# Primorial

El primorial de un número n se define como el producto de todos los números primos menores o iguales a él, y se indica como n#.
Los primoriales son números definidos en la demostración de la infinitud de los números primos de Euclides.
La demostración consiste en suponer un conjunto finito de números primos. Si se toma el producto de todos ellos y se añade uno, ese número debe ser un número primo ya que no es divisible por ninguno de los primos del producto de primos considerado, y obviamente no está en el conjunto considerado, o sea que es un nuevo número primo. Esto es una contradicción, de modo que, aplicando el principio de reducción al absurdo, concluimos que el conjunto inicial no puede ser finito

## Definición

Para un número natural $n$, su factorial primo $n\#$ se define como el producto de todos los números primos menores o iguales a $n$:
    $n\#=\prod _{p\ \mathrm {prim} }^{p\,\leq \,n}\!\!p$
o también como el primorial del número primo inmediatamente inferior, $p_{k}\#$:
    $p_{k}\#=\prod _{i=1}^{k}p_{i}$.
Ambas definiciones, diferentes pero consistentes entre sí, son fáciles de diferenciar por su notación matemática, pero no siempre se distinguen por el nombre dado a la función (tendiendo a hablarse indistintamente de factorial primo y de primorial).
    $\qquad \quad 7\#=\prod _{p\ \mathrm {prim} }^{p\,\leq \,7}\!\!p=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210$,
    $p_{4}\#=7\#=\prod _{i=1}^{4}p_{i}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210$.
A veces se hace una distinción entre el caso especial en el que $n$ es un número primo, y solo se define el primorial para este caso; mientras que el valor permanece indefinido para $n$ no primo.
En el caso de que $n\leq 1$ se tiene un producto vacío, y el valor del factorial primo y del primorial es entonces 1. Para los argumentos $n$ que no son primos, el primorial no tiene valor, pero la función factorial primo devuelve para $n$ el primorial del número primo inmediatamente más pequeño. En la práctica, ambos términos se utilizan mayoritariamente como sinónimos.

## Ejemplo

Para calcular el valor de $7\#$ (primorial de 7), primero se determinan todos los números primos menores o iguales a 7. Estos son 2, 3, 5 y 7. El producto de estos cuatro números primos produce $7\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210$. Para 9, por otro lado, no se puede calcular un primorial, pero sí se puede calcular su factorial primo: dado que 9 no es un número primo y el anterior número primo más pequeño es 7 y el siguiente número primo más grande es 11, se aplica que $7\#=8\#=9\#=10\#=210$.

## Propiedades

* Sean $p$ y $q$ dos números primos consecutivos. Entonces, para cada número natural $n$ con $p\leq n<q$:
       $n\#=p\#$
* El primorial tiene la propiedad siguiente:
       $n\#\leq 4^{n}$.
* Además:
       $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=e$
    Para $n<10^{11}$ los valores son más pequeños que $e$, pero con $n$ más grande los valores de la función exceden el límite de $e$ y luego oscilan infinitamente alrededor de $e$.
* Si $p_{k}$ es el número primo $k$, entonces $p_{k}\#$ tiene exactamente $2^{k}$ divisores.
    Por ejemplo, el número $2\#$ tiene dos divisores, $3\#$ tiene cuatro divisores, $5\#$ tiene ocho divisores y $97\#$ ya tiene $2^{25}$ divisores porque 97 es el número primo número 25.
* La suma de los inversos de los números primos converge a la constante:
       $\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over p_{k}\#}={1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 30}+{1 \over 210}+\ldots =0{,}7052301717918\ldots$
    La expansión de Engel (una fracción unitaria especial) de este número forma la secuencia de los números primos (véase (sucesión A064648 en OEIS)).
* El teorema de Euclides utiliza la expresión $p\#+1$ para demostrar que existen infinitos números primos.

## Sucesión de los primoriales

La sucesión de los primoriales crece muy rápidamente.
He aquí los cincuenta primeros números primos y sus primoriales: