# Haz de jets

En topología diferencial, un haz de jets es una construcción que genera un nuevo fibrado diferenciable de un haz dado de fibras suaves. Hace posible escribir ecuaciones diferenciales en secciones de un haz de fibras en una forma invariante. Los jets también se pueden ver como las versiones de la serie de Taylor libres de coordenadas.
Históricamente, los haces de jets se atribuyen a Ehresmann, y fueron un avance en el método (prolongación) de Élie Cartan, de tratar geométricamente con derivadas sucesivas, al imponer condiciones diferenciales a las variables formales recientemente introducidas. Los haces de jets a veces se llaman espráis, aunque los espráis por lo general se refieren más específicamente al campo vectorial asociado inducido en el haz correspondiente (por ejemplo, el espray geodésico en variedades de Finsler).
Más recientemente, los haces de jets han aparecido como una forma concisa para describir los fenómenos asociados con las aplicaciones de derivadas, en particular las asociadas con el cálculo de variaciones. En consecuencia, ahora se reconoce que el haz de jets es el dominio correcto para la teoría de campo covariante geométrica clásica, y se realiza mucho trabajo en las formulaciones de campos en la relatividad general que utilizan este enfoque.

## Jets

Supóngase que M es una variedad m-dimensional y que (E, π, M) es un fibrado. Para p ∈ M, sea Γ(p) el conjunto de todas las secciones locales cuyo dominio contiene p. Se define I = (I(1), I(2), ..., I(m)) como una entidad multi indexada no ordenada (una m-tupla de enteros), tal que
    ${\begin{aligned}|I|&:=\sum _{i=1}^{m}I(i)\\{\frac {\partial ^{|I|}}{\partial x^{I}}}&:=\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)^{I(i)}.\end{aligned}}$
Defínanse las secciones locales σ, η ∈ Γ(p) que tienen el mismo r-jet en p si
    $\left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\eta ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p},\quad 0\leq |I|\leq r.$
La relación de que dos aplicaciones tienen el mismo r-jet es una relación de equivalencia. Un r-jet es una clase de equivalencia bajo esta relación, y el r-jet con el representante σ se denota $j_{p}^{r}\sigma$. El número entero r también se llama orden del jet, p es su fuente y σ(p) es su objetivo.

## Variedades de jet

El r-ésimo múltiplo del jet de π es el conjunto
    $J^{r}(\pi )=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma \in \Gamma (p)\right\}.$
Se pueden definir las proyecciones π$_r$ y π$_{r,0}$ denominadas proyecciones fuente y objetivo, respectivamente, por
    ${\begin{cases}\pi _{r}:J^{r}(\pi )\to M\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto p\end{cases}},\qquad {\begin{cases}\pi _{r,0}:J^{r}(\pi )\to E\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto \sigma (p)\end{cases}}$
Si 1 ≤ k ≤ r, entonces un k-jet es la función π$_{r,k}$ definida por
    ${\begin{cases}\pi _{r,k}:J^{r}(\pi )\to J^{k}(\pi )\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto j_{p}^{k}\sigma \end{cases}}$
De esta definición, está claro que π$_r$ = π o π$_{r,0}$ y que si 0 ≤ m ≤ k, entonces π$_{r,m}$ = π$_{k,m}$ o π$_{r,k}$. Es convencional considerar π$_{r,r}$ como la función identidad en J $^r$(π) e identificar J $^0$(π) con E.
Las funciones π$_{r,k}$, π$_{r,0}$ y π$_r$ son funciones sobreyectivas suaves inmersas.
Un sistema de coordenadas en E generará un sistema de coordenadas en J $^r$ (π). Sea (U, u) un atlas adaptado en E, donde u = (x$^i$, u$^α$). El gráfico de coordenadas inducidas (U$^r$,u$^r$) en J $^r$ (π) se define por
    ${\begin{aligned}U^{r}&=\left\{j_{p}^{r}\sigma :\sigma (p)\in U\right\}\\u^{r}&=\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}$
donde
    ${\begin{aligned}x^{i}(j_{p}^{r}\sigma )&=x^{i}(p)\\u^{\alpha }(j_{p}^{r}\sigma )&=u^{\alpha }(\sigma (p))\end{aligned}}$
y las funciones $n\left(^{m+r}C_{r}-1\right)$ son conocidas como las coordenadas derivadas:
    ${\begin{cases}u_{I}^{\alpha }:U^{k}\to \mathbf {R} \\u_{I}^{\alpha }(j_{p}^{r}\sigma )=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}\end{cases}}$
Dado un atlas de mapas adaptados (U, u) en E, la colección correspondiente de mapas (U  $^r$, u $^r$) es un atlas de dimensión finita C$^∞$ sobre J $^r$( π).

