# Número de Prandtl turbulento

El número turbulento Prandtl (Pr$_t$) es un término adimensional definido como la relación entre el momento difusividad Eddy y la difusividad del remolino de transferencia de calor. Es útil para resolver el problema de los flujos turbulentos de la capa límite. El modelo más simple para Pr$_t$ es la analogía de Reynolds, que arroja un número turbulento de Prandtl próximos o iguales a 1. A partir de datos experimentales, Pr$_t$ tiene un valor promedio de 0,85, que oscila entre los valores de 0,7 y los de 0,9, dependiendo del número de Prandtl de cada uno de los fluidos de los que se trate.

## Definición

La introducción de la difusividad de Eddy y, posteriormente, el número turbulento de Prandtl funciona como una forma de definir una relación simple entre la tensión de corte adicional y el flujo de calor presente en el flujo turbulento. Si el momento y las difusividades de los remolinos térmicos son «cero» (sin tensión de cizallamiento ni flujo de calor turbulentos aparentes), las ecuaciones de flujo turbulento se reducen a las ecuaciones laminares. Podemos definir las difusividades de Eddy para la transferencia de momento $\varepsilon _{M}$ y transferencia de calor $\varepsilon _{H}$ como sigue.
El Número de Prandtl turbulento se define entonces como:
$\mathrm {Pr_{t}} ={\frac {\varepsilon _{M}}{\varepsilon _{H}}}$ :
| Símbolo | Nombre | Fórmula |
| $\mathrm {Pr_{t}}$ | Número de Prandtl turbulento | |
| $\varepsilon _{M}$ | Transferencia de momento | $-{\overline {u'v'}}=\varepsilon _{M}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}$ |
| $-{\overline {u'v'}}$ | Tensión de cizallamiento turbulenta aparente | $-{\overline {u'v'}}=\varepsilon _{M}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}$ |
| $\varepsilon _{H}$ | Transferencia de calor | $-{\overline {v'T'}}=\varepsilon _{H}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}$ |
| $-{\overline {v'T'}}$ | Flujo de calor turbulento aparente | $-{\overline {v'T'}}=\varepsilon _{H}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}$ |
Se ha demostrado que el número turbulento de Prandtl no es generalmente igual a la unidad (por ejemplo, Malhotra y Kang, 1984; Kays, 1994; McEligot y Taylor, 1996; y Churchill, 2002). Es una función importante del número de Prandtl molecular entre otros parámetros y la Analogía de Reynolds no es aplicable cuando el número de Prandtl molecular difiere significativamente de la unidad según lo determinado por Malhotra y Kang; y elaborado por McEligot y Taylor y Churchill.

## Aplicación

La ecuación de la capa límite de momento turbulento es: ${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu {\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}-{\overline {u'v'}})\right].$ La ecuación de la capa límite térmica turbulenta es: ${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha {\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}-{\overline {v'T'}}\right).$
Sustituyendo las difusividades de Eddy en el momento y los rendimientos de las ecuaciones térmicas se obtienen las siguientes ecuaciones:
* ${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu +\varepsilon _{M}){\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}\right]$
* ${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +\varepsilon _{H}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].$
Sustituyendo en la ecuación térmica —la segunda de las dos anteriores— el número turbulento de Prandtl, que es $\mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }={\frac {\varepsilon _{M}}{\varepsilon _{H}}}.$
Despejando ${\varepsilon _{H}}$ y sustituyéndola en esta segunda ecuación,
* ${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +{\frac {\varepsilon _{M}}{\mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }}}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].$

## Consecuencias

En el caso especial de que el número de Prandtl y el número turbulento de Prandtl sean iguales, como en la analogía de Reynolds, el perfil de velocidades y el perfil de temperaturas son idénticos. Esto simplifica enormemente la solución del problema de la transferencia de calor. Si el número de Prandtl y el número turbulento de Prandtl son diferentes de la unidad, entonces una solución es posible conociendo el número turbulento de Prandtl para poder resolver el momento y las ecuaciones térmicas.
En un caso general de turbulencia tridimensional, los conceptos de viscosidad y difusividad de eddy no son válidos y, en consecuencia, el turbulento número de Prandtl no tiene sentido.