# Coeficientes Clebsch—Gordan

    Para los coeficientes vea el Anexo:Tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan.
En física, los coeficientes de Clebsch-Gordan o coeficientes CG son el conjunto de números que aparecen al acoplar momentos angulares en mecánica cuántica. El nombre deriva de los matemáticos alemanes Alfred Clebsch (1833-1872) y Paul Gordan (1837-1912), que resolvieron un problema equivalente en la teoría de invariantes.
En términos matemáticos, los coeficientes de CG se utilizan en teoría de grupos, en particular en los grupos de Lie para calcular un producto tensorial de representaciones irreducibles como suma directa de la descomposión del mismo en las distintas representaciones irreducibles.
La física emplea esta peculiaridad para descomponer un determinado estado con una determinada base del espacio de Hilbert y una determinada representación en una suma de estados en otra representación que pueda ser más útil, especialmente en el caso de estados en una determinada representación irreducible de SO(3) de rotaciones. En el artículo se utiliza la notación de Dirac.

## Definición formal

Sea $V_{1}$ un espacio vectorial con $2j_{1}+1$ dimensiones representado por los estados $|j_{1}m_{1}\rangle ,\{m_{1}=-j_{1},-j_{1}+1,\ldots j_{1}\}$ y $V_{2}$ otro espacio vectorial con $2j_{2}+1$ dimensiones, igualmente representado por los estados $|j_{2}m_{2}\rangle ,\{m_{2}=-j_{2},-j_{2}+1,\ldots j_{2}\}.$
El producto tensorial de estos espacios, $V_{12}\equiv V_{1}\otimes V_{2}$, tiene $(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)$ dimensiones. Este espacio se representa con la denominada base desacoplada: $|j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\rangle \equiv |j_{1}m_{1}\rangle \otimes |j_{2}m_{2}\rangle .$
Puede ser más útil emplear un espacio vectorial suma $V_{3}=V_{1}\oplus V_{2}$ (con $j_{3}=|j_{1}-j_{2}|,\ldots ,j_{1}+j_{2}$, $m_{3}=-j_{3},-j_{3}+1,\ldots j_{3}$ y $2j_{3}+1$ dimensiones) y utilizar una nueva base, denominada base acoplada, de forma que:
    $|j_{1}j_{2}j_{3}m_{3}\rangle =\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\rangle \langle j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle =\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle \otimes |j_{2}m_{2}\rangle C_{j_{3}m_{3}}^{m_{1}m_{2}}.$
Los coeficientes del desarrollo $C_{j_{3}m_{3}}^{m_{1}m_{2}}=\langle j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle$ se denominan coeficientes de Clebsch–Gordan.

### Notación en física nuclear

Utilizando una determinada representación, por ejemplo la representación de posiciones, y utilizando la notación de Einstein, podemos escribir:
    $\psi _{m_{3}}^{j_{1}j_{2}j_{3}}({\vec {r}})=\langle {\vec {r}}|j_{1}j_{2}j_{3}m_{3}\rangle =C_{m_{1}m_{2}m_{3}}^{j_{1}j_{2}j_{3}}\varphi _{m_{1}}^{j_{1}}\varphi _{m_{2}}^{j_{2}}=C_{m_{1}m_{2}m_{3}}^{j_{1}j_{2}j_{3}}\phi _{m_{1},m_{2}}^{j_{1}j_{2}}({\vec {r}}).$
También se suele utilizar emplear la siguiente notación:
    $\left[\phi ^{[j_{1}]}\otimes \phi ^{[j_{2}]}\right]^{[j_{3}]}=\sum _{m_{1},m_{2}}{C_{m_{1},m_{2},m_{3}}^{j_{1},j_{2},j_{3}}\phi _{j_{1},m_{1}}\phi _{j_{2},m_{2}}}.$

## Propiedades
### Ortogonalidad

La primera de las relaciones de ortogonalidad es:
    $\sum _{j_{3},m_{3}}{\langle m_{1}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle \langle j_{3}m_{3}|m'_{1}m'_{2}\rangle }=C_{j_{3}m_{3}}^{m_{1}m_{2}}C_{m'_{1}m'_{2}}^{j_{3}m_{3}}=\delta _{m'_{1}}^{m_{1}}\delta _{m'_{2}}^{m_{2}},$
y la segunda:
    $\sum _{m_{1},m_{2}}{\langle j_{3}m_{3}|m_{1}m_{2}\rangle \langle m_{1}m_{2}|j'_{3}m'_{3}\rangle }=C_{m_{1}m_{2}}^{j_{3}m_{3}}C_{j'_{3}m'_{3}}^{m_{1}m_{2}}=\delta _{j'_{3}}^{j_{3}}\delta _{m'_{3}}^{m_{3}}.$

### Simetría

    ${\begin{aligned}C_{m_{1},m_{2},m_{3}}^{j_{1},j_{2},j_{3}}=\\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-j_{3}}C_{-m_{1},-m_{2},-m_{3}}^{j_{1},j_{2},j_{3}}\\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-j_{3}}C_{m_{2},m_{1},m_{3}}^{j_{2},j_{1},j_{3}}\\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2j_{3}+1}{2j_{2}+1}}}C_{m_{1},-m_{3},-m_{2}}^{j_{1},j_{3},j_{2}}\\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2j_{3}+1}{2j_{1}+1}}}C_{-m_{3},m_{2},-m_{1}}^{j_{3},j_{2},j_{1}}\\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2j_{3}+1}{2j_{2}+1}}}C_{m_{3},-m_{1},m_{2}}^{j_{3},j_{1},j_{2}}\\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2j_{3}+1}{2j_{1}+1}}}C_{-m_{2},m_{3},m_{1}}^{j_{2},j_{3},j_{1}}\end{aligned}}$

### Véase

* Símbolos 3-jm
* Símbolos 6-j
* Símbolos 9-j
* Coeficiente W de Racah
* Armónicos esféricos
* Polinomios asociados de Legendre
* Momento angular
* Acoplo de momento angular
* Número cuántico de momento angular total
* Número cuántico azimutal
* Tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan
* Matriz D de Wigner