# Proceso de Galton-Watson

El proceso de Galton-Watson, nombrado así en honor del naturalista británico Francis Galton y su compatriota el matemático Henry William Watson, es un proceso estocástico utilizado para modelizar el desarrollo de una población de individuos autorreplicantes. También se ha denominado a veces proceso de Bienaymé-Galton-Watson por el francés Irénée-Jules Bienaymé, que había trabajado en el mismo problema anteriormente. Tiene su origen en la investigación estocástica sobre la extinción de los apellidos.

## Historia

En la sociedad victoriana producía preocupación la posibilidad de que los apellidos aristocráticos se estuviesen extinguiendo. En origen, Galton planteó la cuestión respecto a la probabilidad de un evento de ese tipo en la revista Educational Times en el año 1873, y el reverendo Henry William Watson respondió con una solución. En 1874 escribieron juntos un artículo titulado Sobre la probabilidad de extinción de las familias (Watson y Galton, 1875). Al parecer, Galton y Watson derivaron el proceso independientemente del trabajo previo de Bienaymé (Heyde y Seneta, 1977). Para una historia detallada, ver (Kendall, 1966) y (Kendall, 1975).
En un principio se aplicó únicamente al problema de la extinción de los apellidos. Sin embargo, pronto se empezó a emplear en el campo de la biología, para modelizar la extinción de los seres vivos. Hoy en día, el proceso de Galton-Watson se aplica en multitud de disciplinas, desde la teoría de colas hasta la propagación de virus informáticos y cartas de cadena.

## Modelo

Consideremos una población que evoluciona a lo largo de distintos periodos y donde cada periodo consiste en la duración de una generación. En el periodo t cada miembro i de la población da origen a una familia (sus descendientes), a continuación el individuo muere. El tamaño de cada familia está dado por una variable aleatoria $X_{i}$. Los descendientes formarán parte de la generación t+1 y el número total de estos descendientes determinará el tamaño de la población en dicho periodo. En todo momento las variables aleatorias $X_{i}$ satisfacen:
* Las variables $X_{i}$, i = 1, 2, ... son independientes y toman valores en $\lbrace 0,1,2,\dots \rbrace$.
* Al tiempo t+1 las variables $X_{i}$ son independientes de la cantidad de individuos al tiempo t.
* Las variables aleatorias $X_{i}$ tiene la misma distribución (están distribuidas idénticamente).
Si $Z_{n}$ denota el tamaño de la población al tiempo n, se sigue de los supuestos del modelo que $\lbrace Z_{n},n\geq 0\rbrace$ es una Cadena de Markov con matriz de transición dada por
   $P_{i,j}=f^{*i}(j),\qquad i,j\geq 0$
donde $f^{*i}$ denota la convolución de f consigo misma i veces.

## Probabilidad de extinción

Es natural preguntarse si en el modelo Galton-Watson dada una función de distribución $f$ la población llegará a cero en algún momento, si crecerá indefinidamente o si eventualmente se estabilizará en un valor finito positivo.
Tenemos que la probabilidad de extinción (es decir, la probabilidad de que $Z_{n}=0$ para algún $n$ finito) está dada por:
$\lim _{n\to {\mathcal {1}}}P(Z_{n}=0)=\eta$ ;
donde $\eta$ es la menor solución a la ecuación $G(t)=t$ y $G$ es la función generadora de $f$.

## Bibliografía

* Heyde, C.C.; Seneta, Eugene (1977), I.J. Bienaymé : statistical theory anticipated, Studies in the history of mathematics and physical sciences (en inglés) 3, Berlín: Springer Verlag, ISBN 3540902619 .
* Kendall, David G. (1966), «Branching Processes Since 1873», Journal of the London Mathematical Society 41 (1): 385-406, ISSN 0024-6107, doi:10.1112/jlms/s1-41.1.385 .
* Kendall, David G. (1975), «The Genealogy of Genealogy Branching Processes before (and after) 1873», Bulletin of the London Mathematical Society 7 (3): 225-253, ISSN 0024-6093, doi:10.1112/blms/7.3.225 .
* Watson, H. W.; Galton, Francis (1875), «On the Probability of the Extinction of Families», Journal of the Anthropological Institute of Great Britain 4: 138-144, ISSN 0959-5295 .
* Datos: Q462144
* Multimedia: Galton–Watson process / Q462144