OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Halapoulivaati Vaitai

Halapoulivaati Vaitai (Haltom City, Texas, 16 de junio de 1993) apodado Big V, es un jugador profesional estadounidense de fútbol americano que se desempeña en la posición de lineman en Detroit Lions, equipo de la National Football League (NFL).

## Carrera

Fue seleccionado en la quinta ronda en la Reunión Anual de Selección de Jugadores de la NFL de 2016. Hizo su debut profesional con el equipo Philadelphia Eagles, en el cual jugó cuatro temporadas (2016-2020), luego pasó a Detroit Lions, donde lleva jugando cuatro temporadas.
# Hans Christian Lyngbye

Hans Christian Lyngbye (Blenstrup, 29 de junio de 1782 - Søborg, 18 de mayo de 1837) fue un párroco luterano, botánico y algólogo danés.

## Biografía

Era hijo del profesor Jens Michelsen Lyngbye. Asistió a la escuela de latín en Aalborg, hasta 1802 cuando tuvo como su tutor a un sacerdote, en la isla de Vendsyssel. Estudió botánica y teología y se graduó en 1812 Luego trabajó con el botánico Niels Hofman Bang (1776-1855), despertándole interés en las algas. Ganó un concurso establecido por la Universidad de Copenhague y, como resultado, Hornemann pagó por la impresión de su trabajo sobre las algas, Tentamen Hydrophytologiæ Danica, que fue publicado en 1819 contenía descripciones minuciosas de 321 especies de algas marinas con ilustraciones de 70, incluyendo 7 nuevos géneros y 50 especies nuevas y creó conciencia de la flora de algas de Dinamarca, Noruega, las islas Feroe y Groenlandia.
En 1817, visitó las islas Feroe, y escribió un tratado sobre ballenas piloto y la caza de ballenas. También estaba fascinado por las viejas fábulas de las islas Feroe, y de sus baladas, haciendo una colección de ellos, yendo tan lejos como para aprender el antiguo idioma de las Feroe con el fin de ser capaz de escribirlas. Una de ellas, fue Loka Táttur, una descripción poco común de dioses nórdicos, en el folclore.
Desde 1819, trabajó como sacerdote, primero en Gjesing y Nørager y más tarde en la costa en Søborg y Gilleleje. Allí pudo proseguir sus estudios de algas.
En 1836, escribió una disertación doctoral, aprovechando que para el 300º aniversario de la Univ. de Copenhague no necesitaba estar presente, enviándola, pero permaneció olvidado en el bolsillo de la capa del mensajero de transporte a la Universidad de Copenhague, y se pasó la fecha límite. Murió al año siguiente. La parte botánica de la tesis fue publicada recién en 1879.

## Algunas publicaciones

* 1819 - Hydrophytologia Danica, sobre las algas danesas, noruegas y de las Islas Feroe con 70 paneles.
* 1822 - Færøiske Qvæder om Sigurd Fofnersbane og hans Æt : med et Anhang / samlede og oversatte af Hans Christian Lyngbye ; med en Indledning af P.E. Müller. - Randers: 1822. [2 vols.] xxiii, 592 pp. (sin cambios, Nachdruck, Tórshavn 1980).

## Honores

* 1818: medalla de plata de la Sociedad Científica de Dinamarca.

### Eponimia
#### Género de alga

* (Cyanobacteria) Lyngbya Agardh ex Gomont, 1892

#### Especies de fanerógama

* (Cyperaceae) Carex lyngbyei Hornem.
* La abreviatura «Lyngb.» se emplea para indicar a Hans Christian Lyngbye como autoridad en la descripción y clasificación científica de los vegetales.
# Bahaba chaptis

Bahaba chaptis es una especie de pez de la familia Sciaenidae en el orden de los Perciformes.

## Morfología

* Los machos pueden llegar alcanzar los 50 cm de longitud total.

## Hábitat

Es un pez de clima tropical y bentopelágico.

