# Teorema de representación de Riesz

Hay varios teoremas bien conocidos en el análisis funcional mencionados como el teorema de representación de Riesz.

## El teorema de representación de espacios de Hilbert

Este teorema establece una conexión importante entre un espacio de Hilbert y su espacio dual: si el cuerpo de base son los números reales, los dos son isométricamente isomorfos; si el cuerpo de base son los números complejos, los dos son isométricamente anti-isomorfos. El teorema es la justificación para la notación bra-ket popular en el tratamiento matemático de la mecánica cuántica.
Sea $H$ un espacio de Hilbert, y $H'$ su espacio dual, consistente en el conjunto de todos los funcionales lineales continuos de $H$ en el cuerpo base $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$. Si $x$ es un elemento de $H$, entonces $\varphi _{x}$ está definido por
    $\varphi _{x}(y)=\langle y,x\rangle \quad \forall y\in H$
es un elemento de $H'$. Donde $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ es un producto interno de $H$. El teorema de representación de Riesz establece que cada elemento de $H'$ puede ser escrito unívocamente de esta forma:
Teorema. La función
    $\Phi :H\rightarrow H',\quad \Phi (x)=\varphi _{x}$
es un (anti) isomorfismo isométrico, significando que:
* Φ es biyectivo.
* Las normas de x y de Φ(x) coinciden: ||x|| = ||Φ(x)||.
* Φ es aditivo: Φ(x$_1$ + x$_2$) = Φ(x$_1$) + Φ(x$_2$).
* Si el cuerpo base es $\mathbb {R}$, entonces Φ(λ x) = λ Φ(x) para todo número real λ.
* Si el cuerpo base es $\mathbb {C}$, entonces Φ(λ x) = λ$^*$ Φ(x) para todo número λ complejo, donde λ$^*$ denota la conjugación compleja de λ. La función inversa de Φ puede ser descrita como sigue.
Dado un elemento $\varphi$ de $H'$, el complemento ortogonal del núcleo de φ es un subespacio unidimensional de $H$. Tómese un elemento diferente de cero z en el subespacio, y el conjunto x =z/||z||. Entonces Φ(x) = φ. El teorema fue probado simultáneamente por Riesz y Fréchet en 1907.

## El teorema de representación para funcionales lineales en C$_c$(X)

El teorema siguiente, representa funcionales lineales positivos en C$_c$(X) el espacio de funciones a valores complejos continuas de soporte compacto. Los conjuntos borelianos en la declaración siguiente refieren a la σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos. Una medida de Borel contable aditiva no negativa $\mu$; en un espacio de Hausdorff localmente compacto X es regular ssi
* µ(K) < ∞ para cada K compacto;
* Para cada conjunto de Borel E,
    $\mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\mbox{ abierto}}\}$
* la relación
    $\mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E\}$
vale siempre que E sea abierto o cuando E es Borel y µ(E) < ∞.
Teorema. Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto. Para cualquier funcional lineal positivo ψ en C$_c$(X), hay (G1) un $\mu$-contable aditivo regular único de la medida de Borel; en X tales que
    $\psi (f)=\int _{X}f(x)d\mu (x)\quad$
para toda f en C$_c$(X). Un enfoque de la teoría de la medida es comenzar con la medida de Radón, definida como funcional lineal positiva en C(X). Ésta es la manera adoptada por Bourbaki; por supuesto asume que X comienza como espacio topológico, más bien que simplemente como conjunto. Para los espacios localmente compactos la teoría de la integración entonces se recupera.

## El teorema de representación para el dual de C$_0$(X)

El teorema siguiente, también conocido como el teorema de Riesz-Markov da una realización concreta del espacio dual de C$_0$(X), el conjunto de las funciones continuas en X que se desvanecen en el infinito. Los conjuntos borelianos determinados en la declaración del teorema se refieren a la σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos. Este resultado es similar al resultado de la sección precedente, pero no incluye el resultado anterior. Vea la observación técnica abajo. Si µ es una medida contable aditiva complejo-valorada de Borel, µ es regular ssi la medida contable aditiva no negativa |µ| es regular según lo definido arriba.
Teorema. sea un espacio de Hausdorff localmente compacto X. Para cualquier funcional lineal continua ψ en C$_0$(X), hay una medida contable de Borel regular única complejo-aditiva µ ; en X tal que:
    $\psi (f)=\int _{X}f(x)d\mu (x)\quad$
para toda f en C$_0$(X). La norma de ψ como funcional lineal es la variación total de µ, esto es
    $\|\psi \|=|\mu |(X).$
finalmente, ψ es positivo ssi la medida μ es no negativa.
Observación. Un funcional lineal positivo en C$_c$(X) puede no extenderse a un funcional lineal acotado de C$_0$(X). Por esta razón los resultados anteriores se aplican a situaciones sutilmente modificadas.
* Datos: Q1357684