# Esfericón

El esfericón es un cuerpo geométrico que posee una única cara, dos aristas y cuatro vértices. Fue introducido por primera vez por el inventor de juegos y juguetes israelí David Haran Hirsch, quien lo patentó en Israel en 1980. Su nombre le fue dado por el inglés Colin Roberts, quien también lo exploró. En 1999 su descubrimiento llamó la atención de Ian Stewart que más tarde publicó un artículo sobre el mismo en la revista Scientific American.
La curva suave de la costura de una pelota de tenis queda determinada por el contacto de una esfera inscrita a un esfericón.

## Características

Una característica del esfericón es que rueda sobre una superficie plana. Al contrario de un cono que rueda describiendo círculos, el esfericón realiza un movimiento con balanceos que, en promedio, es recto. En un principio uno de los sectores cónicos entra en contacto con la superficie plana y luego el otro. Es por eso que a medida que progresa su movimiento se bambolea alternativamente de derecha a izquierda.
El esfericón posee una única superficie continua, lo que permite hacer rodar dos esfericones uno sobre otro indefinidamente. Cuatro esfericones ubicados en un bloque cúbico pueden rodar unos sobre otros de manera simultánea. También es posible hacer rodar cuatro esfericones de manera simultánea sobre la superficie de un quinto esfericón. Y ocho esfericones se pueden situar en la superficie de un esfericón de manera tal que cualquiera de los sólidos exteriores pueda rodar sobre la superficie del esfericón central.
La razón por la que el esfericón posee dichas propiedades geométricas es que la intersección de sus distintas líneas conforman un octaedro regular. El octaedro regular se relaciona de una manera particular con el cubo ya que es su poliedro dual: si se marca un punto en el punto medio de cada cara de un cubo y se une dichos puntos mediante segmentos se obtiene un octaedro regular. Y los cubos se caracterizan por la manera regular en que se pueden apilar para formar una capa plana o llenar un espacio tridimensional.

## Construcción

Para construir un esfericón basta con tomar un bicono con ápices de 90 grados de apertura y cortarlo a lo largo del plano que une ambos ápices. Luego se debe rotar 90 grados una de las mitades y pegar nuevamente ambas partes.
También es posible construir un esfericón a partir de una única pieza de papel cortando una figura compuesta de cuatro sectores de círculo idénticos unidos de forma tal que miren en direcciones opuestas. Para diseñar este molde es necesario calcular el ángulo de apertura de los sectores de círculo.

## Familia de los esfericones

El esfericón se construye a partir de un bicono cuyo corte con un plano pasante por su eje de simetría es un cuadrado. Es posible construir diferentes sólidos pertenecientes a la familia del esfericón y clasificarlos en función del tipo de corte que posee la figura de revolución a partir de la cual se los genera. La manera de construirlos es la siguiente:
* Se divide un polígono regular de n lados por la mitad. Dependiendo del polígono el corte puede pasar por dos vértices (V-V), por un vértice y el punto medio de un lado (V-L) o por el punto medio de dos lados (L-L).
* A partir de la mitad obtenida se construye un sólido de revolución haciendo girar dicha mitad alrededor del eje a lo largo del cual se realizó el corte.
* Se divide el sólido de revolución por la mitad mediante un corte que pasa por el eje de simetría.
* Se rota una de las mitades en sentido horario en $360/i$ grados, con $i=n,n-1,...,1$
En la siguiente tabla se detalla la secuencia de construcción de algunos cuerpos de la familia del esfericón, generados a partir de un polígono de n lados:
| Lados del polígono | Sólido de revolución | Giro [grados] | Caras | Caras continuas | Aristas | Aristas continuas | Cuerpo terminado |
| 3 | Cono con ápice de 60 grados | 120 | 1 | 0 | 1 | 0 | Semiesfericón |
| 4 | Bicono con ápices de 90 grados | 90 | 1 | 1 | 2 | 0 | Esfericón |
| 4 | Cilindro | 90 | 2 | 0 | 1 | 1 | |
| 5 | | 72 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
| 5 | | 144 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
| 6 | "Lápiz de dos puntas" | 60 | 1 | 1 | 2 | 0 | Hexaesfericón |
| 6 | | 60 | 2 | 0 | 1 | 1 | |
| 7 | | 51 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
| 7 | | 103 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
| 7 | | 154 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
| 8 | | 45 | 1 | 1 | 2 | 0 | Octaesfericón |
| 8 | | 90 | 2 | 2 | 3 | 1 | |
| 8 | "Lápiz de dos puntas planas" | 45 | 2 | 0 | 1 | 1 | |
| 8 | "Lápiz de dos puntas planas" | 90 | 3 | 1 | 2 | 2 | Esfericón truncado |
Los sólidos cuyo corte tiene un número impar de lados son diferentes a los que poseen un número par de lados. Poseen un único camino en su superficie, pero el mismo se ve truncado en los extremos: no es continuo como en el caso de los sólidos cuyo corte tiene un número par de lados y cuyo eje de rotación es vértice-vértice.