## Distribución geográfica

Se encuentra en el Índico oriental: Bengala Occidental (la India) y Birmania.

## Observaciones

Es inofensivo para los humanos.
# Gustav Heinrich Otth

Gustav Heinrich Otth ( 1806 -1874 ) fue un botánico y micólogo alemán.

## Algunas publicaciones

* Otth, GH. 1861. Über die Brand- und Rostpilze. Mitteilungen der Naturforschenden Gesellschaft in Bern 1861: 57-88
* Otth, GH. 1863. Vierter Nachtrag zu dem in Nº 15-23 der Mittheilungen enthaltenen Verzeichnisse Schweizerischer Schwämme von Trog. Mitteilungen der Naturforschenden Gesellschaft in Bern 1863: 70-90
* Otth, GH. 1868. Sechster Nachtrag zu dem in Nº 15-23 der Mittheilungen enthaltenen Verzeichnisse Schweizerischer Schwämme von Trog. Mitteilungen der Naturforschenden Gesellschaft in Bern 1868: 37-88
* Otth, GH. 1868, publ. 1869. Sechster Nachtrag zu dem in Nº 15-23 der Mittheilungen enthaltenen Verzeichnisse Schweizerische Pilze von Trog. Mitteilungen der Naturforschenden Gesellschaft in Bern 1868: 37-88
* Otth, GH. 1870. Siebenter Nachtrag zu dem in Nº 15-23 der Mittheilungen enthaltenen Verzeichnisse Schweizerischer Schwämme von Trog und Fortsetzung der Nachträge vom Jahr 1846, 1850, 1857, 1865 & 1868. Mitteilungen der Naturforschenden Gesellschaft in Bern 1870: 88-115
* La abreviatura «G.H.Otth» se emplea para indicar a Gustav Heinrich Otth como autoridad en la descripción y clasificación científica de los vegetales.
# Bathynomus

Bathynomus es un género de grandes crustáceos isópodos que comprende unas 20 especies. Abundan en las aguas frías y profundas del Océano Atlántico. Bathynomus giganteus, la especie en que se basa el tipo nomenclatural, es el isópodo más grande conocido y al que normalmente se refiere el término «isópodo gigante». Debido a su parecido con los oniscideos (cochinillas o bichos bolita) a veces han sido llamados «chanchitos de tierra gigante» o «bichos bolita gigante».

## Descubrimiento

El zoólogo francés Alphonse Milne-Edwards describió el género en 1879 a partir de un ejemplar juvenil macho de B. giganteus capturado en el golfo de México; este descubrimiento fue relevante debido a que en el momento de producirse, la idea de que existiera vida en el océano profundo había sido recientemente enunciada por Charles Wyville Thomson y otros. Ejemplares hembra no fueron capturados y estudiados hasta 1891.

## Especies de Bathynomus

Según el Registro Mundial de Especies Marinas, a fecha de noviembre de 2023:
* Bathynomus affinis Richardson, 1910
* Bathynomus brucei Lowry & Dempsey, 2006
* Bathynomus bruscai Lowry & Dempsey, 2006
* Bathynomus crosnieri Lowry & Dempsey, 2006
* Bathynomus decemspinosus Shih, 1972
* Bathynomus doederleini Ortmann, 1894
* Bathynomus giganteus A. Milne Edwards, 1879
* Bathynomus immanis Bruce, 1986
* Bathynomus jamesi Kou, Chen & Li, 2017
* Bathynomus kapala Griffin, 1975
* Bathynomus keablei Lowry & Dempsey, 2006
* Bathynomus kensleyi Lowry & Dempsey, 2006
* Bathynomus lowryi Bruce & Bussarawit, 2004
* Bathynomus maxeyorum Shipley, Brooks & Bruce, 2016
* Bathynomus miyarei Lemos de Castro, 1978
* Bathynomus obtusus Magalhaes & Young, 2003
* Bathynomus pelor Bruce, 1986
* Bathynomus propinquus Richardson, 1910
* Bathynomus raksasa Sidabalok, Wong & Ng, 2020
* Bathynomus richeri Lowry & Dempsey, 2006
* Bathynomus yucatanensis Huang, Kawai & Bruce, 2022
* Bathynomus doederleinii
* Bathynomus giganteus
# Dana Schmunk

Dana Schmunk (28 de julio de 1975) es un deportista estadounidense que compitió en remo. Ganó una medalla de plata en el Campeonato Mundial de Remo de 2002, en la prueba de dos con timonel.

