# Desarrollo de fractales mediante el método de Mandelbrot

El método de Mandelbrot : este método para desarrollar "objetos fractales" fue creado por Benoît Mandelbrot en la década de los años 70, mientras trabajaba en IBM. Consiste en construir, para cada punto c del plano complejo, una sucesión de números complejos z$_n$. Partiendo del punto z$_0$ = 0, se calcula la sucesión de forma iterativa mediante la fórmula z$_{n+1}$=F(z$_n$)+c, donde F es una función arbitraria previamente elegida. Cuando la sucesión iterativa está acotada, se asigna al punto c del plano complejo un color sólido (por ejemplo, el color negro). Si la sucesión diverge entonces se asigna al punto c un color progresivamente distinto, dependiendo de cuántas iteraciones hayan sido necesarias para detectar la divergencia de la sucesión.
El fractal derivado por este método cuando se toma la función F(z)=z$^2$ se llama conjunto de Mandelbrot.
En lo que sigue, en lugar de z$_{n+1}$=F(z$_n$)+c se utilizará la notación Z=F(Z)+C, como si se tratara de una asignación en algún lenguaje de programación.

## Z = Z$^m$ + C

A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias de Z = Z$^m$ + C, según el método de Mandelbrot.
Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot: Z = Z$^m$ + C
* Z = Z$^2$ + CConjunto de Mandelbrot
* Z = Z$^3$ + C
* Z = Z$^4$ + C
* Z = Z$^5$ + C
* Z = Z$^6$ + C
* Z = Z$^7$ + C
* Z = Z$^8$ + C
* Z = Z$^9$ + C
* Z = Z$^{10}$ + C
* Z = Z$^{11}$ + C
* Z = Z$^{12}$ + C
* Z = Z$^{12}$ + C x 8
* Z = Z$^{20}$ + C
* Z = Z$^{20}$ + C x 10
* Z = Z$^{48}$ + C
* Z = Z$^{48}$ + C x 20
* Z = Z$^{96}$ + C
* Z = Z$^{96}$ + C x 40
Tal y como se puede ver en los ejemplos representados, el número de lóbulos es L = m - 1

### Un breve viaje a las profundidades del fractal de Mandelbrot Z = Z$^2$ + C

A continuación vamos a adentrarnos en el fractal clásico de Mandelbrot, utilizando el microscopio de altísima resolución que nos proporciona el cálculo iterativo. Todas las ampliaciones vienen precedidas de una imagen del fractal a escala 1:1 en donde podemos apreciar la zona ampliada.

#### Ampliación zona 1

Centro de coordenadas : Cx = 0.291811 , Cy = 0.0144686
* x 1
* x 732

#### Ampliación zona 2

Centro de coordenadas : Cx = -0.165643411 , Cy = 0.656685704
* x 1
* x 3855

#### Ampliación zona 3

Centro de coordenadas : Cx = -0.755625 , Cy = 0.06328125
* x 1
* x 180

#### Ampliación zona 4

Centro de coordenadas : Cx = -0,1758752481899, Cy = 1,075392007
A continuación bajaremos a gran profundidad, con una ampliación de más de 2 millones y con un número máximo de 6000 iteraciones por pixel !
* x 1
* x 2,369,369

#### Ampliación zona XX

Centro de coordenadas : Cx = 0,02816835288421, Cy = 0,63790834667330
Ahora nos adentraremos en un sitio con extrañas formas y colores, pero donde pueden apreciarse perfectamente las formas del fractal de Mandelbrot...
* x 5,598

## Z = Z$^{-m}$ + C

Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot, con potencias negativas de Z.
* Z = Z $^{-2}$ + C
* Z = Z $^{-3}$ + C
* Z = Z $^{-4}$ + C
* Z = Z $^{-5}$ + C

## Z = Z$^p$ / (1 + Z$^q$) + C

* Z = Z$^2$ / (1 + Z) + C
* Z = Z$^3$ / (1 + Z$^2$) + C
* Z = Z$^3$ / (1 + Z) + C
* Z = Z$^3$ / (1 + Z + Z$^2$) + C
* Z = [(1 + Z) / Z$^2$] + C

