# Teorema de Turán

En teoría de grafos, El teorema de Turán es un resultado sobre en número de aristas en un grafo libre de $K_{r+1}$-clanes.
Un grafo con $n$ vértices que no contiene ningún $(r+1)$-clan puede ser formado de una partición del conjunto de vértices en $r$ partes de igual tamaño (o cuyo tamaño difiere en a lo más en un vértice), y conectando cualesquiera dos vértices pertenecientes a partes distintas. El grafo resultante es el grafo de Turán $T(n,r)$. El teorema de Turán establece que el grafo de Turán es aquel con el mayor número de aristas posible entre todos los grafos con $n$ vértices que son libres de $K_{r+1}$-clanes.
Los grafos de Turán fueron descubiertos y estudiados por el matemático húngaro Pál Turán en 1941; sin embargo, un caso especial de dicho teorema fue demostrado anteriormente por Mantel en 1907.

## Enunciado del Teorema

    Teorema de Turán. Sea $G$ un grafo en $n$ vértices, tal que $G$ es $K_{r+1}$-libre. Entonces, el número de aristas en G es a lo sumo
       ${\frac {r-1}{r}}\cdot {\frac {n^{2}}{2}}=\left(1-{\frac {1}{r}}\right)\cdot {\frac {n^{2}}{2}}.$
Una formulación equivalente es la siguiente:
    Teorema de Turán (segunda formulación) De entre todos los grafos simples que son libres de $(r+1)$-clanes, $T(n,r)$ tiene el máximo número de aristas posible.

## Prueba

Sea $G$ un grafo simple en $n$ vértices que no contiene $(r+1)$-clanes y que contiene el máximo número de aristas posibles.
Idea general Demostramos que un grafo en n vértices libre de $(r+1)$-clanes y con máximo número de ejes posibles tiene que ser un grafo de Turán. Por ejemplo, cuando $n=23$, para formar un grafo libre de triángulos, o 3-cliques, que maximiza el número de aristas, comenzamos por subdividir el conjunto de vértices en dos grupos $A$ y $B$ , donde $|A|=12$ y $|B|=11$. Colocamos una arista entre cualquier par vértices tales que uno está en $A$ y el otro está en $B$ pero no si ambos están en $A$ o en $B$. Por lo tanto, el número total de aristas es
$11\cdot 12=132\leq {\frac {23^{2}}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}\right)=132.25$
Observación 1: $G$ es un grafo completo $k$-bipartita, para algún $k<r+1$
Definimos la siguiente relación entre los vértices de $G$:
    $x\sim y$ sí y sólo si $x$ no está conectado a $y$
Para demostrar esta observación, es suficiente demostrar que $\sim$ es una relación de equivalencia, ya que esto implicaría que está relación particiona los vértices de $G$ en $k$ clases de equivalencia $S_{1},\ldots ,S_{k}$ tales que ningún par de vértices dentro de la misma clase están conectados, y cualesquiera dos vértices en clases diferentes están conectados. Más aún, el subgrafo que se obtendría de escoger un vértice de cada clase de equivalencia formaría un $k$-clan, implicando que $k<r+1$. La relación es reflexiva, ya que $G$ es una gráfica simple y ningún vértice está conectado consigo mismo. Además, es claramente simétrica, por lo que sólo queda por demostrar la propiedad de transitividad.
Con el fin de llegar a una contradicción, supongamos que dicha relación no es transitiva. Entonces, hay tres vértices $u,v,w$ en la gráfica tales que $u\sim v$ y $v\sim w$, pero $u\not \sim w$. Si denotamos $d(x)$ por el grado de un vértice $x$, nos encontramos en uno de los siguientes casos:
Caso 1: $d(v)<d(u){\text{ o }}d(v)<d(w)$
Sin pérdida de generalidad, $d(v)<d(u)$. Removemos al vértice $v$ y creamos una copia del vértice $u$ (que tenga los mismos vértices adyacentes que $u$), al que llamaremos $u'$. Llamemos a esta nueva gráfica $G'$. Ya que $u\not \sim u'$, la mayor clique en $G'$ no puede tener más vértices que la mayor clique en $G$. Sin embargo, $G'$ contiene más ejes ya que:
    $|E(G')|=|E(G)|-d(v)+d(u)>|E(G)|.$
lo cual contradice la maximalidad del número de aristas en $G$ como grafo $K_{r+1}$-libre.
Caso 2: $d(v)\geq d(u)$ y $d(v)\geq d(w)$
En este caso, removemos los vértices $u$ y $w$ y creamos dos copias del vértice $v$. Como en el caso 1, tenemos una contradicción, pues el grafo $G'$ que se obtiene de este proceso no puede contener $(r+1)$-clanes, pero tiene más aristas:
    $|E(G')|=|E(G)|-(d(u)+d(w)-1)+2d(v)\geq |E(G)|+1.$
Ya que en cualquiera de los dos casos arriba, $G'$ contiene más aristas que $G$, obtenemos una contradicción, por lo que $\sim$ es transitiva, y concluimos que es una relación de equivalencia.
Observación 2: El número de aristas en una gráfica $k$-partita completa es maximizado cuando cualesquiera dos de las partes en que el conjunto de vértices queda subdividido difieren en tamaño en a lo más 1.
Si $G$ fuera una gráfica completa $k$-partita, con partes $A$ y $B$ tales que $|A|>|B|+1$, entonces podemos aumentar el número de aristas en $G$ trasladando un vértice de la parte $A$ a la parte $B$, y actualizando sus vértices vecinos. Al hacer esto, el grafo pierde $|B|$ aristas, pero obtiene $|A|-1$. Entonces, en total el número de aristas aumentó ya que $|A|-1-|B|\geq 1$. Con esto demostramos la segunda observación.
Observación 3: $G$ tiene que ser un grafo de Turán.
Gracias a las Observaciones 1 y 2, la única posibilidad restante de que dicho grafo $G$ maximal no sea un grafo de Turán es que tenga menos de $r$ partes. Sin embargo, en dicho caso podemos también tratar a $G$ como un grafo $r$-partita con algunas de sus partes vacías, i.e. conteniendo 0 vértices, y aplicar el mismo razonamiento de la Observación 2.

## Teorema de Mantel

Este teorema es un caso especial del Teorema de Turán , cuando r = 2. Explícitamente, este es su enunciado:
    Teorema de Mantel. El número máximo de aristas en un grafo libre de triángulos es $\lfloor n^{2}/4\rfloor .$ (Mantel, 1907)
En otras palabras, para obtener un grafo libre de triángulos a partir del grafo completo $K_{n}$, se deben de eliminar esencialmente la mitad de las aristas.
Una versión más fuerte del Teorema de Mantel establece que cualquier grafo Hamiltoniano con al menos $n^{2}/4$ aristas tiene que ser el grafo completo bipartita $K_{n/2,n/2}$, o de lo contrario es pancíclico; no solo contiene un triángulo, sino que además contiene ciclos de todas las posibles longitudes $1,2,\cdots ,V(G)$ (Bondy 1971).
Otra versión fuerte del teorema de Mantel establece que para cualquier grafo en $n$ vértices, este puede ser cubierto por una colección de a lo sumo $\lfloor n^{2}/4\rfloor$ clanes de tamaño 2 o 3. Un corolario de este resultado es que el número de intersecciones es a lo sumo $\lfloor n^{2}/4\rfloor$ (Erdős, Goodman y Pósa, 1966).