# Función elíptica de Jacobi

Las funciones elípticas de Jacobi son funciones definidas a partir de la integral elíptica de primera especie y aparecen en diversos contextos, deben su nombre al matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi (1829).
En física aparecen por ejemplo las oscilaciones de un péndulo con grandes amplitudes sometido a la gravedad, o el movimiento de una peonza asimétrica.

## Definición

Considérese la integral elíptica incompleta de primera especie definida como:
   $u=F_{k}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dv}{\sqrt {(1-v^{2})(1-k^{2}v^{2})}}}$
La inversa de esta función es la primera de las tres funciones elípticas de Jacobi:
   ${\mbox{sn}}_{k}\ u=x=F_{k}^{-1}(u)$
Las otras dos funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta por las relaciones siguientes:
   ${\begin{cases}{\mbox{cn}}_{k}\ u={\sqrt {1-{\mbox{sn}}_{k}^{2}u}}={\sqrt {1-x^{2}}}\\{\mbox{dn}}_{k}\ u={\sqrt {1-k^{2}{\mbox{sn}}_{k}^{2}u}}={\sqrt {1-kx^{2}}}\end{cases}}$

## Propiedades

En primer lugar las funciones elípticas satisfacen un conjunto de identidades análogo al que satisfacen las funciones trigonométricas:
   ${\begin{cases}{\mbox{cn}}_{k}^{2}u+{\mbox{sn}}_{k}^{2}u=1\\{\mbox{dn}}_{k}^{2}u+k^{2}{\mbox{sn}}_{k}^{2}u=1\\{\mbox{dn}}_{k}^{2}u-k^{2}{\mbox{cn}}_{k}^{2}u=1-k^{2}\end{cases}}$
En cuanto a los valores particulares se tiene que para u = 0 las funciones valen:
       ${\mbox{cn}}_{k}(0)=1\qquad {\mbox{sn}}_{k}(0)=0\qquad {\mbox{dn}}_{k}(0)=1\;$
Las funciones elípticas pueden considerarse una generalización de las funciones trigonométricas; de hecho cuando k tiende a cero las funciones elípticas de Jacobi se reducen a las funciones trigonométricas convencionales:
       $\lim _{k\to 0}\ {\mbox{sn}}_{k}\ u=\sin u\qquad \lim _{k\to 0}\ {\mbox{cn}}_{k}\ u=\cos u\qquad \lim _{k\to 0}\ {\mbox{dn}}_{k}\ u=1$
Las respectivas series de Taylor vienen dadas por:
       ${\mbox{sn}}_{k}\ u=u-(1+k^{2}){\frac {u^{3}}{3!}}+(1+14k^{2}+k^{4}){\frac {u^{5}}{5!}}-(1+135k^{2}+135k^{4}+k^{6}){\frac {u^{7}}{7!}}+\dots$
       ${\mbox{cn}}_{k}\ u=1-{\frac {u^{2}}{2!}}+(1+k^{2}){\frac {u^{4}}{4!}}-(1+44k^{2}+16k^{4}){\frac {u^{6}}{6!}}+\dots$
       ${\mbox{dn}}_{k}\ u=1-k^{2}{\frac {u^{2}}{2!}}+k^{2}(4+k^{2}){\frac {u^{4}}{4!}}-k^{2}(16+44k^{2}+k^{4}){\frac {u^{7}}{7!}}+\dots$

### Doble periodicidad

Una propiedad interesante de las funciones elípticas de Jacobi es que son doblemente periódicas. Tienen un periodo real y otro período complejo:
       ${\mbox{sn}}_{k}\ u={\mbox{sn}}(u+4K)={\mbox{sn}}(u+2iK')$
       ${\mbox{cn}}_{k}\ u={\mbox{cn}}(u+4K)={\mbox{cn}}(u+2K+2iK')$
       ${\mbox{dn}}_{k}\ u={\mbox{dn}}(u+2K)={\mbox{dn}}(u+4iK')$
Donde los valores que definen los períodos viene dados por:
       $K={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{2n})^{2}(1+q^{2n-1})^{4}={\frac {\pi }{2}}(1+2q+2q^{4}+\dots )^{2}$
       $K'=-{\frac {\ln q}{2}}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{2n})^{2}(1+q^{2n-1})^{4}={\frac {\pi }{2}}(1+2q+2q^{4}+\dots )^{2}$
donde q es el nomo de las funciones $\theta _{i}(x,q)$ que se relaciona con el módulo de las funciones elípticas mediante la relación:
       $k=4q^{1/2}\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1+q^{2n}}{1+q^{2n-1}}}\right)^{4}$