## Z = Z$^m$ + C$^p$

Pero, ¿ qué pasa cuando hacemos Z = Z$^m$ + C$^p$ ?. Tal y como se puede ver en los siguientes ejemplos, el número de lóbulos es L = (m - 1) * p
* Z = Z$^2$ + C$^2$ L = (2 - 1)* 2 = 2
* Z = Z$^2$ + C$^3$ L = (2 - 1)* 3 = 3
* Z = Z$^2$+C$^6$ - 1 L = (2 - 1)* 6 = 6
* Z = Z$^3$ + C$^2$ L = (3 - 1)* 2 = 4
* Z = Z$^3$ + C$^3$ L = (3 - 1)* 3 = 6
* Z = Z$^4$ + C$^4$ L = (4 - 1)* 4 = 12

## Z = Z$^m$ + Z + C

A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias de Z = Z$^m$ + Z + C, según el método de Mandelbrot.
* Z = Z$^2$ + Z + C
* Z = Z$^3$ + Z + C
* Z = Z$^4$ + Z + C
* Z = Z$^9$ + Z + C

## Z = Z$^m$ - Z + C

A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias de Z = Z$^m$ - Z + C, según el método de Mandelbrot.
* Z = Z$^3$ - Z + C
* Z = Z$^4$ - Z + C
* Z = Z$^5$ - Z + C
* Z = Z$^9$ - Z + C

## Z = Z$^m$ + 1 / C$^p$

También se puede transformar cada punto del plano complejo, de acuerdo a una función arbitraria, antes de ser sumado a la función iterativa, según la siguiente ecuación Z = Z$^m$ + F(C) . Veamos que pasa cuando la transformación es del tipo:F(C) = 1 / C
Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot: Z = Z$^m$ + 1/C, donde cada punto C del plano complejo se transforma en 1 / C, antes de entrar en la iteración de la potencia de Z. Zo = (0,0i). El número de vértices es V = (m - 1)
* Z = Z$^2$ + 1/C
* Z = Z$^3$ + 1/C
* Z = Z$^4$ + 1/C
* Z = Z$^5$ + 1/C
* Z = Z$^6$ + 1/C
* Z = Z$^7$ + 1/C
Pero, qué pasa cuándo Z = Z$^m$ + (1 / C$^2$) ?. Pues algo muy parecido a lo que veíamos antes, ahora el número de vértices es V = (m - 1) * p
* Z = Z$^2$ + 1 / C$^2$ V = (2 - 1)* 2 = 2
* Z = Z$^3$ + 1 / C$^2$ V = (3 - 1)* 2 = 4
* Z = Z$^4$ + 1 / C$^2$ V = (4 - 1)* 2 = 6
* Z = Z$^5$ + 1 / C$^2$ V = (5 - 1)* 2 = 8
* Z = Z$^6$ + 1 / C$^2$ V = (6 - 1)* 2 = 10
* Z = Z$^7$ + 1 / C$^2$ V = (7 - 1)* 2 = 12
* Z = Z$^2$ + 1 / C$^3$ V = (2 - 1)* 3 = 3
* Z = Z$^2$ + 1 / (C$^3$+1) V = (2 - 1)* 3 = 3

### Integrando en el mismo fractal una función de C y su inversa Z = Z$^m$ + C i Z = Z$^m$ + 1/C

La zona en color BLANCO intenso es el área de la intersección de los 2 sets.
* Z = Z$^2$ + 1 / C Z = Z$^2$ + C
* Z = Z$^2$ + 1 / C Z = Z$^3$ + C
* Z = Z$^3$ + 1 / C Z = Z$^2$ + C
* Z = Z$^3$ + 1 / C Z = Z$^3$ + C
* Z = Z$^4$ + 1 / C Z = Z$^4$ + C
* Z = Z$^4$ + 1 / C Z = Z$^3$ + C