## Haces de jets

Dado que el atlas en cada J$^r$ (π) define una variedad, las tripletas (J$^r$ (π), π$_{r,k}$, J$^k$ (π)), (J$^r$ (π), π$_{r,0}$, E) y (J$^r$ (π), π$_r$, M) definen todas las variedades de fibras. En particular, si (E, π, M) es un paquete de fibras, el triplete (J$^r$ (π), π$_r$, M) define el r-ésimo jet de π.
Si W ⊂ M es una subvariedad abierta, entonces
    $J^{r}\left(\pi |_{\pi ^{-1}(W)}\right)\cong \pi _{r}^{-1}(W).\,$
Si p ∈ M, entonces la fibra $\pi _{r}^{-1}(p)\,$ se denota como $J_{p}^{r}(\pi )$.
Sea σ una sección local de π con dominio W ⊂ M. La r-prolongación del jet de σ es la aplicación j$^r$σ: W → J$^r$ (π) definido por
    $(j^{r}\sigma )(p)=j_{p}^{r}\sigma .\,$
Téngase en cuenta que π$_r$ o j$^r$σ = id$_W$, por lo que j$^r$σ realmente es una sección. En coordenadas locales, j$^r$σ viene dada por
    $\left(\sigma ^{\alpha },{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{|I|}}}\right)\qquad 1\leq |I|\leq r.\,$
identificando j$^0$σ con σ.

### Perspectiva algebraico-geométrica

A continuación se da una construcción motivada independientemente del haz de secciones $\Gamma J^{k}(\pi _{TM})$.
Considérese una aplicación diagonal Δ$_n$:M→∏$_{i=1}$$^{n+1}$M{\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}, donde el múltiplo diferenciable $M$ es un espacio localmente anillado por $C^{k}(U)$ para cada $U$ abierto. Sea ${\mathcal {I}}$ la banda ideal $\Delta _{n}(M)$, de manera equivalente sea ${\mathcal {I}}$ el haz de gérmenes diferenciables que se anulan en $\Delta _{n}(M)$ para todos los $0<n\leq k$. La imagen inversa de la teoría de haces ${\Delta _{n}}^{*}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{n+1})$ de ∏$_{i=1}$$^{n+1}$M{\textstyle \prod _{i=1}^{n+1}M} a $M$ por $\Delta _{n}$ es el haz de k-jets.
El límite directo de la secuencia de aplicaciones inyectivas dada por las inclusiones canónicas ${\mathcal {I}}^{n+1}\hookrightarrow {\mathcal {I}}^{n}$ de haces da lugar al haz infinito de jets ${\mathcal {J}}^{\infty }(TM)$. Obsérvese que debido a la construcción de límite directo se trata de un anillo filtrado.

### Ejemplo

Si π es el fibrado (M × R, pr$_1$, M), entonces existe un difeomorfismo canónico entre el primer haz de jets J$^1$ (π) y T * M × R. Para construir este difeomorfismo, para cada σ en Γ$_M$ (π), debe escribirse como ${\bar {\sigma }}=pr_{2}\circ \sigma \in C^{\infty }(M)\,$.
Entonces, cada vez que p ∈ M
    $j_{p}^{1}\sigma =\{\psi :\psi \in \Gamma _{p}(\pi );{\bar {\psi }}(p)={\bar {\sigma }}(p);d{\bar {\psi }}_{p}=d{\bar {\sigma }}_{p}\}.\,$
En consecuencia, la aplicación
    ${\begin{cases}J^{1}(\pi )\to T^{*}M\times \mathbf {R} \\j_{p}^{1}\sigma \mapsto (d{\bar {\sigma }}_{p},{\bar {\sigma }}(p))\end{cases}}$
está bien definida y es claramente una función inyectiva. Transcribirlo a coordenadas demuestra que es un difeomorfismo, porque si (x$^i$, u) son coordenadas en M × R, donde u = id$_R$ es la identidad de coordenadas, entonces las coordenadas derivadas u$_i$ en J$^1$(π) corresponden a las coordenadas ∂$_i$ en T * M.
Del mismo modo, si π es el haz trivial (R × M, pr$_1$, R), entonces existe un difeomorfismo canónico entre J$^1$(π) y R × TM.

