# Integral de Wallis

Se llaman integrales de Wallis a un conjunto de integrales introducidas por Wallis, que conforman una sucesión de integrales. El término n-ésimo de la sucesión de integrales de Wallis viene dado por:
   $w_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx.$
La igualdad anterior se obtiene cambiando de variable en la integral, $y={\frac {\pi }{2}}-x$ y luego renombrando $y\$ en $x\$.

## Propiedades elementales

Los términos $\scriptstyle w_{n}$ son positivos no nulos porque las funciones $\scriptstyle f_{n}(x)=x\mapsto \sin ^{n}x$ lo son sobre el intervalo $\scriptstyle \left]0;{\frac {\pi }{2}}\right]$ . La sucesión es estrictamente decreciente porque sobre $\scriptstyle \left]0;{\frac {\pi }{2}}\right[$, sen x pertenece a ]0; 1[ y para todo número real r en ]0; 1[ la sucesión $n\mapsto r^{n}$ decrece estrictamente. Otro modo de ver es calcular la diferencia:
   $w_{n+1}-w_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n+1}x\,dx-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx$$=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin ^{n+1}x-\sin ^{n}x)\,dx$$=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x(\sin x-1)\,dx<0$
porque sobre $\scriptstyle \left]0;{\frac {\pi }{2}}\right[,\ \sin ^{n}x>0,{\mbox{ y }}\sin x-1<0$ luego la integral de una función continua negativa no nula es negativa. La función $\scriptstyle f_{n}$ tiende hacia 0 para todo x en $\scriptstyle \left[0;{\frac {\pi }{2}}\right[$ cuando n tiende hacia el infinito, luego, trabajando sobre el intervalo compacto $\scriptstyle \left[0;{\frac {\pi }{2}}\right]$:
   $\lim _{n\rightarrow +\infty }w_{n}=\lim _{n\rightarrow +\infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}f_{n}(x)\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\lim _{n\rightarrow +\infty }f_{n}(x)\,dx$$=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}0\,dx=0$

## Formas explícitas de las integrales de Wallis

Los dos primeros términos de la sucesión se calculan directamente:
       $w_{0}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}dx={\frac {\pi }{2}}$ y
       $w_{1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin x\,dx$$=[-\cos x]_{0}^{\frac {\pi }{2}}$$=-\cos {\frac {\pi }{2}}+\cos 0=1$
Los siguientes términos se calculan gracias a una relación de inducción que se va a obtener por integración por partes:
       $w_{n+2}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n+2}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\cdot \sin ^{2}x\,dx=$
       $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\cdot (1-\cos ^{2}x)\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\cdot \cos ^{2}x\,dx=w_{n}-u_{n}$
La integral $\scriptstyle u_{n}$ se obtiene por integración por partes. Primero se integra $\scriptstyle \sin ^{n}x\cdot \cos x\$ en:
   ${\frac {\sin ^{n+1}x}{n+1}}$
y se deriva $\scriptstyle \cos x$ en $\scriptstyle -\sin x$:
       $u_{n}=\left[{\frac {\sin ^{n+1}x}{n+1}}\cos x\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin ^{n+1}x}{n+1}}(-\sin x)\,dx$
       $=0+\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin ^{n+2}x}{n+2}}\,dx={\frac {w_{n+2}}{n+1}}$
Por tanto tenemos: $w_{n+2}=w_{n}-{\frac {w_{n+2}}{n+1}}$ lo que equivale a $(n+1)w_{n+2}=(n+1)w_{n}-w_{n+2}\$ es decir $(n+2)w_{n+2}=(n+1)w_{n}\$ luego $w_{n+2}={\frac {n+1}{n+2}}w_{n}$ lo que se escribe también ${\color {blue}w_{n}={\frac {n-1}{n}}w_{n-2}}$ Esta relación permite expresar los términos de rango impar en función de $u_{1}\$ y los de rango par en función de $u_{0}\$. En concreto:
Para n impar: $n=2k+1\,$ y $w_{n}={\frac {(n-1)(n-3)...4\times 2}{n(n-2)...3\times 1}}w_{1}$ $={\frac {(n-1){\color {red}^{2}}(n-3){\color {red}^{2}}...4{\color {red}^{2}}\times 2{\color {red}^{2}}}{n{\color {red}(n-1)}(n-2){\color {red}(n-3)}...3\times {\color {red}2\times }1}}$ $={\frac {{\color {red}(2k)(2k-2)...4\times 2{\color {red})^{2}}}{n!}}$ $={\frac {(({\color {OliveGreen}2}k)({\color {OliveGreen}2}(k-1))...({\color {OliveGreen}2}\times 2)({\color {OliveGreen}2}\times 1))^{2}}{n!}}$ $={\frac {({\color {OliveGreen}2^{k}}\times k!)^{2}}{n!}}$ $={\frac {2^{2k}\left(k!\right)^{2}}{n!}}$ $={\frac {2^{n-1}{\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}^{2}}{n!}}$ porque $k={\frac {n-1}{2}}$; donde n! y k! son las factoriales de n y k.
Para n par se procede de la misma manera, salvo que los factores pares aparecen en el denominador; se multiplica el numerador y el denominador por el denominador para hacer aparecer la factorial n! arriba y las potencias de 2 abajo: sin detallar tanto como anteriormente, tenemos:
$w_{n}={\frac {(n-1)(n-3)...3\times 1}{n(n-2)...4\times 2}}w_{0}$ $={\frac {n(n-1)(n-2)...3\times 2}{(n(n-2)...4\times 2)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}$ $={\frac {n!}{\left(2^{\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)!\right)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}$ $={\frac {n!\pi }{2^{n+1}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}^{2}}}$

