# Submatriz

En matemáticas, una submatriz es una matriz formada por la selección de ciertas filas y columnas de una matriz más grande. También podemos definirla como un arreglo rectangular que se encuentra en subconjuntos específicos de las filas y columnas de la matriz dada.

## Definición

Sea $A$ una matriz $n\times m$ y sean $I_{A}=\{1,2,...,n\}$ y $J_{A}=\{1,2,...,m\}$ los conjuntos de índices de las filas y columnas de $A$ respectivamente. Definimos $B$ una submatriz de $A$ como la matriz resultante de escoger $I_{B}\subseteq I_{A}$ y $J_{B}\subseteq J_{A}$, donde $I_{B}$ y $J_{B}$ serán los índices de las filas y columnas de la matriz $B$. Es decir, las filas y columnas de $B$ corresponden a las filas y columnas de $A$ con los índices en $I_{B}$ y $J_{B}$ respectivamente.
Por ejemplo:
    $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\end{bmatrix}}$
En este caso $I_{A}=\{1,2,3\}$ y $J_{A}=\{1,2,3,4\}$, si escogemos $I_{B}=\{1,2\}$ y $J_{B}=\{1,3,4\}$ obtenemos:
    $\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{23}&a_{24}\end{bmatrix}}$
En este ejemplo si queremos referirnos a la submatriz $B$ sin necesidad de definirla entrada por entrada, usamos la siguiente notación, $B=A[\{1,2\};\{1,3,4\}]$. De manera general decimos que $A[I_{B};J_{B}]$ es la submatriz resultante de escoger $I_{B}$ y $J_{B}$ como conjunto de índices de las filas y columnas de la submatriz.

## Submatriz principal

Una submatriz es principal cuando se escoge $I_{B}=J_{B}$, es decir los conjuntos de índices de las filas y columnas son iguales. Para facilitar la notación se escribe $A[I_{B};I_{B}]=A[I_{B}]$.
Por ejemplo:
$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\end{bmatrix}}$
Tomando $I_{B}=\{2,3\}$.
$\mathbf {A} [\{2,3\}]={\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
$A[\{2,3\}]$ es una submatriz principal de $A$.

### Submatriz principal superior

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ y $I_{A}=\{1,\dots ,n\}$ el conjunto de índices de $A$, si tomamos $k\in I_{A}$, la matriz principal $A[\{1,\dots ,k\}]$ es una submatriz principal superior de $A$.
$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}$
Tomando $k=3$:
$\mathbf {A} [\{1,2,3\}]={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
$A[\{1,2,3\}]$ es una submatriz principal superior de $A$.

### Submatriz principal inferior

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ y $I_{A}=\{1,\dots ,n\}$ el conjunto de índices de $A$, si tomamos $k\in I_{A}$ , decimos que la matriz principal $A[\{k,\dots ,n\}]$ es una submatriz principal inferior de $A$.
$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}$
Tomando $k=2$:
$\mathbf {A} [\{2,3,4\}]={\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}$
$A[\{2,3,4\}]$ es una submatriz principal inferior de $A$.