# Estrofoide

En matemáticas, y más precisamente en geometría, una curva estrofoide, o simplemente una estrofoide, es una curva engendrada a partir de una curva dada $C$ y de dos puntos $A$ (el punto fijo) y $O$ (el polo).
En el caso particular en el que $C$ es una recta, $A$ pertenece a $C$, y $O$ no pertenece a $C$, la curva se denomina una estrofoide oblicua. Si, además, $OA$ es perpendicular a $C$, la curva es denominada una estrofoide recta, o simplemente una estrofoide por ciertos autores. La estrofoide recta a veces también se denomina curva logocíclica.

## Construcción

La curva estrofoidal que corresponde a la curva C, con el punto fijo A y el polo O se construye de la manera siguiente: sea L una recta móvil que pasa por O y que corta C en K. Sean entonces P$_1$ y P$_2$ los dos puntos de L tales que P$_1$K = P$_2$K = AK. El lugar geométrico de los puntos P$_1$ y P$_2$ se denomina la estrofoide de C relativa al polo O y con el punto fijo A. Se observa que AP$_1$ y AP$_2$ son ortogonales.

## Ecuaciones
### Coordenadas polares

Sea la curva $C$ dada por $r=f(\theta ),$, donde el origen se toma en $O$; y sea $A$ el punto de coordenadas cartesianas $(a,b)$. Si $K=(r\cos \theta ,\ r\operatorname {sen} \theta )$ es un punto de la curva, la distancia de $K$ a $A$ es
    $d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\operatorname {sen} \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\operatorname {sen} \theta -b)^{2}}}$
Los puntos de la recta $OK$ tienen por ángulo polar $\theta$, y los puntos a distancia $d$ de $K$ sobre esta recta están a una distancia $f(\theta )\pm d$ del origen. Por lo tanto, la ecuación de la estrofoide viene dada por
    $r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\operatorname {sen} \theta -b)^{2}}}$

### Coordenadas cartesianas

Sea $C$ de ecuaciones paramétricas $(x=x(t),y=y(t))$. Sea $A$ el punto $(a,b)$ y $O$ el punto $(p,q)$. Entonces, las fórmulas polares precedentes muestran que la representación paramétrica de la estrofoide es:
    $x=u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),\ y=v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t))$
donde
    $n(t)={\sqrt {\frac {(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}{(x(t)-p)^{2}+(y(t)-q)^{2}}}}$

### Otra fórmula polar

La complejidad de las fórmulas precedentes limita su utilidad a la práctica. Existe por eso una forma alternativa a veces más sencilla, que es particularmente útil cuando $C$ es una sectriz de Maclaurin con polos $O$ y $A$.
Sea $O$ el origen y $A$ el punto $(a,0)$. Sea $K$ un punto de la curva, $\theta$ el ángulo entre $OK$ y el eje $OX$, y $\vartheta$ el ángulo entre $AK$ y el eje $OX$. Se supone que $\vartheta$ se da en función de $\theta$, bajo la forma $\vartheta =l(\theta )$. Sea el ángulo $\psi$ en $K$ tal que $\psi =\vartheta -\theta$. Entonces, se puede determinar $r$ en función de $l$ usando el teorema de los senos:
    ${r \over \operatorname {sen} \vartheta }={a \over \operatorname {sen} \psi },\ r=a{\frac {\operatorname {sen} \vartheta }{\operatorname {sen} \psi }}=a{\frac {\operatorname {sen} l(\theta )}{\operatorname {sen}(l(\theta )-\theta )}}$
Sean $P_{1}$ y $P_{2}$ los puntos de la recta $OK$ a la distancia $AK$ de $K$, numerados de forma que $\psi ={\widehat {P_{1}Ka}}$ y $\pi -\psi ={\widehat {Akp_{2}}}$. El triángulo $P_{1}KA$ es isósceles de ángulo $\psi$ en el vértice, y por lo tanto los ángulos de la base ${\widehat {AP_{1}K}}$, y ${\widehat {KAP_{1}}}$ valen $(\pi -\psi )/2$. El ángulo entre $AP_{1}$ y el eje $OX$ es entonces
    $l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2$
Empleando el hecho de que $AP_{1}$ y $AP_{2}$ son perpendiculares (puesto que el triángulo $AP_{1}P_{2}$ está inscrito en una semicircunferencia), el ángulo entre $AP_{2}$ y el eje $OX$ vale
    $l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2$
La ecuación polar de la estrofoide se deduce entonces de $l_{1}$ y $l_{2}$ según las fórmulas precedentes:
    $r_{1}=a{\frac {\operatorname {sen} l_{1}(\theta )}{\operatorname {sen}(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\operatorname {sen}((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\operatorname {sen}((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}$
    $r_{2}=a{\frac {\operatorname {sen} l_{2}(\theta )}{\operatorname {sen}(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\operatorname {sen}((l(\theta )+\theta )/2)}{\operatorname {sen}((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\operatorname {sen}((l(\theta )+\theta )/2)}{\operatorname {sen}((l(\theta )-\theta )/2)}}$
$C$ es una sectriz de Maclaurin de polos $O$ y $A$ cuando $l$ es de la forma $q\theta +\theta _{0}$. En este caso, $l_{1}$ y $l_{2}$ tienen la misma forma, y la estrofoide es o bien otra sectriz de Maclaurin, o bien una pareja de sectrices. Se puede encontrar una ecuación polar sencilla si se toma el origen en el punto simétrico de $A$ respecto de $O$.

