# Subgrupo

En álgebra, dado un grupo G con una operación binaria *, se dice que un subconjunto no vacío H de G es un subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación *. O de otro modo, H es un subgrupo de G si la restricción de * a H satisface los axiomas de grupo.
Un subgrupo propio de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto propio de G (es decir H ≠ G). El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo {e} que consiste solamente en el elemento identidad.
El grupo G a veces se denota por el par ordenado (G, *), generalmente para acentuar la operación * cuando G lleva varias estructuras algebraicas o de otro tipo. En lo siguiente, se sigue la convención usual y se escribe el producto a*b como simplemente ab.

## Definición de un subgrupo

Decimos que un subconjunto $F$ de un grupo $G$ es un subgrupo de $G$ cuando $F$ es un grupo con la operación ( de adición o multiplicación) de $G$ restringida a los elementos de $F$.

### Proposición

Sean $(G,\circ )$ un grupo y $H\subset G:H\neq \emptyset$. El grupo $(H,\circ )$ se llama Subgrupo de $(G,\circ )$ si y solo si:
* la operación binaria es cerrada en H: $\forall a,b\in H\Rightarrow a\circ b\in H$.
* H contiene los elementos inversos: $\forall a\in H\Rightarrow a^{-1}\in H$.
Las dos últimas condiciones pueden expresarse de forma equivalente en una sola:
* $\forall a,b\in H\Rightarrow a\circ b^{-1}\in H$.
En el caso de que H sea finito, es suficiente que H sea cerrado bajo producto, puesto que la existencia de los inversos se sigue automáticamente en ese caso.
La operación binaria es siempre asociativa en H puesto que es asociativa para todas las ternas de elementos de G, y todos los elementos de H pertenecen a G.

## Propiedades de los subgrupos

* Todo grupo G con más de un elemento tiene al menos dos subgrupos:
** el subgrupo trivial {e}, que contiene solo al elemento identidad.
** el mismo G, que es el subgrupo máximo de G.
* Dados dos subgrupos H y K de un grupo G, la intersección $H\cap K$ es un subgrupo. En general, la unión de subgrupos no forma un subgrupo, salvo que uno de ellos esté contenido en el otro.
* Dado un subgrupo H de un grupo G, se puede definir un homomorfismo natural $\varphi :H\hookrightarrow G$ definido por $\varphi (x)=x$. Dicha función es la inyección canónica de H en G.
* Todo elemento a de un grupo G genera un subgrupo cíclico <a>. Si <a> es isomorfo a Z/n Z para algún número entero positivo n, entonces n es el número entero positivo más pequeño para el cual a$^n$ = e, y n se llama el orden de a. Si <a> es isomorfo a Z, entonces a se dice que tiene orden infinito.
* Si S es un subconjunto de G, entonces existe un subgrupo mínimo de G que contiene S: es el subgrupo generado por S y se denota por <S>. Un elemento de G está en <S> si y solamente si es un producto finito de elementos de S y de sus inversos.
* El centro de un grupo G, denotado por $Z(G)$, es el subgrupo que contiene a todos los elementos que conmutan con cualquier elemento g de G. El centro es siempre un subgrupo normal y abeliano. El centro de un grupo abeliano G es el propio G.
* Los subgrupos de cualquier grupo dado forman un reticulado completo bajo inclusión. El ínfimo del retículo, dado por la intersección de conjuntos, es el subgrupo trivial {e}. En cambio el supremo no es la unión de conjuntos, sino el subgrupo generado por la unión, y es el mismo G.

## Clases laterales y Teorema de Lagrange

Dados un subgrupo H de G y algún $a\in G$, definimos la clase lateral izquierda $aH=\{ah:h\in H\}$. Las clases izquierdas son las clases de equivalencia que corresponden a la relación de equivalencia a ~ b ssi b = ah para algún h en H.
Puesto que a es inversible, la función $\varphi :H\rightarrow aH$ dada por $h\mapsto ah$ es una biyección. Por tanto, cada clase lateral de H contiene tantos elementos como el subgrupo H; el mismo H es la clase lateral representada por eH. Las clases laterales izquierdas forman una partición de G: todo elemento de G está contenido en exactamente una y solo una clase izquierda de H, o dicho de otro modo, G es la unión disjunta de las clases laterales izquierdas de H.
Las clases laterales derechas se definen análogamente: $Ha=\{ha:h\in H\}$. Son también las clases de equivalencia correspondientes a una relación de equivalencia análoga: $a\sim b\iff b=ha$ para algún $h\in H$.
El número de clases izquierdas y clases derechas de H es el mismo, se llama el índice de H en G y se denota por [G:H]. El teorema de Lagrange establece que
    $[G:H]\cdot |H|=|G|$
donde |G| y |H| denotan los cardinales de G y de H, respectivamente. En particular, si G es finito, entonces la cardinalidad de todo subgrupo de G y el orden de cada elemento de G debe ser un divisor de |G|.

## Subgrupos normales

Dados un subgrupo H de G, si aH = Ha para cada a en G, es decir, las clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden, entonces H es un subgrupo normal. En un grupo abeliano todo subgrupo es normal. Los subgrupos normales son claves en los homomorfismos de grupos y permiten definir grupos cociente.
Todo grupo G contiene al menos dos subgrupo normales: el subgrupo trivial y el propio G; si no tiene ningún otro subgrupo normal entonces G es un grupo simple.