# Regresión semiparamétrica

En estadística, la regresión semiparamétrica es una regresión que combina modelos paramétricos y no paramétricos. Se utiliza a menudo en situaciones en las que el modelo no paramétrico no puede funcionar totalmente bien, o cuando el investigador quiere usar un modelo paramétrico, pero la forma funcional con respecto a un subconjunto de los regresores o la densidad de los errores no se conoce. Los modelos de regresión paramétricos son un tipo particular del modelado semiparamétrico, ya que los modelos semiparamétricos contienen un componente paramétrico.

## Estimación

Se han propuesto y desarrollado muchos métodos de regresión semiparamétricos diferentes. Los métodos más conocidos son los modelos parcialmente lineales, índices y de coeficientes variables.

### Modelos parcialmente lineales

Un modelo parcialmente lineal está dado por:
    $Y_{i}=X'_{i}\beta +g\left(Z_{i}\right)+u_{i},\,\quad i=1,\ldots ,n,\,$
donde $Y_{i}$ es la variable dependiente, $X_{i}$ y $Z_{i}$ son $p\times 1$ un vector de variables explicatorias, $\beta$ es un $p\times 1$ vector parámetros desconocidos y $Z_{i}\in \operatorname {R} ^{q}$. La parte paramétrica del modelo parcialmente lineal está dada por el vector de parámetros $\beta$ mientras que la parte no paramétrico es la función desconocida $g\left(Z_{i}\right)$. Los datos se supone que es iid con $E\left(u_{i}|X_{i},Z_{i}\right)=0$ y el modelo permite una condicionalmente heteroscedasticos proceso de error $E\left(u_{i}^{2}|x,z\right)=\sigma ^{2}\left(x,z\right)$ forma de desconocido. Este tipo de modelo fue propuesto por Robinson (1988) y se extendió a manejar covariables categóricas de Racine y Liu (2007).
Este método se implementa mediante la obtención de un ${\sqrt {n}}$ estimador consistente de $\beta$ y luego derivar un estimador de $g\left(Z_{i}\right)$ de la regresión no paramétrica de $Y_{i}-X'_{i}{\hat {\beta }}$ en $z$ utilizando un método de regresión no paramétrica apropiada.

### Modelos de indexación

Un modelo de índice único toma la forma:
    $Y=g\left(X'\beta _{0}\right)+u,\,$
donde $Y$, $X$ y $\beta _{0}$ fueron definidos anteriormente y el término de error $u$ satisface $E\left(u|X\right)=0$. El modelo único índice toma su nombre de la parte paramétrica del modelo de $x'\beta$ ue es un solo índice escalar. La parte no paramétrica es la función desconocida $g\left(\cdot \right)$.

#### El método de Ichimura

El método de modelo de índice único desarrollado por Ichimura (1993) es la siguiente. Tenga en cuenta la situación en la que $y$ es continua. Dada una forma conocida para la función $g\left(\cdot \right)$, $\beta _{0}$ podría ser estimado utilizando el método de mínimos cuadrados no lineales para reducir la función al mínimo.
    $\sum _{i=1}\left(Y_{i}-g\left(X'_{i}\beta \right)\right)^{2}.$
Dado que la forma funcional de $g\left(\cdot \right)$ no se sabe, hay que estimarla. Para un valor dado de $\beta$ una estimación de la función
    $G\left(X'_{i}\beta \right)=E\left(Y_{i}|X'_{i}\beta \right)=E\left[g\left(X'_{i}\beta _{o}\right)|X'_{i}\beta \right]$
usando kernel método. Ichimura (1993) propone estimar $g\left(X'_{i}\beta \right)$ con
    ${\hat {G}}_{-i}\left(X'_{i}\beta \right),\,$
la licencia-un-out kernel no paramétrico estimador de $G\left(X'_{i}\beta \right)$..

#### Estimador de Klein y Spady

Si la variable dependiente $y$ es binaria y $X_{i}$ and $u_{i}$ se supone que son independientes, Klein y Spady (1993) proponen una técnica para estimar $\beta$ utilizando métodos de máxima verosimilitud. La función de verosimilitud viene dada por:
    $L\left(\beta \right)=\sum _{i}\left(1-Y_{i}\right)\ln \left(1-{\hat {g}}_{-i}\left(X'_{i}\beta \right)\right)+\sum _{i}Y_{i}\ln \left({\hat {g}}_{-i}\left(X'_{i}\beta \right)\right),$
donde ${\hat {g}}_{-i}\left(X'_{i}\beta \right)$ es la licencia-un-out estimador.

## Coeficiente de Smooth / variando modelos de coeficientes

Hastie y Tibshirani (1993) proponen un modelo de coeficiente lisa dada por:
    $Y_{i}=\alpha \left(Z_{i}\right)+X'_{i}\beta \left(Z_{i}\right)+u_{i}=\left(1+X'_{i}\right)\left({\begin{array}{c}\alpha \left(Z_{i}\right)\\\beta \left(Z_{i}\right)\end{array}}\right)+u_{i}=W'_{i}\gamma \left(Z_{i}\right)+u_{i},$
donde $X_{i}$ is a $k\times 1$ vector and $\beta \left(z\right)$ es un vector de funciones suaves no especificadas de $z$.
$\gamma \left(\cdot \right)$ puede ser expresado como:
    $\gamma \left(Z_{i}\right)=\left(E\left[W_{i}W'_{i}|Z_{i}\right]\right)^{-1}E\left[W_{i}Y_{i}|Z_{i}\right].$