## Aplicación a la fórmula de Stirling

La aplicación más notable de las integrales de Wallis es el cálculo de la constante que aparece en la fórmula de Stirling. Se procede así: Como ya se ha visto, la sucesión $\left(w_{n}\right)$ es decreciente, y $\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {w_{n+2}}{w_{n}}}=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {n+1}{n+2}}=1$.
Luego $w_{n+2}<w_{n+1}<w_{n}\,$$\Longrightarrow {\frac {w_{n+2}}{w_{n}}}<{\frac {w_{n+1}}{w_{n}}}<1$ lo que da $\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {w_{n+1}}{w_{n}}}=1$ es decir $w_{n+1}\sim w_{n}\,$
Tomando n par, tenemos
$w_{n}={\frac {n!\pi }{2^{n+1}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}^{2}}}\ \ {\mbox{ y }}\ \ w_{n+1}={\frac {2^{n}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}^{2}}{(n+1)!}}$
pues n+1 es impar.
Al multiplicar las fracciones se simplifican: $w_{n}\cdot w_{n+1}={\frac {n!\pi }{2^{n+1}}}\cdot {\frac {2^{n}}{(n+1)!}}={\frac {\pi }{2(n+1)}}\sim {\frac {\pi }{2n}}$ luego $w_{n}^{2}\sim {\frac {\pi }{2n}}$ y sacando la raíz: $w_{n}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2n}}}$
Ahora introduzcamos en $w_{n}\$ la equivalencia $n!\sim _{_{+\infty }}\,C{\sqrt {n}}\ n^{n}e^{-n}$.
$w_{n}\sim {\frac {C{\sqrt {n}}\ n^{n}e^{-n}\pi }{2^{n+1}{\left(C{\sqrt {\frac {n}{2}}}\ \left({\frac {n}{2}}\right)^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {n}{2}}}\right)}^{2}}}\ ={\frac {{\color {red}C}{\sqrt {n}}\ n^{n}{\color {blue}e^{-n}}\pi }{2^{n+1}{{\color {red}C^{2}}\ {\frac {n}{2}}\ \left({\frac {n}{2}}\right)^{n}{\color {blue}e^{-n}}}}}={\frac {{\sqrt {n}}\ {\color {Orange}n^{n}}\pi }{{\color {OliveGreen}2^{n+1}}{C\ {\frac {\color {Orange}n^{n+1}}{\color {OliveGreen}{2^{n+1}}}}}}}$
$=\ {\frac {{\sqrt {n}}\ \pi }{nC}}={\frac {\pi }{{\sqrt {n}}C}}$.
Comparando con el último equivalente de $w_{n}\$, se obtiene: $w_{n}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2n}}}\sim {\frac {\pi }{{\sqrt {n}}C}}$ luego ${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}={\frac {\pi }{C}}$ y finalmente: $C=\pi \ {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}={\sqrt {2\pi }}$.