# Matriz compañera

En álgebra lineal, la matriz compañera del polinomio mónico
    $p(t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n}~,$
es la matriz cuadrada definida como
    $C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}.$
Esta matriz junto con una base (v$_1$, ... , v$_n$), transforma el polinomio p(t) en un sistema de ecuaciones lineales simultáneas de la forma:
    $t^{n}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=t^{n-1}{\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&-c_{0}\\1&0&\cdots &0&-c_{1}\\0&1&\cdots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\v_{n}p(t)\end{pmatrix}}$
Con este convenio, y sobre la base (v$_1$, ... , v$_n$), uno tiene
    $Cv_{i}=C^{i}v_{1}=v_{i+1}$
(Para i < n), y v$_1$ generar V como K[C]-módulo: C ciclos de vectores de la base.
Algunos autores utilizan la transposición de esta matriz, que es más conveniente para algunos propósitos, como las relaciones de recurrencia lineales.

## Caracterización

El polinomio característico así como el polinomio mínimo de C(p) son iguales a p.
En este sentido, la matriz C(p) es la "compañera" del polinomio p.
Si A es una matriz de n por n con entradas en algún cuerpo K, entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:
* A es similar a la matriz compañera sobre K de su polinomio característico.
* El polinomio característico de A coincide con el polinomio mínimo de A, equivalentemente, el polinomio mínimo tiene grado n.
* Existe un vector cíclico v en $V=K^{n}$ para A, lo que significa que {v, Av, A$^2$v,..., A$^{n−1}$v} es una base de V. De manera equivalente, si V es cíclico como una $K[A]$-module (y $V=K[A]/(p(A))$); se dice que A es regular.
No toda matriz cuadrada es similar a una matriz compañera. Pero toda matriz es similar a una matriz formada por bloques de matrices de compañía. Además, estas matrices de compañía pueden ser elegidas de modo que sus polinomios se dividan entre sí; entonces, se determinan de forma única por A. Esta es la forma canónica relacional de A.

## Diagonalización

Si p(t) tiene raíces distintas λ$_1$, ..., λ$_n$ (los valores propios de C(p)), entonces C(p) es diagonalizable como sigue:
    $VC(p)V^{-1}=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$
donde V es la matriz de Vandermonde correspondiente a los Y's.
En este caso, trazas de las potencias m de C producen fácilmente sumas de las mismas potencias m de todas las raíces de p(t),
    $\mathrm {Tr} C^{m}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{m}~.$
En general, la matriz compañero puede ser no diagonalizable.

## Secuencias lineales recursivas

Dada una secuencia lineal recursiva con polinomio característico
    $p(t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n}\,$
la matriz compañera
    $C^{T}(p)={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{bmatrix}}$
genera la secuencia, en el sentido de que
    $C^{T}{\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n}\end{bmatrix}}.$
incrementa la serie en 1.
El vector (1,t,t$^2$, ..., t$^{n-1}$) es un vector propio de esta matriz de valor propio t, cuando t es una raíz del polinomio característico p(t).
Para c$_0$ = −1, y para todo c$_i$=0, i.e., p(t) = t$^n$−1, esta matriz se reduce a la matriz de desplazamiento cíclico de Sylvester, o matriz circulante.