# Teoremas de Hahn-Banach de vectores valorados

En matemáticas, específicamente en la teoría del análisis funcional y de los espacios de Hilbert, los teoremas de Hahn-Banach de vectores valorados son generalizaciones de los teoremas de Hahn–Banach a partir de funcionales lineales (que siempre se valoran en los números reales $\mathbb {R}$ o en los números complejos $\mathbb {C}$) sobre operadores lineales valorados en espacios vectoriales topológicos (EVTs).

## Definiciones

En X e Y habrá espacios vectoriales topológicos (EVTs) sobre el cuerpo $\mathbb {K}$; y L(X; Y) denotarán el espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales continuas de X a Y, donde si X e Y son espacios normados, entonces se dota a L(X; Y) con su norma operatoria canónica.

### Extensiones

Si M es un subespacio vectorial de un EVT X, entonces Y tiene la propiedad de extensión de M a X si cada aplicación lineal continua f : M → Y tiene una extensión lineal continua para todo X. Si X e Y son espacios vectoriales normados, entonces se dice que Y tiene la propiedad de extensión métrica de M a X si se puede elegir que esta extensión lineal continua tenga una norma igual a | f |.
Un EVT Y tiene la propiedad de extensión de todos los subespacios de X (a X) si para cada subespacio vectorial M de X, Y tiene la propiedad de extensión de M a X. Si X e Y son espacios vectoriales normados, entonces Y tiene la propiedad de extensión métrica de todo el subespacio de X (a X) si para cada subespacio vectorial M de X, Y tiene la propiedad de extensión métrica de M a X.
Un EVT Y tiene la propiedad de extensión si para cada espacio localmente convexo X y cada subespacio vectorial M de X, Y tiene la propiedad de extensión de M a X.
Un espacio de Banach Y tiene la propiedad de extensión métrica si para cada espacio de Banach X y cada subespacio vectorial M de X, Y tiene la propiedad de extensión métrica de M a X.
1-extensiones
Si M es un subespacio vectorial del espacio normado X sobre el cuerpo $\mathbb {K}$, entonces un espacio normado Y tiene la propiedad inmediata de 1-extensión de M a X si para cada x ∉ M, cada aplicación lineal continua f : M → Y tiene una extensión $F:M\oplus (\mathbb {K} x)\to Y$ tal que | f | = | F |. Se dice que Y tiene la propiedad inmediata de 1-extensión si Y tiene la propiedad inmediata de 1-extensión de M a X para cada espacio de Banach X y cada subespacio vectorial M de X.

### Espacios inyectivos

Un espacio localmente convexo Y es inyectivo si para cada espacio localmente convexo Z que contiene Y como un subespacio vectorial topológico, existe una proyección continua desde Z hasta Y.
Un espacio de Banach Y es 1-inyectivo o un espacio P$_1$ si para cada espacio de Banach Z contiene Y como un subespacio vectorial normado (es decir, la norma de Y es idéntica a la restricción habitual a Y de la norma de Z), existe una proyección continua de Z a Y que tiene la norma 1.

## Propiedades

Para que un EVT Y tenga la propiedad de extensión, debe ser completo (ya que debe ser posible extender la función identidad $\mathbf {1} :Y\to Y$ desde Y hasta la completación Z de Y; es decir, a la aplicación Z → Y).

### Existencia

Si f : M → Y es un aplicación lineal continua desde un subespacio vectorial M de X a un espacio de Hausdorff completo Y, entonces siempre existe una extensión lineal continua única de f desde M hasta el cierre de M en X. En consecuencia, basta con considerar únicamente aplicaciones de subespacios vectoriales cerrados a espacios completos de Hausdorff.

## Resultados

Cualquier espacio localmente convexo que tenga la propiedad de extensión es inyectivo. Si Y es un espacio de Banach inyectivo, entonces para cada espacio de Banach X, cada operador lineal continuo de un subespacio vectorial de X a Y tiene una extensión lineal continua a todo X.
En 1953, Alexander Grothendieck demostró que cualquier espacio de Banach con la propiedad de extensión es de dimensión finita, o no es separable.
* Teorema
* Supóngase que Y es un espacio de Banach sobre el campo $\mathbb {K} .$
* Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:
* Y es 1-inyectivo;
* Y tiene la propiedad de extensión métrica;
* Y tiene la propiedad inmediata de 1-extensión;
* Y tiene la propiedad de radio central;
* Y tiene la propiedad de intersección débil;
* Y tiene 1-complemento en cualquier espacio de Banach en el que esté inmersa una norma;
* Siempre que Y esté inmerso en una norma en un espacio de Banach $X$, la aplicación identidad $\mathbf {1} :Y\to Y$ se puede extender a una aplicación lineal continua de la norma $1$ a $X$;
* Y es linealmente isométrico a $C\left(T,\mathbb {K} ,\|{\dot}\|_{\infty }\right)$ para algunos espacios de Hausdorff compactos extremadamente desconectados T. Este espacio T es único excluidos homeomorfismos.
* Si además, Y es un espacio vectorial sobre los números reales, entonces se puede agregar a esta lista:
* Y tiene la propiedad de intersección binaria;
* Y es linealmente isométrico a un retículo vertorial completo con orden arquimediano con unidad de orden y dotado de la norma de unidad de orden.
* Teorema
* Supóngase que Y es un espacio de Banach real con la propiedad de extensión métrica.
* Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes:
* Y es reflexivo;
* Y es separable;
* Y es de dimensión finita;
* Y es linealmente isométrico a $C\left(T,\mathbb {K} ,\|\cdot \|_{\infty }\right),$ para algún espacio finito discreto $T$

## Ejemplos

Productos del cuerpo subyacente
Supóngase que $X$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb {K}$, donde $\mathbb {K}$ es $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$ y sea $T$ cualquier conjunto. Sea $Y:=\mathbb {K} ^{T}$, que es el producto de $\mathbb {K}$ tomado por $|T|$, o de manera equivalente, el conjunto de todas las funciones con valores $\mathbb {K}$ en T. Confiriendo a $Y$ su topología producto habitual, lo que lo convierte en un EVT de Hausdorff localmente convexo. Entonces, $Y$ tiene la propiedad de extensión.
Para cualquier conjunto $T$, el espacio Lp $\ell ^{\infty }(T)$ tiene tanto la propiedad de extensión como la propiedad de extensión métrica.