## Palmarés internacional

Campeonato Mundial :
| Año | Lugar | Medalla | Prueba |
| 2002 | Sevilla (España) | 02 ! | Dos con timonel |
# El calendario de Navidad

El calendario de Navidad (en inglés: The Holiday Calendar) es una película estadounidense navideña de comedia romántica dirigida por Bradley Walsh a partir de un guion de Amyn Kaderali. La película es protagonizada por Kat Graham, Quincy Brown, Romaine Waite, y Ron Cephas Jones.
Fue estrenada el 2 de noviembre de 2018, por Netflix.

## Reparto

* Kat Graham como Abby Sutton.
* Quincy Brown como Josh.
* Ethan Peck como Ty Walker.
* Ron Cephas Jones como el Abuelo de Sutton.
* Kevin Hanchard como Rudolph Sutton.
* Romaine Waite como Mitch.
* Genelle Williams como Sarah Sutton.
* Laura de Carteret como Judy Sutton.
* Rodrigo Fernández-Stoll como Fernando.
* Harris Shore Ralphie.
* Ali Hassan como Singh.

## Producción

En abril de 2018, se informó que Bradley Walsh dirigiría Christmas Calendar para Netflix a partir de un guion de Amyn Kaderali. Además, Kat Graham, Quincy Brown, y Romaine Waite se unieron al elenco de la película. La película fue posteriormente re-titulada The Holiday Calendar.

## Estreno

Fue estrenada el 2 de noviembre de 2018 por Netflix.
# Costa Chica

El término Costa Chica puede referirse:

## En Argentina

* a la Costa Chica, una localidad de la Argentina;

## En México

* a la Costa Chica, una región del estado de Guerrero;
* a la Costa Chica, una región del estado de Oaxaca.
# Croutoy

Croutoy es una población y comuna francesa, en la región de Picardía, departamento de Oise, en el distrito de Compiègne y cantón de Attichy.

## Demografía

Evolución demográfica de Croutoy :
| 1962 | 1968 | 1975 | 1982 | 1990 | 1999 |
| 168 | 165 | 150 | 163 | 161 | 173 |
| Para los censos de 1962 a 1999 la población legal corresponde a la población sin duplicidades (Fuente: INSEE) ||||||
# Ctenobrycon alleni

Ctenobrycon alleni es una especie de peces de la familia Characidae en el orden de los Characiformes.

## Morfología

Los machos pueden llegar alcanzar los 8 cm de longitud total.

## Hábitat

Vive en zonas de clima tropical.

## Distribución geográfica

Se encuentran en Sudamérica: cuenca del río Paraguay.
# 18.º distrito congresional de Texas

El 18.º distrito congresional es un distrito congresional que elige a un Representante para la Cámara de Representantes de los Estados Unidos por el estado de Texas. Según la Oficina del Censo, en 2011 el distrito tenía una población de 711 455 habitantes. Actualmente el distrito está representado por la Demócrata Sheila Jackson Lee.

## Geografía

El 18.º distrito congresional se encuentra ubicado en las coordenadas 29°49′7″N 95°15′13″O﻿ / ﻿29.81861, -95.25361.

