# Factor de inflación de la varianza

En estadística, el factor de inflación de la varianza (FIV, a veces también conocido por su nombre en inglés, variance inflation factor, y de ahí VIF) cuantifica la intensidad de la multicolinealidad en un análisis de regresión normal de mínimos cuadrados. Proporciona un índice que mide hasta qué punto la varianza (el cuadrado de la desviación estándar estimada) de un coeficiente de regresión estimado se incrementa a causa de la colinealidad.

## Definición

Consideremos el siguiente modelo lineal con k variables independientes
    Y = β$_0$ + β$_1$ X$_1$ + β$_2$ X $_2$ + ... + β$_k$ X$_k$ + ε.
El error estándar de la estimación de β$_j$ es la raíz cuadrada del elemento j+1 de la diagonal de s$^2$(X$^′$X)$^{−1}$, donde s es la raíz del error cuadrático medio (RECM) (recordemos que RECM$^2$ es un estimador insesgado de la varianza, $\sigma ^{2}$, del término del error, ε); X es la matriz de diseño de la regresión -una matriz en la que X$_{i,j+1}$ es el valor de la j enésima variable independiente para el i enésimo caso u observación, o dicho de otro modo, cada una de las columnas de X es el vector de observaciones de la variable j; y siendo X$_{i,1}$ (donde hemos hecho j=0, por lo que estamos hablando de la primera columna) el vector constante con todos sus valores iguales a 1 para todo i (esta primera columna es la "variable" asociada a la ordenada en el origen, β$_0$) -. Resulta que el cuadrado de este error estándar, la varianza estimada de la estimación de β$_j$, puede expresarse de manera equivalente como:
    ${\rm {\widehat {var}}}({\hat {\beta }}_{j})={\frac {s^{2}}{(n-1){\widehat {\rm {var}}}(X_{j})}}\cdot {\frac {1}{1-R_{j}^{2}}},$
donde R$_j$$^2$ es el coeficiente de determinación R$^2$ de la regresión lineal múltiple de X$_j$ sobre otras covariables (una regresión que no involucra la variable dependiente Y) y ${\hat {\beta }}_{j}$ son los estimadores de los β$_j$. Esta identidad separa las influencias de varios factores diferentes sobre la varianza del estimador del coeficiente:
* s$^2$: cuanto mayor sea la dispersión en los datos de la representación de la regresión, proporcionalmente mayor será la varianza en los estimadores de los coeficientes.
* n: cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, proporcionalmente menor resultará la varianza en los estimadores del coeficiente.
* ${\widehat {\rm {var}}}(X_{j})$: cuanto mayor sea la variabilidad en una covariable particular, proporcionalmente menor será la varianza del estimador del coeficiente correspondiente.
El factor que queda, 1 / (1 − R$_j$$^2$), es el factor de inflación de la varianza. Expresa todas las demás causas que influyen sobre la incertidumbre de los estimadores de los coeficientes.

## Cálculo y análisis

Se pueden calcular los k factores de inflación de la varianza diferentes (uno para cada X$_i$) en tres pasos:

### Primer paso

En primer lugar se realiza una regresión de mínimos cuadrados que tenga a X$_i$ como una función de las demás variables explicativas de la primera ecuación.
Si i = 1, por ejemplo, la ecuación sería:
    $X_{1}=\alpha _{2}X_{2}+\alpha _{3}X_{3}+\cdots +\alpha _{k}X_{k}+c_{0}+e$
donde c$_0$ es una constante y e es el error.

### Segundo paso

En segundo lugar, se calcula el factor de inflación de la varianza para ${\hat {\beta }}_{i}$ con la siguiente fórmula:
    $\mathrm {FIV_{i}} ={\frac {1}{1-R_{i}^{2}}}$
donde R$^2$$_i$ es el coeficiente de determinación de la ecuación de regresión del primer paso, con $X_{i}$ en el lado izquierdo y el resto de variables predictivas en el derecho.

### Tercer paso

Se analiza la magnitud de la multicolinealidad considerando el tamaño de $\operatorname {FIV} ({\hat {\beta }}_{i})$. Si $\operatorname {FIV} ({\hat {\beta }}_{i})>10$, la multicolinealidad es alta.