# Presentación de grupo

En álgebra abstracta, una presentación es una forma de definir un grupo mediante la especificación de dos conjuntos:
* S, conjunto de los generadores, de modo que todo elemento del grupo pueda expresarse como producto de elementos de S.
* R, conjunto de las relaciones, igualdades entre elementos del grupo.
La presentación de un grupo G suele escribirse en la forma $~\langle S\mid R\rangle$. En las relaciones en que el segundo miembro de la igualdad sea el elemento neutro del grupo, suele omitirse la igualdad y el elemento neutro. Por ejemplo:
    $~G=<a,b,c,d\mid b^{9},cbcbcb,cbc^{-1}b^{-1}>$
indica que el grupo G está generado por a, b, c, d ; y el conjunto de relaciones nos indica que b$^9$= e, es decir, b es de orden 9, cb es de orden 3, y que c y b conmutan.

## Introducción informal

Llamamos palabra a cualquier producto de elementos del grupo o de sus inversos. Por ejemplo, si x, y, z son elementos de un grupo G, entonces xy, z$^{-1}$xzz son palabras en el conjunto {x, y, z}.
Diremos que un grupo G está generado por un conjunto S, si es posible describir todo elemento de G como producto de la forma
    x$_1$$^{a1}$ x$_2$$^{a2}$ ... x$_n$$^{an}$
donde todos los x$_i$ son elementos de S, y cada a$_i$ es un número entero. Es decir, si todo elemento de G puede expresarse como una palabra en S.
Si G no es un grupo libre, muchos de estos productos serán iguales. Será necesario precisar todas estas relaciones a partir de un conjunto R de relaciones básicas de las que se deduzcan las demás,

## Definición

Para definir el concepto de presentación de un grupo, es necesario precisar que significa que una relación se satisface en un grupo dado. Para esto, se recurre a los grupos libres, a través de los cuales se puede representar una relación entre productos de generadores de un grupo como una palabra en el grupo libre. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de símbolos $~X$ y el grupo libre sobre $X$, representado por $F_{X}$. Si $p$ y $q$ son palabras del grupo libre $F_{X}$, entonces la relación $p=q$ puede representarse por $pq^{-1}=1$, y convenir en que el lado derecho siempre es $1$ nos permite fijarnos sólo en la palabra $pq^{-1}$. Así, tenemos que toda relación entre los elementos de un grupo pueden expresarse como una palabra de $F_{X}$ para cierto conjunto $X$. Puesto que los símbolos de $X$ no son los símbolos de un grupo $G$, es necesario "traducirlos" a elementos de $G$ mediante una función $f:X\longrightarrow G$, y así podemos decir que una relación de grupo con elementos en un conjunto $X$ se satisface en un grupo $G$ mediante una función $f$ si al interpretar la relación como un producto en $G$ (cambiando letras por su imagen por $f$) el resultado es $1_{G}$, el elemento neutro de $G$.
Dado un conjunto de relaciones $R\subset F_{X}$, siempre es posible definir un conjunto que satisface estas relaciones. Se trata del grupo cociente $F_{X}/N$, donde $N$ es el menor subgrupo normal de $F_{X}$ que contiene a $R$, llamado clausura normal de $R$ (la clausura normal existe, y no es más que el conjunto generado por la clase de conjugación $R^{G}=\{grg^{-1}\mid g\in G{\mbox{ y }}r\in R\}$). En efecto, pues $f$ se toma como la proyección canónica $F_{X}\longrightarrow F_{X}/N$, vemos que si $p\in R$ entonces $p\in N=\ker f$, y así la palabra $p$, al ser interpretada como producto en $F_{X}/N$, es igual al elemento neutro de $F_{X}/N$ y $p$ se satisface en $F_{X}/N$ para toda $p\in R$. Estas ideas son suficientes para dar la definición de una presentación de grupo:
       Se dice que un grupo $G$ tiene una presentación $~\langle X\mid R\rangle$, donde $X$ es un conjunto y $R$ es un conjunto de palabras del grupo libre $F_{X}$ de base $X$, si existe un isomorfismo $G\simeq F_{X}/N$, donde $N$ es la clausura normal de $R$.
Si $G$ tiene una presentación $~\langle X\mid R\rangle$, se puede considerar al conjunto $X$ como el generador de $G$, y entonces $G$ es el mayor grupo libre en $X$ en el que las relaciones $R$ se satisfacen. La formulación precisa de esta última afirmación es el teorema de von Dyck siguiente:
       Teorema (von Dyck): Sea $R$ un conjunto de palabras del grupo libre $F_{X}$ de base $X$, y $G$ un grupo donde se satisfacen todas las relaciones de $R$ a través de una aplicación $f:X\to G$. Si $G$ es generado por $f(X)$, entonces existe un único epimorfismo $\psi :F_{X}\longrightarrow G$ tal que $f=\psi \circ \eta$, donde $N$ es la clausura normal de $R$ en $F_{X}$ y $\eta :X\longrightarrow F_{X}/N$ es la restricción de la proyección canónica $\pi :F_{X}\longrightarrow F_{X}/N$ a $X$:
El teorema de von Dyck nos dice que, en efecto, un grupo $G$ que tiene una presentación $~\langle X\mid R\rangle$ cumple con la propiedad universal que caracteriza a los grupos libres, y así es libre con base $X$. Cuando $H$ es un grupo que también satisface las relaciones en $R$ y $H=\langle f(X)\rangle$ como en el teorema anterior, entonces hay un epimorfismo $\psi :G\longrightarrow H$ y así $H$ es isomorfo (por el primer teorema de isomorfía) a un grupo cociente de $G$ (a saber $G/\ker \psi$), y es en este sentido que el grupo $G$ es el mayor grupo libre en $X$ que satisface las relaciones en $R$.

