# Lema de Borel-Cantelli

En la teoría de las probabilidades, medida e integración, el lema de Borel-Cantelli asegura la finitud en casi todos los puntos de la suma de funciones integrables positivas si es que la suma de sus integrales es finita.

## Definición en probabilidad y demostración
#### 1º Lema de Borel-Cantelli

Sea $\{A_{n}\}$ una sucesión de eventos tal que $\sum _{n\geq 1}P(A_{n})<\infty$ entonces $P(\textstyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}\displaystyle )=0$.
Demostración:
Tenemos que $P(\textstyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}\displaystyle )=$ $P(\lim _{n\to \infty }\bigcup _{j\geq n}A_{j})=$ $\lim _{n\to \infty }P(\bigcup _{j\geq n}A_{j})\leq$ $\limsup _{n\to \infty }\sum _{j=n}^{\infty }P(A_{j})$ . Ya que $\sum _{n\geq 1}P(A_{n})<\infty$ implica que $\sum _{j=n}^{\infty }P(A_{j})\longrightarrow 0,\quad n\longrightarrow \infty$.

#### 2º Lema de Borel-Cantelli

Sea $\{A_{n}\}$ una sucesión de eventos tal que $\sum _{n\geq 1}P(A_{n})=\infty$ y $\{A_{n}\}$ son independientes, entonces $P(\textstyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}\displaystyle )=1$.
Demostración:
Tenemos que $P(\limsup _{n\to \infty }A_{n})=$ $1-P(\liminf _{n\to \infty }A_{n}^{c})=$ $1-P(\lim _{n\to \infty }\bigcap _{j\geq n}A_{j}^{c})=$ $1-\lim _{n\to \infty }P(\bigcap _{j\geq n}A_{j}^{c})=$ $1-\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }P(\bigcap _{j=n}^{m}A_{j}^{c})=$ $1-\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }\prod _{j=n}^{m}(1-P(A_{j}))$, donde la última igualdad resulta de la independencia.
Basta ahora probar que $\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }\prod _{j=n}^{m}(1-P(A_{j}))=0$.
Recordemos la desigualdad $1-x\leq e^{-x},\quad 0<x<1$.
Por tanto, $\lim _{m\to \infty }\prod _{j=n}^{m}(1-P(A_{j}))\leq \lim _{m\to \infty }\prod _{j=n}^{m}e^{-P(A_{j})}=$ $\lim _{m\to \infty }e^{-\sum _{j=n}^{m}P(A_{j})}=$ $e^{-\sum _{j=n}^{\infty }P(A_{j})}=0$.

## Definición formal y demostración

Sea $\{f_{n}\}\,$ una sucesión de funciones positivas medibles desde el espacio de medida $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ en los reales. $\mu \,$ es la medida. Sea $\mu f\,$ la integral de f respecto de $\mu \,$. Supongamos que:
    $\sum _{n}\mu f_{n}<\infty$
entonces por convergencia monótona $\mu \sum _{n}f_{n}=\sum _{n}\mu f_{n}<\infty$. Por ende la función $\sum _{n}f_{n}\,$ es finita c.t.p.-$\mu \,$.
Si la sucesión de funciones son indicatrices de conjuntos $A_{n}\,$ en ${\mathcal {A}}\,$, o sea $f_{n}=\chi _{A_{n}}$ y la medida $\mathbb {P}$ es de probabilidad entonces: $\sum _{n}\mathbb {P} A_{n}<\infty$ implica que $\sum _{n}\chi _{A_{n}}<\infty$ c.t.p.-$\mu \,$, es decir, en $\Omega \,$, el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos $A_{n}\,$ tiene probabilidad cero.

## Resultado inverso

Un resultado relacionado, a veces llamado segundo lema de Borel-Cantelli, es casi lo inverso del primer lema. Para una medida $\mathbb {P}$ de probabilidad, dice así: dada una sucesión de conjuntos o sucesos independientes $A_{n}\,$ en ${\mathcal {A}}\,$, entonces $\sum _{n}\mathbb {P} A_{n}=\infty$ implica que $\sum _{n}\chi _{A_{n}}=\infty$ c.t.p.-$\mathbb {P} \,$, es decir, en $\Omega \,$, el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos $A_{n}\,$ tiene probabilidad uno.

## Bibliografía

* David Pollard, A user´s guide to measure theoretic probability, Cambridge University Press (2003).