# Ingreso marginal

En microeconomía, el ingreso marginal es el cambio en el ingreso total que se produce cuando la cantidad vendida se incrementa una unidad, es decir, al incremento del ingreso total que supone la venta adicional de una unidad de un determinado bien. Matemáticamente, la función del ingreso marginal $IM$ es expresada como la derivada primera de la función del ingreso total $IT$ con respecto a la cantidad.
$IT=P\cdot Q$
Así es la derivada de un producto:
$IM={\frac {dIT}{dQ}}={\frac {dP}{dQ}}\cdot Q+{\frac {dQ}{dQ}}\cdot P=P+Q\cdot {\frac {dP}{dQ}}$.

## Ingreso marginal y equilibrio de la empresa.

La condición de equilibrio de la empresa que desea maximizar su beneficio es ingreso marginal igual a coste marginal. El modelo más extendido para determinar la cantidad que deben producir las empresas, parte de la premisa, bastante realista, de que estas desean como objetivo único maximizar el beneficio obtenido. Los beneficios se definen como los ingresos menos los costes.
* $\ B=P(Q)\times Q-C(Q)$
Por tanto, desde el punto de vista matemático, maximizar la función de beneficio significa que la primera derivada de esa función sea igual a cero y de esa manera en el equilibrio, el ingreso marginal será igual al coste marginal.
* $\ {\frac {dB}{dQ}}={\frac {d(P\cdot Q)}{dQ}}-{\frac {dC(Q)}{dQ}}=IM-CM=0$
* $\ IM=CM$

## Ingreso Marginal y elasticidad de la demanda

Partiendo de la fórmula de la elasticidad demanda precio:
    $E_{p}={\frac {P}{Q_{d}}}\times {\frac {dQ_{d}}{dP}}\Rightarrow {\frac {P}{E_{p}}}=\ {Q_{d}}\times {\frac {dP}{dQ_{d}}}$
Sustituyendo en la fórmula que describe el ingreso marginal, nos queda una fórmula que relaciona el ingreso marginal con la elasticidad precio de la demanda:
$IM={\frac {dIT}{dQ}}={\frac {dP}{dQ}}\cdot Q+{\frac {dQ}{dQ}}\cdot P=P+Q\cdot {\frac {dP}{dQ}}=P+{\frac {P}{E_{p}}}=\ P\times \left(\ 1+{\frac {1}{E_{p}}}\right)=\ P\times \left(\ 1-{\frac {1}{|E_{p}|}}\right)$.

### Elasticidad e ingreso total (Variaciones en el precio e ingreso total)

Cuando la elasticidad en valor absoluto es 1, el ingreso marginal es cero, puesto que esto significa que el incremento del precio se ve compensado por la disminución de la cantidad demandada sin variar por tanto el ingreso total.
* Si la elasticidad es inferior a 1, la subida del precio conlleva un ingreso marginal menos negativo que el del tramo de demanda que se pierde al aumentar el precio y por tanto sube el ingreso total.
* Si la elasticidad es superior a 1, la subida del precio conlleva menos tramo de ingreso marginal positivo al verse reducida la cantidad demandada por el aumento de precio y por tanto desciende el ingreso total.

### Elasticidad e ingreso marginal (Variaciones en la cantidad producida e ingreso total)

De acuerdo con la fórmula que desarrolla el ingreso marginal y lo vincula con la elasticidad:
* Si la demanda es inelástica, el ingreso marginal (la variación del ingreso cuando aumenta una unidad de cantidad producida) es negativo. Por lo que el ingreso disminuye cuando aumenta la producción.
* Si la demanda es elástica (elasticidad > 1), el ingreso marginal será positivo. Por lo que el ingreso aumenta cuando aumenta la producción.

## Ingreso marginal en competencia perfecta

En competencia perfecta el precio se comporta como una constante con lo que en la derivada del ingreso $\left({\frac {dP}{dQ}}=0\right)$ y así el ingreso marginal que como se ha expuesto antes es $IM={\frac {dIT}{dQ}}={\frac {dP}{dQ}}\cdot Q+{\frac {dQ}{dQ}}\cdot P=0\cdot Q+P=P$, es decir ingreso marginal es igual al precio y la condición de equilibrio precio igual al coste marginal.

## Ingreso marginal y el monopolio

En un monopolio la elevación del precio producirá una disminución de las venta y el ingreso irá descendiendo, así: (${\frac {dP}{dQ}}<0$) y por tanto el ingreso marginal es menor que el precio.
De acuerdo con la relación entre ingreso marginal y elasticidad, un monopolista nunca elegirá un punto en la que la curva de demanda sea inelástica pues si la elasticidad es menor que uno el ingreso marginal será negativo y en consecuencia, probablemente no podrá ser igual al coste marginal. En consecuencia el punto que produce un beneficio máximo se tiene que encontrar situado donde la elasticidad sea mayor que 1.

### Caso especial: curva inversa de demanda de carácter lineal

En el caso especial que la curva inversa de demanda sea de carácter lineal:
    $p=a-b\cdot Q$, el ingreso será:$IT=P\cdot Q$. y por tanto: $IT=a\cdot Q-b\cdot Q^{2}$.
y por tanto el :$IM=a-2\cdot b\cdot Q$
En la figura 1 se muestra el trazado de la demanda y del ingreso marginal, en este último caso.