# Tetracontágono

En geometría, un tetracontágono o tessaracontágono o 40-gono es un polígono de cuarenta lados. La suma de los ángulos interiores de cualquier tetracontágono es 6840 grados.

## Tetracontágono regular

Un tetracontágono regular está representado por el símbolo de Schläfli {40} y también se puede construir como un icoságono truncado, t {20}, en el que se alternan dos tipos de aristas. Además, también se puede construir como un decágono, tt {10} truncado dos veces, o un pentágono, ttt {5} truncado tres veces.
Un ángulo interior en un tetracontágono regular es de 171°, lo que significa que un ángulo exterior sería de 9°.
El área de un tetracontágono regular es (con t = longitud del lado)
    $A=10t^{2}\cot {\frac {\pi }{40}}=$
    ${\begin{aligned}=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)^{2}+1}}\right)t^{2}\\=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{2}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)^{2}+1}}\right)t^{2}\\=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {\left(6+{\binom {2}{1}}{\sqrt {5}}\right)^+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+\left(5+2{\sqrt {5}}\right)^+1}}\right)t^{2}\\=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {\left(11+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)+1}}\right)t^{2}\\=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}\right)t^{2}\end{aligned}}$
y su inradio es:
    $r={\frac {1}{2}}t\cot {\frac {\pi }{40}}$
El factor $\cot {\frac {\pi }{40}}$ es una raíz del polinomio de grado 8 $x^{8}-8x^{7}-60x^{6}-8x^{5}+134x^{4}+8x^{3}-60x^{2}+8x+1$.
El circunradio de un tetracontágono regular es:
    ${\begin{aligned}R={\frac {1}{2}}t\csc {\frac {\pi }{40}}\end{aligned}}$
Como 40 = 2$^3$ × 5, un tetracontágono regular es un polígono construible usando regla y compás. Como un isodecágono truncado, puede construirse mediante la bisección de los lados de un icoságono regular. Esto significa que los valores de $\sin {\frac {\pi }{40}}$ y $\cos {\frac {\pi }{40}}$ pueden expresarse en radicales de la siguiente manera:
    $\sin {\frac {\pi }{40}}={\frac {1}{4}}({\sqrt {2}}-1){\sqrt {{\frac {1}{2}}(2+{\sqrt {2}})(5+{\sqrt {5}})}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}(1+{\sqrt {2}})({\sqrt {5}}-1)$
    $\cos {\frac {\pi }{40}}={\frac {1}{8}}({\sqrt {2}}-1){\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}({\sqrt {5}}-1)+{\frac {1}{4}}(1+{\sqrt {2}}){\sqrt {{\frac {1}{2}}(2-{\sqrt {2}})(5+{\sqrt {5}})}}$

## Construcción de un tetracontágono regular
### Dado el circuncírculo

* Constrúyase primero la longitud del lado JE$_1$ de un pentágono.
* Transferirla al circuncírculo, marcando la intersección E$_{39}$.
* Conectar el punto E$_{39}$ con el punto central M, generando el ángulo E$_{39}$ME$_1$ con 72°.
* A la mitad del ángulo E$_{39}$ME$_1$, surge la intersección E$_{40}$ y el ángulo E$_{40}$ME$_1$ con 9°.
* Conectar el punto E$_1$ con el punto E$_{40}$, obteniéndose la longitud a del lado del tetracontágono.
* Finalmente, transferir el segmento E$_1$E$_{40}$ (longitud del lado a) repetidamente en sentido antihorario en el circuncírculo hasta obtener un tetracontágono regular.
La proporción áurea aparece en:
       ${\frac {\overline {JM}}{\overline {BJ}}}={\frac {\overline {BM}}{\overline {JM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \approx 1.618$

