# Circuncónica e incónica

En la geometría del triángulo, una circuncónica es una curva cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo dado, y una incónica es una curva cónica inscrita en los lados (incluso extendidos) de un triángulo.
Supóngase que A, B, C son distintos puntos no colineales, y que ΔABC designa el triángulo cuyos vértices son A, B, C. Siguiendo la práctica común, A denota no solo el vértice, sino también el ángulo BAC en el vértice A, y de manera similar para B y C como ángulos en ΔABC. Sean a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|, las longitudes de los lados de ΔABC.
En coordenadas trilineales, una circuncónica general es el lugar geométrico de los puntos X = x : y : z que satisfacen la ecuación
    uyz + vzx + wxy = 0,
para algún punto u : v : w. El conjugado isogonal de cada punto X de la circuncónica, que no sea A, B, C, es un punto de la línea
    ux + vy + wz = 0.
Esta línea coincide con la circunferencia circunscrita de ΔABC en 0, 1 o 2 puntos, según la circuncónica sea una elipse, una parábola o una hipérbola.
Una incónica general es tangente a las tres líneas rectas laterales de ΔABC y está dada por la ecuación
    u$^2$x$^2$ + v$^2$y$^2$ + w$^2$z$^2$ − 2vwyz − 2wuzx − 2uvxy = 0.

## Centros y líneas tangentes
### Circuncónica

El centro de una circuncónica general es el punto
    u (− au + bv + cw) : v (au − bv + cw) : w (au + bv − cw).
Las líneas tangentes a una circuncónica general en los vértices A, B, C son, respectivamente,
    wv + vz = 0,
    uz + wx = 0,
    vx + uy = 0.

### Incónica

El centro de una incónica general es el punto
    cy + bz : az + cx : bx + ay.
Las líneas tangentes a una incónica general son las líneas rectas laterales de ΔABC, dadas por las ecuaciones x = 0, y = 0, z = 0.

## Otras características
### Circuncónica

* Cada circuncónica no circular se corta con la circunferencia circunscrita de ΔABC en un punto que no sea A, B o C, a menudo llamado el cuarto punto de intersección, dado por las coordenadas trilineales
       (cx − az) (ay − bx) : (ay − bx) (bz − cy) : (bz − cy) (cx − az)
* Si P = p : q : r es un punto en una circuncónica general, entonces la tangente a la cónica en P viene dada por
       (vr + wq) x + (wp + ur) y + (uq + vp) z = 0.
* La circuncónica general se reduce a una parábola si y solo si
       u$^2$a$^2$ + v$^2$b$^2$ + w$^2$c$^2$ − 2vwbc − 2wuca − 2vavab = 0,
    y a una hipérbola si y solo si
       u cos A + v cos B + w cos C = 0.
* De todos los triángulos inscritos en una elipse dada, el centroide del que tiene el área más grande coincide con el centro de la elipse.$^{:p.147}$ La elipse dada, pasando por los tres vértices de este triángulo y centrada en el centroide del triángulo, se llama circunelipse de Steiner.

### Incónica

* Una incónica general se reduce a una parábola si y solo si
       ubc + vca + wab = 0,
    en cuyo caso es tangente externamente a uno de los lados del triángulo y es tangente a los otros dos lados extendidos.
* Supóngase que p$_1$ : q$_1$ : r$_1$ y p$_2$ : q$_2$ : r$_2$ son puntos distintos, y sea
       X = (p$_1$ + p$_2$t) : (q$_1$ + q$_2$t) : (r$_1$ + r$_2$t).
    Como el parámetro t se extiende a través del dominio de los números reales, el lugar geométrico de X es una recta. Definiendo
       X$^2$ = (p$_1$ + p$_2$t) $^2$ : (q$_1$ + q$_2$t) $^2$ : (r$_1$ + r$_2$t)$^2$,
    el lugar geométrico de X$^2$ es la incónica, necesariamente una elipse, dada por la ecuación
       L$^4$x$^2$ + M$^4$y$^2$ + N$^4$z$^2$ − 2M$^2$N$^2$yz − 2N$^2$L$^2$zx − 2L$^2$M$^2$xy = 0,
    donde
       L = q$_1$r$_2$ − r$_1$q$_2$,
       M = r$_1$p$_2$ − p$_1$r$_2$,
       N = p$_1$q$_2$ − q$_1$p$_2$.
* Un punto en el interior de un triángulo es el centro de una inelipse del propio triángulo si y solo si el punto se encuentra en el interior del triángulo cuyos vértices se encuentran en los puntos medios de los lados del triángulo original.$^{:p.139}$ Para un punto dado dentro del triángulo medial, la inelipse con su centro en ese punto es única.$^{:p.142}$
* La inelipse con el área más grande es la inelipse de Steiner, también llamada la inelipse del punto medio, con su centro en el centroide$^{:p.145}$ del triángulo. En general, la relación entre el área de la inelipse y el área del triángulo, en términos de las coordenadas baricéntricas de suma unidad $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ del centro de la inelipse, es$^{:p.143}$
       ${\frac {\text{Área de la inelipse}}{\text{Área del triángulo}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta )(1-2\gamma )}},$
    que se maximiza para las coordenadas baricéntricas del centroide $\alpha =\beta =\gamma =1/3.$
* Las líneas que conectan los puntos de tangencia de cualquier inelipse de un triángulo con los vértices opuestos del triángulo son concurrentes.$^{:p.148}$

## Extensión a los cuadriláteros

Todos los centros de inelipses de un cuadrilátero dado caen en el segmento de línea recta que conecta los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero.$^{:p.136}$

## Ejemplos

* Circuncónicas
** Circunferencia circunscrita, la única circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo
** Circunelipse de Steiner, la única elipse que pasa por los tres vértices de un triángulo y tiene su centro en el centroide del triángulo
** Hipérbola de Kiepert, la única cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo, su centroide y su ortocentro
** Hipérbola de Jeřábek, una hipérbola centrada en la circunferencia de los nueve puntos de un triángulo y que pasa por los tres vértices del triángulo, así como su circunferencia circunscrita, ortocentro y varios otros centros notables
** Hipérbola de Feuerbach, una hipérbola equilátera que pasa a través del ortocentro de un triángulo, del punto de Nagel y de varios otros puntos notables, y tiene su centro en el círculo de nueve puntos.
* Incónicas
** Incírculo, el único círculo que es internamente tangente a los tres lados de un triángulo
** Inelipse de Steiner, la única elipse que es tangente a los tres lados de un triángulo en sus puntos medios
** Inelipse de Mandart, la única elipse tangente a los lados de un triángulo en los puntos de contacto de sus excircunferéncias
** Parábola de Kiepert
** Parábola de Yff