OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Iker Guarrotxena

Iker Guarrotxena Vallejo (Bilbao, 6 de diciembre de 1992), más conocido como Guarrotxena, es un futbolista español que juega como delantero en el F. C. Goa de la Superliga de India.

## Trayectoria

Nacido en Bilbao, aunque se crio en la localidad de Guecho de Vizcaya, se formó en las categorías inferiores del Athletic Club desde 2003. Tras anotar 11 goles en 34 partidos en la 2013-14 con el Bilbao Athletic, fue convocado por el entrenador del primer equipo, Ernesto Valverde, para varios amistosos del primer equipo. En la temporada 2014-2015 se incorporó al C. D. Tenerife mediante una cesión de una temporada. Para la temporada 2015-2016 volvió al Bilbao Athletic, que había ascendido a Segunda División. Anotó cuatro goles, aunque el equipo acabó perdiendo la categoría.
En julio de 2016 firmó un contrato de dos temporadas con el Club Deportivo Mirandés. Fue el máximo goleador del equipo, con nueve goles. A pesar de ello, no pudo evitar el descenso a Segunda División B. De cara a la temporada 2017-18 se unió a la CD Leonesa, que pagó unos 100 000 euros por el vizcaíno. En el equipo leonés no consiguió consolidarse como titular ni anotar ningún gol en los 35 encuentros que disputó. Además, el jugador sufrió su tercer descenso de categoría consecutivo.
En agosto de 2018 se marchó al fútbol polaco para jugar en las filas del Pogoń Szczecin, tras abonar la cláusula de rescisión valorada en unos 70 000 euros. En enero de 2020 se marchó a Grecia a jugar en las filas del Volos NFC. Tras un año en el conjunto heleno se fue a Australia para jugar en el Western United F. C. Allí estuvo unos meses, regresando en julio de 2021 al fútbol español después de firmar por la U. D. Logroñés.
Un año después volvió a emigrar, marchándose a la India para jugar en el F. C. Goa las siguientes dos temporadas. En la primera consiguió trece goles en 23 partidos y, tras la misma, volvió a España después de fichar por el Real Murcia C. F. el 7 de julio de 2023. A mediados de esa campaña regresó al país asiático para completarla en el Mumbai City F. C. La siguiente inició su segunda etapa en el F. C. Goa.

## Clubes

| Club | País | Año |
| C. D. Basconia | España España | 2011-2012 |
| Bilbao Athletic | España España | 2012-2014 |
| C. D. Tenerife | España España | 2014-2015 |
| Bilbao Athletic | España España | 2015-2016 |
| C. D. Mirandés | España España | 2016-2017 |
| Cultural y Deportiva Leonesa | España España | 2017-2018 |
| Pogoń Szczecin | Polonia Polonia | 2018-2019 |
| Volos N. F. C. | Grecia Grecia | 2020-2021 |
| Western United F. C. | Australia | 2021 |
| U. D. Logroñés | España España | 2021-2022 |
| F. C. Goa | India | 2022-2023 |
| Real Murcia C. F. | España España | 2023-2024 |
| Mumbai City F. C. | India | 2024 |
| F. C. Goa | India | 2024- |

## Vida personal

Es hermano del futbolista Lander Guarrotxena y sobrino de los exfutbolistas Endika Guarrotxena e Iñaki Vergara.
# James Blount, VI barón de Mountjoy

James Blount, VI barón de Mountjoy (1533 - 1582) fue un miembro de la nobleza en Inglaterra.

## Vida

Blount nació alrededor de 1533 en Barnstaple, Devon, siendo el hijo mayor de Charles Blount, V barón de Mountjoy (1516-1544) y Ann Willoughby. Heredó su título tras la muerte de su padre. Fue nombrado Caballero Orden del Baño en la coronación de la Reina María (29 de septiembre de 1553); y fue Teniente de Lord de Dorset en 1559.
Fue uno de los comisionados que juzgaron a Thomas Howard, IV duque de Norfolk en 1572, y gastó la fortuna de su familia en la búsqueda de la alquimia. Lord Burghley lo animó en la fabricación de alumbre y cobre entre 1566 y 1572.
Blount también tenía una reputación como partidario del protestantismo, en línea con la de su padre y abuelo. Henry Bennet lo alabó en 1561, mencionando también su patrocinio de Eliseus Bomelius, y el mismo año Jean Veron le dedicó un tratado antipapal.

