# Problema de Hansen

El Problema de Hansen es un caso de resolución geométrica que se presenta en topografía clásica plana. Recibe su nombre del astrónomo Peter Andreas Hansen (1795-1874), que trabajó en el estudio geodésico de Dinamarca.

## Planteamiento

Se tienen dos puntos de coordenadas conocidas A y B, y otros dos puntos de coordenadas desconocidas P$_1$ y P$_2$. Desde P$_1$ y P$_2$ un observador mide el ángulo formado por las visuales a cada uno de los otros tres puntos. El problema es encontrar las posiciones de P$_1$ y P$_2$. De acuerdo con la figura, los ángulos medidos son (α$_1$, β$_1$, α$_2$, y β$_2$).
Puesto que implica la observación de ángulos desde puntos desconocidos, el problema es un ejemplo de resección (diferente de los problemas de intersección).
Ejemplo: este procedimiento permite valerse de dos referencias lejanas, cuya distancia entre sí se conoce (por ejemplo, los campanarios de dos iglesias, que serían los puntos A y B), para calcular las coordenadas de una pareja cualquiera de puntos observables entre sí P$_1$ y P$_2$ desde los que también se puedan observar las referencias lejanas.

## Resumen del método de resolución

Definir los siguientes ángulos: γ = P$_1$AP$_2$, δ = P$_1$BP$_2$, φ = P$_2$AB, ψ = P$_1$BA. Como primer paso, se resuelve para φ y ψ. La suma de estos dos ángulos desconocidos es igual a la suma de β$_1$ y β$_2$, resultando la ecuación
    $\phi +\psi =\beta _{1}+\beta _{2}.$
Una segunda ecuación puede encontrarse de forma algo más laboriosa como sigue. La ley de los senos establece que
    ${\frac {AB}{P_{2}B}}={\frac {\operatorname {sen} \alpha _{2}}{\operatorname {sen} \phi }}$ y
    ${\frac {P_{2}B}{P_{1}P_{2}}}={\frac {\operatorname {sen} \beta _{1}}{\operatorname {sen} \delta }}.$
Combinando las dos expresiones, se obtiene
    ${\frac {AB}{P_{1}P_{2}}}={\frac {\operatorname {sen} \alpha _{2}\operatorname {sen} \beta _{1}}{\operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \delta }}.$
Con el mismo razonamiento en el otro lado, se tiene que
    ${\frac {AB}{P_{1}P_{2}}}={\frac {\operatorname {sen} \alpha _{1}\operatorname {sen} \beta _{2}}{\operatorname {sen} \psi \operatorname {sen} \gamma }}.$
Relacionando ambas expresiones, se obtiene
    ${\frac {\operatorname {sen} \phi }{\operatorname {sen} \psi }}={\frac {\operatorname {sen} \gamma \operatorname {sen} \alpha _{2}\operatorname {sen} \beta _{1}}{\operatorname {sen} \delta \operatorname {sen} \alpha _{1}\operatorname {sen} \beta _{2}}}=k.$
Mediante una conocida identidad trigonométrica, este cociente de senos puede ser expresado como la tangente de una diferencia de ángulos:
    $\tan {\frac {\phi -\psi }{2}}={\frac {k-1}{k+1}}\tan {\frac {\phi +\psi }{2}}.$
De aquí se obtiene una segunda ecuación. Una vez que se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas $\phi$ y $\psi$, se puede utilizar cualquiera de las dos expresiones anteriores para con ${\frac {AB}{P_{1}P_{2}}}$ determinar P$_1$ y P$_2$ debido a que se conoce la distancia AB. Entonces es posible calcular todos los segmentos utilizando la ley de los senos.

## Algoritmo de la solución

Dados los cuatro ángulos (α$_1$, β$_1$, α$_2$, β$_2$) y la distancia AB, el procedimiento de cálculo tiene el siguiente desarrollo:
* Calcular $\gamma =\pi -\alpha _{1}-\beta _{1}-\beta _{2},\quad \delta =\pi -\alpha _{2}-\beta _{1}-\beta _{2}.$
* Calcular $k={\frac {\operatorname {sen} \gamma \operatorname {sen} \alpha _{2}\operatorname {sen} \beta _{1}}{\operatorname {sen} \delta \operatorname {sen} \alpha _{1}\operatorname {sen} \beta _{2}}}.$
* Hacer que $s=\beta _{1}+\beta _{2},\quad d=2\arctan \left[{\frac {k-1}{k+1}}\tan(s/2)\right]$ y luego $\phi =(s+d)/2,\quad \psi =(s-d)/2.$
* Calcular
       $P_{1}P_{2}=AB{\frac {\operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \delta }{\operatorname {sen} \alpha _{2}\operatorname {sen} \beta _{1}}}$
    o de forma equivalente
       $P_{1}P_{2}=AB{\frac {\operatorname {sen} \psi \operatorname {sen} \gamma }{\operatorname {sen} \alpha _{1}\operatorname {sen} \beta _{2}}}.$
    (Si una de estas dos fracciones tiene un denominador próximo a cero, utilizar la otra).