## Z = ( Z$^m$ / C$^m$ ) + C

* Z = (Z$^4$ / C$^4$) + C
* Z = (Z$^8$ / C$^8$) + C

## Z = Z$^m$ + C + C$^p$ + 1/ C + 1/ C$^q$

También podemos añadir más sumandos a la función Z$^m$, combinando C, C$^p$, 1/C y 1/C$^q$ en grupos de 2, 3 o 4, veamos que sucede si agrupamos C$^2$, 1/C y 1/C$^2$ de 2,3 o 4 formas ..:
* Z = Z$^2$ + C + C$^2$
* Z = Z$^2$ + C + 1/C
* Z = Z$^2$ + C + 1/C$^2$
* Z = Z$^2$ + C$^2$+ 1/C
* Z = Z$^2$ + C$^2$ + 1/C$^2$
* Z = Z$^2$ + 1/C + 1/ C$^2$
* Z = Z$^2$ + C + C$^2$ + 1/C
* Z = Z$^2$ + C + C$^2$ + 1/C$^2$
* Z = Z$^2$ + C + 1/C + 1/C$^2$
* Z = Z$^2$ + C$^2$ + 1/C + 1/C$^2$
* Z = Z$^2$ + C + C$^2$ + 1/C + 1/C$^2$
A continuación más combinaciones con otros exponentes:
* Z = Z$^2$ + C + 1/ C$^3$

## Z = Z$^m$ + polinomios de C

Podemos combinar diferentes potencias de C y/o Z sumándolas a Z$^m$ , veamos qué sucede:
* Z=Z$^2$ + C /(C$^2$+1) + C Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + C /(C$^2$-1) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + C$^2$ /(C$^4$ + 0.1) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + C$^2$ / (C$^4$ - 0.25) Zo = (0,0i)

### El caso de la función: Z=Z$^2$ + 1 /(C$^m$-1)

* Z=Z$^2$ + 1 /(C$^2$-1) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + 1 /(C$^3$-1) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + 1 /(C$^4$-1) Zo = (0,0i)

## Z = Z$^m$ + polinomios mixtos de C i Z

Podemos sumar a Z$^m$ polinomios mixtos de C i Z , veamos qué sucede:

### Z = Z$^2$ + C/ (Z$^2$ + k)

* Z=Z$^2$ + C / (Z$^2$- 0.001) Zo = (0,0i) x 1000
* Z=Z$^2$ + C / (Z$^2$- 0.01) Zo = (0,0i) x 100
* Z=Z$^2$ + C / (Z$^2$- 0.1) Zo = (0,0i) x 10
* Z=Z$^2$ + C / (Z$^2$+ 0.1) Zo = (0,0i) x 10
* Z=Z$^2$ + C / (Z$^2$+ 0.01) Zo = (0,0i) x 100
* Z=Z$^2$ + C / (Z$^2$+ 0.001) Zo = (0,0i) x 24,900

### Z = Z$^m$ + C$^p$/Z$^q$ + C

* Z=Z$^2$ + (C$^2$ /Z$^2$) + C Zo = (0,0i) m=2, p=2,q=2
* Z=Z$^2$ + (C$^4$ /Z$^2$) + C Zo = (0,0i) m=2,p=4,q=2
* Z=Z$^2$ + (C$^4$ /Z$^4$) + C Zo = (0,0i) m=2, p=4,q=4
* Z=Z$^2$ + (C$^6$ /Z$^6$) + C Zo = (0,0i) m=2, p=6,q=6
* Z=Z$^4$ + (C$^2$ /Z$^4$) + C Zo = (0,0i) m=4, p=2,q=4