## Familia

El 17 de mayo de 1558, se casó con Catherine Leigh, hija de Thomas Leigh de Durham St. Oswalds, Yorkshire. Tuvieron cinco hijos: William, Charles, Christopher, Ann y Edward.
Tras su muerte el 10 de octubre de 1582, en Hook (cerca de Okehampton), el título pasó a su hijo mayor William Blount, VII barón de Mountjoy.
# Dongdaemun-gu

Dongdaemun-gu es uno de los 25 distritos (gu) de Seúl, Corea del Sur. Situado en la orilla norte del río Han, está dividido en 26 dong (barrios).
Dongdaemun Gu debe su nombre a la puerta este de la antiguas murallas de Seúl, Dongdaemun, aunque la misma puerta se encuentra realmente en Jongno-gu, esto es debido a cambios en las fronteras de los gus.

## Historia

Dongdaemun-gu fue creado en 1943 cuando Seúl comenzó a aplicar el sistema de "gus", siendo más grande de lo que es actualmente. Seongbuk-gu se escindió del distrito en 1949, y los barrios de Changsin Dong y Sungin Dong fueron reasignados a Jongno-gu en 1975. Posteriormente en 1988 otros 17 dong se separaron para formar Jungnang-gu.

## Geografía

Dongdaemun Gu limita con Seongbuk-gu al noroeste, con Jungnang-gu al este (el río Jungnangcheon siendo la frontera natural), con [Gwangjin-gu]] al sureste, con Seongdong-gu al sur, al suroeste se encuentra con Jung-gu y al oeste con Jongno-gu.

## Lugares de interés

Numerosas universidades se encuentran en Dongdaemun-gu: Universidad de Kyunghee, Universidad Hankuk de Estudios Extranjeros y la Universidad de Seúl. También edificios históricos que se pueden encontrar son:
* Puntos de interés de la ciudad de Seúl: Seonnongdan (선농단 先農壇), King Sejong Sindobi (세종대왕신도비 世宗大王神道碑);
* Tesoro nacional: Supyo (수표 水標);
* Lugar histórico: Yeonghuiwon (영휘원永徽園)
* Tumbas de Kim Byeongro (김병로 金炳魯), Han Yongwoon (한용운 韓龍雲), Ahn Changho y Oh Sechang (오세창 吳世昌).
Además la zona de Cheongnyangni se caracteriza por se la más concurrida del districo, con una gran área comercial alrededor de estación de Cheongnyangni.

## Divisiones administrativas

Dongdaemun-gu se divide administrativamente en 26 dongs:
* Cheongnyangni-dong 1-2
* Dapsimni-dong 1-5
* Hoegi-dong
* Hwigyeong-dong 1 & 2
* Imun-dong 1-3
* Jaegi-dong 1-2
* Jangan-dong 1-4
* Jeonnong-dong 1-4
* Sinseol-dong
* Yongdu-dong 1-2

## Hermanamientos

* Anguo, China
* Yanqing, China
# Interneurona

La interneurona o neurona integradora es una neurona del sistema nervioso central, generalmente pequeña y de axón corto, que interconecta con otras neuronas, permitiendo realizar funciones más complejas.
La neurona también llamada neurona de asociación, tiene la función de analizar la información sensorial y almacenar parte de ella. También actúa en los actos reflejos, transformando un estímulo en respuesta a nivel de la médula espinal. Se encuentran situadas entre las neuronas sensitivas y motoras y se localizan en los centros nerviosos superiores.
Las interneuronas se pueden dividir en dos grupos: interneuronas locales y neuronas relay. Las interneuronas locales tienen axones cortos y forman circuitos con las neuronas circundantes para analizar pequeñas fracciones de información.
Las interneuronas relay tienen axones largos y conectan circuitos de neuronas en una región del cerebro con otros circuitos de otras regiones.
Las interneuronas son neuronas multipolares, las cuales conectan neuronas aferentes con neuronas eferentes en los tractos neuronales o nerviosos. Es decir funcionan como un puente comunicacional, intercomunicando a las neuronas sensoriales con las neuronas motoras. Como las células motoras, las interneuronas sólo se encuentran en el sistema nervioso central.
En contraste con el sistema nervioso periférico, todas las neuronas del SNC parecerían ser interneuronas, ya que están en comunicación con muchas otras neuronas. Sin embargo, el término "interneurona" se refiere a las neuronas que poseen prolongaciones atónicas y dendríticas de extensión local y no distante, es decir, por lo general, corta (aunque también hay interneuronas en la sustancia blanca de la médula espinal que poseen axones relativamente largos). A las neuronas que establecen conexión entre distintas estructuras del sistema nervioso central o entre zonas distantes del mismo se las denomina neuronas de proyección.
Las interneuronas son por lo general neuronas que desempeñan un papel inhibitorio y usan los neurotransmisores ácido gamma-aminobutírico o glicina.
En la médula espinal existen distintos tipos de interneuronas:
* Segmentales: tienen el axón muy corto y conectan neuronas del mismo segmento y lado medular.
* Comisurales: similares a las segmentales, pero con un axón más largo que cruza la línea media de la médula espinal.
* Propioespinales: su axón es largo y sale de la sustancia gris bifurcado en dos ramas que intercomunican segmentos medulares.
# James Bond: Edición Definitiva