## Ejemplos

* Un grupo cíclico de orden n que tiene un único generador (y es isomorfo a $\mathbb {Z} _{n}$), y una presentación
             $~\langle a\mid a^{n}\rangle$.
* Los números enteros $\mathbb {Z}$ tienen una presentación
             $~\langle a\mid \varnothing \rangle$,
donde el conjunto de relaciones es vacío, de hecho este grupo coincide con un grupo libre de un solo generador. En general,
             $~\langle X\mid \varnothing \rangle$
es la presentación del grupo libre $~F_{X}$.
* El grupo de quaterniones generalizados $Q_{n}$ tiene la presentación
             $~\langle g,h\mid g^{2^{n-1}}=1,hgh^{-1}=g^{-1},h^{2}=h^{2^{n-2}}\rangle$.
Se trata de un grupo de orden $~2^{n}$. Para $n=3$, esta presentación nos da el grupo conocido de quaterniones de orden 8.
* Otro ejemplo más complejo es la presentación
             $~\langle A,B\mid (ABA)^{4}=E,ABA=BAB\rangle$,
que determina un grupo que es isomorfo a $SL(2,\mathbb {Z} )$ un ejemplo de grupo lineal especial.

## Producto libre y producto directo

Si $G$ tiene una presentación $~\langle S\mid R\rangle$ y $H$ una presentación $~\langle T\mid Q\rangle$ con $S$ y $T$ disjuntos, entonces el producto libre $G\ast H$ tiene una presentación $~\langle S,T\mid R,Q\rangle$.
Si $G$ tiene una presentación $~\langle S\mid R\rangle$ y $H$ una presentación $~\langle T\mid Q\rangle$ con $S$ y $T$ disjuntos, entonces el producto directo de $G$ y $H$ tiene una presentación $~\langle S,T\mid R,Q,[S,T]\rangle$, donde $[S,T]$ representa las relaciones necesarias para que todo elemento de $S$ conmute con todo elemento de $T$.

## Bibliografía

* Lang, S. Algebra. (2002) Springer-Verlag, New York.
* Rotman, J. Advanced Modern Algebra. (2003) Prentice Hall.
* Grillet, P. Abstract Algebra. 2007 Springer Science, New York.
* Datos: Q915906