# Grupo simétrico

En matemáticas, el grupo simétrico sobre un conjunto $X$, denotado por $S_{X},{\mathfrak {S}}_{X},\Sigma _{X},X!$ o $\operatorname {Sym} (X)$, es el grupo formado por las aplicaciones biyectivas de $X$ en sí mismo, bajo la operación de composición de funciones.
Cuando $X=\{1,2,\dots ,n\}$ es un conjunto finito, el grupo $S_{X}$ se denomina grupo de permutaciones de $n$ elementos, y se denota por $S_{n},{\mathfrak {S}}_{n},\Sigma _{n}$ o $\operatorname {Sym} (n)$. El orden de este grupo es n!, y no es abeliano para $n\geq 3$.
El teorema de Cayley afirma que todo grupo $G$ es isomorfo a un subgrupo de su grupo simétrico $S_{G}$. En el caso particular de que $G$ sea finito de orden $n$, entonces $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_{n}$.

## Composición de permutaciones

Hay diversas formas de representar una permutación. Podemos escribir una permutación σ en forma de matriz, situando en primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3..., y en la segunda las imágenes correspondientes σ(1), σ(2), σ(3),....
Dada dos permutaciones, su composición se realiza siguiendo las reglas usuales de composición de funciones:
| Si | $\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\3&2&4&6&5&1\\\end{pmatrix}}$ | y | $\tau ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\4&1&2&5&3&6\\\end{pmatrix}}$ |
su composición es: $\tau \circ \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&1&5&6&3&4\\\end{pmatrix}}$
El cálculo de la composición puede seguirse de un modo visual, recordando que al componer funciones se opera de derecha a izquierda:

## Presentación del grupo de permutaciones de n elementos
### Generadores

Recordemos que una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Toda permutación se descompone como producto de trasposiciones. De este modo, el conjunto de las trasposiciones forma un sistema generador de $S_{n}$. Pero es posible reducir aún más este sistema restringiéndonos a las trasposiciones de la forma $\tau _{i}=(i,i+1)$. En efecto, para i<j podemos descomponer cualquier trasposición en la forma:
    $(i,j)=(i,i+1)(i+1,i+2)\dots (j-2,j-1)(j-1,j)(j-2,j-1)\dots (i+1,i+2)(i,i+1)$

### Relaciones elementales

Estos generadores permiten definir una presentación del grupo simétrico, junto con las relaciones:
* ${\tau _{i}}^{2}=1\,$,
* $\tau _{i}\tau _{j}=\tau _{j}\tau _{i}\qquad {\mbox{si }}|j-i|>1\,$,
* ${(\tau _{i}\tau _{i+1}})^{3}=1.\,$.

### Otros generadores

Es posible igualmente usar como sistema de generadores:
* Las trasposiciones de la forma (1 i), con i>1.
* El conjunto formado por solo dos generadores:la trasposición σ=(1 2) y el ciclo c=(1 2 ... n).

## Clases de conjugación

Recordemos que toda permutación puede ser descrita como producto de ciclos disjuntos, y esta descomposición es única salvo el orden de los factores. Las clases de conjugación de S$_n$ se corresponden con la estructura de dicha descomposición en ciclos: dos permutaciones son conjugadas en S$_n$ si y sólo si se obtienen como composición del mismo número de ciclos disjuntos de las mismas longitudes. Por ejemplo, en S$_5$, (1 2 3)(4 5) y (1 4 3)(2 5) son conjugados; pero (1 2 3)(4 5) y (1 2)(4 5) no.
El grupo S$_3$, formado por las 6 permutaciones de tres elementos tiene tres clases de conjugación, listadas con sus números de elementos:
* La identidad (abc → abc) (1)
* Las permutaciones que intercambian dos elementos (abc → acb, abc → bac, abc → cba) (3)
* Las permutaciones cíclicas de los 3 elementos (abc → bca, abc → cab) (2)
El grupo S$_4$, consistente en las 24 permutaciones de 4 elementos tiene 5 clases de conjugación:
* La identidad (1)
* Las permutaciones que intercambian dos elementos (6)
* Las permutaciones que intercambian cíclicamente tres elementos (8)
* Las permutaciones cíclicas de los cuatro elementos (6)
* Las permutaciones que intercambian dos elementos entre sí, y también los dos restantes (3)
En general, cada clase de conjugación en S$_n$ se corresponderá con una partición entera de n y podrá ser representada gráficamente por un diagrama de Young. Así, por ejemplo, las cinco particiones de 4 se corresponderían con las cinco clases de conjugación listadas anteriormente:
* 1 + 1 + 1 + 1
* 2 + 1 + 1
* 3 + 1
* 4
* 2 + 2

## Representaciones del grupo

Si asociamos a cada permutación su matriz permutación obtenemos una representación que en general no es irreducible.