## Demografía

Según la Oficina del Censo de los Estados Unidos, en 2011 había 711 455 personas residiendo en el 18.º distrito congresional. De los 711 455 habitantes, el distrito estaba compuesto por 340 836 (47.9%) blancos; de esos, 333 128 (46.8%) eran blancos no latinos o hispanos. Además 263 336 (37%) eran afroamericanos o negros, 2 374 (0.3%) eran nativos de Alaska o amerindios, 25 468 (3.6%) eran asiáticos, 210 (0%) eran nativos de Hawái o isleños del Pacífico, 76 891 (10.8%) eran de otras razas y 10 048 (1.4%) pertenecían a dos o más razas. Del total de la población 304 148 (42.8%) eran hispanos o latinos de cualquier raza; 242 396 (34.1%) eran de ascendencia mexicana, 2 222 (0.3%) puertorriqueña y 1 358 (0.2%) cubana. Además del inglés, 4 880 (37%) personas mayor a cinco años de edad hablaban español perfectamente.
El número total de hogares en el distrito era de 244 036, y el 64.5% eran familias en la cual el 33 tenían menores de 18 años de edad viviendo con ellos. De todas las familias viviendo en el distrito, solamente el 36.7% eran matrimonios. Del total de hogares en el distrito, el 5.7 eran parejas que no estaban casadas, mientras que el 0.6% eran parejas del mismo sexo. El promedio de personas por hogar era de 2.84.
En 2011 los ingresos medios por hogar en el distrito congresional eran de US$36 853, y los ingresos medios por familia eran de US$58 431. Los hogares que no formaban una familia tenían unos ingresos de US$90 399. El salario promedio de tiempo completo para los hombres era de US$35 583 frente a los US$32 226 para las mujeres. La renta per cápita para el distrito era de US$20 207. Alrededor del 26.8% de la población estaban por debajo del umbral de pobreza.
# 18.º distrito electoral de Chile

El decimoctavo distrito electoral de Chile es un distrito electoral ubicado en la Región del Maule que elige cuatro diputados para la Cámara de Diputados de Chile. Fue creado en 2018 a partir de los antiguos trigesimonoveno y cuadragésimo distritos. Según el censo de 2017, posee 343 301 habitantes.

## Composición

El distrito está compuesto por las siguientes comunas:
| Cauquenes Chanco Pelluhue Colbún Linares Longaví | Parral Retiro San Javier Villa Alegre Yerbas Buenas |

## Representación

Diputados por el 18.° distrito electoral de Chile (2018-) :
| Legislatura | Elección | Distribución |
| LV | 2017 | 2 1 1 |
| LVI | 2021 | 2 1 1 |

### Diputados

* Pactos y partidos políticos
* Chile Vamos      La Fuerza de la Mayoría      Convergencia Democrática      Chile Podemos +      Nuevo Pacto Social      Apruebo Dignidad
| Periodo | Diputado | Diputado | Diputado | Diputado | Diputado | Diputado | Diputado | Diputado | Diputado | Diputado | Diputado | Diputado | Mandato |
| LV | | Rolando Rentería Möller | | | Ignacio Urrutia Bonilla | | | Jaime Naranjo Ortiz | | | Manuel José Matta Aragay | | 11 de marzo de 2018-11 de marzo de 2022 |
| LVI | | Gustavo Benavente Vergara | | | Paula Labra Besserer | | | Jaime Naranjo Ortiz | | | Consuelo Veloso Ávila | | 11 de marzo de 2022-En el cargo |
# 18.º distrito congresional de Illinois

El 18.º distrito congresional es un distrito congresional que elige a un Representante para la Cámara de Representantes de los Estados Unidos por el estado de Illinois. Según la Oficina del Censo, en 2011 el distrito tenía una población de 664 791 habitantes. Actualmente el distrito está representado por el Republicano Aaron Schock.

## Geografía

El 18.º distrito congresional se encuentra ubicado en las coordenadas 40°13′38″N 90°4′9″O﻿ / ﻿40.22722, -90.06917.

