# Números de Stirling

En matemáticas, los números de Stirling resuelven algunos problemas del área de combinatoria. Su nombre se debe a James Stirling, quien los popularizó en el siglo XVIII. Existen dos diferentes conjuntos de números con este nombre: números de Stirling de primera especie y números de Stirling de segunda especie. Fueron descubiertos nuevamente por Masanobu Saka en 1782, quien les otorgó su relevancia en combinatoria en su libro Sanpo-Gakkai (El mar del aprendizaje matemático).

## Notación

Existen diversas formas de denotar los números de Stirling. Los números de Stirling de primera especie se escriben con una s pequeña y los de segunda especie con una S grande (Abramowitz and Stegun usa una mayúscula o una S gótica). Las notaciones más comunes son:
* Los números de Stirling de primera especie ordinarios (signados) se denotan como:
   $s(n,k){\text{ (con signo)}}\,$
* Los números de Stirling de primera especie no signados se denotan como:
   $\left[{n \atop k}\right]=c(n,k)=|s(n,k)|{\text{ (sin signo)}}\,$
Los números de Stirling de segunda especie se denotan como:
   $\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)=S_{n}^{(k)}.\,$
La notación usando llaves y corchetes, en analogía a los coeficientes binomiales, fue introducida en 1935 por Jovan Karamata y promocionada por Donald Knuth; referida a veces como la notación de Karamata.

## Números de Stirling de primera especie

Los números de Stirling de primera especie son los coeficientes s(n,k) de la expansión:
   $(x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}\,$
donde $(x)_{n}$ (símbolo de Pochhammer) denota el factorial descendente,
   $(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)\,$
Nótese que (x)$_0$ = 1 porque es un producto vacío. En combinatoria también se usa la notación $x^{\underline {n\!}}$ para el factorial descedente, y $x^{\overline {n\!}}$ para el factorial ascendente.
Los números de Stirling de primera especie no signados:
   $c(n,k)=\left[{n \atop k}\right]=|s(n,k)|=(-1)^{n-k}s(n,k)$
(con una "s" minúscula), cuenta el número de permutaciones de n elementos con k ciclos disjuntos. Las siguiente tabla muestra algunos pocos números de Stirling de primera especie:
   ${\begin{array}{ccccccccccc}&&&&&~~1~~&&&&&\\&&&&-1&&~~1~~&&&&\\&&&2&&-3&&~~1~~&&&\\&&-6&&11&&-6&&~~1~~&&\\&24&&-50&&35&&-10&&~~1~~&\\-120&&274&&-225&&85&&-15&&~~1~~\\\end{array}}$
donde
   $s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)s(n-1,k)$

## Números de Stirling de segunda especie

El número de Stirling de segunda especie $S(n,k)$ de formas de dividir un conjunto de n elementos en k partes:
   $S(n,k)={\text{card}}\left(\{B|\ {\text{card}}(B)=k\land B\subset \mathbb {N} _{n}\}\right)$
donde el conjunto $\mathbb {N} _{n}=[1,n]\cap \mathbb {N}$ es el conjunto de los primeros n enteros. Otra notación para los números de Stirling de segunda especie son:
   $\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}:=S(n,k)$
A continuación se muestra una tabla de valores para los números de Stirling de segunda especie:
| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 3 | 1 |
| 4 | 0 | 1 | 7 | 6 | 1 |
| 5 | 0 | 1 | 15 | 25 | 10 | 1 |
| 6 | 0 | 1 | 31 | 90 | 65 | 15 | 1 |
| 7 | 0 | 1 | 63 | 301 | 350 | 140 | 21 | 1 |
| 8 | 0 | 1 | 127 | 966 | 1701 | 1050 | 266 | 28 | 1 |
| 9 | 0 | 1 | 255 | 3025 | 7770 | 6951 | 2646 | 462 | 36 | 1 |
donde:
   $S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k)\,$

## Fórmulas simétricas

Abramowitz y Stegun presentan las siguientes fórmulas simétricas que relacionan los número de Stirling de primera especie con los de segunda especie:
   $\left[{n \atop k}\right]=(-1)^{n-k}\sum _{j=0}^{n-k}(-1)^{j}{n-1+j \choose n-k+j}{2n-k \choose n-k-j}\left\{{n-k+j \atop j}\right\}$
Y
   $\left\{{n \atop k}\right\}=(-1)^{n-k}\sum _{j=0}^{n-k}(-1)^{j}{n-1+j \choose n-k+j}{2n-k \choose n-k-j}\left[{n-k+j \atop j}\right].$