# Modelo Tobit

El modelo Tobit es un modelo estadístico propuesto por James Tobin (1958) para describir la relación entre una variable dependiente no negativa $y_{i}$ y una variable independiente (o vector ) $x_{i}$. El término Tobit fue derivado del nombre truncando de Tobin y añadiendo, por analogía, el it como en el modelo probit o en el modelo logit.
El modelo supone que existe una variable latente (no observable por ejemplo) $y_{i}^{*}$. Esta variable depende linealmente de $x_{i}$ a través de un parámetro(vector) $\beta$ que determina la relación entre la variable independiente (o vector) $x_{i}$ y la variable latente $y_{i}^{*}$ (Tal como en un modelo lineal). Además, hay un término de error $u_{i}$ con una distribución normal para captar las influencias aleatorias en esta relación. La variable observable $y_{i}$ se define como igual a la variable latente cuando la variable latente es superior a cero y cero en caso contrario.
    $y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{i}^{*}\leq 0\end{cases}}$
donde $y_{i}^{*}$ es una variable latente:
    $y_{i}^{*}=\beta x_{i}+u_{i},u_{i}\sim N(0,\sigma ^{2})\,$

## La consistencia

Si el parámetro de relación $\beta$ se estima mediante una regresión de lo observado $y_{i}$ en $x_{i}$, el resultado obtenido usando el estimador de mínimos cuadrados ordinarios es inconsistente. Esto dará lugar a una estimación a la baja de polarización del coeficiente de la pendiente hacia arriba y una estimación sesgada de la intersección. Takeshi Amemiya (1973) ha demostrado que el estimador de máxima verosimilitud propuesto por Tobin para este modelo es consistente.

## Interpretación

La $\beta$ del coeficiente no debe interpretarse como el efecto de los $x_{i}$ en $y_{i}$, como uno haría con un modelo de regresión lineal , lo que es un error común. En su lugar, debe interpretarse como la combinación de (1) el cambio en $y_{i}$ de aquellos por encima del límite, ponderados por la probabilidad de estar por encima del límite, y (2) el cambio en la probabilidad de estar por encima del límite, ponderado por el valor esperado de $y_{i}$ si es superior.

## Variaciones del modelo Tobit

Las variaciones del modelo Tobit pueden ser producidas mediante el cambio de dónde y cuándo se produce la censura. Amemiya (1985) clasifica estas variaciones en cinco categorías (Tobit tipo I - Tobit tipo V), donde Tobit tipo I representa el primer modelo descrito anteriormente. Schnedler (2005) proporciona una fórmula general para obtener estimadores consistentes de probabilidad para estas y otras variaciones del modelo Tobit.

### Tipo I

El modelo Tobit es un caso especial de un modelo de regresión censurada , ya que la variable latente $y_{i}^{*}$ no puede siempre ser observada mientras que la variable independiente $x_{i}$ es observable. Una variante común del modelo Tobit está censurando a un valor $y_{L}$ diferente de cero:
    $y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{i}^{*}>y_{L}\\y_{L}&{\textrm {si}}\;y_{i}^{*}\leq y_{L}.\end{cases}}$
Otro ejemplo es la censura de los valores anteriores $y_{U}$.
    $y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{i}^{*}<y_{U}\\y_{U}&{\textrm {si}}\;y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}$
Sin embargo, otro modelo resulta cuando $y_{i}$ se censura desde arriba y abajo al mismo tiempo.
    $y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{L}<y_{i}^{*}<y_{U}\\y_{L}&{\textrm {si}}\;y_{i}^{*}\leq y_{L}\\y_{U}&{\textrm {si}}\;y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}$
El resto de los modelos se presenta como estando limitada desde abajo a 0, aunque esto se puede generalizar como lo hemos hecho en Tipo I.

### Tipo II

Tipo II modelos Tobit introducir una variable latente segundo.
    $y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}$
Heckman (1987) cae en el tipo II Tobit. En el tipo Tobit I, la variable latente absorbe tanto el proceso de participación y los "resultados" de interés. En el Tipo Tobit II permite que el proceso de participación / selección y el proceso de "resultado" sean independientes, condicionado a x.

### Tipo III

Tipo III introduce una segunda variable dependiente observada
    $y_{1i}={\begin{cases}y_{1i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}$
    $y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}$
El modelo Heckman cae en este tipo.

### Tipo IV

Tipo IV introduce tercera variable observada dependiente y una variable latente tercero.
    $y_{1i}={\begin{cases}y_{1i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}$
    $y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}$
    $y_{3i}={\begin{cases}y_{3i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}$

### Tipo V

Semejante al II, Tipo V, solo observar el signo de $y_{1i}^{*}$.
    $y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}$
    $y_{3i}={\begin{cases}y_{3i}^{*}&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}>0\\0&{\textrm {si}}\;y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}$

## La función de verosimilitud

A continuación se presentan la Función de verosimilitud y las funciones de registro de probabilidad para un tipo que Tobit. Este es un Tobit censurado desde abajo en $y_{L}$ cuando la variable latente $y_{j}^{*}\leq y_{L}$. Al escribir la función de verosimilitud, primero definimos una función indicadora $I(y_{j})$ donde:
    $I(y_{j})={\begin{cases}0&{\textrm {si}}\;y_{j}=y_{L}\\1&{\textrm {si}}\;y_{j}\neq y_{L}.\end{cases}}$
A continuación, nos referimos $\Phi$ a ser el normal estándar función de distribución acumulativa y $\phi$ a ser el normal estándar función de densidad de probabilidad . Para un conjunto de datos con n observaciones de la función de verosimilitud para un tipo que Tobit es:
    ${\mathcal {L}}(\beta ,\sigma )=\prod _{j=1}^{N}\left({\frac {1}{\sigma }}\phi \left({\frac {Y_{j}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)^{I\left(y_{j}\right)}\left(1-\Phi \left({\frac {X_{j}\beta -y_{L}}{\sigma }}\right)\right)^{1-I\left(y_{j}\right)}$
y la probabilidad de registro está dada por
    $\log {\mathcal {L}}(\beta ,\sigma )=\sum _{j=1}^{n}I(y_{j})\log \left({\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {y_{j}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)+(1-I(y_{j}))\log \left(1-\Phi \left({\frac {X_{j}\beta -y_{L}}{\sigma }}\right)\right)$
Tenga en cuenta que esto es diferente de la función de verosimilitud del modelo de regresión truncada.

## Versión no paramétrica

Si la variable subyacente latente $y_{i}^{*}$ no se distribuye normalmente, se deben usar cuantiles en lugar de momentos para analizar la variable observable $y_{i}$. El estimador CLAD de Powell ofrece una forma posible de lograr esto.