# Trinomio

En álgebra, un trinomio es una expresión algebraicas de únicamente tres monomios, sumados o restados.

## Ejemplos de trinomios

* $3x+5y-8z$ con $x$, $y$, $z$ variables.
* $3t-9s^{2}+3y^{3}$ con $t$, $s$, $y$ variables.
* $Px^{a}+Qx^{b}+Rx^{c}$ con $x$ variable, las constantes $a,b,c$ son enteros positivos y $P$, $Q$, $R$ constantes arbitrarias.
* $x^{2}-xy+y^{2}$, trinomio de segundo grado de dos variables homogéneo.
* $x^{2}+y^{2}+z^{2}$, de tres variables.

## Casos diversos
### Trinomio cuadrado perfecto

Un Trinomio cuadrado perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.

### Trinomio irreducible

* Un trinomio es irreducible en ℚ si no se puede factorizar en expresiones de menor grado con elementos que sean números racionales así como $x^{2}+4x+1$
* Un trinomio es irreducible en ℝ cuando no se puede factorizar en expresiones de menor grado con elementos que sean reales así como $x^{2}+x+1$

### Trinomio de segundo grado en una variable

Al igualar a cero se obtiene una ecuación de segundo grado, la cual ya lo habían resuelto los babilonios usando tablas de cuadrados y otros cálculos. Como una función representa en la geometría analítica, la ecuación de una parábola, y ésta tiene aplicaciones en la física, al describir la trayectoria de un móvil lanzado; como también en el diseño de los faros de un auto. El cálculo del área subtendida por un sector parabólico, fue realizado por Arquímedes en época anterior a la era actual. Dicho esfuerzo son los inicios del cálculo integral, luego retomado por Fermat, Newton y Leibniz, en la época moderna.

### Ejemplos

Sea:
    $12xy+9x^{2}+4y^{2}\,\!$
Ordenando según las normas del álgebra, de mayor a menor grado de $x\,\!$, resulta que:
    $9x^{2}+12xy+4y^{2}\,\!$
Y podemos darnos cuenta de:
    $9x^{2}=(3^{2})(x^{2})=(3x)^{2}\,\!$
    $4y^{2}=(2y)^{2}\,\!$
    $12xy=2(3x)(2y)\,\!$
Podemos averiguar que es un TCP ya que cumple con las normas:
    $12xy+9x^{2}+4y^{2}=\left({\sqrt {9x^{2}}}+{\sqrt {4y^{2}}}\right)^{2}=(3x+2y)^{2}\,\!$
Sea:
    ${\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}+w^{2}+wy^{2}z\,\!$
Ordenando respecto a la variable de mayor potencia ($y$) tenemos:
    ${\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}+wy^{2}z+w^{2}\,\!$
evaluando el trinomio, vemos que:
    ${\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}=\left({\frac {1}{2}}y^{2}z\right)^{2}\,\!$
y
    $w^{2}=(w)^{2}\,\!$
por último, vemos que
    $2\left({\frac {1}{2}}y^{2}z\right)(w)=wy^{2}z\,\!$
Entonces, la expresión es un trinomio cuadrado perfecto.

## Trinomio de grado par de una variable

estos trinomios son de la forma:
$mx^{2p}+nx^{p}+l$ donde m, n, l son constantes y p es un entero positivo.

### Ejemplos

* $5x^{4}-3x^{2}-1/4$, origina una ecuación llamada bicuadrada
* $-15t^{12}-3/4t^{6}-13/25$ un trinomio de duodécimo grado

## Trinomios usuales

* $ax^{2}+bx+c$ que igualado a 0 , se conoce como la ecuación general de segundo grado en una variable
* $x^{2}+px+q$ si se hace igual a 0 origina la forma reducida de una ecuación de segundo grado
* $y^{3}+py+q$ igualando a 0, origina la ecuación cúbica reducida de una variable, a la que se puede aplicar la fórmula de Cardano.
* $x^{2}+x+1$ sus ceros son las raíces cúbicas no reales de 1.
* $x^{4}+x^{2}+1$= $(x^{2}+x+1)\times (x^{2}-x+1)$. Sus ceros son la raíces cúbicas no reales de 1 y -1, respectivamente.

## Aplicaciones

* Los trinomios factorizables en binomios lineales se usan en operaciones con fracciones algebraicas y al calcular el MCM y MCD de expresiones algebraicas enteras
* En la descomposición en fracciones parciales, aparecen binomios lineales y trinomios cuadráticos;
    Por ejemplo ${\frac {2x+1}{x^{3}-1}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}$