# Topología del orden (análisis funcional)

En matemáticas, específicamente en teoría del orden y análisis funcional, la topología del orden de un espacio vectorial ordenado $(X,\leq )$ es la topología más fina en un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo en $X$ para el que cada intervalo de orden está acotado, donde un intervalo de orden en $X$ es un conjunto de la forma $[a,b]:=\left\{z\in X:a\leq z{\text{and }}z\leq b\right\}$ en el que $a$ y $b$ pertenecen a $X.$
La topología del orden es una topología importante que se usa con frecuencia en la teoría de espacios vectoriales topológicos ordenados porque la topología surge directamente de las propiedades algebraicas y teóricas del orden de $(X,\leq ),$ en lugar de alguna topología que $X$ comience a tener. Esto permite establecer conexiones íntimas entre esta topología y las propiedades algebraicas y teóricas del orden de $(X,\leq ).$ Para muchos espacios vectoriales topológicos ordenados que surgen en el análisis matemático, sus topologías son idénticas a la topología del orden.

## Definiciones

La familia de todas las topologías localmente convexas en $X$ para las que cada intervalo de orden está acotado no está vacía (ya que contiene la topología más gruesa posible en $X$) y la topología del orden es el límite superior de esta familia.
Un subconjunto de $X$ es un entorno del origen en la topología del orden si y solo si es convexo y absorbe todos los intervalos del orden en $X.$ Una vecindad del origen en la topología del orden es necesariamente un conjunto absorbente porque $[x,x]:=\{x\}$ para todos los $x\in X.$
Para cada $a\geq 0,$, considérese que $X_{a}=\bigcup _{n=1}^{\infty }n[-a,a]$ y asignese a $X_{a}$ su topología del orden (lo que lo convierte en un espacio normal). El conjunto de todos los $X_{a}$ se dirige bajo inclusión y si $X_{a}\subseteq X_{b}$ entonces la inclusión natural de $X_{a}$ en $X_{b}$ es continua. Si $X$ es un espacio vectorial ordenado regularmente sobre los números reales y si $H$ es cualquier subconjunto del cono positivo $C$ de $X$ que es cofinal en $C$ (por ejemplo, $H$ podría ser $C$), entonces $X$ con su topología del orden es el límite inductivo de $\left\{X_{a}:a\geq 0\right\}$ (donde las aplicaciones de enlace son las inclusiones naturales).
La estructura reticular puede compensar en parte cualquier falta de unidad de orden:
* Teorema
* Sea $X$ un retículo vectorial dotado de un orden regular, y sea $C$ su cono positivo. Entonces, la topología del orden en $X$ es la topología localmente convexa más fina en $X$ para la cual $C$ es un cono normal. También es lo mismo que la topología de Mackey inducida sobre $X$ con respecto a la dualidad $\left\langle X,X^{+}\right\rangle .$
En particular, si $(X,\tau )$ es un retículo de Fréchet ordenado sobre números reales, entonces $\tau$ es la topología ordenada en $X$ si y solo si el cono positivo de $X$ es un cono normal en $(X,\tau ).$
Si $X$ es un espacio de Riesz ordenado regularmente, entonces la topología ordenada es la topología del EVT localmente convexa más fina en $X$, lo que convierte a $X$ en un retículo vectorial localmente convexo. Si además $X$ tiene un orden completo, entonces $X$ con la topología del orden es un espacio barrilado y cada descomposición de banda de $X$ es una suma topológica directa para esta topología. En particular, si el orden de un retículo vectorial $X$ es regular, entonces la topología del orden la genera la familia de todas las seminormas reticulares en $X.$.

## Propiedades

En todo momento, $(X,\leq )$ será un espacio vectorial ordenado y $\tau _{\leq }$ denota la topología del orden en $X.$
* El dual de $\left(X,\tau _{\leq }\right)$ es el orden enlazado dual $X_{b}$ de $X.$
* Si $X_{b}$ separa puntos en $X$ (por ejemplo, si $(X,\leq )$ es regular), entonces $\left(X,\tau _{\leq }\right)$ es un EVT localmente convexo bornológico.
* Cada operador lineal positivo entre dos espacios vectoriales ordenados es continuo para las topologías del orden respectivas.
* Cada unidad de orden de un EVT ordenado está dentro del cono positivo de la topología del orden.
* Si el orden de un espacio vectorial ordenado $X$ es un orden regular y si cada secuencia positiva de tipo $\ell ^{1}$ en $X$ es de orden sumable, entonces $X$ dotado de su topología del orden es un espacio barrilado.
* Si el orden de un espacio vectorial ordenado $X$ es un orden regular y si para todo $x\geq 0$ e $y\geq 0$ se cumple que $[0,x]+[0,y]=[0,x+y]$, entonces el cono positivo de $X$ es un cono normal en $X$ cuando $X$ está dotado de la topología del orden. En particular, el espacio dual continuo de $X$ con la topología del orden será el orden dual $X$$^+$.
* Si $(X,\leq )$ es un espacio vectorial ordenado arquimedianamente sobre los números reales que tiene una unidad de orden, y haciendo que $\tau _{\leq }$ denote la topología del orden en $X.$ Entonces, $\left(X,\tau _{\leq }\right)$ es un espacio vectorial topológico ordenado que es normable, $\tau _{\leq }$ es la topología del EVT localmente convexa más fina en $X$ tal que el cono positivo es normal , y las siguientes proposiciones son equivalentes:
* $\left(X,\tau _{\leq }\right)$ está completo.
* Cada secuencia positiva de tipo $\ell ^{1}$ en $X$ es de orden sumable.
* En particular, si $(X,\leq )$ es un espacio vectorial ordenado arquimedianamente que tiene una unidad de orden, entonces el orden $\,\leq \,$ es un orden regular y $X_{b}=X^{+}.$
* Si $X$ es un espacio de Banach y un espacio vectorial ordenado con una unidad de orden, entonces la topología de $X$ es idéntica a la topología del orden si y solo si el cono positivo de $X$ es un cono normal en $X.$
* Un homomorfismo de un retículo vectorial $X$ sobre $Y$ es un homomorfismo topológico cuando a $X$ e $Y$ se les dan sus respectivas topologías de orden.

## Relación con subespacios, cocientes y productos

Si $M$ es un subespacio vectorial sólido de un retículo vectorial $X,$, entonces la topología del orden de $X/M$ es el cociente de la topología del orden en $X.$

## Ejemplos

La topología del orden de un producto finito de espacios vectoriales ordenados (este producto tiene su orden canónico) es idéntica a la topología producto de los espacios vectoriales ordenados constituyentes (cuando a cada uno se le da su topología del orden).