The James Bond Ultimate Edition DVD o James Bond: Edición Definitiva son un set de ediciones especiales en DVD de las películas de James Bond. Las colecciones fueron lanzadas para coincidir con el lanzamiento de la película Casino Royale. La Edición Definitiva presenta las primeras veinte películas de la serie de James Bond en 4 volúmenes de 5 películas cada una. Posteriormente las películas fueron lanzadas de manera individual.

## Restauración

Todas las películas fueron restauradas cuadro por cuadro por la compañía Lowry Digital Images, lo que resultó en una mejora en la calidad de imagen en formato widescreen. Todas las películas presentan audio en Dolby Digital 5.1 y sonido surround DTS 5.1.
En la versión Latinoaméricana contrario a lo que sucede con muchas películas remasterizadas, no se hizo un redoblaje para las películas sino que se mantuvo el doblaje original de las películas, con la correspondiente mejora en el audio.
En el Disco 1 se incluye la película, los comentarios del director y del equipo de producción, así como la opción de elegir el Audio de la película y los subtítulos. El Disco 2 contiene material extra como lo son escenas inéditas, entrevistas, tráileres, TV Spots entre otros.

## Volúmenes
### Volumen 1

* Goldfinger
* Diamonds Are Forever
* The Man with the Golden Gun
* The Living Daylights
* The World Is Not Enough

### Volumen 2

* Operación Trueno
* La espía que me amó
* A View to a Kill
* Licencia para matar
* Die Another Day

### Volumen 3

* From Russia with Love
* On Her Majesty's Secret Service
* Live And Let Die
* For Your Eyes Only
* GoldenEye

### Volumen 4

* Dr. No
* You Only Live Twice
* Moonraker
* Octopussy
* El mañana nunca muere

## Controversia

El lanzamiento de la "Edición Definitiva" ha sido polémico debido al hecho de que varias ediciones anteriores en su tiempo también fueron consideradas "Ediciones Definitivas", lo que ha llevado a creer a algunos fanes que no va a volver a haber otro relanzamiento de las películas en vídeo.

## Características
### Región 1

* Audio
- Inglés - Francés - Chino mandarín - Coreano
* Menús
- Inglés - Francés

### Región 4

* Audio
- Inglés - Español - Portugués - Tailandés
* Subtítulos
- Inglés - Español - Portugués - Chino - Tailandés
* Menús
- Inglés - Español - Portugués
* Datos: Q5925688
# Dominika Hronová

Dominika Hronová (6 de enero de 1999) es una deportista checa que compite en taekwondo. En los Juegos Europeos de Cracovia 2023 consiguió una medalla de bronce en la categoría de –53 kg.

## Palmarés internacional

Juegos Europeos :
| Año | Lugar | Medalla | Categoría |
| 2023 | Krynica-Zdrój (Polonia) | 03 ! | –53 kg |
# Insuperables

Insuperables fue un programa de televisión producido por Gestmusic y emitido en La 1 de Televisión Española.

## Equipo

Presentado por Carolina Cerezuela, contó con un jurado formado por Santiago Segura, Pitingo y Ana Milán, que compartían las decisiones en cada programa con un personaje famoso diferente que tenía el papel de defensor del concursante.

## Formato

Se trata de un talent show en el que los concursantes deben mostrar ante el jurado sus capacidades en diferentes campos como música, humor, magia o acrobacias.