## Casos particulares
### Estrofoides oblicuas

Sea $C$ una recta que pasa por $A$. Entonces, en las notaciones precedentes, $l(\theta )=\alpha$ (donde $\alpha$ es una constante); y $l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2$ y $l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2$. Las ecuaciones polares de la estrofoide correspondiente con el origen en $O$, denominada estrofoide oblicua, toman la forma
    $r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}$
y
    $r=a{\frac {\operatorname {sen}((\alpha +\theta )/2)}{\operatorname {sen}((\alpha -\theta )/2)}}$
Se verifica fácilmente que estas dos ecuaciones describen de hecho la misma curva.
Tomando el origen en $A$ (véase el artículo sobre la sectriz de Maclaurin) y reemplazando $-a$ por $a$, se obtiene
    $r=a{\frac {\operatorname {sen}(2\theta -\alpha )}{\operatorname {sen}(\theta -\alpha )}}$
Una rotación de valor $\alpha$ transforma esta ecuación en
    $r=a{\frac {\operatorname {sen}(2\theta +\alpha )}{\operatorname {sen}(\theta )}}$
En coordenadas cartesianas (y cambiando las constantes), se obtiene
    $y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy$
El resultado es una cúbica unicursal según su ecuación polar. Posee una singularidad en $(0,0)$, y la recta $y=b$ es una asíntota.

### Estrofoide recta

Poniendo $\alpha =\pi /2$ en
    $r=a{\frac {\operatorname {sen}(2\theta -\alpha )}{\operatorname {sen}(\theta -\alpha )}}$
se obtiene
    $r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )$
Esta curva se denomina estrofoide recta, y corresponde al caso donde $C$ es el eje $OY$, $O$ es el origen, y $A$ es el punto $(a,0)$.
Su ecuación cartesiana es
    $y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x)$
y su representación paramétrica unicursal es:
    $x=-a{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$
    $y=-at{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$
La curva se asemeja al folium de Descartes, y la recta $x=-a$ es asíntota de las dos ramas infinitas. La curva posee dos asíntotasimaginarías más en el plano complejo, dadas por
    $x\pm iy=-a$

### Estrofoides de circunferencias que pasan por puntos fijos

Sea $C$ una circunferencia que pasa por $O$ y por $A$. Tomando $O$ por origen y $A$ en $(a,0)$, con las notaciones precedentes $l(\theta )=\alpha +\theta$ (donde $\alpha$ es una constante), se tiene que $l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2$ y que $l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2$. Entonces, las ecuaciones polares de las estrofoides correspondientes son
    $r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}$
y
    $r=a{\frac {\operatorname {sen}(\theta +\alpha /2)}{\operatorname {sen}(\alpha /2)}}$
Son las ecuaciones de dos circunferencias que pasan también por $O$ y $A$, y forman ángulos de $\pi /4$ con $C$ en estos puntos.