### Z= [(Z$^m$+C-1) / (m*Z$^{m-1}$+C- m)]$^2$

* Z= [(Z$^2$+C-1) / (2*Z+C-2)]$^2$ Zo = (0,0i) MAGNET
* Z= [(Z$^2$+C$^2$-1) / (2*Z+C$^2$ -2)]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z$^2$+C$^3$-1) / (2*Z+C$^3$ -2)]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z$^3$+C-1) / (3*Z$^2$+C-3)]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z$^4$+C-1) / (4*Z$^3$+C-4)]$^2$ Zo = (0,0i)

### Z= [(Z + C$^m$-1) / C$^m$]$^2$

* Z= [(Z + C -1) / C]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^2$-1) / C$^2$]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^3$-1) / C$^3$]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^4$-1) / C$^4$]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^5$-1) / C$^5$]$^2$ Zo = (0,0i)

### Z= [(Z + C$^m$-1) / C$^m$]$^3$

* Z= [(Z + C-1) / C]$^3$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^2$-1) / C$^2$]$^3$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^3$-1) / C$^3$]$^3$ Zo = (0,0i)

### Z= [(Z + C$^m$+1) / (C$^m$ - 1)]$^2$

* Z= [(Z + C +1) / (C -1]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^2$ +1) / (C$^2$ -1]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^3$ +1) / (C$^3$ -1]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^4$ +1) / (C$^4$ -1)]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^5$ +1) / (C$^5$ -1)]$^2$ Zo = (0,0i)

### Z= [(Z + C$^m$-1) / (C$^m$ + 1)]$^2$

* Z= [(Z + C -1) / (C +1]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^2$ -1) / (C$^2$ +1]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^3$ -1) / (C$^3$ +1]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^4$ -1) / (C$^4$ +1)]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^5$ -1) / (C$^5$ +1)]$^2$ Zo = (0,0i)

### Otras combinaciones de Z y C

* Z=Z$^2$ + C$^2$ /(Z$^2$+C) + C Zo = (0,0i)

## Más funciones de variable compleja

Pero existe una amplia variedad de funciones, en el dominio de los números complejos, que pueden ser iteradas según el método de Mandelbrot.
Voy a citar aquí algunos ejemplos, explicitando la parte real y la imaginaria:
Exp(Z) = [ Exp(x) * Cos(x), Exp(x) * Sin(y)i ]
Sin(Z) = [ Sin(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
Cos(Z) = [ Cos(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2) , -Sin(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
SinH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2) , Sin(Y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]
CosH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2) , Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]
LN(Z) = [ 0.5 * Log(x * x + y * y) , Atn(y / x)i ]
SQR(Z) = [ (x * x + y * y)^0.25 * Cos(0.5 * Atn(y/x)) , (x * x + y * y)^0.25 * Sin(0.5 * Atn(y/x)) i ]
ATN(Z) = [PI / 4 - (1 / 2) * Atn((1 - x^2 - y^2) / (2 * x)), -(1 / 4) * Log((1 - x^2 - y^2) ^2 + 4 * x^2) + (1 / 2) * Log((1 + y) ^2 + x^2) i]

### Z = Z$^m$ + F(C)

A continuación algunos ejemplos de fractales por iteración de Z$^2$, pero transformando C según las funciones descritas anteriormente:
* Z=Z$^2$ + Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + 1/Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + Cos(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + 1/Cos(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + SinH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + 1/SinH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + CosH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + 1/CosH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + Tan(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + CoTan(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + TanH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + CoTanH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + Sin(C)/CosH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + CosH(C)/Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + Cos(C)/SinH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + SinH(C)/Cos(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + Sin(C)/SinH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + SinH(C)/Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + Cos(C)/CosH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + CosH(C)/Cos(C) Zo = (0,0i)
* Z= Z$^2$ + ATan(C) Zo = (0,0i)
* Z= -0.5*Z$^2$ + Sqr(C) Zo = (0,0i)
* Z= -0.5*Z$^3$ + Sqr(C) Zo = (0,0i)

## Fractales por iteración de Exp(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: Exp(Z) = [ Exp(x) * Cos(y), Exp(x) * Sin(y)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:

