# Identidad de Beltrami

La identidad de Beltrami, que lleva el nombre del matemático italiano Eugenio Beltrami (1835-1900), es un caso especial de las ecuaciones de Euler-Lagrange en el cálculo de variaciones.
La ecuación de Euler-Lagrange sirve para obtener un valor extremo de un funcional con la forma
    $I[u]=\int _{a}^{b}L[x,u(x),u'(x)]\,dx\,,$
donde $a$ y $b$ son constantes y $u'(x)={\frac {du}{dx}}$.
Si ${\frac {\partial L}{\partial x}}=0$, entonces la ecuación de Euler-Lagrange se reduce a la identidad de Beltrami,
    $L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}=C\,,$
donde C es una constante.

## Obtención de la fórmula

Por la regla de la cadena, la derivada de L es
    ${\frac {dL}{dx}}={\frac {\partial L}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial L}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial L}{\partial u'}}{\frac {du'}{dx}}\,.$
Dado que ${\frac {\partial L}{\partial x}}=0$, se puede escribir que
    ${\frac {dL}{dx}}={\frac {\partial L}{\partial u}}u'+{\frac {\partial L}{\partial u'}}u''\,.$
Se tiene una expresión para ${\frac {\partial L}{\partial u}}$ de la ecuación de Euler-Lagrange,
    ${\frac {\partial L}{\partial u}}={\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u'}}\,$
que se puede sustituir en la expresión anterior por ${\frac {dL}{dx}}$ para obtener
    ${\frac {dL}{dx}}=u'{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u'}}+u''{\frac {\partial L}{\partial u'}}\,.$
Según la regla del producto, el lado derecho equivale a
    ${\frac {dL}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}\right)\,.$
Al realizar la integración en ambos lados y poner ambos términos en un lado, se obtiene la identidad de Beltrami,
    $L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}=C\,.$

## Aplicaciones
### Solución al problema de la braquistocrona

Un ejemplo de aplicación de la identidad de Beltrami es la curva braquistócrona, que implica encontrar la curva $y=y(x)$ que minimice la integral
    $I[y]=\int _{0}^{a}{\sqrt {{1+y'^{\,2}} \over y}}dx\,.$
El integrando
    $L(y,y')={\sqrt {{1+y'^{\,2}} \over y}}$
no depende explícitamente de la variable de integración $x$, por lo que se aplica la identidad de Beltrami,
    $L-y'{\frac {\partial L}{\partial y'}}=C\,.$
Sustituyendo por $L$ y simplificando,
    $y(1+y'^{\,2})=1/C^{2}~~{\text{(constante)}}\,,$
que se puede resolver con el resultado expresado en forma de ecuación paramétrica
    $x=A(\phi -\sin \phi )$
    $y=A(1-\cos \phi )$
siendo $A$ la mitad de la constante anterior, ${\frac {1}{2C^{2}}}$ y $\phi$ una variable. Estas son las ecuaciones paramétricas de una cicloide.

### Solución al problema de la catenaria

Considérese una cuerda con densidad uniforme $\mu$ de longitud $l$ suspendida de dos puntos de igual altura y a una distancia $D$. Por la fórmula para la longitud de arco,
    $l=\int _{S}dS=\int _{s_{1}}^{s_{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx,$
donde $S$ es el arco de la cadena y $s_{1}$ y $s_{2}$ son las condiciones de contorno.
La curva tiene que minimizar su energía potencial:
    $U=\int _{S}g\mu y\cdot dS=\int _{s_{1}}^{s_{2}}g\mu y{\sqrt {1+y'^{2}}}dx,$
y está sujeta a la restricción
    $\int _{s_{1}}^{s_{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx=l,$
donde $g$ es la fuerza de gravedad.
Debido a que la variable independiente $x$ no aparece en el integrando, la identidad de Beltrami se puede usar para expresar la forma de la cadena como una ecuación diferencial de primer orden separable
    $L-y\prime {\frac {\partial L}{\partial y\prime }}=\mu gy{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}+\lambda {\sqrt {1+y\prime ^{2}}}-\left[\mu gy{\frac {y\prime ^{2}}{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}}+\lambda {\frac {y\prime ^{2}}{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}}\right]=C,$
donde $\lambda$ es un multiplicador de Lagrange.
Es posible simplificar la ecuación diferencial de la forma siguiente:
    ${\frac {g\rho y-\lambda }{\sqrt {1+y'^{2}}}}=C.$
Al resolver esta ecuación se obtiene el coseno hiperbólico, donde $C_{0}$ es una segunda constante obtenida de la integración
    $y={\frac {C}{\mu g}}\cosh \left[{\frac {\mu g}{C}}(x+C_{0})\right]-{\frac {\lambda }{\mu g}}.$
Las tres incógnitas $C$, $C_{0}$ y $\lambda$ se pueden resolver utilizando las restricciones para los puntos finales de la cadena y la longitud del arco $l$, aunque a menudo es muy difícil obtener una solución de forma cerrada.