# Ángulos de Euler

Los ángulos de Euler constituyen un conjunto de tres coordenadas angulares que sirven para especificar la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro sistema de referencia de ejes ortogonales normalmente fijos.
Fueron introducidos por Leonhard Euler en mecánica del sólido rígido para describir la orientación de un sistema de referencia solidario con un sólido rígido en movimiento.

## Definición

Dados dos sistemas de coordenadas xyz y XYZ con origen común, es posible especificar la posición de un sistema en términos del otro usando tres ángulos $\alpha ,\beta ,\gamma$.
La definición matemática es estática y se basa en escoger dos planos, uno en el sistema de referencia y otro en el triedro rotado. En el esquema adjunto serían los planos xy y XY. Escogiendo otros planos se obtendrían distintas convenciones alternativas, las cuales se llaman de Tait-Bryan cuando los planos de referencia son no-homogéneos (por ejemplo xy y XY son homogéneos, mientras xy y XZ no lo son).
La intersección de los planos coordenados xy y XY escogidos se llama línea de nodos, y se usa para definir los tres ángulos:
   * $\alpha$ es el ángulo entre el eje x y la línea de nodos.
   * $\beta$ es el ángulo entre el eje z y el eje Z.
   * $\gamma$ es el ángulo entre la línea de nodos y el eje X.
más adelante se establecerá que los tres ángulos de Euler descritos son los valores de las tres rotaciones intrínsecas que describen el sistema.
Notar que también se considera la notación: $\alpha =\phi$, $\gamma =\psi$ y $\beta =\theta$.

## Relación con los movimientos de rotación
### Rotaciones de Euler

Son los movimientos resultantes de variar uno de los ángulos de Euler dejando fijos los otros dos. Tienen nombres particulares:
* Precesión
* Nutación
* Rotación intrínseca
Este conjunto de rotaciones no es ni intrínseco ni extrínseco en su totalidad, sino que es una mezcla de ambos conceptos. La precesión es extrínseca, la rotación intrínseca lógicamente intrínseca, y la nutación es una rotación intermedia, alrededor de la línea de nodos.
Cumplen la siguiente propiedad. Si escribimos la rotación de ángulos $(\phi ,\theta ,\psi )$ como una composición de estas tres rotaciones:
   $A(\phi ,\theta ,\psi )=R(\phi ,\theta ,\psi )N(\phi ,\theta )P(\phi )\,$
entonces se cumple:
    $A(\delta \phi +\phi ,\theta ,\psi )=P(\delta \phi )A(\phi ,\theta ,\psi )$
    $A(\phi ,\delta \theta +\theta ,\psi )=N(\phi ,\delta \theta )A(\phi ,\theta ,\psi )$
    $A(\phi ,\theta ,\delta \psi +\psi )=R(\phi ,\theta ,\delta \psi )A(\phi ,\theta ,\psi )$
Como consecuencia de estas propiedades, estas rotaciones son conmutativas entre ellas:
   $P(\delta \phi )N(\delta \theta )A(\phi ,\theta ,\psi )=A(\delta \phi +\phi ,\delta \theta +\theta ,\psi )=N(\delta \theta )P(\delta \phi )A(\phi ,\theta ,\psi )\,$
lo que también podría verse intuitivamente usando la analogía entre los ángulos de Euler y los de un soporte Cardán

### Otros sistemas de rotaciones equivalentes

Con unas condiciones iniciales determinadas, los ángulos de Euler son equivalentes a una composición de rotaciones:
* Ejes de rotación en Cardán: Sean los sistemas XYZ y xyz idénticos inicialmente, restringidos a movimientos de cardán como los del dibujo.
** Rotar el sistema XYZ alrededor de su único eje posible z en $\alpha$; el sistema xyz no se mueve.
** Rotarlo alrededor de su único eje posible (línea de nodos) por $\beta$.
** Rotarlo respecto al eje Z por $\gamma$.
* Ejes de rotación extrinsecos Sean los sistemas XYZ y xyz idénticos inicialmente.
** Rotar el sistema XYZ alrededor del eje z en $\alpha$; el sistema xyz no se mueve.
** Rotarlo alrededor del eje x por $\beta$.
** Rotarlo respecto al eje z por $\gamma$.
    (Note que el primero y el tercer ejes son idénticos.)
* Ejes de rotación intrínsecos (móviles) Empezar con el sistema XYZ igual al sistema xyz.
** Rotar el sistema XYZ respecto al eje Z en $\gamma$; el sistema xyz no se mueve.
** Rotarlo respecto al ahora rotado eje X por $\beta$.
** Rotarlo ahora respecto al doblemente rotado eje Z por $\alpha$.
    (Nota que los ángulos están en orden inverso.)
Estos tres ángulos $\alpha ,\beta ,\gamma$ son los ángulos de Euler. La equivalencia de estas tres definiciones se verifica abajo. Algunos autores denominan a los ángulos de Euler $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ como $(\phi ,\theta ,\psi )$