## Defensor del concursante

* Programas 1 y 8: Carlos Latre
* Programa 2: Yunke
* Programa 3: Almudena Cid
* Programa 4: Carlos Baute
* Programa 5: Llum Barrera
* Programa 6: Ruth Lorenzo
* Programa 7: David Bustamante
* Programa 9: Adriana Abenia
* Programa 10: María del Monte

## Episodios y audiencias

| Temporada | Temporada | Episodios | Estreno | Final | Audiencia media | Audiencia media | Audiencia media |
| Temporada | Temporada | Episodios | Estreno | Final | Espectadores | Cuota |
| | 1 | 10 | 6 de julio de 2015 | 31 de agosto de 2015 | 1 172 000 | 9,6% |

### Temporada 1 (2015)

| N.º (serie) | N.º (temp.) | Título | Fecha de emisión | Audiencia |
| 1 | 1 | «Programa 1 / Elección de tres semifinalistas» | 6 de julio de 2015 | 1 444 000 (9,8%) |
| 2 | 2 | «Programa 2 / Elección de tres semifinalistas» | 13 de julio de 2015 | 1 203 000 (8,3%) |
| 3 | 3 | «Programa 3 / Elección de tres semifinalistas» | 20 de julio de 2015 | 1 103 000 (8,0%) |
| 4 | 4 | «Programa 4 / Elección de tres semifinalistas» | 27 de julio de 2015 | 1 240 000 (9,1%) |
| 5 | 5 | «Programa 5 / Elección de tres semifinalistas» | 3 de agosto de 2015 | 1 333 000 (10,8%) |
| 6 | 6 | «Programa 6 / Elección de tres semifinalistas» | 10 de agosto de 2015 | 1 219 000 (10,7%) |
| 7 | 7 | «Programa 7 / Elección de tres semifinalistas» | 17 de agosto de 2015 | 1 085 000 (10,2%) |
| 8 | 8 | «Programa 8 / Semifinal 1» | 24 de agosto de 2015 | 1 260 000 (10,0%) |
| 9 | 9 | «Programa 9 / Semifinal 2» | 24 de agosto de 2015 | 551 000 (11,0%) |
| 10 | 10 | «Programa 10 / Final» | 31 de agosto de 2015 | 1 482 000 (10,9%) |

## Palmarés Insuperables

| Edición | Fecha | Ganador | Subcampeón | Tercero | Cuarto | Quinto |
| Insuperables: Primera edición | 2015 | Acrodreams | Coro Agao | Airshow | Fran Diabolo | Street Squad |
# Lady Be Good (película de 1941)

Lady Be Good es una película musical dirigida por Norman Z. McLeod y producida por Arthur Freed en 1941, y protagonizada por Ann Sothern, Robert Young, Lionel Barrymore y Red Skelton y la bailarina Eleanor Powell. Está basado en el musical de 1924 Lady, Be Good!.
La película ganó el premio Óscar a la mejor canción original por The Last Time I Saw Paris, canción compuesta por Jerome Kern y Oscar Hammerstein II, y que fue interpretada en el filme por Ann Sothern.
# Drosera stolonifera

Drosera stolonifera es una especie de planta perenne tuberosa perteneciente al género de plantas carnívoras Drosera.

## Descripción

Produce 2-3 tallos semierectos laterales que crecen de 10 a 15 cm de largo. Está estrechamente relacionada con D. purpurascens, pero se distingue por varias características como la altura y el largo peciolo. Florece de septiembre a octubre. Después de un incendio forestal florecerá de forma masiva.

## Distribución y hábitat

Es endémica de Australia Occidental, en una serie de lugares pantanosos cerca de Perth, al sur de Pinjarra. Crece en suelos de turba y en pantanos y brezales.