### Relaciones entre las funciones elípticas

Algunas relaciones útiles para el "ángulo doble" son:
       ${\mbox{sn}}_{k}\ u={\sqrt {\frac {1-{\mbox{cn}}_{k}\ 2u}{1+{\mbox{dn}}_{k}\ 2u}}},\quad {\mbox{cn}}_{k}\ u={\sqrt {\frac {{\mbox{cn}}_{k}\ 2u+{\mbox{dn}}_{k}\ 2u}{1+{\mbox{dn}}_{k}\ 2u}}},\quad {\mbox{dn}}_{k}\ u={\sqrt {\frac {{\mbox{cn}}_{k}\ 2u+{\mbox{dn}}_{k}\ 2u}{1+{\mbox{cn}}_{k}\ 2u}}}$
Algunas relaciones que involucran a las funciones elípticas secundarias son:
       ${\mbox{ns}}_{k}\ u-{\mbox{cs}}_{k}\ u={\mbox{sn}}_{k}\ {\frac {u}{2}}{\mbox{dc}}_{k}\ {\frac {u}{2}}$
       ${\mbox{ns}}_{k}\ u+{\mbox{ds}}_{k}\ u={\mbox{ds}}_{k}\ {\frac {u}{2}}{\mbox{nc}}_{k}\ {\frac {u}{2}}$
       ${\mbox{ds}}_{k}\ u+{\mbox{cs}}_{k}\ u={\mbox{cn}}_{k}\ {\frac {u}{2}}{\mbox{ds}}_{k}\ {\frac {u}{2}}$

## Fórmulas de adición

Análogamente a las fórmulas de adición de ángulos para las fórmulas trigonométricas, para las funciones elípticas de Jacobi pueden establecerse las siguientes relaciones:
   ${\mbox{sn}}_{k}(u+v)={\frac {{\mbox{sn}}_{k}\ u\ {\mbox{cn}}_{k}\ v\ {\mbox{dn}}_{k}\ v\ +{\mbox{cn}}_{k}\ u\ {\mbox{sn}}_{k}\ v\ {\mbox{dn}}_{k}\ u}{1-k^{2}{\mbox{sn}}_{k}^{2}u\ {\mbox{sn}}_{k}^{2}v}}$
   ${\mbox{cn}}_{k}(u+v)={\frac {{\mbox{cn}}_{k}\ u\ {\mbox{cn}}_{k}\ v\ -{\mbox{sn}}_{k}\ u\ {\mbox{sn}}_{k}\ v\ {\mbox{dn}}_{k}\ u\ {\mbox{dn}}_{k}\ v}{1-k^{2}{\mbox{sn}}_{k}^{2}u\ {\mbox{sn}}_{k}^{2}v}}$
   ${\mbox{dn}}_{k}(u+v)={\frac {{\mbox{dn}}_{k}\ u\ {\mbox{dn}}_{k}\ v\ -k^{2}{\mbox{sn}}_{k}\ u\ {\mbox{sn}}_{k}\ v\ {\mbox{cn}}_{k}\ u\ {\mbox{cn}}_{k}\ v}{1-k^{2}{\mbox{sn}}_{k}^{2}u\ {\mbox{sn}}_{k}^{2}v}}$

## Funciones elípticas de Jacobi secundarias

A partir de los cocientes de las funciones de Jacobi anteriormente definidas es común definir otras funciones derivadas. En primer lugar se definen las funciones recíprocas:
   ${\mbox{ns}}\ u={\frac {1}{{\mbox{sn}}\ u}}\qquad {\mbox{nc}}\ u={\frac {1}{{\mbox{cn}}\ u}}\qquad {\mbox{nd}}_{k}\ u={\frac {1}{{\mbox{dn}}\ u}}$
En segundo lugar los cocientes:
   ${\mbox{sc}}_{k}\ u={\frac {{\mbox{sn}}_{k}\ u}{{\mbox{cn}}_{k}\ u}}\qquad {\mbox{sd}}_{k}\ u={\frac {{\mbox{sn}}_{k}\ u}{{\mbox{dn}}_{k}\ u}}\qquad {\mbox{cd}}_{k}\ u={\frac {{\mbox{cn}}_{k}\ u}{{\mbox{dn}}_{k}\ u}}$
Junto con sus respectivas funciones recíprocas:
   ${\mbox{cs}}_{k}\ u={\frac {{\mbox{cn}}_{k}\ u}{{\mbox{sn}}_{k}\ u}}\qquad {\mbox{ds}}_{k}\ u={\frac {{\mbox{dn}}_{k}\ u}{{\mbox{sn}}_{k}\ u}}\qquad {\mbox{dc}}_{k}\ u={\frac {{\mbox{dn}}_{k}\ u}{{\mbox{cn}}_{k}\ u}}$
Existen así un total de 12 funciones elípticas de Jacobi.