# Cadena de Pappus

En geometría, la cadena Pappus es un anillo de círculos entre dos círculos tangentes. Fue investigada por Pappus de Alejandría en el siglo III d. C..

## Construcción

Un arbelos está definido por dos círculos, C$_U$ y C$_V$, que son tangentes en el punto A y donde C$_U$ está contenido por C$_{V.}$ Denótense los radios de estos dos círculos como r$_U$ y r$_V$, respectivamente, y que sus centros sean los puntos U y V. La cadena de Pappus consiste en los círculos en la región gris sombreada, que son tangentes externamente a C$_U$ (el círculo interno) y tangentes internamente a C$_V$ (el círculo externo). El radio, el diámetro y el centro del n$^{ésimo}$ círculo de la cadena Pappus se denotan respectivamente como r$_{n,}$ d$_n$ y P$_n$.

## Propiedades
### Centros de los círculos
#### Elipse

Todos los centros de los círculos en la cadena de Pappus están ubicados en una elipse común, por la siguiente razón. La suma de las distancias desde el n$^{ésimo}$ círculo de la cadena de Pappus a los dos centros U y V de los círculos del arbelos, es igual a una constante
    ${\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf {U} }}+{\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf {V} }}=\left(r_{U}+r_{n}\right)+\left(r_{V}-r_{n}\right)=r_{U}+r_{V}$
Así, los focos de esta elipse son U y V, los centros de los dos círculos que definen el arbelos; estos puntos corresponden a los puntos medios de los segmentos de línea AB y AC, respectivamente.

#### Coordenadas

Si r = AC/AB, entonces el centro del n$^{ésimo}$ círculo de la cadena es:
    $\left(x_{n},y_{n}\right)=\left({\frac {r(1+r)}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}~,~{\frac {nr(1-r)}{n^{2}(1-r)^{2}+r}}\right)$

### Radios de los círculos

Si r = AC/AB, entonces el radio del n$^{ésimo}$ círculo de la cadena es:
    $r_{n}={\frac {(1-r)r}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}$

### Inversión circular

La altura h $_n$ del centro del n$^{ésimo}$ círculo por encima del diámetro de la base ACB es igual a n veces d$_{n.}$ Esto puede mostrarse realizando una inversión en un círculo centrado en el punto tangente A. La circunferencia de inversión se elige para cruzarse con el n$^{ésimo}$ círculo perpendicularmente, de modo que se transforme en sí mismo. Los dos círculos del arbelos, C$_T$ y C$_{V,}$ se transforman en líneas paralelas tangentes a y que orlan al n$^{ésimo}$ círculo; por lo tanto, los otros círculos de la cadena de Pappus se transforman en círculos del mismo diámetro. El círculo inicial C$_0$ y el círculo final C$_n$ contribuyen cada uno ½ d$_n$ a la altura h$_n$, mientras que los círculos desde C$_1$–C$_{n−1}$ contribuyen cada uno d$_n$. Sumando estas contribuciones se obtiene la ecuación h$_n$ = n d$_n$ .
La misma inversión se puede utilizar para mostrar que los puntos donde los círculos de la cadena de Pappus son tangentes entre sí se encuentran en un círculo común. Como se señaló anteriormente, la inversión centrada en el punto A transforma los círculos del arbelos C$_U$ y C$_V$ en dos líneas paralelas, y los círculos de la cadena de Pappus en una pila de círculos de igual tamaño intercalados entre las dos líneas paralelas. Por lo tanto, los puntos de tangencia entre los círculos transformados se encuentran en una línea a medio camino entre las dos líneas paralelas. Al deshacer la inversión en el círculo, esta línea de puntos tangentes se transforma nuevamente en un círculo.

### Cadena de Steiner

En estas propiedades de tener los centros en una elipse y las tangencias en un círculo, la cadena de Pappus es análoga a la cadena de Steiner, en la que varios círculos son tangentes a dos círculos.