### Matrices de rotación y velocidad angular

A partir de la relación entre los ángulos de Euler y el movimiento de los soportes de Cardano, se puede probar que todo sistema de coordenadas puede ser descrito con los tres ángulos de Euler. Si llamamos $[\mathbf {R} ]$ a la matriz de rotación tridimensional que representa la transformación de coordenadas desde el sistema fijo al sistema móvil, el teorema de Euler sobre rotaciones tridimensionales, afirma que existe una descomposición única en términos de los tres ángulos de Euler:
   $[\mathbf {R} ]={\begin{bmatrix}\cos \psi &\operatorname {sen} \psi &0\\-\operatorname {sen} \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\operatorname {sen} \theta \\0&1&0\\-\operatorname {sen} \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \phi &\operatorname {sen} \phi &0\\-\operatorname {sen} \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
Nótese que tras cada uno de los giros el sistema de referencia queda girado, el primer giro de ángulo $\scriptstyle \phi$ es al alrededor del eje Z$_1$, el segundo giro de ángulo $\scriptstyle \theta$ es al alrededor del eje Y$_2$ y el tercer giro de ángulo $\scriptstyle \psi$ es al alrededor del eje Z$_3$. La velocidad angular Ω de un sólido rígido expresada en términos de los ángulos de Euler viene dada por:
    $[{\boldsymbol {\Omega }}]={\begin{Bmatrix}\Omega _{1}\\\Omega _{2}\\\Omega _{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\dot {\theta }}\cos \psi +{\dot {\phi }}\operatorname {sen} \theta \operatorname {sen} \psi \\-{\dot {\theta }}\operatorname {sen} \psi +{\dot {\phi }}\operatorname {sen} \theta \cos \psi \\{\dot {\psi }}+{\dot {\phi }}\cos \theta \end{Bmatrix}}$

## Ángulos de Tait-Bryan

    Artículo principal: Ángulos de navegación
Muchas veces en ingeniería aeronáutica se utiliza el nombre de ángulos de Euler para hablar de los ángulos que en geometría se conocen como ángulos de Tait-Bryan (por el matemático escocés Peter Guthrie Tait (1831-1901)).
Estos ángulos se prefieren en aeronáutica porque le asignan un ángulo de inclinación cero a un avión en horizontal, a diferencia de los ángulos de Euler que le asignarían ${\frac {\pi }{2}}$. Estos ángulos también definen una rotación de forma única alrededor de cada uno de los ejes intrínsecos del objeto. Sin embargo, como ambas son formas de expresar la orientación de un cuerpo, existe una relación entre ellos; pudiéndose expresar unos en función de otros mediante una matriz de transformación.
La matriz de cambio de base del sistema rotado, dados sus ángulos de Tait-Bryan es:
   $R_{\varphi ,\psi ,\theta }={\begin{bmatrix}c_{\psi }c_{\theta }&(c_{\psi }s_{\theta }s_{\varphi }-s_{\psi }c_{\varphi })&(c_{\psi }s_{\theta }c_{\varphi }+s_{\psi }s_{\varphi })\\s_{\psi }c_{\theta }&(s_{\psi }s_{\theta }s_{\varphi }+c_{\psi }c_{\varphi })&(s_{\psi }s_{\theta }c_{\varphi }-c_{\psi }s_{\varphi })\\-s_{\theta }&c_{\theta }s_{\varphi }&c_{\theta }c_{\varphi }\end{bmatrix}}$
En estas expresiones se ha sustituido la expresión "sen" por "s" y "cos" por "c" para simplificar el aspecto tipográfico de los elementos de la matriz y de la matriz en su conjunto.
Algunas veces se los suele llamar incorrectamente "ángulos de Euler", creando confusión con la terminología usada en matemáticas.