# Media generalizada

La media generalizada es una abstracción de los diversos tipos de media (geométrica, aritmética, armónica, etc). Se define como:
    $M_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{cases}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}&{\mbox{si}}\,m\not =0\\\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}&{\mbox{si}}\,m=0\end{cases}}$
En donde ciertos valores del parámetro m se corresponden con otro tipo de medias:
    $M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\max(x_{1},\dots ,x_{n})$
    $M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})=$ media cuadrática
    $M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=$ media aritmética
    $M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=$ media geométrica
    $M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})=$ media armónica
    $M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\min(x_{1},\dots ,x_{n})$

## Definición

Sea $x$ una variable discreta que asume los $n$ valores positivos
   $x_{1},x_{2},...x_{n}$
, el número
   $c_{\beta }=({\frac {x_{1}^{\beta }+x_{2}^{\beta }...+x_{n}^{\beta }}{n}})^{\frac {1}{\beta }}$
se denomina media potencial de grado $\beta$ de los números $x_{1},x_{2},...x_{n}$. En particular, el número
   $c_{1}={\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}$
es la media aritmética de los mencionados números; en especial, el número
   $c_{2}=({\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...x_{n}^{2}}{n}})^{\frac {1}{2}}$
se llama media cuadrática;, finalmente, el número
   $c_{-1}=({\frac {x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+...x_{n}^{-1}}{n}})^{-1}$
se denomina media armónica de los números $x_{1},x_{2},...x_{n}$.
Desde un punto de vista formal, no hay restricción para el valor del grado $\beta$, de modo que puede asumir cualquier valor real
   $-\infty <\beta <+\infty$
Y el valor de x debe ser positivo.

## Proposiciones
### Comparación con la media geométrica

Si $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ son números positivos y, a su vez, $k<0<l$ entonces se cumple
             $c_{k}\leq G\leq c_{l}$
donde G es la media geométrica; Obsérvese que la media potencial de grado negativo no excede a la media geométrica y que la media potencial de grado positivo no es menor que la media geométrica.

### Producto versus suma de n-ésinas potencias

Dado los números positivos x$_1$, x$_2$,..., x$_n$ se cumple que
             nx$_1$ x$_2$... x$_n$ ≤ x$_1$$^n$ + x$_2$$^n$ + x$_n$$^n$

### Monotonía de la media potencial respecto al grado

Si x$_1$, x$_2$,..., x$_n$ son números posiivos y m < p, se tiene C $_m$≤ C$_p$. Ocurre la igualdad C $_m$ = C$_p$ únicamente si
             x$_1$ = x$_2$ =... = x$_n$.

### Relación de orden entre diversas medias potenciales

Si se asume que la media geométrica g sea definida como "media potencial de grado cero" y se denota g = c$_0$, se tiene la siguiente sucesión
             c$_{-1}$ ≤ c$_0$ ≤ c$_1$ ≤ c$_2$

## Propiedades

    $M_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{j}(x_{1},\dots ,x_{n}){\mbox{ si }}\,i<j$
Para $x_{1},\dots ,x_{n}{\mbox{ fijos: }}M(m)=M_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})$ es continua respecto a $m\in \mathbb {R}$. Obsérvese que para valores de $m\leq 0$ la expresión solo tiene sentido si todos los $x_{i}\geq 0$.
El concepto de media generalizada también puede servir para definir otros más amplios.

## Aplicaciones
### Media geométrica

En el caso de dos pesos aproximados de una cosa, se aplica la media geométrica. Si hay dos pesadas para el mismo objeto que dan 1,085 kg y 0.995. Se halla el la media geométrica, g = 1.034, aproximado a gramos ( o milésimos)

### Radio promedio

Se conocen las medidas de los radios de 4 círculos que son 6, 8, 11 y 15 cm respectivamente. Hállese el radio de círculo cuya área sea el promedio de las áreas circulares propuestas.
          Sean r$_1$= 6, r$_2$ = 8, r$_3$ = 11 y r$_4$ = 15.
Se aplica la media cuadrática
             $r_{m}={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2}}{4}}}$
y para los valores respectivos resulta el valor del radio:
             $r_{m}=10.56$
lo que difiere de la media aritmética de los radios que sería
             $r_{a}=10$

### Medida promedial de arista

Se conocen las medidas de las aristas de 3 cubos que son 8, 10 y 12. Hállese la medida de un cubo que represente el volumen promedio de los cubos dados.
          Sean a$_1$ = 8, a$_2$ = 10 y a$_3$ = 12
En este caso se va a aplicar la media potencial de grado 3
             $a_{m}={\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}}{3}}}$
y con los valores propuestos resulta la medida de la arista:
          $a_{m}=10.26$
resultado diferente a la media aritmética de las medidas de las aristas que sería
          $a=10$

### Velocidad promedio

Si una canoa va en un río, aguas abajo, a la velocidad de $40\;\mathrm {km/h}$ y aguas arriba a la velocidad de $25\;\mathrm {km/h}$, hallar la velocidad promedio. En este caso aplicamos la fórmula del promedio armónico para los valores $v_{1}=40,v_{2}=25$,
$v_{p}=({\frac {v_{1}^{-1}+v_{2}^{-1}}{2}})^{-1}$
, para los datos dados, resulta $v_{p}=30{,}77\mathrm {~km/h}$ distinto al promedio aritmético ${\frac {40+25}{2}}=32{,}5\mathrm {~km/h}$.