## Demografía

Según la Oficina del Censo de los Estados Unidos, en 2011 había 664 791 personas residiendo en el 18.º distrito congresional. De los 664 791 habitantes, el distrito estaba compuesto por 597 970 (89.9%) blancos; de esos, 587 380 (88.4%) eran blancos no latinos o hispanos. Además 50 336 (7.6%) eran afroamericanos o negros, 1 072 (0.2%) eran nativos de Alaska o amerindios, 9 773 (1.5%) eran asiáticos, 63 (0%) eran nativos de Hawái o isleños del Pacífico, 4 952 (0.7%) eran de otras razas y 11 215 (1.7%) pertenecían a dos o más razas. Del total de la población 17 760 (2.7%) eran hispanos o latinos de cualquier raza; 13 320 (2%) eran de ascendencia mexicana, 1 453 (0.2%) puertorriqueña y 293 (0%) cubana. Además del inglés, 624 (2.1%) personas mayor a cinco años de edad hablaban español perfectamente.
El número total de hogares en el distrito era de 266 872, y el 65.8% eran familias en la cual el 27.6 tenían menores de 18 años de edad viviendo con ellos. De todas las familias viviendo en el distrito, solamente el 51.5% eran matrimonios. Del total de hogares en el distrito, el 5.2 eran parejas que no estaban casadas, mientras que el 0.4% eran parejas del mismo sexo. El promedio de personas por hogar era de 2.39.
En 2011 los ingresos medios por hogar en el distrito congresional eran de US$49 281, y los ingresos medios por familia eran de US$75 687. Los hogares que no formaban una familia tenían unos ingresos de US$94 417. El salario promedio de tiempo completo para los hombres era de US$47 440 frente a los US$34 958 para las mujeres. La renta per cápita para el distrito era de US$26 123. Alrededor del 9.6% de la población estaban por debajo del umbral de pobreza.
# Criodion

Criodion es un género de escarabajos longicornios.

## Especies

* Criodion angustatum Buquet, 1852
* Criodion antennatum Gahan, 1892
* Criodion cinereum (Olivier, 1795)
* Criodion dejeani Gahan, 1892
* Criodion fulvopilosum Gahan, 1892
* Criodion murinum Nonfried, 1895
* Criodion pilosum Lucas, 1857
* Criodion rhinoceros Bates, 1870
* Criodion subpubescens Martins & Monne, 2005
* Criodion tomentosum Audinet-Serville, 1833
* Criodion torticolle Bates, 1870
* Criodion tuberculatum Gahan, 1892
# Cryptocephalus etruscus

Cryptocephalus etruscus es una especie de insecto coleóptero de la familia Chrysomelidae.
Fue descrita científicamente en 1995 por Sassi.
# Cryptocephalus exiguus

Cryptocephalus exiguus es una especie de insecto coleóptero de la familia Chrysomelidae.
Fue descrita científicamente en 1792 por Schneider.
# 2.º Batallón Aéreo de Reemplazo

El 2º Batallón Aéreo de Reemplazo (2. Flieger-Ersatz-Abteilung) fue una unidad de la Luftwaffe de la Alemania nazi.

## Historia

Fue formado en agosto de 1935 en Quedlinburg. El 1 de octubre de 1935 es renombrado como 12.º Batallón Aéreo de Reemplazo.
# Crugers

Crugers es un lugar designado por el censo ubicado en el condado de Westchester en el estado estadounidense de Nueva York. En el año 2000 tenía una población de 1,752 habitantes y una densidad poblacional de 967 personas por km². Crugers se encuentra ubicado dentro del pueblo de Cortland.

## Geografía

Crugers se encuentra ubicado en las coordenadas 41°13′59″N 73°55′18″O﻿ / ﻿41.23306, -73.92167. Según la Oficina del Censo, la ciudad tiene un área total de 3,3 km² (1,3 mi²), de la cual 1,8 km² (0,7 mi²) es tierra y 1,4 km² (0,5 mi²) (44.44%) es agua.

