa como $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ o $a\uparrow ^{3}b$. En esta notación, $a\uparrow b$ representa a la función de potenciación $a^{b}$ y $a\uparrow \uparrow b$ representa a la tetración. La operación puede adaptar fácilmente la hexación añadiendo otra flecha.
* En la notación de cadena de Conway, $a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3$.
* Otra notación propuesta es ${_{b}a}$, aunque esta no es extensible a hiperoperaciones de mayor orden.

## Ejemplos

Los valores de la función de pentación también pueden ser obtenidos de los valores en la cuarta fila de valores en una variante de la función de Ackermann: si $A(n,m)$ se define como la recurrencia de Ackermann $A(m-1,A(m,n-1))$ con las condiciones iniciales $A(1,n)=an$ y $A(m,1)=a$, entonces $a[5]b=A(4,b)$.
Como la tetración, su operación base, no ha sido extendida a alturas no-enteras, la pentación $a[5]b$ actualmente sólo está defnida para valores enteros de a y b donde $a>0$ y $b\geq -1$, y unos pocos valores enteros adicionales que podrían estar únicamente definidos. Como todas las hiperoperaciones de orden 3 y mayor, la pentación tiene los siguientes casos triviales (identidades) que son verdaderos para todos los valores de a y b en su dominio:
* $1[5]b=1$
* $a[5]1=a$
Adicionalmente, se puede definir:
* $a[5]0=1$
* $a[5](-1)=0$
Además de los casos triviales arriba expuestos, la pentación genera números extremadamente grandes muy rápidamente tal que sólo hay unos pocos casos no-triviales que producen números que pueden ser escritos en notación convencional, como se muestra a continuación:
* $2[5]2=2[4]2=2^{2}=4$
* $2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536$
* $2[5]4=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65536=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (una torre de exponentes de 65,536 números de altura) }}\approx \exp _{10}^{65,533}(4.29508)$ (se muestra aquí en notación de exponentes iterados ya que es demasiado grande para ser escrito en notación convencional. Nótese que $\exp _{10}(n)=10^{n}$)
* $3[5]2=3[4]3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987$
* $3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (una torre de exponentes de 7,625,597,484,987 números de altura) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)$
* $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ (un número con más de $10^{153}$ dígitos)
* $5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)$ (un número con más de $10^{10^{2184}}$ dígitos)