## Taxonomía

Los ejemplares tipo fueron recogidos por Charles von Hügel en la región del río Swan en 1833. D. stolonifera fue descrita formalmente por Stephan Ladislaus Endlicher en su Enumeratio plantarum en 1837. Durante muchos años, las diferentes variedades de esta especie fueron incluidas en el complejo de D. stolonifera. Varias de estas formas y variedades se presentaron finalmente como subespecies, las cuales fueron posteriormente elevadas al rango de especie tras un examen más detenido. El debate se inició ya en 1906, cuando Ludwig Diels redujo D. humilis de Jules Émile Planchon's a una variedad de D. stolonifera, así, también creó el autónimo D. stolonifera var. stolonifera. Luego, en 1982 N.G.Marchant describió varias subespecies: D. stolonifera subsp. compacta, D. stolonifera subsp. humilis, y D. stolonifera subsp. rupicola, que Allen Lowrie ha restaurado o elevado a rango de especie como D. purpurascens, D. humilis, y D. rupicola respectivamente. En 1992, Lowrie y Marchant juntos describieron varias subespecies más: D. stolonifera subsp. monticola, D. stolonifera subsp. porrecta, y D. stolonifera subsp. prostrata. Lowrie restauró la subsp. porrecta a D. porrecta y elevó la subsp. prostrata a D. prostrata en 2005. Al publicar la elevación de la subespecie monticola al rango de especie, Lowrie no incluyó una cita de página correcto para el basónimo, que con arreglo al artículo 33.4 del Código Internacional de Nomenclatura Botánica hizo que el nuevo nombre no fuera válido. El error aún no ha sido corregido, por lo que las únicas dos subespecies de D. stolonifera que quedan son el autónimo D. stolonifera subsp. stolonifera y Drosera stolonifera subsp. monticola. Fue publicado en Enumeratio plantarum quas in Novae Hollandiae ora austro-occidentali ad fluvium Cygnorum et in sinu Regis Georgii collegit Carolus Liber Baro de Hügel 5. 1837.

### Etimología

Drosera: tanto su nombre científico –derivado del griego δρόσος (drosos): "rocío, gotas de rocío"– como el nombre vulgar –rocío del sol, que deriva del latín ros solis: "rocío del sol"– hacen referencia a las brillantes gotas de mucílago que aparecen en el extremo de cada hoja, y que recuerdan al rocío de la mañana.
stolonifera: epíteto latino que significa "con estolones".

### Sinonimia

* Sondera stolonifera (Endl.) Chrtek & Slavíková, Novit. Bot. Univ. Carol. 13: 45 (1999 publ. 2000).
# Jack Gold

Jack Gold (28 de junio de 1930-9 de agosto de 2015) fue un director de cine y películas de televisión británico. Formó parte de la British Realist Tradition, la corriente artística influenciada por el movimiento Free Cinema.

## Carrera

Gold nació en Londres y se educó en la University College London (UCL). Cuando abandonó esta comenzó su carrera como editor en el programa Tonight de la BBC. Dirigió documentales y películas, trabajos con los que manifestaba sus opiniones políticas y sociales.
Se le conoce sobre todo por películas como The Visit (1959), The National Health (1973), The Naked Civil Servant (1975), Man Friday (1975), The Medusa Touch (1978), Charlie Muffin (1979), The Chain (1985) y Escape From Sobibor (1987).
Entre sus trabajos se incluye también la versión televisiva para la BBC de The Merchant of Venice (1980) y Macbeth (1983), así como la rara pero efectiva adaptación para televisión de la novela de Graham Greene The Tenth Man (1988) (El décimo hombre), que incluye a Anthony Hopkins en el reparto.
También dirigió la premiada adaptación del libro Goodnight Mister Tom (1998), con John Thaw a la cabeza del reparto.
Gold ha dirigido el episodio final de la serie de televisión Inspector Morse y las series Kavanagh QC y The Brief.

## Filmografía

* My Father Knew Lloyd George (1965) (programa de televisión).
* The World of Coppard (1968)
* The Bofors Gun (1968)
* The Reckoning (1969)
* Stoker Leishman's Diaries (1972)
* The Gangster Show: The Resistible Rise of Arturo Ui (1972)
* Conflict (1973)
* The National Health (1973)
* Who? (1973)
* Man Friday (1975)
* The Naked Civil Servant (1975)
* Aces High (1976)
* The Medusa Touch (1978)
* The Sailor's Return (1978)
* Charlie Muffin (1979)
* Little Lord Fauntleroy (1980)
* The Merchant of Venice (1980)
* Praying Mantis (1983)
* Macbeth (1983)
* Good and Bad at Games (1983)
* Red Monarch (1983)
* The Chain (1984)
* Sakharov (1984)
* Me and the Girls (1985)
* Murrow (1986)
* Escape from Sobibor (1987)
* Stones for Ibarra (1988)
* The Tenth Man (1988)
* Ball Trap on the Cote Sauvage (1989)
* The Rose and the Jackal (1990)
* The War That Never Ends (1991)
* She Stood Alone (1991)
* Der Fall Lucona (1993)
* Spring Awakening (1994)
* The Return of the Native (1994)
* Heavy Weather (1995)
* Into the Blue (1997)
* Goodnight Mister Tom (1998)
# Inscutomonomma hobohmi

Inscutomonomma hobohmi es una especie de coleóptero de la familia Monommatidae.