## Demografía

Según la Oficina del Censo en 2000 los ingresos medios por hogar en la localidad eran de $30,375, y los ingresos medios por familia eran $86,598. Los hombres tenían unos ingresos medios de $58,571 frente a los $55,081 para las mujeres. La renta per cápita para la localidad era de $29,643. Alrededor del 5.6% de la población estaban por debajo del umbral de pobreza.
# A-367

La carretera A-367 es una carretera autonómica andaluza de la provincia de Málaga, que conecta a la ciudad de Ronda con la carretera A-357.
Tiene su punto de origen en la Avda de Málaga de Ronda, donde se une esta carretera con las autonómicas A-374, A-397 y A-366. Continúa hacia el nordeste hacia Cuevas del Becerro, más adelante tiene enlaces con las carreteras provinciales MA-6401 y MA-5404, que la comunican con Cañete la Real y Teba respectivamente. Finaliza en un enlace con la A-357 (Campillos-Málaga), a la altura de Ardales. El recorrido se puede continuar hacia Málaga por esta carretera.
La A-367 está en conversión a autovía, junto a la A-357, en el eje Málaga-Ronda-Campillos. Se ha adjudicado la redacción del proyecto de desdoble de 4km desde el inicio de la vía hasta la urbanización "Los Pinos".
# Cuartel de la Policía de Investigaciones de Chillán

El Cuartel de la Policía de Investigaciones de Chillán es un recinto de seguridad de la ciudad de Chillán, en Chile. El lugar es utilizado por la Brigada de Delitos Sexuales de Chillán, el Laboratorio de Criminalística Regional, el Departamento de Asesoría Técnica y la Brigada de Homicidios de Chillán. Durante la dictadura militar, el recinto fue utilizado como lugar de detención y torturas a prisioneros políticos.

## Historia

Los detenidos podían provenir de la Cárcel de Chillán y la Cárcel de Mujeres Buen Pastor de Chillán, y desde aquí eran trasladados al Regimiento de Infantería n.º 9 "Chillán", siendo en los primeros años de dictadura, cuando hay mayor cantidad de detenidos en el lugar. Producto de la cercanía entre la Segunda Comisaría de Chillán y el Cuartel, existía un constante traslado de detenidos entre ambas entidades.
Según testimonios de víctimas de violaciones de los derechos humanos, las sesiones de tortura incluían la presencia de carabineros, militares, detectives y civiles de la ciudad de Chillán, y entre estos civiles, se encontraban otras personas que también eran o iban a ser torturadas, de manera obligada. La tortura más común, era la aplicación de electricidad en genitales, rodillas o tobillos.
# Cubo de Necker

El cubo de Necker es una ilusión óptica publicada por primera vez en 1832 por el cristalógrafo suizo Louis Albert Necker. Es un sencillo dibujo de un cubo con trazos lineales, sin indicaciones visuales sobre su orientación, por lo que se puede interpretar que tiene ya sea el lado superior derecho o el lado inferior izquierdo como su lado frontal.
Este efecto es interesante porque cada parte de la imagen es ambigua por sí misma, hasta que el sistema perceptivo visual selecciona una de las dos interpretaciones posibles.
El cubo de Necker se utiliza en estudios de percepción visual humana.
# Criterio de condensación de Cauchy

En matemáticas, el Criterio de condensación de Cauchy es una prueba de convergencia para una serie infinita, que toma su nombre de Augustin Louis Cauchy, matemático francés. Sea
    ${a_{n}}$
una serie monótona de números positivos decrecientes, entonces
    $\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}$
converge si y sólo si la serie $\sum _{n=1}^{\infty }{2^{n}a_{2^{n}}}$ converge. Por otra parte, en este caso tenemos
    $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).$
Una visión geométrica es que nos aproximamos a la suma de trapecios en cada $2^{n}$. Otra explicación es que, como en la analogía entre las sumas finitas e integrales, la "condensación" de los términos es análoga a una sustitución de una función exponencial. Esto se hace más evidente en ejemplos como
    $\ f(n)=n^{-a}(\log n)^{-b}(\log \log n)^{-c}.$
Aquí las series definitivamente convergen para un a > 1, y diverge para a < 1. Cuando a = 1, el criterio de transformación esencialmente da la serie
    $\sum n^{-b}(\log n)^{-c}$
El logaritmo 'cambia hacia la izquierda'. Así entonces para a = 1, tenemos convergencia para b > 1, divergencia para b < 1. Cuando b = 1 el valor de c es necesario.

