# Segundo Teorema de Minkowski

En matemáticas, el segundo teorema de Minkowski es un resultado en la geometría de los números sobre los valores tomados por una norma en un látice y el volumen de su célula fundamental.

## Contexto

Sea K un cuerpo cerrado convexo centralmente simétrico de volumen positivo y finito en un espacio Euclídeo n-dimensional ℝ$^n$. El gauge o funcional de Minkowski de distancia g respecto a K está definido por
    $g(x)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb {R} :x\in \lambda K\right\}.$
Conversamente, dada una norma g en ℝ$^n$, definimos K como
    K={x∈R$^n$:g(x)≤1}.{\textstyle K=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:g(x)\leq 1\right\}.}
Sea Γ un látice, o enrejado en ℝ$^n$. Los mínimos sucesivos de K o g en Γ están definidos dejanto que el k-ésimo mínimo sucesivo λ$_k$ sea el ínfimo de los números λ tal que λK contiene k vectores linearmente independientes de Γ. Tenemos 0 < λ$_1$ ≤ λ$_2$ ≤ ... ≤ λ$_n$ < ∞.

## Enunciado

Los mínimos sucesivos satisfacen lo siguiente
    ${\frac {2^{n}}{n!}}\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right)\leq \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right).$

## Prueba

Una base de vectores linearmente independientes del enrejado b$_1$ , b$_2$ , ... b$_n$ puede ser definida por g(b$_j$) = λ$_j$ .
La cuota inferior se demuestra considerando el politopo convexo 2n con vértices en ±b$_j$/ λ$_j$ , el cual tiene un interior contenido en K y un volumen que es 2n/n!λ$_1$ λ$_2$...λ$_n$ veces un múltiplo entero de una célula primitiva del enrejado (lo cual puede verse escalando el politopo por un factor λ$_j$ en la dirección de cada vector base para obtener 2$^n$ n-simplejos con vectores en el enrejado).
Para probar la cuota superior, consideremos las funciones f$_j$(x) que envían puntos x en K{\textstyle K} al centroide del subconjunto de puntos en K{\textstyle K} que puede ser escrito como x+∑$_{i=1}$$^{j−1}$a$_i$b$_i${\textstyle x+\sum _{i=1}^{j-1}a_{i}b_{i}} para algunos números reales a$_i${\textstyle a_{i}}. Entonces, la transformaciónd de coordenadas x$^′$=h(x)=∑$_{i=1}$$^n$(λ$_i$−λ$_{i−1}$)f$_i$(x)/2{\textstyle x'=h(x)=\sum _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-\lambda _{i-1})f_{i}(x)/2} tiene un determinante jacobiano J=λ$_1$λ$_2$…λ$_n$/2$^n${\textstyle J=\lambda _{1}\lambda _{2}\ldots \lambda _{n}/2^{n}}. Si p{\textstyle p} y q{\textstyle q} están en el interior de K{\textstyle K} y p−q=∑$_{i=1}$$^k$a$_i$b$_i${\textstyle p-q=\sum _{i=1}^{k}a_{i}b_{i}} (con a$_k$≠0{\textstyle a_{k}\neq 0}), entonces (h(p)−h(q))=∑$_{i=0}$$^k$c$_i$b$_i$∈λ$_k$K{\textstyle (h(p)-h(q))=\sum _{i=0}^{k}c_{i}b_{i}\in \lambda _{k}K} con c$_k$=λ$_k$a$_k$/2{\textstyle c_{k}=\lambda _{k}a_{k}/2}, donde la inclusión en λ$_k$K{\textstyle \lambda _{k}K} (específicamente el interior de λ$_k$K{\textstyle \lambda _{k}K}) se debe a convexidad y simetría. Pero los puntos de enrejado en el interior de λ$_k$K{\textstyle \lambda _{k}K} son, por definición de λ$_k${\textstyle \lambda _{k}}, siempre expresables como combinación lineal de b$_1$, b$_2$, …b$_{k−1}${\textstyle b_{1}, b_{2}, \ldots b_{k-1}}, así que cualesquiera dos puntos distintos de K$^′$=h(K)={x$^′$|h(x)=x$^′$}{\textstyle K'=h(K)=\lbrace x'|h(x)=x'\rbrace }, estos no pueden ser separados por un vector del enrejado. Por tanto, K$^′${\textstyle K'} tiene que estar encerrado en una célula primitiva del enrejado (la cual tiene volumen vol(R$^n$/Γ){\textstyle {\text{vol}}(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}), y por consiguiente vol(K)/J=vol(K$^′$)≤vol(R$^n$/Γ){\textstyle {\text{vol}}(K)/J={\text{vol}}(K')\leq {\text{vol}}(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}.