## Estructura de contacto

El espacio J$^r$(π) tiene una distribución natural, es decir, un subconjunto del fibrado tangente TJ$^r$(π), llamado distribución de Cartan. La distribución de Cartan se extiende por todos los planos tangentes a gráficos de secciones holonómicas; es decir, secciones de la forma j$^r$φ, siendo φuna sección de π.
El inverso de la distribución de Cartan es un espacio diferencial de forma 1, llamado forma de contacto en J$^r$(π). El espacio de formas únicas diferenciables en J$^r$(π) se denota por $\Lambda ^{1}J^{r}(\pi )$ y el espacio de formas de contacto se denota por $\Lambda _{C}^{r}\pi$. Una forma es una forma de contacto siempre que su aplicación regrediente en cada prolongación sea cero. En otras palabras, $\theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi$ es una forma de contacto si y solo si
    $(j^{r+1}\sigma )^{*}\theta =0$
para todas las secciones locales σ de π sobre M.
La distribución de Cartan es la estructura geométrica principal en los espacios de jets y juega un papel importante en la teoría geométrica de las ecuaciones en derivadas parciales. Las distribuciones de Cartan son completamente no integrables. En particular, no son involutivas. La dimensión de la distribución de Cartan crece con el orden del espacio del jet. Sin embargo, en el espacio de jets infinitos J$^∞$, la distribución de Cartan se vuelve involutiva y de dimensión finita: su dimensión coincide con la dimensión de la variedad de base M.

### Ejemplo

Considésese el caso (E, π, M), donde E ≃ R$^2$ y M ≃ R. Entonces, (J$^1$(π), π, M) define el primer haz de jets, y puede expresarse en las coordenadas (x, u, u$_1$), donde
    ${\begin{aligned}x(j_{p}^{1}\sigma )&=x(p)=x\\u(j_{p}^{1}\sigma )&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}(j_{p}^{1}\sigma )&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}=\sigma '(x)\end{aligned}}$
para todos los p ∈ M y σ en Γ$_p$(π). Una 1-forma general en J$^1$(π) tiene la expresión
    $\theta =a(x,u,u_{1})dx+b(x,u,u_{1})du+c(x,u,u_{1})du_{1}\,$
Una sección σ en Γ$_p$(π) tiene una primera prolongación
    $j^{1}\sigma =(u,u_{1})=\left(\sigma (p),\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}\right).$
Por lo tanto, (j$^1$σ) * θ se puede calcular como
    ${\begin{aligned}(j_{p}^{1}\sigma )^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{1}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma (x))+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma '(x))\\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)dx+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)dx\\&=[a(x,\sigma (x),\sigma '(x))+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)]dx\end{aligned}}$
Esta expresión se anulará para todas las secciones σ si y solo si c = 0 y a = -bσ'(x). Por lo tanto, θ = b (x, u, u$_1$) θ$_0$ debe ser necesariamente un múltiplo de la forma básica de contacto θ$_0$ = du-u$_1$dx. Continuando con el segundo espacio de jets J$^2$(π) con la coordenada adicional u$_2$ , tal que
    $u_{2}(j_{p}^{2}\sigma )=\left.{\frac {\partial ^{2}\sigma }{\partial x^{2}}}\right|_{p}=\sigma ''(x)\,$
se genera una 1-forma general con la construcción
    $\theta =a(x,u,u_{1},u_{2})dx+b(x,u,u_{1},u_{2})du+c(x,u,u_{1},u_{2})du_{1}+e(x,u,u_{1},u_{2})du_{2}\,$
Este es una forma de contacto si y solo si
    ${\begin{aligned}(j_{p}^{2}\sigma )^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{2}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma (x))+\\&\qquad \qquad +c(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma '(x))+e(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma ''(x))\\&=adx+b\sigma '(x)dx+c\sigma ''(x)dx+e\sigma '''(x)dx\\&=[a+b\sigma '(x)+c\sigma ''(x)+e\sigma '''(x)]dx\\&=0\end{aligned}}$
lo que implica que e = 0 y a = -bσ'(x)-cσ(x). Por lo tanto, θ es una forma de contacto si y solo si
    $\theta =b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{0}+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{1},$
donde θ$_1$ = du$_1$-u$_2$dx es la siguiente forma de contacto básico (téngase en cuenta que aquí se está identificando la forma θ$_0$ con su regrediente $(\pi _{2,1})^{*}\theta _{0}$ sobre J$^2$(π)).
En general, proporcionando x, u ∈ R, una forma de contacto en J$^{r+1}$(π) se puede escribir como una combinación lineal de las formas de contacto básicas
    $\theta _{k}=du_{k}-u_{k+1}dx\qquad k=0,\ldots ,r-1\,$
donde
    $u_{k}(j^{k}\sigma )=\left.{\frac {\partial ^{k}\sigma }{\partial x^{k}}}\right|_{p}.$
Argumentos similares conducen a una caracterización completa de todas las formas de contacto.
En coordenadas locales, cada contacto de una forma en J$^{r+1}$(π) se puede escribir como una combinación lineal
    $\theta =\sum _{|I|=0}^{r}P_{\alpha }^{i}\theta _{i}^{\alpha }$
con coeficientes diferenciables $P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })$ de los formas de contacto básicas
    $\theta _{i}^{\alpha }=du_{i}^{\alpha }-u_{I,i}^{\alpha }dx^{i}\,$
|I| se conoce como el orden de la forma de contacto $\theta _{i}^{\alpha }$. Téngase en cuenta que las formas de contacto en J$^{r+1}$(π) tienen órdenes r como máximo. Las formas de contacto proporcionan una caracterización de aquellas secciones locales de π$_{r+1}$ que son prolongaciones de secciones de π.
Sea ψ ∈ Γ$_W$(π$_{r+1}$), entonces ψ = j$^{r+1}$σ donde σ ∈$_W$(π) si y solo si $\psi ^{*}(\theta |_{W})=0,\forall \theta \in \Lambda _{C}^{1}\pi _{r+1,r}.\,$