## Demostración

Sea f(n) positiva, una secuencia decreciente de números reales. Para simplificar la notación, escribiremos a$_n$ = f(n). Investigaremos las series $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$. El criterio de condensación sigue de la observación si reunimos los términos de la serie en grupos de longitud $2^{n}$, cada uno de estos grupos será menor que $2^{n}$ a $2^{n}a_{2^{n}}$ por monotonía. Observemos:
    ${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}&=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+\cdots +a_{2^{n}}+a_{2^{n}+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}+\cdots \\&=a_{1}+\underbrace {a_{2}+a_{3}} _{\leq a_{2}+a_{2}}+\underbrace {a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}} _{\leq a_{4}+a_{4}+a_{4}+a_{4}}+\cdots +\underbrace {a_{2^{n}}+a_{2^{n}+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}} _{\leq a_{2^{n}}+a_{2^{n}}+\cdots +a_{2^{n}}}+\cdots \\&\leq a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+\cdots +2^{n}a_{2^{n}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}.\end{aligned}}$
Usamos el hecho que la secuencia a$_n$ no es creciente, por lo tanto $a_{n}\leq a_{m}$ siempre que $n\geq m$. La convergencia de la serie original ahora sigue de una directa comparación a esta serie "condensada". Para ver la convergencia de la serie original implica la convergencia de esta última, de manera similar ponemos,
    ${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}&=\underbrace {a_{1}+a_{2}} _{\leq a_{1}+a_{1}}+\underbrace {a_{2}+a_{4}+a_{4}+a_{4}} _{\leq a_{2}+a_{2}+a_{3}+a_{3}}+\cdots +\underbrace {a_{2^{n}}+a_{2^{n+1}}+\cdots +a_{2^{n+1}}} _{\leq a_{2^{n}}+a_{2^{n}}+a_{(2^{n}+1)}+a_{(2^{n}+1)}+\cdots +a_{(2^{n+1}-1)}}+\cdots \\&\leq a_{1}+a_{1}+a_{2}+a_{2}+a_{3}+a_{3}+\cdots +a_{n}+a_{n}+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.\end{aligned}}$
Teniendo una convergencia, nuevamente por comparación directa. Se observa que se obtiene un estimado
    $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.
# Criterio de Sylvester

En matemáticas el criterio de Sylvester se refiere a varias condiciones para determinar si una matriz simétrica o hermitiana es definida positiva o semidefinida positiva.
Sea $A$ una matriz Hermitiana de orden $n\times n$, entonces:
* Si todo menor principal de $A$ (incluido su propio determinante) es no-negativo, $A$ es una matriz semidefinida positiva.
* Si todo menor principal superior (o inferior) de $A$ es positivo, incluyendo el det($A$), $A$ es definida positiva.
* Si los primeros n-1 menores principales superiores (o los últimos n-1 menores principales inferiores) de $A$ son positivos y además det($A$)$\geq 0$, $A$ es semidefinida positiva.
# Criterio de Rayleigh

El criterio de Rayleigh es una propuesta de John Rayleigh (1842-1919), que expone que dos líneas espectrales son todavía distinguibles si el máximo de uno coincide con el primer mínimo del otro.
La característica esencial de este criterio es que las franjas son precisamente resolubles cuando la irradiancia combinada de ambas franjas en el centro o punto de silla, de la franja ancha resultante es 8/π^2 veces el máximo de la irradiancia, lo cual quiere, sencillamente, decir que se vería una franja ancha brillante con una región central gris.