# Politopo de cruce

En geometría, un politopo de cruce u ortoplex, es un politopo regular convexo que existe en cualquier número de dimensiones. Los vértices de un politopo de cruce consisten de todas las permutaciones de (±1, 0, 0, …, 0). El politopo de cruce es el casco o envoltorio convexo de sus vértices. (Nota: algunos autores definen al politopo convexo sólo como la envoltura de esta región).
En una dimensión, el politopo de cruce es simplemente un segmento de línea [−1, +1], en dos dimensiones es el cuadrado con vértices {(±1, 0), (0, ±1)}. En tres dimensiones es el octaedro (uno de los cinco poliedros conocidos como sólidos platónicos. Los politopos de cruce en mayor número de dimensiones son generalizaciones de estos.
| 2 dimensiones | 3 dimensiones | 4 dimensiones |
El politopo de cruce es el dual del politopo de medida.

## Cuatro dimensiones

El politopo de cruce de cuatro dimensiones tiene el nombre de hexadecacoron o 16-cell, uno de los seis polícoros regulares. Estos polícoros fueron descriptos originalmente por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX.

## Dimensiones mayores

En n dimensiones con n > 4 existen sólo tres politopos regulares: el simplex, el politopo de medida, y el politopo de cruce, siendo estos dos últimos duales y el simplex auto-dual.
El politopo de cruce n-dimensional tiene 2n vértices, y 2$^n$ facetas (componentes (n−1)-dimensionales) todos los cuales son n−1-simplices. Las figuras de vértice son todas politopos de cruce (n−1)dimensionales. El símbolo de Schläfli del politopo de cruce es {3,3,…,3,4}.
El número de componentes k-dimensionales (vértices, aristas, caras, …, facetas) de un politopo de cruce n-dimensional está determinado por (ver coeficiente binomial):
    $2^{k+1}{n \choose {k+1}}$
Para los primeros n y k tendremos:
Elementos de los Politopos de Cruce :
| n | β$_n$ k$_{11}$ | Name(s) Grafo | Schläfli | Vértices | Aristas | Caras | 3-caras | 4-caras | 5-caras | 6-caras | 7-caras | 8-caras | 9-caras |
| 1 | β$_1$ | Segmento 1-ortoplex | | 2 | | | | | | | | | |
| 2 | β$_2$ −1$_{11}$ | Cuadrado 2-ortoplex Bicruce | {4}+ | 4 | 4 | | | | | | | | |
| 3 | β$_3$ 0$_{11}$ | Octaedro 3-orthoplex Tricruce | {3,4} {3$^{0,1,1}$}++ | 6 | 12 | 8 | | | | | | | |
| 4 | β$_4$ 1$_{11}$ | Hexadecacoron 4-orthoplex Tetracruce | {3,3,4} {3$^{1,1,1}$} 4 | 8 | 24 | 32 | 16 | | | | | | |
| 5 | β$_5$ 2$_{11}$ | 5-ortoplex Pentacruce | {3$^3$,4} {3$^{2,1,1}$} 5 | 10 | 40 | 80 | 80 | 32 | | | | | |
| 6 | β$_6$ 3$_{11}$ | 6-ortoplex Hexacruce | {3$^4$,4} {3$^{3,1,1}$} 6 | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | | | | |
| 7 | β$_7$ 4$_{11}$ | 7-ortoplex Heptacruce | {3$^5$,4} {3$^{4,1,1}$} 7 | 14 | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 | | | |
| 8 | β$_8$ 5$_{11}$ | 8-ortoplex Octacruce | {3$^6$,4} {3$^{5,1,1}$} 8 | 16 | 112 | 448 | 1120 | 1792 | 1792 | 1024 | 256 | | |
| 9 | β$_9$ 6$_{11}$ | 9-ortoplex Eneacruce | {3$^7$,4} {3$^{6,1,1}$} 9 | 18 | 144 | 672 | 2016 | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | |
| 10 | β$_{10}$ 7$_{11}$ | 10-ortoplex Decacruce | {3$^8$,4} {3$^{7,1,1}$} 10 | 20 | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 |
| n | β$_n$ k$_{11}$ | n-ortoplex n-cruce | {3$^{n−2}$,4} {3$^{n−3,1,1}$} n | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., 2$^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., 2$^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., 2$^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., 2$^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., 2$^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., 2$^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., 2$^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., 2$^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., 2$^n$ (n-1)-caras | 2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., 2$^n$ (n-1)-caras |
Los vértices de un politopo de cruz alineado según los ejes están todos a igual distancia unos de otros en la Distancia Manhattan (L$^1$ norm). La Conjetura de Kusner's afirma que afirma que este conjunto de puntos 2D es el mayor conjunto equidistante posible para esta distancia.