# Elasticidad de sustitución

La Elasticidad de sustitución es la elasticidad de la relación de dos argumentos de una función de producción (o utilidad) con respecto a la relación de sus productos marginales (o utilidades). Mide la curvatura de una isocuanta y, por tanto, la posibilidad de sustitución entre factores (o bienes), es decir, qué tan fácil es sustituir un factor (o bien) por el otro.

## Definición matemática

Sea $U(c_{1},c_{2})$ la utilidad que el consumo genera. Entonces, la elasticidad de sustitución viene dada por:
    $E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(TMS_{12})}}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}{U_{c_{1}}/U_{c_{2}}}}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{1}/p_{2})}{p_{1}/p_{2}}}}$
donde (TMS) es la tasa marginal de sustitución. La última igualdad presenta $TSM_{12}=p_{1}/p_{2}$ que es una relación de las condiciones de primer orden para un problema de maximización de la utilidad de los consumidores. Intuitivamente estamos viendo cómo las decisiones relativas del consumidor sobre artículos de consumo cambian a medida que cambian los precios relativos.
Tenga en cuenta también que $E_{21}=E_{12}$:
    $E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {d\left(-\ln(c_{1}/c_{2})\right)}{d\left(-\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})\right)}}={\frac {d\ln(c_{1}/c_{2})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=E_{12}$
Una caracterización equivalente de la elasticidad de sustitución es:
    $E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{21})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}{U_{c_{2}}/U_{c_{1}}}}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{2}/p_{1})}{p_{2}/p_{1}}}}$
En los modelos de tiempo discreto, la elasticidad de sustitución del consumo entre períodos $t$ y $t+1$ se conoce como elasticidad de sustitución intertemporal.
Del mismo modo, si la función de producción es $f(x_{1},x_{2})$ entonces la elasticidad de sustitución es:
    $\sigma _{21}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln MRTS_{12}}}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}}={\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}{{\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}}}}}=-{\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}})}{{\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}}}}}$
donde $TMST$ es la tasa marginal de sustitución técnica .
La inversa de la elasticidad de sustitución es la elasticidad de la complementaria.

## Ejemplo

Considere la función de producción Cobb-Douglas $f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}x_{2}^{1-a}$.
La tasa marginal de sustitución técnica es
    $MRTS_{12}={\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}$
Es conveniente cambiar las anotaciones y denotar
    ${\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=\theta$
Reescribiendo esto, obtenemos
    ${\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {1-a}{a}}\theta$
Entonces, la elasticidad de sustitución es:
    $\sigma _{21}={\frac {d\ln({\frac {x_{2}}{x_{1}}})}{d\ln MRTS_{12}}}={\frac {d\ln({\frac {x_{2}}{x_{1}}})}{d\ln({\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}})}}={\frac {d\ln({\frac {1-a}{a}}\theta )}{d\ln(\theta )}}={\frac {d{\frac {1-a}{a}}\theta }{d\theta }}{\frac {\theta }{{\frac {1-a}{a}}\theta }}=1$

## Interpretación económica

Dada una asignación/combinación original y una sustitución específica en la asignación/combinación de la original, cuanto mayor sea la magnitud de la elasticidad de sustitución (la tasa marginal de elasticidad de sustitución de la asignación relativa) significa que es más probablemente que el agente vaya a sustituir. Siempre hay 2 lados en el mercado, aquí estamos hablando del receptor, ya que la elasticidad de preferencia es la del receptor.
La elasticidad de sustitución también rige el gasto relativo a los bienes y factores de producción, y como los cambios mueven los precios relativos. Sea $S_{21}$ indicar los gastos de $c_{2}$ relativa a que en $c_{1}$. Esto es:
    $S_{21}\equiv {\frac {p_{2}c_{2}}{p_{1}c_{1}}}$
A medida que el precio relativo $p_{2}/p_{1}$ cambia, cambios de gastos relativos de acuerdo a:
    ${\frac {dS_{21}}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}+{\frac {p_{2}}{p_{1}}}\cdot {\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left[1+{\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}\cdot {\frac {p_{2}/p_{1}}{c_{2}/c_{1}}}\right]={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left(1-E_{21}\right)$
Por lo tanto, si un aumento en el precio relativo de $c_{2}$ conduce a un aumento o disminución en el gasto relativo en $c_{2}$ depende de si la elasticidad de sustitución es menor o mayor que uno.
Intuitivamente, el efecto directo de un aumento en el precio relativo de los $c_{2}$ es aumentar el gasto en $c_{2}$, Ya que una cantidad dada de $c_{2}$ es más costoso. Por otro lado, en el supuesto de los bienes en cuestión no son los bienes Giffen , un aumento en el precio relativo de los $c_{2}$ conduce a una caída en la demanda relativa de $c_{2}$, De modo que la cantidad de $c_{2}$ comprar las caídas, lo que reduce el gasto en $c_{2}$.
Cuál de estos efectos domina depende de la magnitud de la elasticidad de sustitución. Cuando la elasticidad de sustitución es menor que uno, el primer efecto domina: demanda relativa de $c_{2}$ caídas, pero proporcionalmente menos que el aumento de su precio relativo, por lo que el gasto relativo aumenta. En este caso, los productos son complementarios brutos .
Por el contrario, cuando la elasticidad de sustitución es mayor que uno, el segundo efecto domina: la reducción de la cantidad relativa excede el aumento del precio relativo, por lo que el gasto relativo en $c_{2}$ cae. En este caso, los productos son sustitutivos brutos.
Tenga en cuenta que cuando la elasticidad de sustitución es exactamente una (como en el caso Cobb-Douglas), el gasto en $c_{2}$ relativa a $c_{1}$ es independiente de los precios relativos.