# Ecuaciones de Friedmann

Las ecuaciones de Friedmann son un conjunto de ecuaciones utilizadas en cosmología física que describen la expansión métrica del espacio en modelos homogéneos e isótropos del universo dentro del contexto de la teoría general de la relatividad. Fueron halladas por Aleksandr Fridman en 1922 a partir de las ecuaciones de campo de Einstein para la métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker y un fluido con una densidad de masa $\rho$ , $([\rho ]=kg/m^{3})$, y una presión $p$, $([p]=N/m^{2}=kg/(s^{2}m))$, dadas. Las ecuaciones son:
   $H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}}-K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}$
   $3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda c^{2}-4\pi G\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)$
| Símbolo | Nombre |
| $\Lambda$ | Constante cosmológica, posiblemente causada por la energía del vacío |
| $G$ | Constante de gravitación |
| $c$ | Velocidad de la luz |
| $a$ | Factor de escala del universo |
| $K$ | Curvatura gaussiana |
Si la forma del universo es hiperesférica y $R$ es el radio de curvatura ($R_{0}$ en el momento actual), entonces $a=R/R_{0}$. Generalmente, $K \over a^{2}$ es la curvatura gaussiana. Si $K$ es positiva, entonces el universo es hiperesférico. Si $K$ es cero, el universo es plano, y si $K$ es negativo, el universo es hiperbólico. Nótese que $\rho$ y $p$ son función de $a$. El parámetro de Hubble, $H$, es un indicador de la velocidad de expansión del universo.
Estas ecuaciones a veces se simplifican redefiniendo la densidad de masa y la presión:
   $\rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}$
   $p\rightarrow p+{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}$
para obtener:
   $H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}$
   $3{\frac {\ddot {a}}{a}}=-4\pi G\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)$.
El parámetro de Hubble puede cambiar en el tiempo si otros miembros de la ecuación son dependientes del tiempo (en particular la densidad de energía, la energía del vacío y la curvatura). Evaluando el parámetro de Hubble en el momento actual produce que la constante de Hubble que es la constante de proporcionalidad de la ley de Hubble. Aplicado a un fluido con una ecuación de estado dada, las ecuaciones de Friedmann dan como resultado la evolución en el tiempo y la geometría del universo como función de la densidad del fluido.
Algunos cosmólogos llaman a la segunda de estas dos ecuaciones la ecuación de aceleración y se reservan el término ecuación de Friedmann solo para la primera ecuación.

## El parámetro de densidad

El parámetro de densidad, Ω, se define como la relación de la densidad actual (u observada) ρ respecto a la densidad crítica ρ$_c$ del universo de Friedmann. Una expresión para la densidad crítica se encuentra asumiendo que Λ es cero (como es para todos los universos de Friedmann básicos) y estableciendo la curvatura K igual a cero. Cuando se sustituyen estos parámetros en la primera ecuación de Friedmann se encuentra que
   $\rho _{c}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}$
y se obtiene que la expresión para el parámetro de densidad (útil para comparar diferentes modelos cosmológicos) es:
   $\Omega \equiv {\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G}{3H^{2}}}\rho$
Este término originalmente fue utilizado como una manera de determinar la geometría del campo en el que ρ$_c$ es la densidad crítica para la que la geometría es plana. Asumiendo una densidad de energía del vacío nula, si Ω es mayor que uno, la geometría es cerrada y el universo eventualmente parará su expansión y entonces se colapsará. Si Ω es menor que uno, será abierto y el universo se expandirá para siempre. Sin embargo, también se pueden sintetizar los términos de curvatura y de la energía del vacío en una expresión más general para Ω en el caso de que este parámetro de densidad de energía sea exactemente igual a la unidad. Entonces es una cuestión de medir los diferentes componentes, normalmente designados por subíndices. De acuerdo con el modelo Lambda-CDM, hay importantes componentes de Ω debido a bariones, materia oscura fría y energía oscura. La geometría del espacio-tiempo fue medida por el satélite WMAP estando cerca de ser una geometría plana, es decir, el parámetro de curvatura K es aproximadamente cero.
La primera ecuación de Friedmann a menudo se escribe formalmente con los parámeros de densidad:
   ${\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{R}a^{-4}+\Omega _{M}a^{-3}+\Omega _{\Lambda }-Kc^{2}a^{-2}$
donde
* $\Omega _{R}$ es la densidad de radiación actual,
* $\Omega _{M}$ es la densidad de materia (oscura más la bariónica) actual, y
* $\Omega _{\Lambda }$ es la constante cosmológica o la densidad de vacío actual.

## Ecuación de Friedmann reescalada

Estableciendo $a={\tilde {a}}a_{0},\rho _{c}=3H_{0}^{2}/8\pi G,\rho =\rho _{c}\Omega ,t={\tilde {t}}/H_{0},\Omega _{c}=-K/H_{0}^{2}a_{0}^{2}$ donde $a_{0}$ y $H_{0}$ son por separado el factor de escala y el parámetro de Hubble actuales. Entonces se puede hallar que:
   ${\frac {1}{2}}\left({\frac {d{\tilde {a}}}{d{\tilde {t}}}}\right)^{2}+U_{\rm {eff}}({\tilde {a}})={\frac {1}{2}}\Omega _{c}$
donde $U_{eff}({\tilde {a}})=\Omega {\tilde {a}}^{2}/2$. Para cualquier forma del potencial efectivo $U_{eff}({\tilde {a}})$, hay una ecuación de estado $p=p(\rho )$ que la producirá.