## Campos vectoriales

Un campo vectorial general sobre el espacio total E, coordenado por $(x,u)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (x^{i},u^{\alpha })\,$, es
    $V\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.\,$
Un campo vectorial se llama horizontal si todos los coeficientes verticales desaparecen cuando $\phi ^{\alpha }$ = 0.
Un campo vectorial se llama vertical si todos los coeficientes horizontales desaparecen cuando ρ$^i$ = 0.
Para (x, u) fijo, se identifica
    $V_{(x,u)}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,$
teniendo coordenadas (x, u, ρ$^i$, φ$^α$), con un elemento en la fibra T$_{xu}$E de TE sobre (x, u) en E, llamado un vector tangente en TE. Una sección
    ${\begin{cases}\psi :E\to TE\\(x,u)\mapsto \psi (x,u)=V\end{cases}}$
se llama un campo vectorial en E con
    $V=\rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}$
y ψ en Γ(TE).
El haz de planos J$^r$(π) está coordenado por $(x,u,w)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (x^{i},u^{\alpha },w_{i}^{\alpha })\,$. Para (x, u, w) fijo, se identifica
    $V_{(x,u,w)}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ V^{i}(x,u,w){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+V^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+V_{i}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i}^{\alpha }}}+V_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }}}+\cdots +V_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}}$
con las coordenadas
    $(x,u,w,v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }),$
con un elemento en el haz $T_{xuw}(J^{r}\pi )$ de TJ$^r$(π) sobre (x, u, w) ∈ J$^r$(π), llamado un vector tangente en TJ$^r$(π). Aquí,
    $v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }$
son funciones con valores reales en J$^r$(π). Una sección
    ${\begin{cases}\Psi :J^{r}(\pi )\to TJ^{r}(\pi )\\(x,u,w)\mapsto \Psi (u,w)=V\end{cases}}$
es un campo vectorial en J$^r$(π), y se dice que $\Psi \in \Gamma (T(J^{r}\pi )).$

## Ecuaciones diferenciales parciales

Sea (E, π, M) un haz de fibras. Una ecuación en derivadas parciales de 'r-ésimo orden en π es una variedad cerrada embebida en la subvariedad S de la variedad de jets J$^r$ (π). Una solución es una sección local σ ∈ $_W$(π) que satisface $j_{p}^{r}\sigma \in S$, para todo p en M.
Considérese un ejemplo de una ecuación diferencial parcial de primer orden:

### Ejemplo

Sea π el haz trivial (R $^2$ × R, pr$_1$, R$^2$) con coordenadas globales (x$^1$, x' '$^2$, u$^1$). Entonces la aplicación F: J$^1$ (π) → R definida por
    $F=u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}$
da lugar a la ecuación diferencial
    $S=\left\{j_{p}^{1}\sigma \in J^{1}\pi \ :\ \left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)(j_{p}^{1}\sigma )=0\right\}$
que se puede escribir como
    ${\frac {\partial \sigma }{\partial x^{1}}}{\frac {\partial \sigma }{\partial x^{2}}}-2x^{2}\sigma =0.$
En particular
    ${\begin{cases}\sigma :\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {R} \\\sigma (p_{1},p_{2})=\left(p^{1},p^{2},p^{1}(p^{2})^{2}\right)\end{cases}}$
tiene una primera prolongación dada por
    $j^{1}\sigma (p_{1},p_{2})=\left(p^{1},p^{2},p^{1}(p^{2})^{2},(p^{2})^{2},2p^{1}p^{2}\right)$
y es una solución de esta ecuación diferencial, porque
    ${\begin{aligned}\left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)(j_{p}^{1}\sigma )&=u_{1}^{1}(j_{p}^{1}\sigma )u_{2}^{1}(j_{p}^{1}\sigma )-2x^{2}(j_{p}^{1}\sigma )u^{1}(j_{p}^{1}\sigma )\\&=(p^{2})^{2}\cdot 2p^{1}p^{2}-2\cdot p^{2}\cdot p^{1}(p^{2})^{2}\\&=2p^{1}(p^{2})^{3}-2p^{1}(p^{2})^{3}\\&=0\end{aligned}}$
y entonces $j_{p}^{1}\sigma \in S$ para cada p ∈ 'R' $^2$.

## Prolongación de un jet

Un difeomorfismo local ψ: J$^r$(π) → J$^r$ (π) define una transformación de contacto de orden r si preserva el contacto ideal, lo que significa que si θ es cualquier forma de contacto en J$^r$(π), entonces ψ * θ también es una forma de contacto.
El flujo generado por un campo vectorial V$^r$ en el espacio de jets J$^r$ (π) forma un grupo de un solo parámetro de transformaciones de contacto si y solo si la derivada de Lie ${\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta )$ de cualquier forma de contacto θ conserva el contacto ideal.
Para el caso de primer orden, se considera un campo de vectores general V$^1$ en J$^1$ (π), dado por
    $V^{1}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\rho ^{i}(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\chi _{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}.$
Ahora se aplica ${\mathcal {L}}_{V^{1}}$ a las formas de contacto básicas $\theta _{0}^{\alpha }=du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i},$ y se amplia la derivada exterior de las funciones en términos de sus coordenadas para obtener:
    ${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta _{0}^{\alpha })&={\mathcal {L}}_{V^{1}}(du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i})\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du^{\alpha }-({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{i}^{\alpha })dx^{i}-u_{i}^{\alpha }({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx^{i})\\&=d(V^{1}u^{\alpha })-V^{1}u_{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d(V^{1}x^{i})\\&=d\phi ^{\alpha }-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\rho ^{i}\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial x^{m}}}dx^{m}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u_{m}^{k}}}du_{m}^{k}\right]\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i})+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{l}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i})+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}\right]\\&=\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}-u_{l}^{\alpha }\left({\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}\right)-\chi _{i}^{\alpha }\right]dx^{i}+\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}\right]du_{i}^{k}+\left({\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\right)\theta ^{k}\end{aligned}}$
Por lo tanto, V$^1$ determina una transformación de contacto si y solo si los coeficientes de dx$^i$ y $du_{i}^{k}$ desaparecen. Los últimos requisitos implican las condiciones de contacto
    ${\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}=0$
Los requisitos anteriores proporcionan fórmulas explícitas para los coeficientes de los primeros términos derivados en V$^1$:
    $\chi _{i}^{\alpha }={\widehat {D}}_{i}\phi ^{\alpha }-u_{l}^{\alpha }({\widehat {D}}_{i}\rho ^{l})$
donde
    ${\widehat {D}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+u_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial u^{k}}}$
denota el truncamiento de orden cero-ésimo de la derivada total D$_i$.
Por lo tanto, las condiciones de contacto únicamente prescriben la prolongación de cualquier punto o campo vectorial de contacto. Es decir, si ${\mathcal {L}}_{V^{r}}$ satisface estas ecuaciones, V$^r$ se denomina r-ésima prolongación de V a un campo vectorial en J$^r$(π).
Estos resultados se entienden mejor cuando se aplican a un ejemplo particular:

### Ejemplo

Considérese el caso (E, π, M), donde E ≅ R$^2$ y M ≃ R. Entonces, (J$^1$(π), π, E) define el primer haz del jet, y puede ser coordenado por (x, u, u$_1$), donde
    ${\begin{aligned}x(j_{p}^{1}\sigma )&=x(p)=x\\u(j_{p}^{1}\sigma )&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}(j_{p}^{1}\sigma )&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}={\dot {\sigma }}(x)\end{aligned}}$
para todos los p ∈ M y σ en Γ$_p$(π). Un forma de contacto en J$^1$(π) tiene la propiedad de que
    $\theta =du-u_{1}dx$
Considérese ahora un vector V en E, teniendo la forma
    $V=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}$
Entonces, la primera prolongación de este campo vectorial a J$^1$(π) es
    ${\begin{aligned}V^{1}&=V+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\end{aligned}}$
Si ahora se toma la derivada de Lie de la forma de contacto con respecto a este campo de vector prolongado, se obtiene ${\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),$
    ${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta )&={\mathcal {L}}_{V^{1}}(du-u_{1}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du-({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{1})dx-u_{1}({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx)\\&=d(V^{1}u)-V^{1}u_{1}dx-u_{1}d(V^{1}x)\\&=dx-\rho (x,u,u_{1})dx+u_{1}du\\&=(1-\rho (x,u,u_{1}))dx+u_{1}du\\&=[1-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}(\theta +u_{1}dx)&&du=\theta +u_{1}dx\\&=[1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}\theta \end{aligned}}$
Por lo tanto, para la preservación del contacto ideal, se requiere que
    $1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})=0\quad \Leftrightarrow \quad \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}.$
Y entonces la primera prolongación de V a un campo de vectores en J$^1$(π) es
    $V^{1}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}.$
Calculando también la segunda prolongación de V a un campo vectorial en J$^2$(π), se tienen $\{x,u,u_{1},u_{2}\}$ como coordenadas en J$^2$(π). Por lo tanto, el vector prolongado tiene la forma
    $V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.$
Las formas de contacto son
    ${\begin{aligned}\theta &=du-u_{1}dx\\\theta _{1}&=du_{1}-u_{2}dx\end{aligned}}$
Para preservar el contacto ideal, se requiere
    ${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta )=0\\{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})=0\end{aligned}}$
Ahora, θ no tiene dependencia de u$_2$. Por lo tanto, a partir de esta ecuación se deduce la fórmula para ρ, que necesariamente será el mismo resultado encontrado para V$^1$. Por lo tanto, el problema es análogo a la prolongación del campo vectorial V$^1$ a J$^2$ (π). Es decir, se puede generar la r-ésima prolongación de un campo vectorial mediante la aplicación recursiva de la derivada de Lie de las formas de contacto con respecto a los campos vectoriales prolongados r veces. Entonces se tiene que
    $\rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}$
y entonces
    ${\begin{aligned}V^{2}&=V^{1}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\end{aligned}}$
Por lo tanto, la derivada de Lie de la segunda forma de contacto con respecto a V$^2$ es
    ${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&={\mathcal {L}}_{V^{2}}(du_{1}-u_{2}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{2}}du_{1}-({\mathcal {L}}_{V^{2}}u_{2})dx-u_{2}({\mathcal {L}}_{V^{2}}dx)\\&=d(V^{2}u_{1})-V^{2}u_{2}dx-u_{2}d(V^{2}x)\\&=d(1+u_{1}u_{1})-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du&=\theta +u_{1}dx\\&=2u_{1}(\theta _{1}+u_{2}dx)-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du_{1}&=\theta _{1}+u_{2}dx\\&=[3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})]dx+u_{2}\theta +2u_{1}\theta _{1}\end{aligned}}$
Por lo tanto, para que ${\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})$ preserve el contacto ideal, es necesario que
    $3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})=0\quad \Leftrightarrow \quad \phi (x,u,u_{1},u_{2})=3u_{1}u_{2}.$
Y entonces, la segunda prolongación de V a un campo de vectores en J$^2$(π) es
    $V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+3u_{1}u_{2}{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.$
Hay que tener en cuenta que la primera prolongación de V se puede recuperar al omitir los términos de la segunda derivada en V$^2$, o al proyectar de nuevo a J$^1$ (π).

