# Espacio de Brauner

En análisis funcional y en otras áreas relacionadas de las matemáticas, un espacio de Brauner es un espacio localmente convexo generado de forma compacta completo $X$ que tiene una secuencia de conjuntos compactos $K_{n}$ tal que todos los demás conjuntos compactos $T\subseteq X$ están contenidos en algún $K_{n}$.
Los espacios de Brauner llevan el nombre de Kalman George Brauner, que fue quien comenzó su estudio. Todos los espacios de Brauner son espacios estereotipos, y aparecen en las relaciones de dualidad estereotipadas con los espacios de Fréchet:
   * Para cualquier espacio de Fréchet $X$, su espacio dual estereotipado $X^{\star }$ es un espacio de Brauner,
   * y viceversa, para cualquier espacio de Brauner $X$ su espacio dual estereotipado $X^{\star }$ es un espacio de Fréchet.
Los casos especiales de espacios de Brauner son los espacios de Smith.

## Ejemplos

* Sea $M$ un espacio topológico localmente compacto $\sigma$ compacto, y sea ${\mathcal {C}}(M)$ el espacio de Fréchet de todas las funciones continuas en $M$ (con valores en ${\mathbb {R} }$ o ${\mathbb {C} }$), dotado de la topología habitual de convergencia uniforme en conjuntos compactos en $M$. El espacio dual ${\mathcal {C}}^{\star }(M)$ de medida de Radon con soporte compacto en $M$ con la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos en ${\mathcal {C}}(M)$ es un espacio de Brauner.
* Sea $M$ una variedad diferenciable, y sea ${\mathcal {E}}(M)$ el espacio de Fréchet de todas las funciones suaves en $M$ (con valores en ${\mathbb {R} }$ o ${\mathbb {C} }$), dotadas de la topología habitual de convergencia uniforme con cada derivada en conjuntos compactos en $M$. El espacio dual ${\mathcal {E}}^{\star }(M)$ de distribuciones con soporte compacto en $M$ con topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados en ${\mathcal {E}}(M)$ es un espacio de Brauner.
* Sea $M$ una variedad de Stein y ${\mathcal {O}}(M)$ el espacio de Fréchet de todas las funciones holomorfas en $M$ con la topología habitual de convergencia uniforme en conjuntos compactos en $M$. El espacio dual ${\mathcal {O}}^{\star }(M)$ de funcionales analíticos en $M$ con la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados en ${\mathcal {O}}(M)$ es un espacio de Brauner.
En el caso especial en el que $M=G$ posee una estructura de grupo topológico, los espacios ${\mathcal {C}}^{\star }(G)$, ${\mathcal {E}}^{\star }(G)$, ${\mathcal {O}}^{\star }(G)$ se convierten en ejemplos naturales de álgebras de grupo de estereotipos.
* Sea $M\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ una variedad algebraica afín compleja. El espacio ${\mathcal {P}}(M)={\mathbb {C} }[x_{1},...,x_{n}]/\{f\in {\mathbb {C} }[x_{1},...,x_{n}]:\ f{\big |}_{M}=0\}$ de polinomios (o funciones regulares) en $M$, al estar dotado de la topología localmente convexa más fuerte, se convierte en un espacio de Brauner. Su estereotipo de espacio dual ${\mathcal {P}}^{\star }(M)$ (de corrientes en $M$) es un espacio de Fréchet. En el caso especial en el que $M=G$ es un grupo algebraico afín, ${\mathcal {P}}^{\star }(G)$ se convierte en un ejemplo de álgebra de grupos estereotipados.
* Sea $G$ un grupo de Stein generado de forma compacta. El espacio ${\mathcal {O}}_{\exp }(G)$ de todas las funciones holomorfas de tipo exponencial en $G$ es un espacio de Brauner con respecto a una topología natural.