### Como función iterativa

* Z = Exp(Z)+ C Zo = (0,0i)
* Z = Z * Exp(Z)+ C Zo = (0,0i)

### Como función transformadora de C

* Z = Z$^2$ + Exp(C) Zo = (0,0i)

### Como función iterativa i transformadora de C, simultáneamente

* Z = Exp(C$^3$/Z$^3$) Zo = (0,0i)
* Z = Exp[(Z$^2$-1.00001*Z)/Sqr(C$^3$)] Zo = (0,0i)
* Z = Exp[(Z$^2$- 1.00001*Z)/C$^3$] Zo = (0,0i)

#### El caso de la función Z = Exp[(Z$^2$ + k * Z) / F(C$^m$)]

Esta función es muy sensible a Zo, y también al coeficiente (k) que multiplica a Z. Veamos algunos ejemplos interesantes:
* Z = Exp[(Z$^2$+ k*Z)/ Sqr(C$^3$)] Zo = (1,1i) k = 1
* Z = Exp[(Z$^2$+ k*Z)/ Sqr(C$^3$)] Zo = (1,1i) k = -0.8
* Z = Exp[(Z$^2$+ k*Z)/ Sqr(C$^7$)] Zo = (1,1i) k = 0.0
* Z = Exp[(Z$^2$+ k*Z)/ Sqr(C$^7$)] Zo = (1,1i) k = -0.8
* Z = Exp[(Z$^2$+ k*Z)/ LN(C$^9$)] Zo = (1,1i) k = 3.0

#### El caso de la función Z$_{n+1}$ = Exp(Z$_n$ / C $^m$)

* Z = Exp(Z /C) Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z /C$^2$) Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z /C$^3$) Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z /C$^4$) Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z /C$^5$) Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z /C$^6$) Zo = (0,0i)

#### El caso de la función Z$_{n+1}$ = Exp(Z$_n$ / C $^m$) + C $^p$

* Z = Exp(Z /C$^6$) + C $^3$ Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z /C$^8$) + C $^4$ Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z /C$^8$) + C $^2$ Zo = (0,0i)

#### El caso de la función Z$_{n+1}$ = Exp(Z$_n$$^p$ / C $^p$)

* Z = Exp(Z$^3$/C$^3$) Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z$^4$/C$^4$) Zo = (0,0i)

#### El caso de la función Z$_{n+1}$ = Z$_n$$^q$ * Exp(Z$_n$ / C $^p$) + C

* Z = Z$^2$ * Exp(Z/C)+ C Zo = (0,0i)
* Z = Z$^3$ * Exp(Z/C)+ C Zo = (0,0i)
* Z = Z$^4$ * Exp(Z/C)+ C Zo = (0,0i)
* Z = Z$^5$ * Exp(Z/C)+ C Zo = (0,0i)

#### El caso de la función Z$_{n+1}$ = Exp[ Z$_n$$^2$ / (C $^m$ + C $^p$) ]

Aparece un número de lóbulos centrales = m, y un número de aristas exteriores = p, siendo m<p.
* Z = Exp[Z$^2$ / ( C$^5$ + C )] Zo = (0,0i)
* Z = Exp[Z$^2$ / ( C$^6$ + C$^3$ )] Zo = (0,0i)
* Z = Exp[Z$^2$ / ( C$^8$ + C$^4$ )] Zo = (0,0i)

#### El caso de la función Z$_{n+1}$ = Z$_n$$^m$ * Exp[ Cos(Z$_n$)] + 1/C

Aparecen un número de aristas = m.
* Z = Z$^2$* Exp[ Cos(Z)] + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = Z$^3$* Exp[ Cos(Z)] + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = Z$^4$* Exp[ Cos(Z)] + 1/C Zo = (0,0i)

## Fractales per iteración de Sin(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: Sin(Z) = [ Sin(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de los puntos C = (Cx,Cyi), simultáneamente:

### Como función transformadora de C

* Z = Z$^2$+Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z = Z$^3$+Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z = Z$^4$+Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z = Z$^5$+Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z = Z$^6$+Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z = Z$^2$+Sin(C$^2$) Zo = (0,0i)
* Z = Z$^3$+Sin(C$^2$) Zo = (0,0i)
* Z = Z$^4$+Sin(C$^2$) Zo = (0,0i)

### Como función iterativa y transformadora de C, simultáneamente

* Z = Sin(CosH(Z)*C$^3$) Zo = (0,0i)

#### El caso de la función Z$_{n+1}$ = Sin(Z$_n$ * C $^m$)

* Z = Sin(Z*C$^{0.5}$) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z*C) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z*C$^2$) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z*C$^3$) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z*C$^{10}$) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z$^{0.5}$*C$^3$) Zo = (1,0i)

#### El caso de la función Z$_{n+1}$ = Sin(Z$_n$ / C $^m$)

* Z = Sin(Z/C$^{0.5}$) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z/C) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z/C$^2$) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z/C$^3$) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z/C$^{10}$) Zo = (1,0i)

## Fractales por iteración de Cos(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: ' Cos(Z) = [ Cos(x)*((Exp(y)+Exp(-y)) / 2), -Sin(x)*((Exp(y)-Exp(-y))/2)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente

### Como función iterativa

* Z = Cos(Z)+ 1/C Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z)+ LN(C) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z$^3$)+ 1/C Zo = (0.2,0.3i)

### Como función transformadora de C

* Z = Z$^2$ + Cos( C) Zo = (0,0i)

### Como función iterativa y transformadora de C, simultáneamente

* Z = Cos(Z) + Cos(C) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(C/Z) Zo = (0,0i)

#### El caso de la función Z$_{n+1}$ = Cos(Z$_n$ * C $^m$)

* Z = Cos(Z*C$^{0.5}$) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z*C) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z*C$^2$) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z*C$^3$) Zo = (0,0i)

#### El caso de la función Z$_{n+1}$ = Cos(Z$_n$/C $^m$)

* Z = Cos(Z/C$^{0.5}$) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z/C) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z/C$^2$) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z/C$^3$) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z/C$^4$) Zo = (0,0i)

## Fractales por iteración de SinH(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: SinH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2) , Sin(Y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:

### Como función iterativa

* Z = SinH(Z) + 1/C Zo = (0.91, -0.08i)
* Z = SinH(Z) + 1/C Zo = (0.90, -0.05i)
* Z = SinH(Z) + 1/C$^2$ Zo = (1, 0.1i)
* Z = SinH(Z$^2$) + 1/C Zo = (1, -1i)

### Como función transformadora de C

* Z = Z$^2$ + SinH(C) Zo = (0,0i)
* Z = Z$^2$ + SinH(1/ C$^3$) Zo = (0,0i)

### Como función iterativa i transformadora de C, simultáneamente

* Z = SinH(Z / C ) Zo = (0,1i)
* Z = SinH(Z)/ C Zo = (1,0i)

## Fractales por iteración de CosH(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: CosH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2) , Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:

### Como función iterativa

* Z = CosH(Z) + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = CosH(Z$^2$) + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = CosH(Z$^3$) + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = CosH(Z$^4$) + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = CosH(Z$^5$) + 1/C Zo = (0,0i)

## Fractales por iteración de combinaciones de diferentes funciones de Z

* Z = SinH(Z) * Sin(Z) + C Zo = (0,0i)
* Z = CosH[Exp(Z$^2$)]+ C Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z/C$^5$)+ Ln(Z) + Z Zo = (0,0i)

## Más fractales según el método de Mandelbrot

Aquí se muestra un ejemplo de iteración de dos funciones F(X) y F(Y), por adición de cada uno de los puntos del plano C(X,Y), y la introducción de una tercera función F(Z) que desequilibra el punto de convergencia. Xn+1 = Xn - Sin(Yn) + C(X) .. Yn+1 = Yn - Sin( Xn) + C(Y) .. Zn+1 = Zn - Cos( Xn + Yn)