## Espacios de jets infinitos

El límite inverso de la secuencia de proyecciones $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ da lugar al "espacio de jets infinito J$^∞$(π). Un punto $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ es la clase de equivalencia de las secciones de π que tienen el mismo k-jet en p que en σ para todos los valores de k. La proyección natural π$_∞$ asigna $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ a p.
Solo pensando en términos de coordenadas, J$^∞$(π) parece ser un objeto geométrico de dimensión infinita. De hecho, la forma más simple de introducir una estructura diferenciable en J$^∞$(π), sin depender de gráficos diferenciables, viene dada por el cálculo diferencial sobre álgebras acumulativas. Dual a la secuencia de proyecciones $\pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )$ de variedades es la secuencia de aplicaciones inyectivas $\pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }(J^{k+1}(\pi ))$ de álgebras conmutativas. Denotando $C^{\infty }(J^{k}(\pi ))$ simplemente por ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$, el límite directo ${\mathcal {F}}(\pi )$ de ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$ será un álgebra conmutativa, que se puede suponer que es el álgebra de las funciones suaves sobre el objeto geométrico J$^∞$(π). Obsérvese que ${\mathcal {F}}(\pi )$, que nace como un límite directo, tiene una estructura adicional: es un álgebra conmutativa filtrada.
A grandes rasgos, un elemento concreto $\varphi \in {\mathcal {F}}(\pi )$ siempre pertenecerá a algún ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$, por lo que es una función suave en variedad de dimensión finita J$^k$ (π) en el sentido habitual.

### Ecuaciones en derivadas parciales infinitamente prolongadas

Dado un sistema de ecuaciones en derivadas parciales de orden k-ésimo E ⊆ J$^k$(π), la variedad de funciones suaves I(E) que se anulan en E sobre 'J$^∞$(π) es un ideal en el álgebra ${\mathcal {F}}_{k}(\pi )$, y por lo tanto también lo es en el límite directo ${\mathcal {F}}(\pi )$.
Complétese I(E) agregando todas las composiciones posibles totalmente derivables aplicadas a todos sus elementos. De esta forma se obtiene un nuevo I, ideal de ${\mathcal {F}}(\pi )$ que ahora se cierra bajo la operación de poseer derivada total. La subvariedad E$_{(∞)}$ de J$^∞$(π) recortada por I se llama prolongación infinita de E.
Geométricamente, "E"$_{(∞)}$ es la variedad de soluciones formales de E. Se puede ver fácilmente que un punto $j_{p}^{\infty }(\sigma )$ de E$_{(∞)}$ está representado por una sección σ cuyo gráfico de k-jets es tangente a E en el punto $j_{p}^{k}(\sigma )$ con un orden arbitrariamente alto de tangencia.
Analíticamente, si E viene dado por φ = 0, una solución formal puede entenderse como el conjunto de coeficientes de Taylor de una sección σ en un punto p que hace desaparecer la serie de Taylor de $\varphi \circ j^{k}(\sigma )$ en el punto p.
Lo más importante es que las propiedades de cierre de I implican que E$_{(∞)}$ es tangente a la estructura de contacto de orden infinito ${\mathcal {C}}$ en J$^∞$(π), de modo que al restringir ${\mathcal {C}}$ a E$_{(∞)}$ se obtiene el diffiety $(E_{(\infty )},{\mathcal {C}}|_{E_{(\infty )}})$, y se puede estudiar la secuencia C-espectral asociada.

## Observaciones

Este artículo ha definido jets de secciones locales de un haz, pero es posible definir jets de funciones f: M → N, donde M y N son múltiples; el jet de f simplemente corresponde al jet de la sección
    gr$_f$: M → M × N
    gr$_f$ (p) = (p, f (p))
(gr$_f$ se conoce como el gráfico de la función f) del haz trivial (M × N, π$_1$, M ). Sin embargo, esta restricción no simplifica la teoría, ya que la trivialidad global de π no implica la trivialidad global de π$_1$.