# Doble producto vectorial

Llamamos doble producto vectorial (o también triple producto vectorial) de tres vectores a la expresión $\,\mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)$ o  $\,\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {C}$ ; esto es, el producto vectorial de dos vectores se multiplica vectorialmente por un tercer vector.
Para calcular el doble producto vectorial se utiliza la siguiente fórmula:
   $\,\mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)=\mathbf {B} \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)-\mathbf {C} \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)$
demostrada más adelante.

## Propiedades

* Según la fórmula, $\mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)$ es un vector contenido en el plano definido por los vectores B y C.
* La interpretación geométrica del vector ${\vec {p}}=({\vec {u}}\times {\vec {a}})\times {\vec {u}}$ es la proyección ortogonal del vector ${\vec {a}}$ sobre el plano cuyo vector normal es ${\vec {u}}$ .
* El producto vectorial no tiene la propiedad asociativa, ya que es antisimétrico (o anticonmutativo).
El vector
   $\,\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {C} =-\mathbf {C} \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\mathbf {B} -\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \right)\mathbf {A}$
está contenido en el plano definido por los vectores A y B, por lo que, en general, será
   $\,\mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)\neq \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {C}$
con lo cual resulta fundamental la colocación de los paréntesis.
* Identidad de Jacobi:
$\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=0$
Cuand

## Notación de Levi-Civita

Con la notación de Levi-Civita, el doble producto vectorial se expresa en la forma
   $\,\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\varepsilon _{ijk}A^{j}\varepsilon _{k\ell m}B^{\ell }C^{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m}A^{j}B^{\ell }C^{m}$
Estas fórmulas son muy útiles a la hora de simplificar un vector en física. Por ejemplo, una igualdad relacionada con los gradientes, y muy útil en el cálculo de vectores es:
    ${\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&={\mbox{grad }}({\mbox{div }}\mathbf {f} )-{\mbox{laplaciano }}\mathbf {f} .\end{aligned}}$
Esto también puede ser considerado como un caso especial del más conocido como operador de Laplace-deRham: Δ = dδ + δd.

## Demostración

Sea $\mathbf {A} \times \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)$ el doble producto vectorial buscado, se puede llegar a una expresión que esté en función de estos mismos vectores. Podemos notar en la figura que el vector resultante estará incluido en el plano que forman los vectores B y C, cualquiera sea la dirección de A. Entonces, se puede descomponer al vector $\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )$ en una componente paralela a B y otra paralela a C.
   (1)$\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} x+\mathbf {C} y\quad x,y\in \mathbb {R} \quad$
Para facilitar la demostración primero se supondrá $\mathbf {B} \bot \mathbf {C}$; luego la fórmula se ampliará de forma general. Por ahora, efectuamos producto escalar por el vector B en (1):
    $\mathbf {B} \cdot [\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )]=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {B} x+\mathbf {C} y)$
Aplicamos propiedad distributiva en el segundo miembro (recordemos que B.C = 0 por ser perpendiculares):
    $\mathbf {B} \cdot (\mathbf {B} x+\mathbf {C} y)=\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} x+\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} y=\left|\mathbf {B} \right|^{2}x$
El primer miembro es un producto mixto y, como tal, puede intercambiar sus factores de esta manera:
    $\mathbf {B} \cdot [\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )]=\mathbf {A} \cdot [(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B} ]$
Igualando las expresiones anteriores se tiene:
   (2)$\mathbf {A} \cdot [(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B} ]=\left|\mathbf {B} \right|^{2}x\quad$
El producto $(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B}$ da como resultado un vector en la misma dirección y sentido que C (ver figura). Si averiguamos el módulo de este producto obtenemos:
    $\left|(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B} \right|=\left|(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\right|.\left|\mathbf {B} \right|.\operatorname {sen} {\pi \over 2}=\left|\mathbf {B} \right|.\left|\mathbf {C} \right|.\operatorname {sen} {\pi \over 2}.\left|\mathbf {B} \right|.1=\left|\mathbf {B} \right|^{2}.\left|\mathbf {C} \right|$
Como $(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B}$ es de dirección y sentido iguales a C, se puede expresar de la siguiente manera:
    $(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {B} =\quad \left|\mathbf {B} \right|^{2}\quad \mathbf {C}$
Identidad que, multiplicada escalarmente por el vector A, coincide con (2).
    $\therefore \,x=\mathbf {A} \cdot \mathbf {C}$
Para averiguar y se sigue un proceso análogo, en el cual se efectúa en (1) el producto escalar por el vector C:
    $\mathbf {C} \cdot [\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )]=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {B} x+\mathbf {C} y)$
    $\mathbf {A} \cdot [(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {C} ]=\left|\mathbf {C} \right|^{2}y$
En este punto cabe destacar una diferencia importante, que se deduce de la imagen. Nótese que el vector $(\mathbf {B} \times \mathbf {C} )\times \mathbf {C}$ es opuesto a B. Esto implica:
    $-\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \left|\mathbf {C} \right|^{2}=\left|\mathbf {C} \right|^{2}y\quad \rightarrow \quad y=-\mathbf {A} \cdot \mathbf {B}$
Reemplazamos x e y en (1) y obtenemos la fórmula de doble producto vectorial para B y C perpendiculares.
   (*)$\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\quad$

### Fórmula general

Considerando ahora un vector B, ya no necesariamente perpendicular a C, se puede descomponerlo en dos componentes diferentes, una perpendicular y otra paralela a C.
    $\mathbf {B} =\mathbf {B} '+\mathbf {C} k\quad \mathbf {B} '\bot \mathbf {C} ,k\in \mathbb {R}$
Se efectúa el doble producto vectorial y se lleva a la forma (*):
    $\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {A} \times [(\mathbf {B} '+\mathbf {C} k)\times \mathbf {C} ]=\mathbf {A} \times (\mathbf {B} '\times \mathbf {C} +\mathbf {C} k\times \mathbf {C} )=\mathbf {A} \times (\mathbf {B} '\times \mathbf {C} )$
De modo que se puede desarrollar de esta manera:
    $\mathbf {A} \times (\mathbf {B} '\times \mathbf {C} )=\mathbf {B} '(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ')$
Ahora, tenemos $\mathbf {B} =\mathbf {B} '+\mathbf {C} k\Rightarrow \mathbf {B} '=\mathbf {B} -\mathbf {C} k$. Reemplazamos en la fórmula anterior y desarrollamos.
    $\mathbf {B} '(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ')=(\mathbf {B} -\mathbf {C} k)(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} [\mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} -\mathbf {C} k)]=$
$=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} k(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} k)=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} k(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} k)=$ $=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} ){\cancel {-\mathbf {C} k(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )}}-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ){\cancel {+\mathbf {C} k(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )}}$
    $\therefore \ \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )$
Esta última identidad coincide con (*) y vale para cualquiera sean A, B y C.