## Distribución geográfica

Habita en África.
# Dominika Chorosińska

Dominika Małgorzata Chorosińska (de soltera Figurska; Elblag, 29 de diciembre de 1978) es una actriz y política de derecha polaca. Afiliada al partido Ley y Justicia, se desempeña como miembro del Sejm desde 2019.

## Filmografía

* 1999: Egzekutor
* 1999: Skok
* 2000: 6 dni strusia
* 2000: Enduro Bojz
* 2000: Nie ma zmiłuj
* 2001: Zostać miss
* 2002–2008: M jak miłość
# Insurance Institute for Highway Safety

| Puesto según cantidad de ventas de vehículos en 2017 | País | Número estimado de muertes viales cada 100.000 habitantes, 2018 |
| 1 | China | 18.2 |
| 2 | Estados Unidos | 12.4 |
| 3 | Japón | 4.1 |
| 4 | India | 22.6 |
| 5 | Alemania | 4.1 |
| 6 | Reino Unido | 3.1 |
| 7 | Francia | 5.5 |
| 8 | Brasil | 19.7 |
| 9 | Italia | 5.6 |
| 10 | Canadá | 5.8 |
El Insurance Institute for Highway Safety (IIHS, Instituto de Seguros para la Seguridad en las Carreteras) es una organización científica y educacional independiente, sin fines de lucro dedicada a disminuir las pérdidas -- muertes, heridas y daños materiales -- en accidentes en los Estados Unidos. Fue fundada en 1959 por William Haddon obteniendo financiamiento de las compañías aseguradoras de automóviles.
Una organización afiliada es la Highway Loss Data Institute (HLDI, Instituto de Datos de Pérdidas en la Carretera) cuya misión es la de reunir, computar y publicar los accidentes reportados a las compañías de seguros y entregar estos datos al IIHS.

## Medición

IIHS realiza sus mediciones a través de datos estadísticos y de pruebas de seguridad pasiva en autos nuevos entregando una clasificación (Good; Acceptable; Marginal; Poor) en sus mediciones.
La prueba de impacto frontal tipo off set se realiza a 64 km/h (40 mph) contra una barrera.
La prueba de impacto lateral tipo estándar es relativamente reciente y se realiza a 40 km/h (31 mph) contra una barrera móvil deformable.
La IIHS no realiza pruebas orientadas a medir la seguridad de niños a bordo ni de peatones en caso de atropello pero sí resistencia de parachoques a golpes a 8 km/h (5 mph).
# Demostración de la irracionalidad de e

En matemáticas, la identidad como serie del número e
    $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$
puede ser usado para probar que e es un número irracional. De las tantas representaciones posibles de e, esta es la serie de Taylor para la función exponencial e$^y$ evaluada en y=1.

## Demostración

Esta es una prueba por contradicción. Inicialmente se supone que e es un número racional de la forma a/b. $e={\frac {a}{b}}$
Se define el número
    $\ x=b!\,{\biggle-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}.$
Notar que x es un entero, se sustituye e = a/b en esta definición para obtener
    $x=b!\,{\biggl{\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}\,.$
El primer término es un entero, y cada fracción en la suma es un entero ya que n≤b para cada término. Por lo tanto, x es un entero.
Ahora probaremos que 0 < x < 1. Primero, insertamos la serie que representa al número e esto es $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$, en la definición de x para obtener
    $x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}>0\,.$
Para todos los términos con n ≥ b + 1 tenemos el estimado superior
    ${\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}}\leq {\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}\,,$
el cual es estricto aun para cada n ≥ b + 2. Cambiando el índice de la sumatoria a k = n – b y usando la fórmula para la serie geométrica infinita, obtenemos
    $x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}<\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}={\frac {1}{b+1}}{\biggl{\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1}}}}{\biggr )}={\frac {1}{b}}<1.$
Como no hay un entero entre 0 y 1, hemos llegado a una contradicción, y por lo tanto, e debe ser irracional.