### Dada la longitud del lado

* Dibujar el segmento E$_{40}$E$_1$ cuya medida sea la longitud lateral a dada del tetracontágono.
* Extender el segmento E$_{40}$E$_1$ más de dos veces.
* Dibujar sobre cada uno un arco circular sobre los puntos E$_1$ y E$_{40}$, surgiendo las intersecciones A y B.
* Dibujar una línea recta vertical desde el punto B hasta el punto A.
* Dibujar una línea paralela también al segmento AB desde el punto E$_1$ al arco circular, que permite obtener la intersección D.
* Dibujar un arco circular alrededor del punto C con el radio CD hasta la extensión de la longitud del lado, surgiendo la intersección F.
* Dibujar un arco circular alrededor del punto E$_{40}$ con el radio E$_{40}$F hasta la recta vertical, obteniéndose la intersección G y el ángulo E$_{40}$GE$_1$ con 36°.
* Dibujar un arco circular alrededor del punto G con radio E$_{40}$G hasta la recta vertical, surgiendo la intersección H y el ángulo E$_{40}$HE$_1$ con 18°.
* Dibujar un arco circular alrededor del punto H con radio E$_{40}$H hasta la recta vertical, surgiendo el punto central M del circuncírculo y el ángulo E$_{40}$ME$_1$ con 9°.
* Dibujar alrededor del punto central M con radio E$_{40}$M la circunferencia del tetracontágono.
* Finalmente, transferir el segmento E$_{40}$E$_1$ (longitud del lado a) repetidamente en sentido antihorario en el circuncírculo hasta obtener el tetracontágono regular buscado.
La proporción áurea aparece en:
       ${\frac {\overline {E_{40}E_{1}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{40}F}}{\overline {E_{40}E_{1}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \approx 1.618$

## Simetría

El "tetracontágono regular" posee simetría diedral Dih$_{40}$, orden 80, representada por 40 ejes de reflexión. Dih$_{40}$ tiene 7 subgrupos diedrales: (Dih$_{20}$, Dih$_{10}$, Dih$_5$) y (Dih$_8$, Dih$_4$, Dih$_2$, Dih$_1$). También posee ocho simetrías cíclicas más como subgrupos: (Z$_{40}$, Z$_{20}$, Z$_{10}$, Z$_5$) y (Z$_8$, Z$_4$, Z$_2$, Z$_1$), con Z$_n$ representando la simetría rotacional de π/n radianes.
John Conway etiqueta estas simetrías inferiores con una letra, y el orden de la simetría sigue a la letra. Así, utiliza d (diagonal) con ejes de simetría a través de vértices, p con ejes de simetría a través de los lados (perpendiculares), i con ejes de simetría a través de vértices y lados; y la letra g para los casos de simetría rotacional. El código a1 indica la carencia de simetría.
Estas simetrías más bajas permiten grados de libertad para definir tetracontágonos irregulares. Solo el subgrupo g40 no tiene grados de libertad, y puede considerarse como un grafo dirigido.

## Disección

40-gono con 560 rombos :
| Regular | Isotoxal |
Harold Scott MacDonald Coxeter estableció que cada zonágono (un 2m-gono cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m (m-1)/2 paralelogramos. Estos mosaicos están contenidos como subconjuntos de vértices, aristas y caras en las proyecciones ortogonales de m-cubos
En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el tetracontágono regular, m=20, y se puede dividir en 190 piezas: 10 cuadrados y 9 conjuntos de 20 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección en forma de polígono de Petrie de un hipercubo.

## Tetracontagrama

Un tetracontagrama es una estrella de 40 vértices. Hay siete formas regulares proporcionados por los símbolos de Schläfli {40/3}, {40/7}, {40/9}, {40/11}, {40/13}, {40/17} y {40/19}; además de otras 12 fórmulas de estrellas coincidentes con alguna configuración de vértices anterior.
Estrellas regulares {40/k} :
| Imagen | {40/3} | {40/7} | {40/9} | {40/11} | {40/13} | {40/17} | {40/19} |
| Ángulo interior | 153° | 117° | 99° | 81° | 63° | 27° | 9° |
Polígonos compuestos regulares :
| Imagen | {40/2}=2{20} | {40/4}=4{10} | {40/5}=5{8} | {40/6}=2{20/3} | {40/8}=8{5} | {40/10}=10{4} |
| Ángulo interior | 162° | 144° | 135° | 126° | 108° | 90° |
| Imagen | {40/12}=4{10/3} | {40/14}=2{20/7} | {40/15}=5{8/3} | {40/16}=8{5/2} | {40/18}=2{20/9} | {40/20}=20{2} |
| Ángulo interior | 72° | 54° | 45° | 36° | 18° | 0° |
Muchos tetracontagramas isogonales también se pueden construir como truncamientos más profundos del isodecágono {20} y los icosagramas {20/3}, {20/7} y {20/9} regulares. Estos también crean cuatro cuasitruncaciones: t {20/11} = {40/11}, t {20/13} = {40/13}, t {20/17} = {40/17} y t {20/19} = {40/19}. Algunos de los tetracontagramas isogonales se muestran a continuación, como una secuencia de truncamiento con puntos finales t {20} = {40} y t {20/19} = {40/19}.
| t{20}={40} | |
| | t{20/19}={40/19} |